渐开线直齿轮副的动态输出特性分析

［ 该周期为 ＝ ０ｚ ，ｚ ２ 】 ， ６／ｎ 为齿数，， ２ 为相应齿
轮 转 速 。 则 双 齿 啮 合 区 的 啮 合 时 间 为
＝
主 、被动齿轮 的齿数 ，鳓 、ຫໍສະໝຸດ Baidu
的角速度 。
主、被动齿轮
（ － ），， 单 齿 啮 合 区 的 啮 合 时 间 为 ｅ １． ｔ
：（ 一 ） 。 ２
机电技术
２１ 年１ 月 ０１ ２
渐开线直齿轮副的动态输 出特性分析
刘正 义 林 定 笑
ｆ 福建工程学 院 机 电及 自动化工程系 ，福建 福州 摘 ３００） ５１８
要：以一对渐开 线直 齿轮副 的动态输 出特性为研究对 象，通过对直齿轮副啮合过程的分析，分别在其单齿啮合
区、双齿啮合区建立 了动态特性分析模型，并对该分析模 型进 行了求解 。结合实例 ，研究 了输入 转矩 、转矩波动、传递 误差 以及重合度等因素对齿轮 副动态输 出特性 的影响 ，结果表明：在单齿啮合 区以及单、双齿啮合区转 变处输 出转矩 、 转速产生较大 的波动；在双齿啮合 区输 出转矩、转速波动较小；随着负载的增 大，输出转速 的波动加剧 ；输入 转矩 的波 动对输 出转矩影响不大 ，但对输出转速 具有较大 的影响 ；随着传动误差的增大 ，输 出转矩 、转速均会产生较大的波动 ； 增大重合度 ，将会 明显地减缓单齿啮合 区以及单 、双齿啮合区转变处输 出转矩 、转速 的波动 。 关键词 ：齿轮动力学；动态输 出特 性；转矩波动 ；传递误差
轮动力学进行了广泛深入地研究。本文在此基础 上 ， 圆柱 齿轮系 统简 化为齿 轮副 扭转 振动 系统 。 将
一
对直齿 轮副 的扭 转振动 模 型如 图 １ 示 。 所
渐开线齿轮 由于 自身的特 点，使其广泛地应 用于 上述 机械 领域 。然 而 ，渐开 线齿 轮 只有在 齿
廓 曲线是 理想 的渐 开线 ，各 齿 的齿廓 在基 圆上 的 分度 十分 准确 时 ，其传 动 比才是 恒 定 的。然而 ，
文设输入转矩为Ｔ（ ＝ ＋ ｓ （ ｔ ， ｌ ） ｉ ￣．＋ ｔ ｎ 输出
项 目资助 ：福建 省 自然科 学基 金项 Ｉ（０ ００ ２９。 ￣２ １Ｊ １６ ） ｌ 作者 简介 ：刘 正义（９３ ， 男，实验 师 ，研 究方 向：机 械设 计与制 造 方向 。 １７ ～）
第 ６期
Ｉ
＋ Ｉ ，
ｊ
一
一
…
（ 为等效外激励。 ｆ ）
ｗ ｓ （ｍ＋ ）１Ｐ ｔ 三ｉ ｗｔ ， －） ｎ （ ＜
＝ ，
（） ８
ｃ ｊ
， ｚ ，
５
为
鲁。
３１ 双齿啮合区的系统响应 ．
ｊ ｚ ∞ｊ ｊ ＋２ ｊ ＋ ｐｊ ＝Ｆ ｃ （ ）
Ｐ （ ＝Ｐ 。） Ｐ ２ ＋ ｄ ＋ ４ ） （ ａｔ ＋ ａ ） ） Ｐ ３ （ ） ｆ ９ ）
图 ｌ 齿 轮 剐 动 力 字 模 型
其相 应 的扭转 振动微 分 方程为
由于各种轮齿误差及轮齿变形的存在 ，使得轮齿 瞬 时接触 点 的法 线与 中心线 的交点 不是理 论 的节
点 ，而 是交于 另 外一 点 ，从而 导致 主 、被 齿轮 的
瞬 时角速 度 发生变 化 ， 同时在轮 齿 上产 生 了附加
设啮合线上两齿轮 的动态传递误差为 ， ） （ ，则 ｆ
ｘ（ ＝ ｊｔ ）
之 差 ，则
） Ｒ 一 ２
）
（） ３
图 ３ 齿轮副的啮合周期
用 Ｐ （ 表 示 动 态传 递 误 差 与 静 态传 递 误 差 ｆ ）
Ｐ （ ＝ ｊｔ一 （ Ｊ ） ｘ（ ｅｔ ｆ ） ）
将 （） ４式代入 （） ，则（） １式 １式可 写为
（ ＝Ｒ ｆ ２ ）
（ ｆ ）
（） １ ５
４ 数值结果及分析
取渐开线齿轮副的参数为：材料 ４ ５钢，主／ 被动轮齿数 ２／ ；模数 ４ ｍ；齿宽 ２ｍｍ；理 ３６ ４ ｍ － ０
论重合 度 １ ６７ ． ５ ；压 力角 ２ 。 。根据 数值 计算 结 ６ ０ 果 ，得 到 输 出特性 响应 曲线 ，现 对下 列 响应 曲线
（）双齿 啮合状 态 １
（）单 齿啮合 状态 ２
础
）
ｓ（ Ｈ 妒 ｉ ｎ
，
图 ２ 齿 轮 副 的 啮 合 状 态
如 图２ ３ 、 所示， 在双齿啮合区有两对轮齿同
时啮合 ，在此过程 内可近似地取啮合刚度和阻尼 为常数【 ３ 和 ｃ ；在单齿啮合 区有一对轮齿啮
＝
罢 ＝（］ ，ａ 等 ； ｒ 旁 ｃ 协
式中，Ｐ ｌ ） 一 ｓ （ｒ ＋ｔ ） ａ ｆ＝ （ 乃 ｉ Ｃａ ｅ ， ｎ Ｏｔ ａ 阻
＝ ａ ｃａ ｒ ｔｎ
脚
尼 比。
ＩＰ ］ Ｐａ ， ａａ ｏ￣ ＂ ￣
２ 啮合刚度、阻尼及啮合周期
＝
设ｆ 。 。＝ ａ， （ ＝ ｄ￣ ｄｆ＝ｋ ； ＝ 时ｐ（ Ｐ。 。 ＯＰ２） 墨 ） ｄ ） （ ａ
刘正义 等：渐开线直齿轮 副的动态输 出特性分析
２ ５
转矩为常量 Ｔ（ ＝ ２ｔ ，其中 、 ） 、妒分别表 示输入转矩波动幅值、输入转轴 圆频率、初始相
位 角 。齿轮副 啮合频 率为 ＝ｚ ＝Ｚ ， 、 。 ２
轮 转 过 一 个 基 圆周 节 所 用 时 间 定 义 为 啮 合 周 期
合频 率 、初始 相位 角 ； 由于转轴 及 主动 齿轮 偏心
输入转矩 、转矩波动、传递误差以及重合度等因
素对 齿轮 动态输 出特 性 的影 响 。
１ 动 力学模型
上世纪 ５ 年代 以来，许多学者基于不同的研 ０ 究 目的建立了不同的齿轮动力学模型［１，对齿 ３０ ￣】
或装配误差，使其会产生周期性的转矩波动 ，本
＋２ ｄ ａ ＋ｗ Ｐ ＝ ｏ ｉ ｗ ｆ Ｚｗ ｄ ｄ ｄ Ｆ ＋Ｆ ｓ （ｊ＋ 、 ２ ｎ ）
ｓ （ ｍ ＋ ）０ ｔ ｉ ｗ ｔ ， ＜（ 一 ｎ （） ７
＋
Ｉ Ｒ Ｔ （ ２ａ （ ＋ ｌ２ ｔ ＲＴ ｔ Ｉ － ） ｌ） ２
—
ｓ
＋２，，ｓ Ｐ ＝Ｐ ＋Ｆ ｓ （ｊ ｆ） ｚｗ ｐ ＋ ｓ ｏ ｉ ｗ ｎ 、 ＋
３２ 单齿 啮合 区 的系统 响应 ．
Ｐ ） ｓ ＋ ｆ＋ ｆ＋ ｆ （ ） ＝Ｐ１ Ｐ２ ） Ｐ３ ） Ｐ４ ） １ ） （ （ （ ３ 式 中各 项与 ３１中类似 ，则单齿 啮合 区齿 轮 ．
副动态 输 出角速 度 ＝ ＋ｑｓｆ ２（ ） 单 齿啮 合 区齿轮副 动态 输 出转 矩 （４ １）
如 图 ４所 示 ，该 曲线表示 在输 入转 矩为
＝２０ ｍ，输入转矩波动幅值为 Ｔ＝ ０ ｍ， ０Ｎ ａ ３ Ｎ 静态 传 递误 差 幅值 ｅ＝ ０ｍ，输 入转 速 ｎ＝ ００／ ｎ ｏ２ｐ ｌ２ ０ｒ ｍｉ 条件下输 出转矩的动态响应 。从 图中可 以清楚地
合 ，可近似地取啮合刚度和阻尼为常数 和 ｃ 。 本文所研 究齿轮传动的重合度为 ｌ ＜ ＜Ｅ ２，将齿
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ｐ
ｅ ｏ ４
ｓ（ ＋ ｉ 帅 ） ｎ
，
波动 不大 ；若 通过 轮齿 齿顶 修 形 ，使 其 重合度 增 大 到 ＝ ．，从 图 ５ 中可 以看 出，重合 度 的增大 １ ９ 减缓 了单 齿 啮合 区及 单 、双 齿 啮合 区转 变处 的输 出转 矩 的波动 ；从 图 ６中可 以看 出 ，静 态传 递误 差的增大 ，使输出转矩无论在双齿啮合 区还是单 齿 啮合 区都产 生较 大 的波动 ，这 就 说 明 了随着磨 损 的加剧 会导致 输 出转矩 产生 较大 的波动 ， 因此 ， 可 以通过 监 测输 出转 矩 的变化 来诊 断齿 轮副 的磨 输 出转矩 波动 影响 不大 ； 图 ８描 述 了静 态传 递误
（） ３ 模型 求解 ４
根 据 上 述 双 齿 啮 合 区 及 单 齿 啮合 区 啮 合 刚
ｍ Ｐ 七ｃ ｊ ｊ ｊ Ｔ ｅ ｉ ｊ 七ｋｐ ＝ 式中， ＝
（） ５
度、啮合阻尼为常量的假设，用两个拟线性运动 方程描述一个啮合周期内齿轮副的动态特性【 ３ 】
ｄ
为等效质量； （ ＝ ， ）
， ｌ （ ｌｊ Ｒ ０ｊ ＋ ＋ＲＣ ＲＯ — ２２一 ） ｊ ｌ
ｆ ｌ １
Ｒｋ（Ｉｊ ， Ｒ￣ 一 ｊ
— （） （ ｅｆ ｆ ） ）
ｆ ２ １
１ ２一 ｃ（￣ ｊ Ｒ ０ｊ 毒 一 ２ ｊ ｊ ｅ — ２２一 ） ￣ Ｒ，
的动载 荷 【。角 速度 的变化 和 动载 荷 的存在 导致 １ Ｊ 了齿 轮传 动输 出转速和 转 矩 的波 动 ，该 波动 严重 影 响着 齿轮 的运 转性 能 。本文通 过 对直 齿轮 副 啮 合 过程 的分 析 ，分别在 其 单齿 啮合 区 、双齿 啮合 式 中： 下标 １ ， ２表示主 、 动齿轮 ； 被 下标 Ｊ＝ ， ｄ 表示 单齿 啮合 、双 齿啮合 ； 为齿轮 的转 动惯 量 ； 为齿轮 的角位移 ；足 为齿轮 的基 圆半 径 ；Ｃ 为
中图分类号：Ｔ ３ ．１ 文献标识码：Ａ 文章编号： ６ ２４ ０ （０２０ —２ －４ Ｈ１２ ３ ４ １７ －８ １２ １）２０ ４０
对于一些要求传动精度 比较高的机械领域，
如机械 手 、装 配机 械 、 吊装 设备 等 ，均希 望 能获 得预 期 的输 出特 性 。然 而 ， 由于 各种 传动 误差 、 磨损 以及 构件 间弹 性变 形 的存在 ，使 其不 可避 免 地产 生输 出转 速 、转矩 的波 动 。该波 动不 仅 导致 了输 出特 性 的不稳 定性 ，而 且还 加剧 了系 统 的振 动和 噪声 。为此 ，设计 者希 望能够 了解机械 传 动 系统 的动态 输 出特性 ， 以便 进行 相应 的动态 补偿 ， 获得 预期 的输 出特性 。
区建立了动态特性分析模型，结合实例，研究了
齿轮 副的啮合 阻尼 ； ｋ 为齿轮副 的综合啮合刚 度； （ 为作用在齿轮上的转矩；齿轮副的静态 ｆ ） 传递误差 Ｐｆ表示为［ ｅｆ＝ ｏｉ（ ｍ＋ ，其 （ ） （ ｅｓ ｏ ｔ ） ｎ ｇ
中 、 、妒分别表示静态传递误差的幅值、 啮
ｄ
（ ＝Ｒｔｐ （ ｆ ２ ｄｆ ） ）
（） １ ２
误差传动时 ，其输 出转矩基本上没有什么波动， 然 而 ，随着 传递 误差 的增 大 ，输 出转矩 产 生 了较
大 的波动 ， 递 误差越大 ， 出转 速波 动就越 大 ； 传 输 另 外 ，重合度 的增 大 ，可 以减 缓输 出转 速 的波动 ， 如 图 ９ 示 ；从 图 １ 所 ０中可 以发现 ，输入 转矩 的波 动 对输 出转 速 响应具 有较 大 的影 响 ，输 入转 矩波 动 幅值越 大 ，输 出转速 响应 就越 大 ；从 图 ｌ １中可 以发现 ，输 入转 矩 的增 大使输 出转 速产 生 较大 的 波 动 ，主要 是 由于输 入转 矩 的增大 使动 态传 递 误 差 加大 ，从 而 导致输 出转 速产 生较 大 的 响应 ：从 图１ ２中可 以看 出， 大重合 度在 一定程 度 上减缓 增
进 行分 析 ：
了输入转矩增大所引起的输出转速 的波动。
５ 结论
本 文通 过分 析直 齿轮 副 的啮合 过程 ，分别在 其 单齿 啮合 区、双齿 啮合 区建立 了动 力学 模 型 ， 并 对模 型进 行 了求 解 ， 建立 了输 出特 性响应 模 型 。 结 合 实例 ，研 究 了输 入 转矩 、转矩 波 动 、传递 误
＝
薏 ｔ ｏ …ｎ ａ （ 等］
由（） ４ 式可 知
＝
警 （ 损程 度 ；从 图 ７中可 以发现 ，输入 转矩 的波 动对 ｉ ０ ）
（１ １）
差 对输 出转 矩 响应 的影 响 ，从 图中可 以看 出 ，无
双 齿啮合 区齿轮副 动态输 出角速度
＝ ＋ ２（ ｑａｆ ） 双 齿啮合 区齿轮副 动态输 出转 矩