用公式法解一元二次方程教案

优质课比赛教案

第23章

23.2 用公式法解一元二次方程

整体设计

教学分析

求根公式是直接运用配方法推导出来的，从数字系数的一元二次方程到字母系数的方程，体现了从特殊到一般的思路。用公式法解一元二次方程是比较通用的方法，它体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，一元二次方程的根是由系数a，b，c决定的，只要将其代入求根公式就可求解，在应用公式时应首先将方程化成一般形式。

教学目标

知识与技能：

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程

2、会用求根公式解简单系数的一元二次方程

过程与方法：

经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯

情感、态度与价值观

通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

重点：

掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程

难点：

一元二次方程求根公式的推导过程

教学过程：

一、复习引入：

1、用配方法解下列方程：

（1）4x2-12x-1=0；（2）3x2+2x-3=0

2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫。

3、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？

二、问题探究：

问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为（x+m)2=n 的形式吗？

说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论

交流，达成共识，最后化成（x+a

b 2)2=2244a a

c b - ∵a ≠0，方程两边都除以a,得x 2+

0=+a c x a b 移项，得x 2+

a c x a

b -=

配方，得x 2+

22)2(-)2(a

b a

c a b x a b +=+ 即（x+=2)2a b 2244a ac b - 问题2：当b 2_4ac ≥0，且a ≠0时，2

244a ac b -大于等于零吗？ 教师让学生思考，分析，发表意见，得出结论：当b 2-4ac ≥0时，因为a ≠0，说以4a 2

＞0，从而得出04422≥-a

ac b 问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论？

让学生讨论可得x+a

ac b a b 2422-±= 说明：若有必要可让学生讨论22224444a

ac b a ac b -±=-±为什么成立 问题4：由问题1，问题2，问题3，你能得出什么结论？

让学生讨论，交流，从中得出结论，当b 2-4ac ≥0时，一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0）的根为x+a ac b a b 2422-±=,即x=a

ac b b 242-±- 由以上研究结果得到了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0）的求根公式：x=04(2422≥--±-ac b a

ac b b ），这个公式就称为“求根公式”。利用它解一元二次方程叫做公式法。

说明和建议：

（1)求根公式a

2ac 4-b b -x 2±=（b 2-4ac ≥0）是专指一元二次方程的求根公式，b 2-4ac ≥0是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）求根公式的重要条件。

（2)用公式法（求根公式）解一元二次方程，实际上就是给出a 、b 、c 的数值（或表示

式），然后对代数式a

ac 24b b -2-±进行求值，由于这样的计算比较复杂，所以提醒学生计算时注意a 、b 、c 的符号。

三、 例题解析：

例1、解下列方程（教材例6）

（1）2x 2+x-6=0； （2）x 2+4x=2;

(3) 5x 2-4x-12=0; (4) 4x 2+4x+10=1-8x ；（5）x 2+5x+8=0

解：（1）这里a=2,b=1,c=-6

B 2-4ac=12-4x2x(-6)=1+48=49

说以x=4

7122491242±-=⨯±-=-±-a ac b b 即x 1=-2, x 2=2

3 （2）将方程化为一般形式，得x 2+4x-2=0

因为b 2-4ac=24 所以x=622

244±-=±- 即x 1=-2+6, x 2=-2-6

(3) 因为b 2-4ac=256

所以x=1016452256)4(±=⨯±--, 得x 1=-5

6 ，x 2=2 (4) 整理，得4x 2+12x+9=0

因为b 2-4ac=0 , 所以x=

8012±- 即x 1=x 2=-2

3 （5）因为a=1 ,b=5 ,c=8

b 2-4ac=52-4x1x8=-7＜0

所以方程无实数解

讲解要点：

（1）对于（2) ,(4) 首先要把方程化成一般形式

（2）提醒学生注意a.b.c 的符号，如（3）题中b=-4,公式中的-b 应为-（-4）

（3）先计算b 2-4ac 的值 ，再代入分式求解

（4）对于第（4）题不要写成x=-2

3 说明：当b 2-4ac ＜0时，不用代入求根公式，直接写出方程无实数根即可

例2 、我们做一个小游戏：一组同学写出方程，另一组同学用公式法解方程，然后反过来，看哪一组同学表现最好。

四：归纳提升

你能总结一下用求根公式法解一元二次方程的步骤吗？

先让学生自己归纳，然后小组讨论，回答。教师引导学生归纳如下：

（1）把方程整理成一般形式，进而确定a,b,c 的值（包括符号）；

（2）求出b 2-4ac 的值（若b 2-4ac ＜0，方程无实数根）；

（3）在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算，最后写出方程的根；当 b 2-4ac ＜0，直接写方程无实数根。

通过总结使学生规范解题格式,让学生体会数学课中的严谨的逻辑推理不仅在几何问题中大量存在,也更广泛应用于代数中；从而更好地体会到用公式法解一元二次方程的步骤 。

五、巩固训练

1、教材练习（1）、（3）；

2、教材习题23.2第4题（1）、（2）、（3）、（6）巩固练习

给出习题然后由学生自己去做。由于没说用何种方法，有些人可能习惯配方，有些人想用公式法尝试，都可以从做题速度与准度去比较这几个题哪种方法更好。让三个不同层次的学生上讲台板演，同时走下来看看下面的学生有何问题，及时纠正。

设计意图：⑴ 比较配方法与公式法，⑵ 发现对于这几道题公式法步骤较为简单，⑶ 熟悉公式法，强化解题格式， ⑷ 及时发现错误及时解决。让学生自己去做,选取对同一个方程利用配方法解的和公式法解的，让学生从简捷性与准确性去比较这几个题用哪种方法更好，并在小组内交流解方程过程中的得失，从而让学生在比较中加深对两种方法的认识,熟练这两种方法的应用。并在学生口述中得以验证这一点.

学生比较配方法与公式法发现对于这几道题而言公式法步骤较为简单，并在学生练习时展示中强化解题格式、及时发现错误、及时解决。然后让学生进一步反思：什么情况下用公式法较为简便，什么情况下用配方法较为适宜？二者之间有无本质区别？在思维上你有什么收获？ 在解题细节上你又有哪些注意的地方？你还有解一元二次方程的其它方法吗？

六、课堂小结

采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识

（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根， 推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．

（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．

七、作业

课本习题23.2 3、4、5

板书设计

§23.2 公式法解一元二次方程

062=-+x x 094=--x x 010522=++x