高等数学-积分对称性
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二重积分的对称性：
⎰⎰=D
d y x f I σ),(
⑴若D 关于y 轴)0(=x 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则⎰⎰=1
),(2D d y x f I σ，1
D ：0≥x
⑵若D 关于x 轴)0(=y 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则⎰⎰
=2
),(2D d y x f I σ，2D ：0≥y
三重积分的对称性：
⎰⎰⎰
Ω
=dv z y x f I ),,(
⑴若Ω关于xoy 面)0(=z 对称，
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1,),,(2
1
Ω=⎰⎰⎰
Ωdv z y x f I ：0≥z
⑵若Ω关于yoz 面)0(=x 对称，
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2
,),,(22
Ω
=⎰⎰⎰Ωdv z y x f I ：0≥x
⑶若Ω关于xoz 面)0(=y 对称，
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2
3
Ω
=⎰⎰⎰Ωdv z y x f I ：
0≥y
轮换对称性： 设Ω关于z y x ,,具有轮换对称性(既若Ω∈),,(z y x ，则将
z y x ,,任意互换后的点也属于Ω)，则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值：
⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ),,(⎰⎰⎰Ω
=dv x z y f ),,(⎰⎰⎰Ω
=dv x y z f ),,(
特别：⎰⎰⎰Ω
dv x f )(⎰⎰⎰Ω
=dv y f )(⎰⎰⎰Ω
=dv z f )(
从而
3)]()()([=++⎰⎰⎰Ω
dv z f y f x f ⎰⎰⎰Ω
dv x f )(
第一型曲线积分的对称性：
ds y x f I L
⎰=),(
⑴若曲线L 关于0=x 对称,
①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则1,),(21
L ds y x f I L ⎰
=：0≥x
⑵若曲线L 关于0=y 对称,
①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则2,),(2
2
L ds y x f I L ⎰
=：0≥y
ds z y x f I L
⎰
=
),,(
⑴若曲线L 关于0=x 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1,),,(21
L ds z y x f I L ⎰
=：0≥x
⑵若曲线L 关于0=y 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ，
②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2,),,(22
L ds z y x f I L ⎰
=：0≥y
⑶若曲线L 关于0=z 对称,
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2
3
L ds z y x f I L ⎰
=：0≥z
第一型曲面积分的对称性： ⎰⎰∑
=dS z y x f I ),,(
⑴若∑关于xoy 面)0(=z 对称，
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则⎰⎰∑=1
),,(dS z y x f I ，1∑
：
0≥z
⑵若∑关于yoz 面)0(=x 对称，
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则⎰⎰∑=1
),,(dS z y x f I ，2
∑
：0≥x
⑶若∑关于xoz 面)0(=y 对称，
①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ，
②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则⎰⎰∑=
1
),,(dS z y x f I ，3
∑
：0≥y