高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线课件 理

解析 (1) 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.根据两圆外切的条件， 得 MC1－AC1＝MA， MC2－BC2＝MB， 因为 MA＝MB， 所以 MC1－AC1＝MC2－BC2， 即 MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，
所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于 C1C2. 根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)， 其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).
4.设 a＞1，则双曲线ax22－（a＋y21）2＝1 的离心率 e 的取值范 围是________.
解析 e＝ac＝ b2＋a2a2＝ 1＋a＋a 12 ＝ 1＋1＋1a2，∵a＞1，∴0＜1a＜1， ∴1＜1＋1a＜2，∴ 2＜e＜ 5.
答案 ( 2， 5)
5.已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线 右支上的动点，则 PF＋PA 的最小值为________. 解析 如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4，0).由双曲 线的定义及标准方程得 PF－PE＝4，则 PF＋PA＝4＋PE＋PA. 由图可得，当 A，P，E 三点共线时，(PE＋PA)min＝AE＝5，从 而 PF＋PA 的最小值为 9.
第6讲 双曲线
考试要求 双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几 何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求.
知识梳理
1.双曲线的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c＞0)的距离 差的绝对值等于常数(小于F1F2且大于零)，则点的轨迹叫双曲 线.这两个 定点 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集 合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0：
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
2.(2015·湖南卷改编)若双曲线ax22－by22＝1 的一条渐近线经过点
(3，－4)，则此双曲线的离心率为________. 解析 双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线方程为 y＝±bax，则点
(3，－4)在直线 y＝－bax 上，即－4＝－3ab，所以 4a＝3b，即
(2)由题意知 c＝ 4＋12＝4，设双曲线的左焦点为 F1(－4，0)， 右焦点为 F2(4，0)，且 PF2＝8.当 P 点在双曲线右支上时，PF1 －PF2＝4，解得 PF1＝12；当 P 点在双曲线左支上时，PF2－ PF1＝4，解得 PF1＝4，所以 PF1＝4 或 12，即 P 到它的左焦 点的距离为 4 或 12. 答案 (1)x2－y82＝1(x≤－1) (2)4 或 12
答案 9
考点一 双曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动
圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ________. (2)若双曲线x42－1y22 ＝1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8， 则点 P 到它的左焦点的距离是________.
由双曲线定义， PF1－PF2＝2a＝2 2，又 PF1＝2PF2， ∴PF1＝4 2， PF2＝2 2，在△PF1F2 中， F1F2＝2c＝4， 由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|2F| 1F2|2＝34.
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.( √ )
ba＝43，所以 e＝ 1＋ba22＝53.
答案
5 3
3.(苏教版选修2－1P48T7改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都
在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 解析 设双曲线的方程为：ax22－ay22＝±1(a＞0)把点 A(3，－1) 代入，得 a2＝8，故所求方程为x82－y82＝1. 答案 x82－y82＝1
图形
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性 渐近线
质 离心率
y＝±bax
c e＝ a
y＝±abx ，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫 做双曲线的虚半轴长
①若 a<c 时，则集合P为双曲线； ②若a＝c时，则集合P为两条射线 ； ③若 a>c 时，则集合P为空集. (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上) 的距离的比是常数e(e>1)的动点C的轨迹叫做双曲线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定 平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求 可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦 定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方 法，建立与PF1，PF2的联系.
【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦
点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos ∠F1PF2＝
.
(2)设椭圆 C1 的离心率为153，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，
若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对
值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为
.Байду номын сангаас
解析 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2.