2018年-2018年考研数学三试题及解析精品

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2018考研数学(三)真题

代入已知条件
f x dx 0, 得
0
1
2 1 1 f 1 1 0 f f x x dx 0 2 2 2 2 2 1 2 2 1 f x 1 1 1 x f f x dx 2 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 1 1 f f x dx 2 2 0 2 2 1 f 1 1 f x dx, 0 2 2 2
1 1 0 （5）下列矩阵中，与矩阵 0 1 1 相似的为 0 0 1 1 1 1 (A) 0 1 1 . 0 0 1 1 0 1 (B) 0 1 1 . 0 0 1
【
】
1 1 1 (C) 0 1 0 . 0 0 1
x
lim
0 x
x
2 x
2
0,
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x
x
2 x
2
1 , 2
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x

x 2 x

2
lim
1 ，Y 服从参数为的泊松 2
设总体 X 的概率密度为 f x;
1 e , 其中 0, 为未知参数， X1 , X 2 X n 为来自总体 2
x
X 的简单随机样本，记的最大似然估计量为 .
（Ι ）求；（Ⅱ）求 E 和 D .
1 , 则 P AC A B 2

2018考研数学三【解析版】【无水印】

平均成本函数 C(Q) = C(Q) ，其取最小值时，则导数为零，即 Q
= C′(Q) C= ′(Q)Q − C(Q) C= ′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) 0 ，
Q0
Q2
Q0
Q02
即 C′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) = 0 ，选 D.
（5）【答案】A
A 的特征值为 λ=1 λ=2 λ=3 1，而 r(λE − A) = r(E − A) = 2 .
所以 f (1) = 2e
13. 【答案】2.
1 0 0 【解析】 A(α1,α2 ,α3 ) = (α1,α2 ,α3 )1 1 −1 ,
1 1 1
10 0 10 0 则 A = 1 1 −1 = 0 1 −1 = 2 .
11 1 01 1
1
14.【答案】 .
3
【解答】 P( AC A ∪ B) = P[ AC( A ∪ B)] = P[ AC ∪ ABC] = P( AC)
不独立，C 和 D 不成立.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
9.【答案】=y 4x − 3
【解析】由题知：
f ′(x) =2x + 2 x
(x > 0) ，
f
′′( x)
=2
−
2 x2
=2(1 −
1 x2
)
令 f ′′(x) = 0 则 x = 1, x = −1（舍去）
x1 − x2 + x3 =0,
x2 + x3 = 0,
x1
+ ax3 = 0,
1 −1 1 1 0 2
= 系数矩阵 A 1
0

2018年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)

2018年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列函数中，在x=0处不可导的是( )A．f(x)=|x|sin|x|B．C．f(x)=cos|x|D．正确答案：D解析：对D选项，由于f+’(0)≠f-’(0)，因此f(x)在x=0处不可导．2．设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )A．当f’(x)＜0时，B．当f”(x)＜0时，C．当f’(x)＞0时,D．当f”(x)＞0时，正确答案：D解析：对于A选项：．此时f’(x)=一1＜0，但对于B、D选项：，由∫01f(x)dx=0，可得当f”(x)=2a＜0时，=b＞0；当f”(x)=2a＞0时，对于C选项：取f(x)=此时f’(x)=1＞0，但故D选项正确．3．设则( )A．M＞N＞KB．M＞K＞NC．K＞M＞ND．K＞N＞M正确答案：C解析：由于而由定积分的性质，可知即K＞M＞N．故C选项正确．4．设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )A．C’(Q0)=0B．C’(Q0)=C(Q0)C．C’(Q0)=Q0C(Q0)D．Q0C’(Q0)=C(Q0)正确答案：D解析：平均成本函数其取最小值时，则导数为零，即从而C’(Q0)Q0—C(Q0)=0，即C’(Q0)Q0=C(Q0)．5．下列矩阵中，与矩阵相似的为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知E一A～E一B，且r(E—A)=r(E一B)．设题中所给矩阵为A，各选项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知r(E—B1)=2，r(E—B2)=r(E一B3)=r(E—B4)=1．因此A～B1，即A相似于A选项下的矩阵．6．设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )A．r(A，AB)=r(A)B．r(A，BA)=r(A)C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D．r(A，B)=r(AT，BT)正确答案：A解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系．①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．从而可得r(A，AB)=r(A)．7．设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1—x)，∫02f(x)dx=0．6，则P{X＜0}=( )A．0．2B．0．3C．0．4D．0．6正确答案：A解析：由于f(1+x)=f(1一x)，可知f(x)图像关于x=1对称．而∫02f(x)dx=0.6，可得8．已知X1，X2，…Xn(n≥2)为来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：解这道题，首先知道t分布的定义．假设X服从标准正态分布N(0，1)，Y服从χ2(n)分布，则的分布称为自由度为n的t分布，记为Z～t(n)．填空题9．曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_______．正确答案：y=4x一3解析：首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．求一阶、二阶导，可得f’(x)=令y”=0，得x=1．当x＞1时f”(x)＞0；当x＜1时f”(x)＜0．因此(1，1)为曲线的拐点．点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=4．因此切线方程为y一1=4(x一1)，即y=4x一3．10．正确答案：解析：本题考查分部积分法。

2018年考研数学三真题及答案解析(完整版)

(C) f x cos x
(D) f x cos x
【答案】（D）
【解析】根据导数的定义：
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（A） x0 x
x0 x
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（B） x0
x
x0 x
cos lim
x
1

lim

1 2
t 0
t 0
2= lim (1 bt)et 1 lim et 1 lim btet 1 b,
t 0
t
t t 0
t t 0
从而b 1.
综上，a 1,b 1.
(16)(本题满分 10 分)
设平面区域D由曲线y 3 1 x2 与直线y 3x及y轴围成, 计算二重积分 x2dxdy.
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（）
(A) f x x sin x
(B) f x x sin x
x
x
x 0时，可得f (x) 2xf (x) f (x) 2xf (x) 0.
由公式得：f (x) Ce(2x)dx =Cex2 , f (0) 2 C 2. 故f (x)=2ex2 f (1) 2e.
(13) 设A为3阶矩阵, a1, a2, a3是线性无关的向量组,若Aa1 a1 a2, Aa2 a2 a3, Aa3 a1 a3,

2018年考研数学三试题与答案解析(完整版)

M 2 (1
2

2x ) dx 22 1dx 1 x2
x - , 时， 1 cos x 1, 所以K M 2 2 令f ( x) 1 x e x , f (0) 0, f ( x) 1 e x 当x 0, 时，f ( x ) 0; 当x , 0 时，f ( x ) 0 2 2 1 x 所以x - , 时，有f ( x ) 0，从可有 x 1，由比较定理得N<M, 故选C e 2 2
B. f ( x ) x sin( D. f ( x ) cos(
x) x)
f - 0 lim
x 0
x sin x x x sin x x
lim
x 0
x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x
0 2
B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
【解析】特殊值法：由已知可将 f ( x ) 看成随机变量 X N 1, 布的对称性， P X 0 0.2

2
的概率密度，根据正态分
1 n Xi ， n i 1
Born to win
2018 年考研数学三试题与答案解析（完整版)
——跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． 1. 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ A. f ( x ) x sin( x ) C. f x cos( x ) 【答案】D 【解析】 A 可导：）。

2018考研数学三参考答案

n ( )2 1 Xi − X , S ∗ = ∑ n − 1 i =1
√
1 n ( Xi − µ ) 2 n i∑ =1
( ) ) ) ) ) √ ( √ ( √ ( √ ( n X−µ n X−µ n X−µ n X−µ ∼ t (n) D. ∼ t ( n − 1) A. ∼ t (n) B. ∼ t (n − 1) C. ∗ S S S S∗ ( ) √ ( ) n ( ) ( )2 n X−µ σ2 1 【解析】首先 X ∼ N µ, σ2 ⇒ X ∼ N µ, ⇒ ∼ N (0, 1). 而样本方差 S2 = Xi − X 满足的 ∑ n σ n − 1 i =1 √ ( ) √ n( X −µ) n X−µ ( n − 1) 2 2 σ √ 分布为 S ∼ χ (n − 1), 根据 t 分布的定义知 ∼ t (n − 1), 选 B. = ( n −1) 2 σ2 S S
P { X < 0} =
∫ 1
f ( x )d x =
−∞
f ( x )d x −
f ( x )dx = 0.5 − 0.3 = 0.2
选 A. ( ) 8. 设 X1 , X2 , · · · , Xn (n ⩾ 2) 为来自总体 X ∼ N µ, σ2 (σ > 0) 的简单随机样本, 令 1 n X = ∑ Xi , S = n i =1 则 √
∫
10.
1 − e2x dx = . √ sin t du, 原积分化为【解析】令 arcsin 1 − e2x = t, 则 ex = cost, dx = − cos t ex arcsin
√
−
∫
t cos t
sin t dt = − cos t

2018考研数学三真题及答案

2018考研数学三真题及答案一、选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。

数3--18真题答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．（1）【答案】D.【解答】选项A 和C ，函数sin sin x x x x =，cos cos x x =，可导；B 选项，00()(0)(0)lim 0x x f x f f x →→−'==−0x →=320lim 0x x x →==，可导；对于D选项，由定义得0112(0)lim lim 2x x xf x +++→→−'===−；112(0)lim lim 2x x xf x −−−→→−'===. 因为(0)(0)f f +−''≠，所以不可导. 故选D. （2）【答案】D.【解答】由条件可知对函数()f x 在12x =点处二阶泰勒展开可得， 2111()1()()()()()2222!2f f x f f x x ξ'''=+−+−，其中ξ在x 与12之间，则11200111()1()d [()()()()]d 2222!2f f x x f f x x x ξ'''=+−+−⎰⎰1201()1()()d 022!2f f x x ξ''=+−=⎰，其中积分110011()d d 022x x x x −=−=⎰⎰.所以当()0f x ''>时，积分120()1()d 02!2f x x ξ''−>⎰，从而1()02f <；当()0f x ''<，有1()02f >，选项B 错误；取11(),()0,()022f x x f x f '=−+<=，选项A 错误；取11(),()0,()022f x x f x f '=−>=，选项C 错误. 故选D.（3）【答案】C. 【解答】因为，πππ2222πππ22222122d (1)d 1d 11x x x M x x x x x −−−++==+=++⎰⎰⎰，11cos x + 所以，K M >. 设()e 1x f x x =−−，则()e 1xf x '=−，所以当0x <时，()0f x '<，()f x单调递减；当0x 时，()0f x '，()f x 单调递增，故(0)0f =是其最小值，即11e xx +. 所以M N >，即N M K <<，故选C. （4）【答案】D.【解答】平均成本函数()()C Q C Q Q=，则2()()()C Q Q C Q C Q Q '−'=. 由题设产量为0Q 时平均成本最小，所以0()C Q '=00020()()0C Q Q C Q Q '−=，即000()()C Q Q C Q '=. 故选D. （5）【答案】A.【解答】记矩阵110011,001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 则3110011(1)0001λλλλλ−−−=−−=−=−E M ，所以特征值为1231λλλ===，且()()2r r λ−=−=E M E M ；对于A 选项：记矩阵为A ，解得特征值均为1，且()()2r r λ−=−=E A E A ；同理对于B 、C 、D 选项：分别记矩阵为,,B C D ，计算可得其特征值均为1，而()()()1r r r −=−=−=E B E C E D .若矩阵,T N 相似，则对应的矩阵λ−E T 和λ−E N 也相似，故秩相等. 由此可以排除选项B ，C ，D ，故选A. （6）【答案】A.【解答】选项A ，易知()()r r A AB A .由分块矩阵的乘法，可知()()=A AB A E B ，因此()min{(),()}r r r A AB A E B ，从而 ()()r r A AB A ，所以 ()()r r =A AB A ，则选项A 正确. B 选项，令1001,0010⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()1,()2r r ==A A BA ；C 选项，令1000,0001⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()()1,()2r r r ===A B A B ；D 选项，令1001,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则T T()1,()2r r ==A B A B ；故选A. （7）【答案】A.【解答】因为(1)(1)f x f x +=−，所以()f x 的图像关于1x =对称，因此{0}{2}P X P X =.因为2()d 0.6f x x =⎰，所以{0}{2}2{0}10.60.4P X P X P X +==−=，从而{0}0.2P X =，故选A. （8）【答案】B.【解答】根据单个正态总体的分布的性质可知2222(1)~(,),~(0,1),~(1)X n S X N N n nσμχσ−−，且X 与2S~()X t n，即)~(1)X t n S μ−−. 故选B.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．（9）【答案】43y x =−.【解答】由题可知，2222,2y x y x x−'''=+=+. 令2220y x−''=+=，解得1x =.所以曲线的拐点为(1,1). 又(1)4y '=即为切线斜率，所以切线方程为，43y x =−.所以拐点为(1,1)，斜率()14k y '==，切线方程为43y x =−.（10）【答案】e xC .【解答】e arcsin arcsin x xx =⎰⎰2e 2e )d xxx x =−2e x x x =21e arcsin e )2x x=−−e arcsin x C =+.（11）【答案】25x x y C =⋅−.【解答】2121121()()()2x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y ++++++∆=∆∆=∆−∆=−−−=−+，所以原方程可化为 2125x x y y ++−=.易知，对应齐次方程2120x x y y ++−=的通解为2x x y C =⋅.设原方程的特解为*x y A =，代入原方程中得5A =−. 所以原方程的通解为25x x y C =⋅−.（12）【答案】2e .【解答】由()()2()()(0)f x x f x xf x x o x x +∆−=∆+∆∆→，可得()()2()()f x x f x xf x o x x+∆−=+∆∆.等式两边取极限可得微分方程()2()f x xf x '=，解得2()e x f x C =，再由(0)2f =得=2C ，所以 2()2e x f x =，所以 (1)2e f =. （13）【答案】2.【解答】由题得123123123200(,,)(,,)(,,)111121⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭A A A =A ααααααααα.因为123(,,)ααα可逆，所以矩阵A 与矩阵200111121⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，故特征值相同. 而 2200111(2)[(1)2]0121λλλλλλ−−=−−=−−+=−−−E B ，所以A 的实特征值为2. （14）【答案】31. 【解答】由,,A B C 相互独立可得，()()(),()()()P AB P A P B P AC P A P C ==.而，(())(()())(|)()()()()P AC A B P ACA ACB P AC AB P A B P A P B P AB ==+− ()()()()()P AC P A P B P A P B =+−，又因为1()()()2P A P B P C ===，所以 (|)P AC A B =11122111132222⋅=+−⋅. 三、解答题：15～23小题，共94分.（15）【解】111+++lim [()e ]lim (e 1)lim e xxxx x x ax b x x a b →∞→∞→∞+−=−+1+lim (e 1)xx x a b →∞=−+，因为极限存在，所以1+lim (e 1)0xx a →∞−=，即1a =.而，11++e 1lim (e 1)lim121xxx x x a b b b x→∞→∞−−+=+=+=，所以1b =.综上可得1a =，1b =.（16）【解】积分区域如右图阴影部分所示，且曲线与直线的交点为3(22. 则，223(1)2203d d d x xDx x y x x y −=⎰⎰⎰22203(1)d x x x x =−−222303(1d d )xx x x x =−−，其中，22240sin 1d sin cos d(sin )x txx xt t t π=−⋅⎰2440011sin 2d (1cos 4)d 48t t t t ππ==−⎰⎰ 401sin 4()8432t t ππ=−=， 2242301d 416x x x ==，所以2π13(π2)d d 3()321632Dx x y −=−=⎰⎰. （17）【解】设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数222222133π2π22344π3616x y z x z S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造拉格朗日函数2223(,,;)(2)4π3616x zL x y z y x y z λλ=+++++−，对参数求导并令导函数为零，则0,20,20,1620.xyzLLzLL x y zλλπλλ'=+=⎪⎪⎪'==⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪'=++−=⎩解得x=y=，z=此时面积和有最小值为2)S=.（18）【解】根据函数的幂级数展开有2200(1)(1)cos2(2)4(2)!(2)!n nn n nn nx x xn n∞∞==−−==∑∑，11201011()[()](1)(1)(1)(1)1n n n n nn n nx nx n xx x∞∞∞−+===''−==−=−=−+++∑∑∑，所以，2110000(1)4(1)(1)[(1)(1)](2)!nn n n n n n nn nn n n nx a x n x a n xn∞∞∞∞++====−=−−+=−−+∑∑∑∑.因为左边缺奇数项，因此n为奇数时，1(1)(1)0nna n+−−+=，即1na n=+；此时，1212222000[(1)(1)][(1)(21)][(21)]n n n n n n n nn n na n x a n x a n x∞∞∞++===−−+=−−+=++∑∑∑，即22(1)(1)(21)4,4(21)(2)!(2)!n nn nn na n a nn n−−++==−+，综上可得21,1,3,5,;(1)21,0,2,4,.!nnnn nan nn+=⎧⎪=⎨−⎪−−=⎩（19）【证】设()e1,0xf x x x=−−>，则有e1()e10,()(0)0,1xxf x f x fx−'=−>>=>，从而 221e 1,0x x x =>>.猜想0n x >，现用数学归纳法证明:1n =时，10x >，成立；假设(1,2,)n k k ==时，有0k x >，则1n k =+时有11e 1e1,0k k x x k kx x ++−=>>；因此0n x >，有下界. 再证单调性，1e 1e 1ln ln e ln en n nnx x x n n x n n x x x x +−−−=−=. 设()e 1e xxg x x =−−，0x >时，()e e e e 0x x x xg x x x '=−−=−<，所以()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，即有e 1e xxx −<，因此1e 1ln ln10en nx n n x n x x x +−−=<=，即数列{}n x 单调递减. 故由单调有界准则可知极限lim n n x →∞存在.不妨设lim n n x A →∞=，则e e 1A AA =−.因为()e 1e x xg x x =−−只有唯一的零点0x =，所以0A =，即lim 0n n x →∞=.（20）【解】（Ⅰ）由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax −+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵 11110210101110002r a a −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎯⎯→ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，所以，当2a ≠时，()3r =A ，方程组有唯一解，1230x x x ===.当2a =时，()2r =A ，方程组有无穷解，21,1k k −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数. （Ⅱ）当2a ≠时，令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =−+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩为可逆变换，此时规范形为222123y y y ++. 当2a =时，2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =−+++++222123121322626x x x x x x x =++−+222323133()2()22x x x x x −+=−+，此时规范形为2212y y +.（21）【解】（Ⅰ）由题设条件可知矩阵A 与B 等价，则秩()()r r =A B .因为 131212130130027390a ar r a +==−A ，所以 31121201101120111013a a r r a a +==−=−+B ，因此 2a =.（Ⅱ）设矩阵111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，对增广矩阵作初等变换可得， 122122106344(,)130011012111272111000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A B ，解得，11112213321122223331132233363646421,21,21x k x k x k x k x k x k x k x k x k −+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪ ⎪⎝⎭P .又P 可逆，因此1231223123231231236364640113,22121211110k k k r r r r k k k k k k k k k k k −+−+−++−=−−−−−=−≠P ，即23k k ≠.故123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪⎪⎝⎭P ，其中123,,k k k 为任意常数，且23k k ≠.（22）【解】（Ⅰ）因为随机变量X 的概率分布为1{1}{1}2P X P X ===−=，所以，2()0,()1,()1E X E X D X ===. 因为，Y 的分布律为e {},0,1,!k P Y k k k λλ−===，所以，()E Y λ=.因为，2(,)(,)()()()Cov X Z Cov X XY E X Y E X E XY ==−，且X 与Y 相互独立，所以，(,)Cov X Z 22()()()()()()E X E Y E X E Y D X E Y λ=−==. （Ⅱ）利用全概率公式有，{}{}P Z k P XY k ==={1}{|1}{1}{|1}P X P XY k X P X P XY k X ====+=−==−，再由X 与Y 相互独立可得{}P Z k ={1}{}{1}{}P X P Y k P X P Y k ===+=−=−1[{}{}]2P Y k P Y k ==+=−. 当0k =时，{0}{0}e P Z P Y λ−====；当k 为正整数时，1e {}{}22!kP Z k P Y k k λλ−====⋅；当k 为负整数时，1e {}{}22()!kP Z k P Y k k λλ−−===−=⋅−.综上所述，有e ,0,{}e ,1,2.2!k k P Z k k k λλλ−−⎧=⎪==⎨=±±⎪⋅⎩（23）【解】（Ⅰ）似然函数 11111()e e22niii x nx n n i L σσσσσ=−−=∑==∏，取对数： 11ln ()ln 2ln nii L n n xσσσ==−−−∑，求导： 21d ln ()10d nii L n xσσσσ==−+=∑，解得 1nii xnσ==∑，所以σ的最大似然估计量 1ˆnii Xnσ==∑.（Ⅱ） 111ˆ()()()e d 2xn i i E E X E X x x n σσσ−+∞−∞====∑⎰e d dexxxx x σσσ−−+∞+∞==−⎰⎰e|e d xxx x σσσ−−+∞+∞=−+=⎰；2221()()()1ˆ()()ni i D X E X E X D D X n n nσ=−===∑22220111(e d )(e d )2xx x xx x n n σσσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−⎰⎰ 22220111(e d )(de )2xx xx x n n σσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−−⎰⎰ 222011(2e d )(2)xx x n nσσσσ−+∞=−=−⎰2nσ=.。

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选择中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上1、下列函数中，在0=x 处不可导的是________（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=2、设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且0)(1=⎰dx x f ，则_______（A ）当0)(<'x f 时，0)21(<f （B ）当0)(<''x f 时，0)21(<f （C ）当0)(>'x f 时，0)21(<f （D ）当0)(>''x f 时，0)21(<f 3、⎰⎰⎰---+=+=++=22222222,)cos 1(,1,1)1(ππππππdx x K dx e xN dx x x M x 则K N M ,,的大小关系为________（A ）KN M >>（B ）N K M >>（C ）NM K >>（D ）KM N >>4、设某产品的成本函数)(Q C 可导，其中Q 为产量.若产量为0Q 时平均成本最小，则_____（A ）0)(0='Q C （B ）)()(00Q C Q C ='（C ）)()(000Q C Q Q C ='（D ）)()(000Q C Q C Q ='5、下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100110011相似的为_____（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110101（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000101016、设B A ,为n 阶矩阵，记)(X r 为矩阵X 的秩，)(Y X 表示分块矩阵，则（）（A ）)()(A r AB A r =（B ）)()(A r BA A r =（C ）)}(),(max{)(B r A r B A r =（D ）)()(T TB Ar B A r =7、设随机变量X 的概率密度)(x f 满足，,6.0)(),1()1(2=-=+⎰dx x f x f x f 则_____}0{=<X p （A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.58、设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)0)(,(2>δδμN 的简单随机样本，令∑∑∑===-=-==ni i ni i n i i u X n S X X n S X n X 12*121)(1,)(1,1，则_______（A ）)()(n t S X n --μ（B ）)1()(---n t S X n μ（C ）)()(*n t S X n --μ（D ）)1()(*---n t S X n μ二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

2018年数学三考研真题及解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 下列函数中，在0x =错误!未找到引用源。

处不可导的是（）。

A. ()sin()f x x x =B. ()f x x =C. ()cos()f x x =D. ()f x =【答案】D 【解析】 A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''====== B 可导：()()-0000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''======C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x x x--+++→→→→--''====== D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim ,0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''======''≠2 .已知函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()10,=⎰f x dx 则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f B. 当()0''<f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f C. 当()0'>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f D. 当()0''>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f 【答案】D 【解析】A 错误：()()()11000,10111,2,022f x f x dx dx f x x f x ⎛⎫'===-< ⎪⎛⎫=-+-+= ⎝⎝⎭⎪⎭⎰⎰B 错误：()()()100212111111,033243120,20,f x dx dx f x x f f x x ⎛⎫''==⎛⎫=-+-+=-+=-< ⎪⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎰⎰C 错误：()()()1100111,0220,10,2f x d f x x x f x dx f x ⎛⎫=-⎛⎫'-===> ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⎰⎰D 正确：方法1：由()0f x ''>可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭方法2：21112200011111()()()()()(),22222111111()()()()()()()()()02222221()0,()0.2f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f ξξξξ'''=+-+-'''''=+-+-=+-=''><⎰⎰⎰介于和之间,又故 3.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x xM dx N dx K dx x e 则 A.>>M N K B.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M 【答案】C 【解析】222222(1)11-,11,22()1,(0)0,()10,()0;,0()0221-,()01N<M,C22x xx xM dx dx x x K Mf x x e f f x e x f x x f x x x f x e ππππππππππ--=+=+⎡⎤∈≥>⎢⎥⎣⎦'=+-==-⎡⎤⎡⎤''∈<∈->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎡⎤∈≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选4. 设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量，若产量为0Q 时平均成本最小，则( ) A. ()00C Q '= B.()()00C Q C Q '= C.()()000C Q Q C Q '= D. ()()000Q C Q C Q '= 【答案】D【解析】根据平均成本()C Q C Q=，根据若产量为0Q 时平均成本最小，则有 ()()()()()()()0000000220Q Q Q QC Q Q C Q C Q Q C Q C C Q Q C Q Q Q ==''--''===⇒=5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 A. 111011001-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 111010001-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征值为1,1,1，()2r E Q -= 选项A ：令111011001A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A 的特征值为1,1,1，()0110012000r E A r -⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 选项B ：令101011001B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B 的特征值为1,1,1，()0010011000r E B r ⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 选项C ：令111010001C -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C 的特征值为1,1,1，()0110001000r E C r -⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B ：令101010001D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，D 的特征值为1,1,1，()0010001000r E D r ⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若矩阵Q 与J 相似，则矩阵E Q -与E J -相似，从而()()r E Q r E J -=-，故选（A ）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1110010001P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1110111011011001001P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，所以110111011011001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与相似故选（A ）6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则 A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A = C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().T T r A B r A B = 【答案】（A ）【解析】(,)(,)[(,)]()r E B n r A AB r A E B r A =⇒== 故选（A ）7.设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，()200.6f x dx =⎰，则{0}P X <=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A【解析】特殊值法：由已知可将()f x 看成随机变量()21,X N σ的概率密度，根据正态分布的对称性，()00.2P X <= 8.已知12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的简单随即样本，11ni i X X n ==∑，*S S ==A.()~()X t n S μ- B.()~(1)X t n S μ--C.*)~()X t n Sμ-D. *)~(1)X t n Sμ-- 【答案】B 【解析】2,XN n σμ⎛⎫⎪⎝⎭()()()22211,0,1n SX N n χσ--，又2X S 与相互独立，所以)()1X t n Sμ--，故选项B 正确，而A 错.()()()*22210,1,n S X Nn μχσσ--，2X S *与相互独立 ()n X t n μ-，故选项C ，D 错。

2018年考研数学三真题与答案解析

2018年考研数学三真题及答案解析一、选择题（4分）1 •下列函数中在e = oil：不可导的是（）扎f⑵-\x\sin. |x|B. = |a|siii y/\^\G f @）= CM |zD、J⑵=roe \/|r|【麻】D2谡團數在［0 J「上二阶可导.且力血=0 ■则（〉化当< 0时0B.当严go时」点心D、Sf ff（T）>0【答臺】DJT 空离1C王设Af =丄玉£［斗必,N= /_¥吕^忑-K = /_刍1 + idr，则（）久N> K艮M>K >NJ K > M>N匕K>N> M【答室】C4：殳某士品的5&本囲故G（Q）可导.具中Q九产量・若产量为班时平均成本最小.则（）&"Q D）- 0氐C\Q Q）= QQa）G 仪（QJ - Qo^（<?o）P Q0缶-叽）【蒔塞］D^1 1 0'5.下列拒氏中,空阵0 1 1梧似的为（）-0 0 1 _■1 1 -1'人 0 1 L0 0 1 ■1 0 -110 1 10 0 1ri 1 -rC.0 1 0_0 0 14 o -i iD、0 1 0 I0 0 1d al【答室】A匕设4 D知阶袒阵，记伪矩肚X的枝「(&幻表示甘埃矩隹，则()人r^A, AB) = T(J4)BS 3A) = r(A)J r(A?B) = max{r(4)?r(B)}D, r(A,3) = r(A T,B T)［答案】A了蛙随机豈量工的惑養厦f 0)淒定几1 +刃=/(1 - X).且k f (工问=0』，则P{X< 0}=()入0.2B、03C x 0.4D、05【希A&设Xl.Xd，…，X n(n> 2)为来自总脚仏/脸A0)的筲单随机样本<,令天■扌f J 土丈的一那.b■侶f 因-G 侧();-1 »1-1 » t-i【答套］8二、填空题(4分)虫曲㈱=/ +型”在具拐点处的切巻方程为_________【答却V=4®-310.J*E T arcsjin. 二店血=________【答案】e1 arrsiji v 1 - e Ha一讥一严 + C口■羞分方程-轴-5凶通解是倍臺】u, = e ■ 2T+1 - 5.12＞画数汛z)萬卫甲(h 4- Az)—归⑹—2Z^(B)A S十o(A*)g? T O)fi^(O) = 2 ,则就1) = _____【答棄】网=加1 窑盂^为” Ol.0!* 巧方誌向fi® * 若Afl] = dR + flg .A HJ =+ fls Aij =01+03 二#1 = __________【軽】214随匚事件儿乩牒互独立’且-P(3)-P[C)- i .则P(AC\A LIB}-【答垂】扌三解答题(10分)1王已知宾数仏b」満足1血匸一0险足+ b)E：—彳=2 »求仏b【答秦】叙-号可得皿s*包牡1. 2其中lim t^)+ 仏岬-J 吟十 lim t^)+ 时=l™t^)+ 远”十b可那吋亠4 吟=2 —齐而臺使得压叫卫* 吟存在,必须有■血=1.1W ,有Km匕T* o^1- L - 2- b. St&-1_踪上(a = 1^ & = 1【咎秦】稅分区域口凰17将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成HR 正方形与正三角形,三个圏形的面积之和是否存在最小值？若存在.求出最小值.r 则有总+ J ； +之=2及乂,彭2 >^y 2 r 正三甬形的面积为気= 器H 「则问题擴化为在祭件a +y + z=2.x 隼/的最小值&令資”+ A(i +y + z- 2) f a? +A = 0 2+入r =咗血心n工曲=妒 r (vs (i-i 1)--占2 /少1二内滋-声丘2 x 3dx rV 』具于对于/ V3(l-z a)dz . * =血片可化为屮僻r?g 丿应=芈圧血也⑺)=半•彳=徐「而v 综上"昌一黒』喙一习0 J 圆前面积为糾，总面积，爲之> OF .求 x-v ■鬲f'M 西+9_再9v^ir+4v ■存+9 r忑=—更—【答秦】设分成的三段分别为头闵 Si = ^x 2 t 正方形的面积为隔二 $=討+討函数吉丞+壽/ “討+討 / QL 呢dL则有 M j 布—店龙十忍鮫“+护+ ” 该点的囲数彳直即为最A 值,*解得唯n 牛极值点为〈二 0 2 = 0最小值为^/X切卄 i = （一 1产日（刼 +2）=2n+2,n=O,l,2r -;口陥=需卢+ （一 1严刊（加十1）=气黑一（加+ l ）.n = 0J …Ui 益数列｛%”蒿足：4 >0^X B+1三『程-l （n = 1,2^-）.证明｛%｝收鈣I 「并求】叽十入【答臺】由题意可和斗屮.=血吩严「首先证阴&讣的有界性：证明跖j >■ 0 ;当n = 1时山1 > 0』斷=恵时「盹> 0 ,则孔+1 =加气詈,其中 e Jfc-1 > i fc ,可知用1 > B L 1 = 0 r 因此对于任息的U ,有弓> 0.再证明｛工讣的星疆性：JJ 因为才时]—£Xn=芒比」一已珈=e In-l-J n e Tng %令f （z ） = e* — 1 — xe^ t 则f （H ）=—詔 f f （H ）= —ze E< 0（x > 0） r 故当n > 0 时，fb ） < /（□） = 0 ,从而严羅一丹< 0 ”記却.一险C 0 ”可知｛唧单调递痰综上「｛%｝为单希谨减有下界的憩列f 可知｛%｝收巍。

2018数学三考研真题

2018数学三考研真题2018年数学三考研真题2018年的数学三考研真题是考察研究生数学的一套标准试题，本文将对该试题进行详细解析，以帮助考生更好地理解试题并为备考提供指导。

第一题：请计算以下函数的极限$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{(2x)}}{x} $$解析：根据极限的定义，我们可以将上述极限式进行变形，得到：$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{(2x)}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\sin{(2x)}}{2x} $$我们知道，当自变量趋近于0时，$\sin{x}$与$x$的比值趋近于1。

因此，上述极限可以进一步计算为：$$ 2 \cdot 1 = 2 $$因此，该函数的极限为2。

第二题：请计算二重积分$$ \iint_D (x+y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $$解析：对于给定的二重积分，我们首先需要确定积分的区域$D$。

通过观察被积函数中$x$和$y$的系数为1，我们可以得到积分区域的边界条件为$x=0$，$y=0$和$x+y=1$。

将以上三个条件绘制在坐标系中，我们可以得到积分区域$D$为一个以$x$轴和$y$轴为边界的三角形。

接下来，我们可以通过二重积分的计算公式对给定的函数进行积分：$$ \iint_D (x+y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} (x+y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x $$对上述积分式进行计算，我们可以得到原函数的值为$\frac{1}{3}$。

第三题：请用参数方程和极坐标方程给出以下曲线的方程曲线：$y^2 = 4x \quad (y \geq 0)$解析：通过观察曲线的方程，我们容易联想到抛物线。

为了更好地描述曲线，我们可以用参数方程对其进行表示。

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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是(A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ.(D)(,)π+∞.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A) (B)(C)(D)（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(B)**23OB AO ⎛⎫⎪⎝⎭. (C)**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（7）设事件A 与事件B 互不相容，则 (A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =.(C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为(A) 0.(B)1. (C)2. (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos x x →= .（10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ . （11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)Tk β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .(14) 设1X ，2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=. （19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.（Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ；（Ⅱ）求条件概率{}11P X Y ≤≤. （23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.（Ⅰ）求{}10P X Z ==；2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题和解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为：（）()A .1()B . 2 ()C .3()D .无穷多个【答案】C 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A .1a =，16b =-()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16b =- ()D .1a =-，16b =【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

所以本题选A 。

（3）使不等式1sin ln xtdt x t>⎰成立的x 的范围是（） ()A .(0,1)()B .(1,)2π()C .(,)2ππ ()D .(,)π+∞【答案】A【解析】原问题可转化为求111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰成立时x 的取值范围，由1sin 0tt->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >。

故应选A .（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增。

③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数。

④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增。

⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D 。

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（） ()A .**0320B A⎛⎫⎪⎝⎭()B . **0230B A⎛⎫⎪⎝⎭()C .**0320A B⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**0230A B⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据CC C E *=，若111,C C C C C C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式2212360A AB B ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆1111000066000100B BA A AB BBBAA A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为（B ）（6）设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为（）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B . 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（）()A .()0P AB =()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-()D .()1P A B ⋃=【答案】()D【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =()A ()()1()P AB P A B P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以()A 不正确 ()B 当(),()P A P B 不为0时，()B 不成立，故排除 ()C 只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除()D ()()1()1P A B P AB P AB ==-=，故()D 正确。