多孔介质BISQ模型中的慢纵波

PACC:
4320,
6265,
9130
1. 引
言
[1]
多孔介质声学是应用性很强的声学分支 ， 主要原因是通过对孔隙介质中弹性波速度频 散和衰减的测量可获得孔隙介质的声学参数, 其研究成果已广泛被物理学、 力学、 地球物理
————————————————————————
*
国家自然科学基金(批准号:40074032)资助的课题.
，
Y2 = iη ωκ 0 1 − α 2 M sq / H sq M sq ≅ iη ωκ 0 M sq
由 2 J 1 ( x ) xJ 0 ( x ) = 1 + x 8 + x
2 4
[ (
]
（9）
48 + L ，从（2）出发， x = λR , 喷射流因子的低
频近似
S (ω , R ) = − iηωR 2 κ 0 M 8 + ηωR 2 κ 0 M
V P = ω Re(k ) = 1 Re Y ，
( )
Q −1 = 2 Im(k ) Re(k )
（8）
3． 慢纵波速度和衰减的低频近似公式
在低频近似下
[18]
,即 ωρ f κ 0 ηφ << 1 时，方程（7）的两个根分别近似为
Y1 = ρ K b + 4G / 3 + α 2 M sq
(
) )
[11]
中观察到
的慢纵波强衰减特性。 喷射流的存在可能是流体饱和岩石的实验和现场观测慢纵波困难的 主要原因。
图3
图3
快、慢纵波引起的孔隙流体位移与固相位移的振幅比值的相位
分析图（3a）和（3b）可知：对快纵波，孔隙流体位移与固相位移的振幅比值的相位与 Biot 理论预测结果差别很小，且孔隙流体的胀缩与固相骨架的胀缩几乎是同步的，在本算 例中孔隙流体胀缩的相位略有超前； 对于慢纵波， 孔隙流体的胀缩与固相骨架的胀缩与 Biot 理论预测的几乎反相不同，存在一过渡带且随 R 增加向低频移动，在低频区（<100Hz）孔隙 流体的胀缩比固相骨架的胀缩相位滞后约为 π / 2 ，随频率的增加相位逐渐滞后而趋于 π 。
用喷射流因子 S (ω ) 表示慢纵波的相速度和衰减
(
)
(
)
2
48
（10）
V P 2 = ω 2 Mκ 0 / η ⋅ − 2 Im(S ) S Re(S ) ， Q −1 P 2 = 2 ⋅ [− 2 Im(S ) Re(S )]
可见，喷射流因子直接影响慢纵波的传播特性。
（11a） （11b）
ω → 0 时,可得
模量 G =14.61×10 Pa ，基质密度 ρ s =2650Kg/m ，孔道弯曲度 α ∞ =3.67。数值结果见图 19 3
图 5，其中图 1 为相速度曲线，图 2 为衰减曲线，图 3、图 4 分别为孔隙流体位移与固相位 （a）图对应快纵波， （b）图对应慢纵波。 移的振幅比值( U / u )的相位和大小，
作者联系方式： 长春市解放大路 119 号，吉林大学物理学院，邮编：130023。 电话：0431-84499127（崔志文） ； 0431-8989266（王克协） 传真：0431-8941554 Email：cuizwjlu@sina.com; kexiew@public.cc.jl.cn
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~ (ω ) 是流体相对运动之等效密度 等 认为它是岩石的一个基本参数，可通过实验确定。 ρ
[6]
~ (ω ) = iη ωκ (ω ) ρ
其中 κ (ω ) 是动态渗透率
（3）
κ (ω ) = κ 0 F (ω ) − iω ρ f α ∞κ 0 ηφ
[
]
−1
（4）
其中， ρ f 是孔隙流体密度， α ∞ 是弯曲度， κ 0 是渗透率， η 是孔隙流体的动力粘滞系数，
学研究者所关心。比如，在应用地球物理领域，人们希望得到含油孔隙岩石的渗透率和孔隙 度等参数。 因此， 孔隙介质中描述弹性波传播的孔隙介质声学模型也是油储地球物理学中普 遍关注的问题。尽管包括渗透率、孔隙度等储层参数的Biot理论 已被广泛应用
[2] [3，4]
，然而
在许多情况下， Biot理论对实测声波 （弹性波） 的速度频散和衰减常难给出符合实际的解释， 理论预测值总比实测值偏低，低孔低渗的情况更为明显。为解决这一问题，一些研究者从不 同的思路提出新的或修改的模型。其中，Dvorkin 和 Nur等
图2
图2
快、慢纵波的衰减
分析图（2a）和（2b）可知：快纵波衰减的驰豫峰随特征喷射流长度增大向低频方向移
5
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[5]
M sq = M S (ω , R )
喷射流因子
（1） （2）
S (ω , R ) = 1 − 2 J 1 (λR ) λRJ 0 (λR )
~ (ω ) M 。 R 是特征喷射流长度，它是给出等效于各种形状和大小孔道中 其中， λ = ω ρ
局域流总体结果的喷射流作用的平均长度， 与给定的岩石的孔道空间几何紧密相关。 Dvorkin
图1
图1
快、慢纵波的相速度
分析图（1a）和（1b）可知：当特征喷射流长度增大时，快纵波、慢纵波相速度的过渡 带向低频方向移动；BISQ 模型比 Biot 理论预计快纵波的频散现象要强的多；而对慢纵波则 相反，预计的频散现象要比 Biot 理论预计的小，且在岩石其它参数不变的情况下随特征喷 射流长度的增加低频极限速度降低，与 Biot 理论预计不同，低频极限速度不趋于零，与理 论分析一致。
3
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ˆ 为单位波矢量，固相位移、渗流位移的平面波解表示为 设k
ˆ e i (k ⋅r −ωt ) ， w (r , t ) = w k ˆ e i (k ⋅r −ωt ) u(r , t ) = u 0 k 0
可见，由于 BISQ 模型考虑了的喷射流机制结果是 BISQ 模型和 Biot 模型中的慢纵波的 特点存在显著差别，这从下文利用（8）式的数值分析中看得更为明显。
4．数值分析与讨论
本文的计算参数取为：岩石孔隙度 φ =0.15，渗透率 κ 0 =5×10 m ，流体动力粘滞系数
-15 2
η =0.001Pa.s，固相骨架体积模量 K b =16×109Pa，固相体积模量 K s =38×109Pa，剪切弹性
（5a） （5b）
可用基质密度 ρ s 和孔隙流体密度表示为 ρ = φρ s + (1 + φ )ρ f ， 其中，ρ 是孔隙介质的密度， 渗流位移 w = φ (U − u ) ，U 是孔隙流体位移，C sq = αM sq ， H sq = K b + 4G / 3 + α M sq ，
2
α = 1 − K b / K s 。 K b 是骨架体积模量, K s 是固相体积模量。
[5，6]
将 Biot 流动机制和喷射流
机制综合，提出了Biot-喷射流统一模型，简称BISQ模型，该模型将纵波的频散和衰减与多 孔岩石的特征喷射流长度这一新的多孔介质参数联系起来。 近年， 这一流体饱和孔隙介质的声学模型已引起许多研究者的兴趣， 国内外都有这一模 型的研究成果
[7-9] [7-13]
。这些工作多是将该模型向复杂情况推广，如发展为用于各向异性的情况
[10]
, 顾及到骨架的粘弹性
等，及基于BISQ理论的波场数值模拟
[11，12]
。无疑，这些工作对
BISQ理论的完善和应用做出贡献。然而，对引入喷射流机制后，模型参数对各类波传播特性 影响的进一步物理分析显得不够。 深入的物理分析是理解、 检验和应用该模型的依据和基础。 基于这一认识，本文着重研究BISQ模型下的慢纵波。为讨论方便，本文先从提出BISQ模型的 基本假设出发，由含有动态渗透率的广义达西定律入手，更简洁地推导该模型的关键公式， 然后给出BISQ模型中慢纵波速度和衰减的低频近似公式， 着重研究喷射流机制对慢纵波的影 响。作为对比，快纵波的相应行为也同时列出。由于慢纵波的强衰减，实际的测量一般检测 不到慢纵波， 以往的研究多将注意力集中在各种机制对快纵波的影响上， BISQ模型确实也改 进了快纵波的低频频散和衰减特性。 但慢纵波在孔隙介质界面上的散射以及震电转换过程中 的影响不容忽视，如弹性波在界面折反射
2 −1 V P 2 = 3 2 M κ 0 ηR ， Q P 2 = 24 M κ 0 ηR ω
（12）
对于 Biot 理论,低频极限近似为, V P 2 =
4
ω 2M (1 − α 2 M / H )κ 0 / η ， Q −1 = 2 。
P2
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[13]
、地震波与井孔耦合
[14]
和声电效应测井
[15]
的问
题中就是如此，因此讨论喷射流机制对流体饱和孔隙介质中慢纵波的影响有理论和实际意 义。 另外,文中还讨论了孔隙流体为无粘流体和“动力协调” 结果。
[2， 16]
二特殊情况,得出了新奇的
2
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多孔介质 BISQ 模型中的慢纵波 *
崔志文 王克协 曹正良 胡恒山
130023）
（吉林大学物理学院, 长春
代入（5a，b）使 u 0 和 w0 有非平凡解的条件是复慢度 Y 满足二次方程
（6）
(H
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sq
2 ~ + M ρ − 2C ρ )Y + ρ ~ρ − ρ 2 = 0 M sq − C sq Y 2 − (H sq ρ sq sq f f
)
（7）
由 k1, 2 = ω Y1, 2 得相速度与衰减系数分别为
φ 是孔隙度。F (ω ) 为高频粘滞修正系数[2，17]，它对 BISQ 模型中弹性波的影响已在文献[18]
中予以研究。 于是，纵波满足的 BISQ 模型的频率域的运动场方程是
H sq ∇ 2 u + ω 2 ρu + C sq ∇∇ ⋅ w + ω 2 ρ f w = 0 ~w = 0 C sq ∇∇ ⋅ u + ω 2 ρ f u + M sq ∇∇ ⋅ w + ω 2 ρ
注意到孔隙介质中的慢纵波通过界面时在波场转换中的特殊机制和作用， 本文着重研究 顾及喷射流机制的多孔介质 BISQ 模型中的慢纵波。 给出了 BISQ 模型中慢纵波速度和衰减 的低频近似公式。与 Biot 理论对比，BISQ 模型的慢纵波在低频区域的衰减随频率降低急剧 增大，且随喷射流长度的减小而增加；速度的频散减弱，速度的低频极限不是零，随喷射流 长度的减小而增加； 孔隙流体位移与固相骨架位移之比的相位特点不同， 位移之比的幅值随 喷射流长度的增加而减小； 在流体与流体饱和孔隙介质的边界上可产生更大的渗流， 若考虑 震电效应可产生更大的伴随电场。为对比，同时也给出快纵波的行为。依据 BISQ 模型可推 断：非粘滞流体饱和孔隙介质中不存在喷射流机制；BISQ 模型中不会发生“动力协调”现 象。 关键词: 多孔介质，喷射流，慢纵波，动力协调
2． 各向同性多孔介质的BISQ模型
以 Dvorkin 和 Nur（1993）提出的主要假设 为前提重新推导 BISQ 模型的关键公式(见 附录)，由广义达西定律出发将动态渗透率引入 BISQ 模型的关键公式中。BISQ 模型的结果 是将 Biot 理论中模量 M 由 M sq （下脚标 sq 表示与喷射流有关的量，下文同）取代
动并且驰豫峰的幅度逐渐减小但不明显；BISQ 模型中的慢纵波衰减急剧增加，随特征喷射 流长度增大而减小并趋向 Biot 理论结果，与理论分析一致。这一结果说明：对于存在喷射 流现象的孔隙双相介质， 依据 BISQ 模型， 其中传播的慢纵波会比 Biot 理论预计更快的衰减 掉。 这从理论上解释了在地震频率范围内基于 BISQ 理论模型的波传播数值模拟