基本不等式的证明(1)
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1 1 1 （2）因为a, 均为正数，由基本不等式得a 2 a 2, a a a 所以原不等式成立.
16 例2：已知函数y x , x (2,), 求此函数的最小值. x2
解：因为x>-2,所以x+2>0,由基本不等式，得
16 16 x x 2 2 x2 x2
ab ab； 2
当a=b时，OC=CD，即
a+b 2
C
ab
ab ab . 2
A a
O
D b
B
例1：设a,b为正数，证明下列不等式成立： 1 b a （ ）a 2 2 （） 2 1 a a b a 证明：1）因为a, b为正数，所以 b ， 也是正数，由基本不等式得 （ a b b a b a 只需a,b同号， 2 2, 此式便成立. a b a b 所以原不等式成立.
ab 对于正数a，b，我们把 2 称为a，b的算术平均数， ab称为a, b的几何平均数.
问题1：观察以下数据，能得出什么结论 A 1 2 3 4 a b
ab
ab 2
B 30 39 34.21 34.5
C 59 99 76.43 79
D 92 23 46
E 70 99
F 25 54
G 11 100
16 2 x 2 2 6， x2
证题过程中不要 漏掉等号成立的 说明
16 当且仅当x 2 ，即x 2时，取“ ”， x2
因此，当x=2时，函数有最小值6.
1 1.已知函数y x , x (1, ), 求此函数的最小值. x 1 解：因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式，得
8月20日在北京召开第24届国际数学家大会，由中国最高国家科
技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席.这是第一次在发展中 国家举办的规模最大的数学会议.
有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？
2002年国际数学家大会会标
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
H 20 20 20 20
83.25 36.74 33.17
57.5 84.5 39.5 55.5
计算结果表明：对于正数a ,b
ab ab ， 2
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平 均数，当两个正数相等时两者相等. 下面证明上述结论是正确的.
证法1：比较法
ab ab 2
当且仅当a=b=c时,取“=”. 所以原不等式成立.
1.了解基本不等式. 2.理解三种方法证明基本不等式. 3.利用基本不等式解决一些简单问题.
装饰对于德行也同样是格格不入的，因
为德行是灵魂的力量和生气。 ——卢梭
3.4
基本不等式
ab
a+b （a≥0， 2
b≥0）
3.4.1 基本不等式的证明
1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式
的基本思想方法；(重点） 2.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的 几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件 是：当且仅当这两个数相等.（难点）
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会 于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行 一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年
1 1 x x 1 1 x 1 x 1 1 2 x 1 1 3， x 1
1 当且仅当x 1 ，即x 2时，取“ ”， x 1
因此，当x=2时，函数有最小值3.
2.已知:a,b,c均为正数,求证:
bc a c a b a bc 3. a b c bc a c a b a b c b c c a a b 证明: 3 a b c a a b b c c
a b
2
证法3：综合法
对于正数a, b有
a b
2
0，
a b 2 ab 0，
a b 2 ab，
ab ab， 2
当且仅当a b时，取“ ” .
ab 如果a, b是正数，那么 ab (当且仅当a b时取“” ) 2
ab a 0, b 0称为基本不等式. 我们把不等式 ab 2
b a c a c b ( ) ( ) ( ) 3， a b a c b c b a c a c b 2, 2, 2， a b a c b c b a c a c b ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3， a b a c b c
1 2
1 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
a
2
b
2 a b
a b
2
0，
当且仅当 a b，即a b时，取“ ” .
证法2：分析法
ab 要证 ab ， 2
只要证2 ab a b，
只要证0 a 2 ab b
只要证0
ab 因为最后一个不等式成立，所以 ab 成立， 2 当且仅当a b时，取“ ” .
基本不等式注意三点：正、定、等.
思考：根据右图说出基本不等式 ab ab 的几何解释. 2
A a C
a+b 2 ab
O
D b
B
线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,以AB为直径作半圆O, 过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C，
OC ab ， 2
CD ab，
当a≠b时，OC>CD，即
16 例2：已知函数y x , x (2,), 求此函数的最小值. x2
解：因为x>-2,所以x+2>0,由基本不等式，得
16 16 x x 2 2 x2 x2
ab ab； 2
当a=b时，OC=CD，即
a+b 2
C
ab
ab ab . 2
A a
O
D b
B
例1：设a,b为正数，证明下列不等式成立： 1 b a （ ）a 2 2 （） 2 1 a a b a 证明：1）因为a, b为正数，所以 b ， 也是正数，由基本不等式得 （ a b b a b a 只需a,b同号， 2 2, 此式便成立. a b a b 所以原不等式成立.
ab 对于正数a，b，我们把 2 称为a，b的算术平均数， ab称为a, b的几何平均数.
问题1：观察以下数据，能得出什么结论 A 1 2 3 4 a b
ab
ab 2
B 30 39 34.21 34.5
C 59 99 76.43 79
D 92 23 46
E 70 99
F 25 54
G 11 100
16 2 x 2 2 6， x2
证题过程中不要 漏掉等号成立的 说明
16 当且仅当x 2 ，即x 2时，取“ ”， x2
因此，当x=2时，函数有最小值6.
1 1.已知函数y x , x (1, ), 求此函数的最小值. x 1 解：因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式，得
8月20日在北京召开第24届国际数学家大会，由中国最高国家科
技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席.这是第一次在发展中 国家举办的规模最大的数学会议.
有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？
2002年国际数学家大会会标
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
H 20 20 20 20
83.25 36.74 33.17
57.5 84.5 39.5 55.5
计算结果表明：对于正数a ,b
ab ab ， 2
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平 均数，当两个正数相等时两者相等. 下面证明上述结论是正确的.
证法1：比较法
ab ab 2
当且仅当a=b=c时,取“=”. 所以原不等式成立.
1.了解基本不等式. 2.理解三种方法证明基本不等式. 3.利用基本不等式解决一些简单问题.
装饰对于德行也同样是格格不入的，因
为德行是灵魂的力量和生气。 ——卢梭
3.4
基本不等式
ab
a+b （a≥0， 2
b≥0）
3.4.1 基本不等式的证明
1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式
的基本思想方法；(重点） 2.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的 几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件 是：当且仅当这两个数相等.（难点）
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会 于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行 一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年
1 1 x x 1 1 x 1 x 1 1 2 x 1 1 3， x 1
1 当且仅当x 1 ，即x 2时，取“ ”， x 1
因此，当x=2时，函数有最小值3.
2.已知:a,b,c均为正数,求证:
bc a c a b a bc 3. a b c bc a c a b a b c b c c a a b 证明: 3 a b c a a b b c c
a b
2
证法3：综合法
对于正数a, b有
a b
2
0，
a b 2 ab 0，
a b 2 ab，
ab ab， 2
当且仅当a b时，取“ ” .
ab 如果a, b是正数，那么 ab (当且仅当a b时取“” ) 2
ab a 0, b 0称为基本不等式. 我们把不等式 ab 2
b a c a c b ( ) ( ) ( ) 3， a b a c b c b a c a c b 2, 2, 2， a b a c b c b a c a c b ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3， a b a c b c
1 2
1 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
a
2
b
2 a b
a b
2
0，
当且仅当 a b，即a b时，取“ ” .
证法2：分析法
ab 要证 ab ， 2
只要证2 ab a b，
只要证0 a 2 ab b
只要证0
ab 因为最后一个不等式成立，所以 ab 成立， 2 当且仅当a b时，取“ ” .
基本不等式注意三点：正、定、等.
思考：根据右图说出基本不等式 ab ab 的几何解释. 2
A a C
a+b 2 ab
O
D b
B
线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,以AB为直径作半圆O, 过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C，
OC ab ， 2
CD ab，
当a≠b时，OC>CD，即