计算机图形学--第十讲 曲线的基本概念

1
2 曲线的基本概念
Bézier 曲线
5
曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线
NURBS 曲线 常用的曲面
在工程上经常遇到的曲线和曲面有两种：◆简单曲线和曲面
函数方程或参数方程直接给出；
◆自由曲线
用二次混合曲线或三次曲线。

曲线曲面描述方法的发展： 1963
曲线曲面
1971
线形状
1972
条曲线曲面
1975
方法
1991
何形状的唯一数学方法
☐非参数表示：
显式表示，坐标变量之间一一对应
隐式表示
☐非参数表示存在问题：
不具有几何不变性，形状与坐标轴相关
斜率无穷大
非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示 不便于计算与编程
参数表示：
曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数示，曲线上一点的笛卡尔坐标：
曲线上一点坐标的矢量表示：
p
对
参数变量规格化：
例子：直线段的参数表示
曲面的参数表示空间曲面
x
y
z
P
☐参数表示法的优点
◆曲线的形状与坐标系无关。

◆容易确定曲线的边界。

参数规格化区间
或为
◆曲线的绘制简单。

当参数
序列组成的连线就是方程代表的曲线。

◆易于变换。

对参数方程表示的曲线或曲面进行几何变换或投影变换，只需要对方程的系数变换即可
◆易于处理斜率无穷大的情形。

◆易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算
隐式表示的曲线称为隐式曲线 表示形式
空间隐式曲线表示为联立方程组 注意
参数表示与隐式表示的比较
参数表示易于求值
给定一个参数值，代入参数方程
对应的参数曲线上的点；得到隐式曲线上的点则非常困难。

参数表示难于判断内外
对于隐式曲线
f(x
线
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2 曲线的基本概念
Bézier 曲线
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曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线
NURBS 曲线 常用的曲面
☐参数曲线的表示
参数的、连续的、单值的函数：
x=x(t), y=y(t), z=z(t), 0<=t<=1 ☐位置矢量
p(t)=[x(t), y(t), z(t)]
曲率：
数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。

曲率半径ρ：曲率k 的倒数
0lim c c
ϕκ∆→∆=∆
法矢量 与 矢量积矢量
T (切矢)、N (主法矢)和B (副法矢)构成了曲线上的活动坐标架：法平面:N 、B ； 密切平面:N 、T ； 从切平面：B 、T |()()|(()())()
|(()())()|P t P t B P t P t P t P t P t N B T P t P t P t ⨯='''⨯''''⨯⨯=⨯=''''⨯⨯
挠率τ：
绝对值等于副法线方向(或密切
平面)对于弧长的转动率
平面曲线是挠率恒为零的曲线。

lim c c
θτ∆∆=∆
插值
顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行的曲线称为
逼近
当型值点
型值点相当困难，有时也没有必要
选择一个次数较低的函数，在某种意义上最佳逼近这些型值点
常用的逼近方法：最小二乘法
光顺
线而言，相对光顺的条件是： 具有二阶几何连续性
不存在多余拐点和奇异点； 曲率变化较小
拟合
在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近方法使生成的曲线曲面达到某种设计要求。

贴近原始的型值点或控制点序列，看上去“光滑”“光顺”。

对三次参数曲线，用端点位矢
P¢
和
1
3232
01
32'32'
01
()(231)(23)
(2)()[0,1] P t t t P t t P
t t t P t t P t
=-++-+
+-++-∈
以上是三次P 0、 (P t (P 0,F
''
00110011
()[0,1] P t F P F P G P G P t
=+++∈
P=FB=TMB，A=MB，B=M-1A
☐工程上所用到的曲线一般要求为平滑的样条曲线。

样条曲线不仅通过各有序型值点，并且在各型值点处的一阶和二阶导数连续，也即该曲线具有连续的、曲率变化均匀的特点。

☐样条曲线由多项式曲线段拼接而成。

如何保证曲线段在连接点处有合乎要求的连续性？
☐有两种不同的关于连接的光滑度量：
参数连续性，记作
几何连续性，记作
参数连续性 如果曲线
即
则称曲线
曲线在区间。

6.2 曲线的基本概念
几何连续性：
零阶几何连续（
即
2
续，且切矢量方向相同，即存在常数
则称曲线在
3
连续，且副法矢量连续，曲率连续，即
则称曲线在
6.2 曲线的基本概念
几何连续性是独立于表示（参数化）的，即几何连续性与选择的参数无关，只与曲线本身有关。

根据上述定义，几何连续性和参数连续性的关系如下： 1
曲线也是
2
，使得
β
取
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6.2 曲线的基本概念
第六章
1.
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