偏导数和高阶偏导数

连续, 且
求
解:
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为

f x
(x0 ,
y0
)
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x f (x0 )
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
(x0 , y0 ) lim f
x 0
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
x
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 x x0
)
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
解法1
z x

2x

3
y
,

z x (1, 2)
z y

3x

2
y
z
y (1, 2)
先求后代
解法2 z y2 x2 6x 4
先代后求
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
f
x
(
x,
y)

x

x2 y x2 y2

f
y
(
x,
y)

y

x2 y x2 y2


x 2( x2 (x2
y2) y2 )2
即 x＝y＝0 时,
f x (0,0)

d dx
f
( x,0)
x

0
f y (0,0)

d dy
f
(0,
y)
y
0
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偏导数为
( y
)

nz xn1 y
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例5. 解:
求函数 z ex2 y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y

3z y x 2
.
x
y
2z x2

ex2 y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法
先代后求
先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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思考与练习 P129 题 5 , 6
解答提示: P129 题 5
当 x2 y2 0 时，
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 .
解:
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
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例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V


RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !

p V V T
T p

RT pV
1
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , y
f , y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
O
x0
x
y0 y
(x0 , y0 )
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
d dx
第二节 偏导数
第九章
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t )
O x0
x
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fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(z y
)

2z y2

f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
P129 题6
(1)
z x

x
1 y2
,
z y

x
2y y2
2z x2

(x
1 y2)2
,
2z x y

(x

2y y2
)2
,
2z y2

2(x y2 ) (x y2)2
(2) z yx y1, z x y ln x
x
y
2z x2
2 z y2

4 ex2 y
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
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例如, f (x, y)
xy
x2 x2

y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
z

f
(x, y)

xy

x2

y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
证明 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
z x

fx (x, y) ,
z y

f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y

y( y
1)x y.2 ,
2 z x y1 y x y.1 ln x x y
2z y2

xy
ln 2
x
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作业
P68 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设
方程
确定 u 是 x , y 的函数 ,

2u z2

0
证：
r2
2u x2

1 r3

3 r
x
4


r x


1 r3

3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2


1 r3

3 y2 r5
,
2u z2


1 r3

3z2 r5

2u x2


2u y2

2u z2


3 r3
3(
x2
y2 r5

z2
)

0
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定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
y) y
f x (0, 0)

lim
y 0
y y
来自百度文库
1
二 者
f yx (0,0)

lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)

lim
x0
x x
1
不 等
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2

2u y2