高中数学选修2-1章末检测卷3：第二章 圆锥曲线与方程

第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2013·四川文，5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．23 B ．2C. 3 D ．1 [[答案]] D
[[解析]] 由y 2＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝
|2－3×0|12＋－3
2
＝1.
2．已知椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2
的周长为( )
A ．10
B ．20
C ．241
D ．441 [[答案]] D
[[解析]] 由椭圆定义可知，有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，
∴△ABF 2的周长L ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a . 由题意可知b 2＝25,2c ＝8，∴c 2＝16
a 2＝25＋16＝41，∴a ＝41，∴L ＝441，故选D. 3．椭圆x 2m 2＋y 2
3－m ＝1的一个焦点为(0,1)，则m ＝( )
A ．1 B.－1±172C ．－2或1 D ．－2或1或－1±17
2
[[答案]] C
[[解析]] ∵焦点在y 轴上，∴3－m >m 2.由3－m －m 2＝1得m ＝1或－2，∴选C.
4．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±22x
D ．y ＝±1
2x
[[答案]] C
[[解析]] ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，∴a 2＝c 2－b 2＝3－1＝2，∴a ＝2，故渐近方程为y ＝±b a x ＝±2
2
x .
5．(2013·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的
准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1 B.3
2C ．2 D ．3
[[答案]] C
[[解析]] ∵e ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A ＝(－p 2，3p
2)，
B (－p 2，－3p 2)，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p 2×3p ＝3，即p 2＝4，又
p >0，∴p ＝2.
6．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )
A ．大于0且小于1
B ．大于1
C ．小于0
D ．等于1 [[答案]] C
[[解析]] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a ＝lg a 4－b 4a 2<lg a 2
a 2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.
7．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 24＝1
B.y 24－x 24＝1
C.y 24－x 28＝1
D.x 28－y 2
4＝1 [[答案]] B
[[解析]] 依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2
2a ＋2b ＝2·
2c a 2＋b 2＝c 2
，解得a ＝2，b ＝2.
又焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 2
4
＝1.
8．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线 [[答案]] A
[[解析]] 由题意知，|QF 1|＝|QP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a .(2a 为椭圆长轴长)， ∴Q 点轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．
9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )
A ．y 2＝4x 或y 2＝8x
B ．y 2＝2x 或y 2＝8x
C ．y 2＝4x 或y 2＝16x
D ．y 2＝2x 或y 2＝16x
[[答案]] C
[[解析]] 由已知F (34p,0)，A (0,2)，M (y 20
3p ，y 0)，∵AF ⊥AM ，∴k AF ·k AM ＝－1，
即
2－34p ×2－y 0－y 203p
＝－1，∴y 20－8y 0＋16＝0，∴y 0＝4，∴M (16
3p ，4)， ∵|MF |＝5，∴5＝
34p －16
3p
2＋16，∴(
34p －163p
)2
＝9. ∴3p 4－163p ＝3或3p 4－16
3p ＝－3，∴9p 2－36p －64＝0，① 或9p 2＋36p －64＝0，由①得∴p ＝－43(舍)，p ＝163.
由②得p ＝43(p ＝－16
3舍)，∴c 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .
10．已知θ∈R ，则方程x 2＋y 2cos θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．抛物线 B ．双曲线C ．椭圆 D ．圆 [[答案]] A
[[解析]] 当θ＝0时，cos θ＝1，方程表示圆； 当θ＝π3时，cos θ＝1
2
，方程表示椭圆；
当θ＝2π3时，cos θ＝－1
2
，方程表示双曲线，故选A.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( ) A ．y 2＝254x B ．y 2＝454x C ．x 2＝－452y D ．x 2＝－454y
[[答案]] C
[[解析]] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝45
2，
所以抛物线的方程应为y 2＝
452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－45
2
y 中的“2p ”的值为45
2
，所以选项C 符合题意． 12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直
线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 2
9＝1 [[答案]] D
[[解析]] 设A 点坐标的(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，
∴⎩⎨⎧
x 21a 2＋y 21b 2
＝1，x 22a 2
＋y
22b 2
＝1.
两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 2
1
b
2，
即
x 1－x 2
x 1＋x 2
a
2
＝
y 2－y 1
y 2＋y 1
b
2
，
∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2
a 2
，
又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝1
2，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18，
即标准方程为x 218＋y 2
9
＝1，故选D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确[答案]填在题中横线上) 13．椭圆x 24＋y 2
3＝1的两焦点为F 1、F 2点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有________个．
[[答案]] 0
[[解析]] 设a >b >0，c ＝a 2－b 2，以O 为圆心，以c 为半径画圆；当c <b 时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c ＝b 时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c >b 时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝1，b ＝3，因此这样的点P 不存在． 14．已知双曲线x 2－
y 2
b 2
＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________. [[答案]] 2
[[解析]] ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴b a ＝2，∴b 2
a 2＝4，∴
b 2＝4，又∵b >0，∴b ＝2.
15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相
交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝4
5，则C 的离心率e ＝________.
[[答案]] 5
7
[[解析]] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题． 在△ABF 中，由余弦定理得，
cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |2
2|AB |·|BF |，∴|BF |2－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8，设右焦点为F 1，
因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点，∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝5
7.
16．方程x 24－t ＋y 2
t －1
＝1表示曲线C ，给出以下命题：
①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <5
2
.
其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [[答案]] ③④
[[解析]] 显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠5
2时，方程
表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <5
2时，4－t >t －1>0，方程表示焦点
在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若已知椭圆x 210＋y 2m ＝1与双曲线x 2
－y 2
b ＝1有相同的焦点，又椭圆与
双曲线交于点P (
10
3
，y )，求椭圆及双曲线的方程． [[解析]] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得10－m ＝1＋b ，即m ＝9－b ① 又点P (
103，y )在椭圆、双曲线上，得y 2＝89m ，②y 2＝b 9
.③ 解由①、②、③组成的方程组得m ＝1，b ＝8， ∴椭圆方程为x 210＋y 2＝1，双曲线方程为x 2
－y 2
8
＝1.
18．(本小题满分12分)求以直线x ＋2y ＝0为渐近线，且截直线x －y －3＝0所得弦长为
83
3的双曲线的标准方程．
[[解析]] 由于双曲线渐近线方程为x ＋2y ＝0，故可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 设直线x －y －3＝0与双曲线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －3＝0，
x 2－4y 2＝λ.
消去y ，整理得3x 2－24x ＋36＋λ＝0. 由Δ＝242－12(36＋λ)>0，解得λ<12.由根与系数关系可得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝36＋λ3.
代入弦长公式中， |AB |＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 2
2－4x 1x 2
＝2·
82－4×36＋λ
3
＝
8
12－λ
3
， 于是
8
12－λ3＝83
3
，解得λ＝4(与λ<12符合)．
故所求的双曲线方程为x 24
－y 2
＝1.
19．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →
＝OA →
＋λOB →
，求λ的值．
[[解析]] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p
2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，
所以x 1＋x 2＝5p
4
，
由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .
(2)由p ＝4，方程4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，
又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2
＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
20．(本小题满分12分)(2013·新课标Ⅰ文，21)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
[[解析]] (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程式为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2)．
(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R
r 1
，可求出Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得
|3k |1＋k 2
＝1，解得k ＝±2
4.
当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 2
3＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627
.
所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187
. 当k ＝－
24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187
. 21．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→
·MF 2→
. [[解析]] (1)由题意知双曲线的方程是标准方程．
∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 把点(4，－10)代入双曲线方程得，λ＝6.∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)双曲线的焦点为F 1(－23，0)、F 2(23，0)． ∵M 点在双曲线上，∴32－m 2＝6，m 2＝3. ∴MF 1→
·MF 2→
＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝0.
22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． [[解析]] (1)设椭圆的方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
∵F (2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A (2,3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝3＋5＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝2，a ＝4.
∵a 2＝b 2＋c 2， ∴b 2＝12，故椭圆方程为
x 216＋y 2
12
＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程y ＝3
2x ＋t .由⎩
⎨⎧
y ＝3
2
x ＋t ，x 2
16＋y 2
12＝1.消去y ，
得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.
∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ＝(3t )2－12(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，
可得，|t|
9
4＋1
＝4，∴t＝±213.由于±213∉[－43，43]，
故符合题意的直线l不存在．。