基于Coulomb准则的混凝土塑性损伤本构模型及其数值验证

1 引 言
近年来，随着人们对生存环境关注程度日益提 高，对工程结构特别是耐久性提出了更高的要求。 要保持结构物具有一定的耐久性能，直接而有效的 方法就是延缓其损伤演化过程。损伤力学的研究方 法克服了断裂力学只能分析宏观裂纹的扩展行为， 而不能预估宏观裂纹的萌生位置，其结论带有经验 性的某些不足，同时避免了微观力学对裂纹及其他 缺陷繁复的统计及数学计算等困难。因而，损伤力 学已经逐渐成为描述混凝土材料破坏全过程的主要 工具之一，为各种工程结构的耐久性设计等工程应
Abstract: A new elastoplastic constitutive model is presented in the framework of continiuum irreversible thermodynamics. The Mohr-Coulomb criterion is adopted. There are three internal variables adopted in this model: plastic strain ε p , isotropic scalar damage variable D which describes the character of damage. The new constitutive relations strictly satisfy the basic requirement of thermodynamically consistent theory. Numerical validation of the prposed constitutive model has been carried out at local level. Uniaxial compression of concrete specimen under various confining pressures has been simulated. Results indicate the effectiveness of the proposed model. Key words: Coulomb-type criterion; plasticity; damage; constitutive model; numenial validation
最终得到弹塑性损伤的微分方程：
（4）
p m 式中：e p 为偏应变张量；ε 为体积塑性应变；λ 为
塑性流动因子。 通过上面的介绍可以看出，Rousselier 理论严 格地遵循了连续热力学的理论，满足了正交法则。
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土
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2008 年
因此，从连续热力学的角度看，该理论的形式是比 较完美的。但这一理论和 Lemaitre-Chaboche 的损 伤模型相比是复杂的，用材料的质量密度作为损伤 变量给损伤的测量也带来不便。 目前的文献中，还有主要以下几种混凝土损伤 模型： （ 1 ）工程中流行的损伤模型之一是 Pijaudier-
第 29 卷第 12 期 2008 年 12 月
文章编号：1000－7598－(2008) 12－3318－05
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.29 No.12 Dec. 2008
基于 Coulomb 准则的混凝土塑性 损伤本构模型及其数值验证
杨 璐，沈新普
（沈阳工业大学 建筑工程学院，沈阳 110023）
2 已有相关模型简要介绍
2.1 Lemaitre-Chaboche 热力学塑性损伤理论 Lemaitre 和 Chaboche[3] 继承了 Kachanov 和 Rabotnov 的有效应力概念，在试验的基础上，通过 一些近似处理，根据热力学内变量理论建立了一种 各向同性的塑性损伤理论。 很多材料的塑性损伤是由不可逆大变形过程中 孔洞的生长与聚合造成的。由于塑性损伤不是时间 ，且为 Y 的幂 的显函数，Lemaitre 假设 ξ 正比于 p 函数：
c
（2）
σ ⎛σ ⎞ 式中： FP ⎜ ，R ， Y ⎟ 为塑性势凸函数； σ m = ii ； 3 ⎝ρ ⎠ R0 + R 为屈服面半径。
本构关系得
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ σ ⎛ ⎞ λ Y p m ε g ′ ⎜ m ⎟⎪ = ⎪ 3 ⎝ ρ ⎠⎬ ⎪ =λ p ⎪ ⎪ σ ⎛ ⎞ = λg m D ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ρ ⎠ ⎪ ⎭ p = e 3λ S 2σ p
收稿日期：2007-01-09 基金项目：国家自然科学基金资助课题（No.10472072） ；辽宁省教育厅青年基金资助课题（No.05L310） 。 作者简介： 杨璐， 女， 1973 年生， 博士， 副教授， 目前主要从事混凝土类材料的损伤本构理论研究及数值验证方面的工作。 E-mail: yanglu515@163.com
用提供重要的理论基础[1]。 在具体分析时， 首先应在物体内某点处选取 “体 积元” ， 并假定该体积元内的应力、 应变以及损伤都 是均匀分布的[2]，这样就能在连续介质力学和热力 学框架内对损伤及其对材料力学性能的影响作系统 的处理。其过程大体可以分为以下 4 个阶段。 （1）选择合适的变量。描述材料中损伤状态的 变量称为损伤变量，它属于本构理论中的内部状态 变量。 （2）建立损伤演变方程。材料内部的损伤是随 外界因素（如荷载、温度变化及腐蚀等）作用的变 化而变化的。为了描述损伤的发展，需要建立描述
Cabot[5]模型，由于这种模型当中损伤和塑性应变是
全量形式的，也就是说，没有增量形式损伤演化和 塑性应变的演化，是不耦合的。 （2）另一个流行的损伤模型是 de Borst 模型[6]， 在 de Borst 等人的损伤模型当中，损伤演化是基于 应变强度准则的。在实际当中已经有了许多等效应 力强度准则，而且没有很多基于应变强度准则的资 料可以利用。因此，基于等效应变的损伤模型需要 额外的试验。 （3） 还有一种基于塑性损伤模型是 Bacelona 模 型，由 Lubliner、Charlemagne、Oller （1989 年） 提出，在这个模型当中，损伤的演化是全量形式 的，并且有两个损伤变量来表示拉伸损伤和压缩损 伤，损伤演化和塑性应变演化也是不耦合的。 （4）Govindjee 等（1995 年）[8]提出了各向异 性的 4 阶张量损伤模型，并由 Meschke 等人（1998 年）进一步解释和扩展。这一个模型的优点是：损 伤被隐含在弹性柔度张量之中，从而没有必要采用 有效应力的概念，非弹性计算可以直接在名义应力 空间中进行。此外，这个模型可以适用于广泛的各 向异性。但 Meschke 也指出了这个模型在能量耗散 性能方面上存在若干个弱点。另外，塑性应变对于 损伤应变的比率是人为确定的。这个模型的另一个 弱点是，只能用于Ⅰ型断裂问题。
A Coulomb-plasticity based damage model for concrete and its numerical validation
YANG Lu, SHEN Xin-pu
(College of Architectural Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110023, China)
摘
要：以连续介质不可逆热力学为基础，采用了 Mohr-Coulomb 屈服准则，提出混凝土塑性损伤耦合的新的本构方程。在
该模型中采用了塑性应变 ε p 、各向同性损伤标量 D 作为内变量。这个新的本构关系模型严格满足热力学的基本方程。以不 同围压作用下混凝土试件的单轴压缩行为为例，采用开发的程序进行了局部水平上本构模型数值验证。结果表明，模型损伤 演化数值结果符合试验趋势。 关 键 词：Coulomb 塑性准则；塑性；损伤；本构；数值验证 文献标识码：A 中图分类号：O 344；TU 528
=0 ξ 假定存在损伤应变阀值 PD ，当 p < PD ，
时，对于比例加载，Ramberg-Osgood 硬化率为
σp = k pn
1
（3）
（7）
式中： n， k 均为材料参数；σ p 为引起塑性应变 ε p 的 应力。 由应变等效性假设，得
1
⎡ σp ⎤n p=⎢ ⎥ 了 ⎣ k (1 − ξ ) ⎦
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杨
璐等：基于 Coulomb 准则的混凝土塑性损伤本构模型及其数值验证
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损伤发展的方程，即损伤演化方程。选取不同的损 伤变量，损伤演化方程也就不同，但它们都必须反 映材料真实的损伤状态。 （3）建立考虑损伤的本构关系。这种包含了损 伤变量的本构关系，即损伤本构关系或损伤本构方 程，它在整个损伤计算过程中占有重要地位，或者 说起着关键或核心的作用。 （4）根据初值条件（包含初始损伤）和边界条 件求解材料各点的应力、应变和损伤值。由计算得 到的损伤值，可以判断各点的损伤状态。在损伤达 到临界值时，可以认为该点（体积元）破坏，然后 根据新的损伤分布状态和新的边界条件，再进行类 似的反复计算，直到达到构件破坏准则而终止。
式中：D 为损伤变量； σ ij 和 ε ij 分别为应力张量和 应变张量；上标 p 为塑性；e 为弹性，符号上“~”
0 表示虚拟净材料的力学量； Eijkl 为初始无损材料的
弹性张量。
Mohr-Coulomb 屈服准则如下[8]：
1 1 ⎛ ⎞ ′ ⎜ cos θ − I1 sin φ ′ + J 2 sin θ sin φ ′ ⎟ = C cos φ ′（9） 3 3 ⎝ ⎠
[7]
式中：φ ′ 为内摩擦角； c 为凝聚力， c = k + γ k∞ ⋅ (1 − e− bγλ ) ； k 为初始剪切强度常数； k∞ 为虚拟静材 料的应变硬化极限，这极限相当于等效塑性应变趋 于无穷大；参数 b 为模型常数，可通过拟合试验现 =σ ii 为有效应力空间中的第 1 应力不 象来确定。 I 1 变量； J 2 为偏应力张量的第 2 应力不变量； θ 类似 它们之间的关系由以下公式来确定[8]： 于 Lame 参数，
⎧ 3 ⎡ ⎛σ ⎪ k ⎢2 ξ =⎨ (1 + v) + 3(1 − 2v) ⎜ m ⎜ σp 2 EB ⎢ 3 ⎪ ⎝ ⎣ ⎩
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎫ ⎤ ⎥ p2n ⎪ ⎬ （5） ⎥ ⎪ ⎦ ⎭
c
本节介绍的损伤模型中，Lemaitre 没有应用正 交法则，而是强制地假设了损伤演化方程的形式， 以和试验结构相符合。因此，这一理论没有严格满 足热力学的全部方程。但对于其所研究的一类材料 该模型是适用的，而且由于其简单方便，Lemaitre并被推 Chaboche 塑性损伤模型受到工程师的欢迎， 广应用于蠕变、疲劳及蠕变与疲劳相互作用的情况。 2.2 Rousselier 损伤理论 在上节中，Lemaitre 所定义的损伤是基于损伤 材料的弹性模量比初始无损伤时的弹性模量低，而
ξ=
B ⎛ Y⎞ ⎜− ⎟ c + 1⎝ B ⎠
p
（1）
Von Mises 屈服准则变为 ⎛σ ⎞ ⎛σ Fp ⎜ ，R ，Y ⎟ = σ p − ( R0 + R) − Yg ⎜ m ⎝ρ ⎠ ⎝ ρ ⎞ ⎟ （6） ⎠
式中：c 与 B 均为与温度有关的材料常数； ξ 为损 伤值； p 为损伤累积塑性应变；Y 为损伤应变能释 放率。 =− ξ ∂ξ ⎛Y ⎞ = −⎜ ⎟ p ∂Y ⎝B⎠
c +1
Rousselier 所考虑的损伤则表现在损伤材料的质量
密度 ρ 低于无损伤时的材料密度 ρ0 。 该模型既属于 弹塑性损伤，又属于宏观作用的膨胀损伤模型。
Rousselier 损伤模型 [4]是在广义标准材料和热
力学框架下导出的，即假设存在耗散势函数、塑性 应变和其他内变量的变化满足正交法则。为简单起 见，这里假设材料的硬化是各向百度文库性的，这种假设 主要适用于单调加载情况。当然，Rousselier 模型 也可以推广到各向异性的情况，同时，假设延性损 伤也是各向同性的。 假设损伤仅与应力张量的第一不变量有关，故