2020_2021学年高中数学第2章统计2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关课时作

课时分层作业(十四) 变量间的相关关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是( )A ．①③B ．②③C ．②D ．③C [①是负相关；②是正相关；③不是相关关系．]2．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^ x ＋a ^的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^是最接近y 与x 之间真实关系的一条直线B [回归直线一定经过样本点的中心，故A 正确；直线y ^＝b ^x ＋a ^可以不经过样本点中的任何一点，故B 错误．由回归方程的系数可知C 正确；在直角坐标系中，直线y ^＝b ^x ＋a ^与所有样本点的偏差的平方和最小，故D 正确；]3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④D [由正负相关的定义知①④一定不正确．]4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 C [x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176.根据回归直线过样本中心点(x 、y )验证知C 符合．]5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元B [x ＝14(4＋2＋3＋5)＝3.5，y ＝14(49＋26＋39＋54)＝42，所以a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1.所以回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^＝65.5(万元)．]二、填空题6．若回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率估值为1.23，样本中心点为(4,5)，当x ＝2时，估计y 的值为________．2.54 [因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率估值为1.23，所以b ^＝1.23，y ^＝1.23x ＋a ^. 因为样本中心点为(4,5)，所以5＝1.23×4＋a ^，a ^＝0.08，y ^＝1.23x ＋0.08， 代入x ＝2，y ＝1.23×2＋0.08＝2.54.]7．如图，有5组(x ，y )数据，去掉________点对应的数据后，剩下的4组数据的线性相关程度最大．D [去掉D 点对应的数据后，其余四点大致在一条直线附近，相关性最强．]8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：h)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x12345命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.46号打6h 篮球的投篮命中率为________．0.5 0.53 [y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5，x＝1＋2＋3＋4＋55＝3.由公式，得b^＝0.01，从而a^＝y－b^x＝0.5－0.01×3＝0.47.所以回归方程为y^＝0.47＋0.01x.所以当x＝6时，y^＝0.47＋0.01×6＝0.53.]三、解答题9．两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．表1A 261813104－1B 202434385064C 05101520253035D 541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75[从图中可以看出两图中的点各自分布在一条曲线附近，因此两对变量都具有相关关系．图(1)中，当A的值由小变大时，B的值却是由大变小，故A和B成负相关；图(2)中，当C的值由小变大时，D的值也是由小变大，故C和D成正相关．10．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 345 6y 2.534 4.5(1)(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线．[解] (1)散点图如图：(2)x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i＝14x i y i＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑i＝14x2i＝32＋42＋52＋62＝86，所以b^＝∑i＝14x i y i－4x y∑i＝14x2i－4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.1．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1C [由数据知变量X 与Y 成正相关，U 与V 成负相关即r 1>0，r 2<0.∴r 2<0<r 1.] 2．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.y ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.y ^<b ′，a ^<a ′C [由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2.求b ^，a ^时，i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136， i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′.]3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝7.8x ＋40.2.零件数x (个) 1 234 5 加工时间y (min)50677179A ．55B ．55.8C ．59D ．51D [设表中模糊的数据为m .由表中的数据可得x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝50＋m ＋67＋71＋795＝267＋m5，又由回归直线的方程为y ^＝7.8x ＋40.2，所以267＋m 5＝7.8×3＋40.2，解得m ＝51.即表中模糊的数据为51.故选D.]4．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．20[令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为y^1＝6＋0.4x1，y^2＝6＋0.4x2，所以|y^1－y^2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.]5．根据《中国统计年鉴》计算整理某城市最近十年蔬菜需求量的统计数据，截取部分统计数据如下表：年份20092011201320152017 需求量(万吨)336346357376386(1)画出散点图；(2)根据(1)画出的散点图判断需求量与年份是否线性相关，若相关，求出线性回归方程，若不相关，说明理由；(3)利用(2)中所求的线性回归方程预测该市2020年的蔬菜需求量．附：参考公式b^＝∑ni＝1t i－t m i－m∑n i＝1t i－t2，a^＝m－b^t.[解] (1)画出散点图如图．(2)由散点图可知，需求量与年份线性相关．将所给表格中的数据进行处理如下表：t(年份－2013)－4－202 4 m(需求量－357)－21－1101929由表可知t＝5(－4－2＋0＋2＋4)＝0，m＝15(－21－11＋0＋19＋29)＝3.2.所以b^＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2＝6.5，42＋22＋22＋42－5×02所以a^＝3.2－0×6.5＝3.2，∴m^＝6.5t＋3.2，所以线性回归方程是y^－357＝6.5(x－2 013)＋3.2，即y^＝6.5x－12 724.3.(3)当x＝2 020时，y^＝6.5×2 020－12 724.3＝405.7，即预测该地2020年蔬菜需求量是405.7万吨．。