函数奇偶性的判定原创

函数奇偶性的判定（原创）
函数的奇偶性是函数的一个重要特性，是研究函数问题时需要考察的一个重要方面，它在高中数学的很多方面有着广泛的应用。

有关判定函数奇偶性的问题，在各种资料和各级各类考试中屡见不鲜，因此正确判定函数的奇偶性是十分必要的，但是由于现行教材中对其判定方法并未做出系统介绍，导致许多学生把握不住解题要领，面对这些问题，常常显得束手无策，为了帮助学生迅速有效地判定函数的奇偶性，笔者在教学中总结出判定函数奇偶性的一般方法和步骤，以拓展解题思路，完善认知结构，提高思维效率。

判定函数奇偶性的一般方法和步骤： 一看定义域
判断函数定义域是否关于原点对称，这是判定函数奇偶性的必要不充分条件。

如果这个条件不满足，此函数为非奇非偶函数，如果满足，才能继续判定函数奇偶性。

二化解析式
对于函数解析式较复杂、繁琐的情况，应先化简解析式，这样有利于判定函数的奇偶性。

三试特殊值
当函数解析式较复杂或不易判定函数的奇偶性时，可先计算此函数的特殊值进行预判，一般是求出容易计算的特殊值)(a f 、
)(a f -。

由函数的奇偶性是定义域上的整体
性和任意性可知，函数的奇偶性若在定义域上局部成立，则在定义域上整体有可能成立；若在定义域上局部不成立，则在定义域上整体不成立。

所以根据0)()(≠=-a f a f 且
)()(a f a f -≠-，可预判此函数可能是偶
函数，不是奇函数；根据0)()(≠-=-a f a f 且)()(a f a f ≠-，可预判此函数可能是奇函数，不是偶函数；根据0)()(==-a f a f ，可预判此函数可能是既奇又偶函数；根据)()(a f a f ≠-且
)()(a f a f -≠-，可判定此函数一定是非
奇非偶函数。

这样就使判定函数的奇偶性具有了目的性和方向性，从而克服盲目地判定。

四找判定法
具体的判定方法为： （1）定义法
若函数的解析式简单或能化简时，可直接用奇偶性的定义进行判断，即验证)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-。

（2）等价法
若用奇偶性的定义很难判断或解析式不易化简时，可等价验证)()(x f x f ±-是否为0，或当0)(≠x f 时，验证
)
()
(x f x f -是否为1±，这样会使判定简单得多。

（3）利用奇偶函数的运算性质
若已知几个函数在公共定义域上的奇偶性，则它们的和（差）、积(商)、倍（分）、倒数所构成的函数的奇偶性，常常可利用以下几个结论判定：
①两个奇偶性相同的函数之和（差），奇偶性不变；
②两个奇函数之积（商）为偶函数，一个奇函数和一个偶函数之积（商）为奇函数，两个偶函数之积（商）为偶函数；
③若k 是不为0的常数，且函数)(x f 具有奇偶性，则函数)(x kf 和函数)(x f 的奇偶性相同；
④若函数)(x f 具有奇偶性，则函数
)
(1
x f 和函数)(x f 的奇偶性相同。

（4）利用复合函数的奇偶性
关于复合函数的奇偶性有以下结论： ①若函数)(x g u =在区间A 上是奇函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是奇函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是奇函数；
②若函数)(x g u =在区间A 上是偶函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是奇函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是偶函数；
③若函数)(x g u =在区间A 上是奇函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是偶函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是偶函数；
④若函数)(x g u =在区间A 上是偶函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是偶函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是偶函数。

上面结论可以简记为：“里外层同为奇函数时复合函数才为奇函数，其它情况一概为偶函数”。

（5）图象法
若已知函数的图象或可以较方便作出函数的图象时，可根据函数图象关于原点成中心对称或关于y 轴成轴对称，从而判定出函数的奇偶性。

（6）导数法
利用导数判定函数的奇偶性，常常要用到以下两个一般性结论：
①若)(x f 为可导的偶函数，则)(x f '是奇函数；
②若)(x f 为可导的奇函数，则)(x f '是偶函数。

以上是判定函数奇偶性的一般过程，对于具体问题应具体分析，灵活选择适当的判定方法，下面通过举例予以说明。

例1 判定下列函数的奇偶性。

（1）x
x x f --=51
2)(； （2）⎩⎨⎧<-->+-=)0(13)
0(13)(x x x x x f ；
（3）2
1)(x
a x x f x +-=0(>a ，且)1≠a ； （4）1
111)(2
2+++-++=
x x x x x f ； （5）x x x x x f )1122lg()(22+++=；
（6）1
1
)(+-⋅=x x a a x x f 0(>a ，且)1≠a ；
（7）x x f 2sin )(=。

解 （1）因为函数的定义域是
{}R x x x ∈≠且,5，不关于原点对称，所以
此函数是非奇非偶函数。

（2）解法一（定义法）
此函数的定义域是{}
R x x x ∈≠且,0，是关于原点对称的，计算：2)1(-=f ，
2)1(=-f ，得0)1()1(≠-=-f f ,且)1()1(f f ≠-，故此函数可能是奇函数。

若0>x ，则0<-x ，有
131)(3)(-=--⋅-=-x x x f )()13(x f x -=+--=； 若0<x ，则0>-x ，有
131)(3)(+=+-⋅-=-x x x f )()13(x f x -=---=，
所以，当0≠x 时，总有)()(x f x f -=-， 故此函数是奇函数。

从以上可以看出，分段函数的奇偶性判定要分段处理。

解法二（图象法）
此函数的图象如图所示,
由图象关于原点成中心对称，故此函数是奇函数。

（3）（等价法）
易知此函数的定义域是
{}R x x x ∈≠且,0，是关于原点对称的，计
算：)1(212111)1(-+=+-=
a a a f ， )1(21
2
111)1(1-+=-+--=--a a a f ，得
0)1()1(≠=-f f ，且)1()1(f f -≠-，
故此函数可能是偶函数。

又2
121)(x
a xa x a x x f x x x
--=---=--， 2
121)()(x
a x x a xa x f x f x x x -----=--
01
)1(=---=x a a x x x ，
即，当0≠x 时，总有)()(x f x f =-，
故此函数是偶函数。

（4）（等价法）
易知此函数的定义域是R ，
当0=x 时，0)0(=f ，当0≠x 时，
0)0(≠f ，计算：122
22)1(-=+=
f ，
212
2
2)1(-=-=
-f ，得
0)1()1(≠-=-f f ,且)1()1(f f ≠-，故
此函数可能是奇函数。

所以
222
22222)
1(1)
1(11
111111
1)()(--++-+=+++-+++-+--+=-x x x x x x x x x x x x x f x f 1-=，
即，当R x ∈时，总有)()(x f x f -=-，
故此函数是奇函数。

（5）（定义法）
x x x x x f )1122lg()(22+++= x x x x x )112lg(222++++=
)1lg(2)1lg(222++=++=x x x x x x
由化简可知此函数的定义域是R ， 计算：)21lg(2)1(+=f ，
1)12lg(2)12lg(2)1(--=--=-f )21lg(2+=，
得0)1()1(≠=-f f ，且)1()1(f f -≠-，
故此函数可能是偶函数。

所以)1lg(2)(2++
--=-x x x x f
12)1lg(2--+=x x x )()1lg(22x f x x x =++=，
故此函数是偶函数。

（6）（利用奇偶函数的运算性质） 易知此函数的定义域是R ，由定义法易
知x y =和1
1
+-=x x a a y 都是定义域R 上的
奇函数，利用两个奇函数之积为偶函数可得，函数)(x f 是偶函数。

（7）（利用复合函数的奇偶性） 令x u sin =，R x ∈，则2)(u u f =，]1,1[-∈u ，因为x u sin =在R 上是奇函数，2)(u u f =在]1,1[-上是偶函数，利用复合函数的奇偶性可得，
函数x x f 2
sin )(=是偶函数。

此题可直接用定义法判定。

例 2 （2008年四川高考题）设)sin()(ϕω+=x x f ，其中0>ϕ，则函数是偶函数的充分必要条件是（ ）
0)0()(=f A 1)0()(=f B
1)0()(='f C 0)0()(='f D
解 （导数法）
由函数)(x f 是偶函数及结论①知
)(x f '是奇函数，所以可得0)0(='f ；
反之若0)0(='f ，即0cos =ϕω，得
2
π
πϕ+
=k ，Z k ∈，代入
)sin()(ϕω+=x x f 得x x f ωcos )(=或x x f ωcos )(-=为偶函数，故选D 。