计算机图形学--第十讲 曲线的基本概念

1

2 曲线的基本概念

Bézier 曲线

5

曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线

NURBS 曲线 常用的曲面

在工程上经常遇到的曲线和曲面有两种：◆简单曲线和曲面

函数方程或参数方程直接给出；

◆自由曲线

用二次混合曲线或三次曲线。

曲线曲面描述方法的发展： 1963

曲线曲面

1971

线形状

1972

条曲线曲面

1975

方法

1991

何形状的唯一数学方法

☐非参数表示：

显式表示，坐标变量之间一一对应

隐式表示

☐非参数表示存在问题：

不具有几何不变性，形状与坐标轴相关

斜率无穷大

非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示 不便于计算与编程

参数表示：

曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数示，曲线上一点的笛卡尔坐标：

曲线上一点坐标的矢量表示：

p

对

参数变量规格化：

例子：直线段的参数表示

曲面的参数表示空间曲面

x

y

z

P

☐参数表示法的优点

◆曲线的形状与坐标系无关。

◆容易确定曲线的边界。参数规格化区间

或为

◆曲线的绘制简单。当参数

序列组成的连线就是方程代表的曲线。

◆易于变换。对参数方程表示的曲线或曲面进行几何变换或投影变换，只需要对方程的系数变换即可

◆易于处理斜率无穷大的情形。

◆易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算

隐式表示的曲线称为隐式曲线 表示形式

空间隐式曲线表示为联立方程组 注意

参数表示与隐式表示的比较

参数表示易于求值

给定一个参数值，代入参数方程

对应的参数曲线上的点；得到隐式曲线上的点则非常困难。 参数表示难于判断内外

对于隐式曲线

f(x

线

1

2 曲线的基本概念

Bézier 曲线

5

曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线

NURBS 曲线 常用的曲面

☐参数曲线的表示

参数的、连续的、单值的函数：

x=x(t), y=y(t), z=z(t), 0<=t<=1 ☐位置矢量

p(t)=[x(t), y(t), z(t)]

曲率：

数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。

曲率半径ρ：曲率k 的倒数

0lim c c

ϕκ∆→∆=∆

法矢量 与 矢量积矢量

T (切矢)、N (主法矢)和B (副法矢)构成了曲线上的活动坐标架：法平面:N 、B ； 密切平面:N 、T ； 从切平面：B 、T |()()|(()())()

|(()())()|P t P t B P t P t P t P t P t N B T P t P t P t ⨯='''⨯''''⨯⨯=⨯=''''⨯⨯

挠率τ：

绝对值等于副法线方向(或密切

平面)对于弧长的转动率

平面曲线是挠率恒为零的曲线。

lim c c

θτ∆∆=∆

插值

顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行的曲线称为

逼近

当型值点

型值点相当困难，有时也没有必要

选择一个次数较低的函数，在某种意义上最佳逼近这些型值点

常用的逼近方法：最小二乘法

光顺

线而言，相对光顺的条件是： 具有二阶几何连续性

不存在多余拐点和奇异点； 曲率变化较小

拟合

在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近方法使生成的曲线曲面达到某种设计要求。

贴近原始的型值点或控制点序列，看上去“光滑”“光顺”。

对三次参数曲线，用端点位矢

P¢

和

1

3232

01

32'32'

01

()(231)(23)

(2)()[0,1] P t t t P t t P

t t t P t t P t

=-++-+

+-++-∈

以上是三次P 0、 (P t (P 0,F

''

00110011

()[0,1] P t F P F P G P G P t

=+++∈

P=FB=TMB，A=MB，B=M-1A

☐工程上所用到的曲线一般要求为平滑的样条曲线。样条曲线不仅通过各有序型值点，并且在各型值点处的一阶和二阶导数连续，也即该曲线具有连续的、曲率变化均匀的特点。

☐样条曲线由多项式曲线段拼接而成。如何保证曲线段在连接点处有合乎要求的连续性？

☐有两种不同的关于连接的光滑度量：

参数连续性，记作

几何连续性，记作

参数连续性 如果曲线

即

则称曲线

曲线在区间

。

6.2 曲线的基本概念

几何连续性：

零阶几何连续（

即

2

续，且切矢量方向相同，即存在常数

则称曲线在

3

连续，且副法矢量连续，曲率连续，即

则称曲线在