统计学_抽样分布

E( x ) X

2
x
N n ( ) n N 1
( N n) /( N 1) 称为有限总体修正因子（finite
population correction factor）
（二）样本比例的抽样分布
不放回抽样p的期望值、标准差分别为。 1、期望值：E (p)=P 2、标准差：
p
样本均值的抽样分布
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布 P (X )
•12个样本的均值（x） 第一个 观察值
3 2 1 0 1.5 2 2.5 3.0 3.5 X
第二个观察值
1 1.5 2.0 2.5 2.5 3.0 3.5 2 3 4
1
2 3 4
1.5
2.0
2.5
2.5
3.0 3.5
在经济与商务的许多场合，需要用样本比例p对 总体比例P进行统计推断。 样本比例抽样分布是样本比例所有可能值概率分 布。 同样地，要考察样本比例p与总体比例P的接近程 度，需要有样本比例抽样分布的相关信息。
结论
根据p的期望值、标准差及前面样本平均数 的特性（抽样分布形状）。 1、期望值：E (p)=P 2、标准差：
P(1 P) N n ( ) n N 1
附注：正态分布理论与中心极限定理
1、正态分布的密度函数
f ( x)
1
式中 x 为正态分布的平均数， 是它的标 准差。这两个参数决定正态分布密度函 2 ( x , ) 数的形状。也可简记为N
2
e
( x x ) 2 / 2 2
第四章 抽样分布
主要内容 第一节 抽样的概念与方法 第二节 简单随机样本的抽样分布 第三节 抽样其它组织形式及其分布特征
第二节 简单随机样本的 抽样分布
一、重置抽样的抽样分布 二、不重置抽样的抽样分布
一、重置抽样的抽样分布
• 样本统计量的分布就是抽样分布 （一）样本均值的抽样分布 1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概 率分布 2. 一种理论概率分布
N
n

2 ( x X )
Nn E[ x X ]2
E[ x E ( x )]2
2
n
样本均值的标准差可用来测度样本均值与总体均值的 “距离”，即可用来计算可能的误差，它也被称为 均值标准误（standard error of the mean）或抽样
平均误差。
（二）样本比例的抽样分布
p
P(1 P) n
二、不重置抽样的抽样分布
（一）样本均值的抽样分布
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在不重复 抽样条件下，共有12个样本。所有样本的结果为
•所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个 观察值
1 2 3 4
第二个观察值
1 1,1 2,1 3,1 4,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较
抽样分布 总体分布
.3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(X)
.3 .2 .1 0
.2 .1 0
1
2
3
4
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
X
= 2.5
σ2 =1.25
X 2.5 2 X 0.625
结论：（不放回抽样）
1、样本平均数的期望值
2、样本平均数的标准差
3. 进行推断总体总体均值的理论基础
总体特征值
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。 总体的均值、方差及分布如下 总体分布
.3
均值和方差

x
i 1
N
i
.2 .1 0
1 2 3 4
N
N i 1
2.5
2
2.5
3.0 3.5 4.0
.1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
P(X)
抽样分布
.3 .2 .1 0
.2 .1 0
1
2
3
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
X
= 2.5
σ2 =1.25
2 ( x ) i
N
1.25
样本均值的抽样分布
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽 样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
•所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个 观察值
1
第二个观察值
1
1,1
2
1,2
3
1,3
4
1,4
2 3
4
2,1 3,1
4,1
2,2 3,2
结论：
1、样本平均数的期望值
由于不同的样本可得到不同的样本均值，因此， 考察样本均值的期望就显得非常重要。 用 x 表示样本均值的期望值，X 表示总体均值， 可证明在简单随机抽样中。
E( x ) X
2.样本平均数的标准差
样本平均数的标准差可得：
x x x
2 ( x x )
X 2.5 2 X 0.625
显然，不同的样本对应着不同的样本统计量，而由于 样本抽取的随机性，样本统计量即为一种随机变量。 一般地，样本统计量的可能取值及其取值概率，形成 其概率分布，统计上称为抽样分布（sampling distribution)。 ▲正是抽样分布及其特征使得用样本统计量估计总 体参数的“精确程度”能够给予概率上的描述。 ▲由于样本统计量的随机性及其抽样分布的存在，同 样可计算其均值、方差、标准差等数字特征来反映该 分布的中心趋势和离散趋势。
4,2
2,3 3,3
4,3
2,4 3,4
4,4
样本均值的抽样分布
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
•16个样本的均值（x） 第一个 观察值
.3 .2 P (X )
第二个观察值
1 2 3 4
1
2 3 4
1.0
1.5 2.0 2.5
1.5
2.0 2.5 3.0
2.0
2.5 3.0 3.5