Function 函数

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。

简介

函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f 是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y 与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y 叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。

注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用域任何一个非空集合，如f(●)=2×●+1，x={1,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9},则

f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法则是独立于特定定义域之外的一个运算法则。运算法则或者称对应法则可以作为算子独立存在如微分算子，而函数则必须有其特定的定义域才有意义，否则不能称之为函数。

函数相关概念

我们称数值发生变化的量叫变量。有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。

自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一一值与其相对应。

由映射定义

设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f

的原象。集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。

则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图像与X轴交点；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，

把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“ >”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

函数的集合论（关系）定义

如果X到Y的二元关系fÍX×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。

当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。

其特点：

前域和定义域重合；

单值性：∈f∧∈f →y=y’

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定义域、对映域和值域

输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的

陪域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对映域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对映域的子集。

计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对映域。因此定义域和对映域是函数一开始就确定的强制约束。另一方面，值域和实际的实现有关。

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单射、满射与双射函数

单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x = y时有f（x）= f（y）。

满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。

双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。

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三角函数

三角函数（Trigonometric），是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展

到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

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像和原象

元素x∈X在f的像就是f（x）。

子集A⊂X在f的像是以其元素的像组成Y的子集，即

f(A) := {f(x) : x ∈A}。

注意f的值域就是定义域X的像f（X）。在我们的例子里，{2,3}在f的像是f({2, 3}) = {c, d}而f的值域是{c, d}。

根据此定义，f可引申成为由X的幂集（由X的子集组成的集）到Y的幂集之函数，亦记作f。

子集B ⊂Y在f的原像（或逆像）是如下定义X的子集：

f −1(B) := {x ∈ X : f(x)∈B}。

在我们的例子里，{a, b}的原像是f−1({a, b}) = {1}。

根据此定义，f−1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。

以下是f及f−1的一些特性：

f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪f(A2).

f(A1 ∩ A2) ⊆f(A1) ∩ f(A2). f −1(B1 ∪B2) = f −1(B1) ∪f −1(B2). f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2). f(f −1(B)) ⊆B. f −1(f(A)) ⊇ A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。

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函数图像

函数f的图像是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。

如果X和Y都是连续的线，则函数的图像有很直观表示

注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。

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函数的性质

函数的有界性