浅谈高等数学中不等式的证明
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一
ｇ Ｊ
为无穷４， ｌ 、即 ｉ
…
ｇ Ｊ
：ｏ 且 ，
ｇ ） （ ＞Ｍ。＞０ ， 存 在 Ｍ ＞０ 当 （ ＞０ ） 则 ， ＞Ｍ 时 ， 有 ＜１ 从 而 厂 ， （ ）＜ （ 成 立． ｇ ）
例 ３ 试 证 ： 充 分 大 时 ， １ｅ 成 立． 当 ．０ ＜ｅ
注 意 到 。＝ １ ＜１ ）
＝
…
・
从 证 ｆ １＜！ 而 得 ｎ ．
三、 利用 无 穷 小 的 性 质 证 明 不 等 式
若 一 ＋ 时 ，
运 用 高 等数 学 证 明不 等 式 的方 法 ， 以供 大 家 参 考 ．
利 用 数 学 归 纳 法证 明不 等 式 若 不 等 式 中含 有 “ 量 为 自然 数 ” 条 件 ， 以 尝 试 用 变 的 可
２ ｊ＿ （ ［ ｎ一１ １ ≤（ ）‘ ］ ｎ一１ ｌ ｎ． ） “ 证明 令 ＿ ）＝Ｉ（ ） 则 厂 （ ｎ １＋ ，
所 … ≤（），一 （）， 以 ｎ一 号一ｃ …≤号一÷ ｃ ｎ ｎ ｎ ‘
ｎ≤号 ． ！ （）
，０ ０ （ ） ， ０ （ ）＝ ０ ＝１＿ ）＝ 一１ （ ） ， 厂（ ， ０ ＝２
—
—
—
一
Ｘ
＿
Ｉ
【 关键 词 】 等 数 学 ； 等 式 ； 明 方 法 高 不 证
不 等式 在 高 等 数 学 中 占 有 重 要 地 位 ， 是 解 题 的一 种 也
重 要思 想 方 法 ． 论是 在 大学 高 等 数 学 课 程 考 核 中 ， 是 在 无 还 研 究生 入 学 考 试 中 ， 等 式 的 证 明 都 是 极 其 重 要 的 一 类 考 不 题 ． 等 式 的 证 明 方法 多种 多样 ， 文 通 过 实 例 探 讨 了 一 些 不 本
０ 一 ａ 亡
若 不 等式 中含 有 幂 指 函数 ， 以考 虑 用 取 对 数 法 ． 可
由于Ｏ＜。＜ ＜６， 以 所
了 １
证 不 式÷ 明 等 （）
然数．
ｅ ） 为 （ 号， ｎ 自
１ Ｔ
，
由述式得 上 两 可 ÷＜
所 以 ＜１ ＜ ．
＜ ，
、
数 学 归 纳法 ．
例 １ 证 明不 等 式 ｎ ＜ ！ 证 明 当 ｎ＝ ２时 ， 为 因
ｎ＋１
，
ｎ＞１ｎ为 自然 数 ，
２＝２１ ，
证 明 因为 当 一 ＋ 时 ， 所 以， 当 充 分 大 时 ， 有
：＿ ０ 苎一
，
２＋１
：
＜１ 即 ｘ ｅ ＜ｅ ， ｌ ｘ “． Ｏ
证 明由
两边取对数 ， 得
≤ １ ，， １ 不 式 号（ ，…ｎ ） 等 的 ２ 一，
五 、 用 泰 勒 定理 证 明不 等 式 利 泰 勒 定 理 的适 用 范 围 是 不 等 式 中含 有 的 函 数 易 求 出 它
÷ —≤ 号 ｎ ｌｎ ） ｎｎ 脚 ｌｎ ）ｎ ，Ｉ－（ ｎ ｎ １ ｎ —≤－ （ － ｉ Ｉ ｌ
２ １ ０ ２３
专 题 研 究 Ａ Ｐ
嚣
专 题 研 究
弧 ｌ 毫 ｜ 避 躲
４
● ’■
漾谈臻篝 豢哙 篝纛 曦
◎张 洁 （ 苏广 播 电视 大 学 江 ２０ １ ） １０ ３
【 要】 摘 人们 对 高 等 数 学 的 印象 通 常是 复 杂 的公 式和 繁
杂 的计 算 ， 实上 通 过 用 心 的 总 结和 归 纳 ， 等 数 学 中 的 许 事 高
，
（） ｚ ）． （ “ 由（ ）： ＋ ） ㈦ ， 由努 于 “ （ “ ・ ｚ 贝 ， … ㈣… （ ）（ ）＝ “ “ （
故原式获证． 二 、 用 取 对 数 法 证 明 不等 式 利
理 缩 放 即 可 得 不 等式 ．
例 ４ 若 ０＜。 ， ； ≤６ 则生 ≤１ — ｎ ｂ≤
１ ｌ
ｎ １・（ ［ ｎ一１ ）ｉ．［ ２・（ 一２ ］．… ・ （ ２ ） ［ ｎ一 ）・
的 泰勒 展 开式 （ 麦 克 劳 林 展 开 式 ） 从 而 利 用 它 的 局 部 展 或 ， 开式 证 明不 等 式 ．
例 ５ 证明： （ ＋ ≤ － ＋ （ ｌ ≤１． Ｉ １ ） 一 ｎ 一 ＾ ÷ 一＜ ）
设 （） 有 ＝ｎ 则 了
１ ） ｎ ＋ …・
—
多 知识 点是 有 规 律 可 循 的． 文 就 以 多年 教 学 经 验 为 依 据 ， 本 通 过 一 些 实例 ， 高 等 数 学 中 不 等 式 的 证 明 方 法 进 行 了探 对
讨 ， 望 能 给读 者 以启迪 ． 希
㈤ ＝ ・
于是 ＿ ｘ 在 ＝ 厂 ） （ ０处 的 三 阶 泰 勒 展开 式 为 ：
于 ｎ≤ 号 ｅ ） ｎ （） 是 ｚ ） （ ｅ （ 号 号．
下证ｆ ！ 面 明÷）Hale Waihona Puke Baidu．
Ｉ ｎ （
由 于
一 ÷一 等＋
，
（ｌ ＿
） ｔ
数 学 学 习 与研 究
设 ＝时不 式 立即 ！（ ） ｎ ，等 成 ， ｃ ．
则 对 于 ｎ＝ ＋１时 ， 有
四 、 用 拉格 朗 日中值 定 理 证 明 不 等 式 利 若 ） ［ ， ］ 连 续 、 （ ， ） 可 导 ， ＿ ｆ 在 ａｂ 上 在 ａｂ 内 则 厂（ ）＝
鱼
（ （ ６ ） 利 用 与 。 ６的 关 系 ， ）． ， 对 进 行 合
．
证 明 显 然 等式 当且 仅 当 ａ＝ｂ ０时成 立 ． ＞
下 面 证 ０＜。＜６时 ， ＿－ａ＜１ 有ｂ
ｎ ＜
）， “
鱼 成立 ＿
．
作 辅 助 函 数 － ）＝ｌ ， ｆ ） ［ ， ］ 满 足 托 格 朗 厂 （ ｎ 则 （ 在 ｎ６ 上 ｘ
日 值 理，存 （， 使 ６ ：１ 立 中 定 即 在 。 ） ＿成 ． ６ ＿
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注 意 到 。＝ １ ＜１ ）
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三、 利用 无 穷 小 的 性 质 证 明 不 等 式
若 一 ＋ 时 ，
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利 用 数 学 归 纳 法证 明不 等 式 若 不 等 式 中含 有 “ 量 为 自然 数 ” 条 件 ， 以 尝 试 用 变 的 可
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【 关键 词 】 等 数 学 ； 等 式 ； 明 方 法 高 不 证
不 等式 在 高 等 数 学 中 占 有 重 要 地 位 ， 是 解 题 的一 种 也
重 要思 想 方 法 ． 论是 在 大学 高 等 数 学 课 程 考 核 中 ， 是 在 无 还 研 究生 入 学 考 试 中 ， 等 式 的 证 明 都 是 极 其 重 要 的 一 类 考 不 题 ． 等 式 的 证 明 方法 多种 多样 ， 文 通 过 实 例 探 讨 了 一 些 不 本
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若 不 等式 中含 有 幂 指 函数 ， 以考 虑 用 取 对 数 法 ． 可
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例 １ 证 明不 等 式 ｎ ＜ ！ 证 明 当 ｎ＝ ２时 ， 为 因
ｎ＋１
，
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两边取对数 ， 得
≤ １ ，， １ 不 式 号（ ，…ｎ ） 等 的 ２ 一，
五 、 用 泰 勒 定理 证 明不 等 式 利 泰 勒 定 理 的适 用 范 围 是 不 等 式 中含 有 的 函 数 易 求 出 它
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专 题 研 究 Ａ Ｐ
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故原式获证． 二 、 用 取 对 数 法 证 明 不等 式 利
理 缩 放 即 可 得 不 等式 ．
例 ４ 若 ０＜。 ， ； ≤６ 则生 ≤１ — ｎ ｂ≤
１ ｌ
ｎ １・（ ［ ｎ一１ ）ｉ．［ ２・（ 一２ ］．… ・ （ ２ ） ［ ｎ一 ）・
的 泰勒 展 开式 （ 麦 克 劳 林 展 开 式 ） 从 而 利 用 它 的 局 部 展 或 ， 开式 证 明不 等 式 ．
例 ５ 证明： （ ＋ ≤ － ＋ （ ｌ ≤１． Ｉ １ ） 一 ｎ 一 ＾ ÷ 一＜ ）
设 （） 有 ＝ｎ 则 了
１ ） ｎ ＋ …・
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多 知识 点是 有 规 律 可 循 的． 文 就 以 多年 教 学 经 验 为 依 据 ， 本 通 过 一 些 实例 ， 高 等 数 学 中 不 等 式 的 证 明 方 法 进 行 了探 对
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下证ｆ ！ 面 明÷）Hale Waihona Puke Baidu．
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，
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数 学 学 习 与研 究
设 ＝时不 式 立即 ！（ ） ｎ ，等 成 ， ｃ ．
则 对 于 ｎ＝ ＋１时 ， 有
四 、 用 拉格 朗 日中值 定 理 证 明 不 等 式 利 若 ） ［ ， ］ 连 续 、 （ ， ） 可 导 ， ＿ ｆ 在 ａｂ 上 在 ａｂ 内 则 厂（ ）＝
鱼
（ （ ６ ） 利 用 与 。 ６的 关 系 ， ）． ， 对 进 行 合
．
证 明 显 然 等式 当且 仅 当 ａ＝ｂ ０时成 立 ． ＞
下 面 证 ０＜。＜６时 ， ＿－ａ＜１ 有ｂ
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