第10章 梁板结构补充例题

第10章 补充例题

目的：1、通过例题说明如何用虚功方程求解梁板塑性极限荷载；

2、如何求解双向板塑性内力。

例题10-1：用塑性铰线法计算图示直角三角形两边简支、各向同性板的极限荷载u p 。

解答：因板对称于对角线，所以塑性铰线一定位于直角平分线上，即塑性铰线与直角边的夹角为45度。

向量可以用坐标分量表示，最常用的坐标是直角坐标系（对于圆形板，采用极坐标更方便）。公式pV m l =⋅→

→∑θ用直角坐标可以表示为： )()(00y y y x x x y y x x l m l m M M U θθθθ+=+=∑∑

对于各向同性板（就混凝土板而言，意味着双向配筋相同），m m m y x ==。 对于本例题，塑性铰线在x ，y 轴上的投影长度2/000l l l y x ==；设A 点发生单位竖向位移，则0/2l y x ==θθ，于是： 内功：m l l l l m U 2)2222(0

000=⨯+⨯=

外功：6

)2213122131(200000pl l l l l p W =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 由虚功方程，可以得到：2012l m p =

。 引申题目、如图所示圆形板，四周简支，圆心受集中荷载。假定单位长塑性铰线可以承受的弯矩为m ，用塑性铰线法计算极限荷载u F

10-2 如图所示（a ）的两跨连系梁，T 形截面，仅承受对称集中荷载F 。求：

1）假定支座截面可承受的极限弯矩为u M ，跨中截面可承受的极限弯矩为

1.2u M 。按充分的内力重分布考虑，该梁的极限荷载u F 为多少？

2）如果该梁承受集中荷载设计值kN F 160=，计算跨度mm l 6000=；混凝土强度等级为C20，纵向钢筋采用HRB400；支座截面考虑调幅20%。试分别计算支座截面和跨中截面所需的纵向钢筋面积。

3）在上述的截面配筋下，按弹性理论，仅考虑正截面承载力时，该梁可以承受多大的集中荷载设计值？

解答：（1）当发生充分的内力重分布时，可用结构力学的机动法计算极限荷载。当然也可按照塑性铰出现顺序，用弹塑性法分阶段计算（这里略）。

图b 是连系梁的破坏机构。设集中荷载作用处发生竖向虚位移△，则跨中塑性铰的转角为l l /42

/2∆=∆⨯，支座截面塑性铰的转角为l /4∆。根据虚功原理，外力

（集中荷载）所做的功等于内力所做的功（塑性铰）：

l M l M F u u u /4/42.122∆⨯+∆⨯⨯=∆⨯⨯，求得l M F u u /8.6=

图示说明：图（b ）破坏机构；图（c ）极限弯矩分布。 极限荷载也可以用极限平衡法求。图（c ）是连系梁破坏时的极限弯矩分布，根据力矩平衡条件：

4/2/2.1l F M M u u u =+， 求得l M F u u /8.6=

（2）支座截面的弹性弯矩m kN Fl M e ⋅==5.180188.0。调幅系数2.0=β，调幅后的支座截面弯矩为m kN M a ⋅=-⨯=4.144)2.01(5.180；相应的跨中弯矩为： m kN M Fl M u ⋅=-=8.1672/4//1

配筋计算结果（自己补充计算过程）：

支座按矩形截面计算，25.1035,833.0,278.0mm A s s ===γα，选用3根直径22的钢筋（21140mm A s =）。

跨中截面按第二类T 形截面计算，21113,236.0,208.0mm A s s ===ξα，选用3根直径22的钢筋（21140mm A s =）。

（3）当支座截面控制时，kN F Fl 1284.144188.01=⇒=；当跨中截面控制时，kN F Fl 3.1798.167156.01=⇒=，取两者较小值kN F 128=.

10-3、三跨连续双向板如图所示，板面作用均布荷载设计值2/12m kN p =，若取5.1=β，试求各板跨中及支座单位板宽的弯矩设计值。

解答：由题意，5.1,694.0/1,2.1/,8.4,0.42=======βαn l l n m l m l x y y x

（1）板1B :以跨中x m 为未知量，则：

x x y m m m 694.0==αx x x x m m m m 5.1///===β

因板上下均为简支，故有：0///==y y m m

按跨中钢筋全部伸入支座锚固的配筋计算，将以上各值代入下式：

)13(12222//////

-=+++++n pl m m m nm nm nm x y

y y x x x )12.13(12

412388.10.34.22

-⨯⨯=++x x x m m m 解得：m m kN m m m m kN m x y x /25.4694.0/13.6⋅==⋅=

m m kN m m m x x x

/20.95.1///⋅=== （2）板2B :以跨中x m 为未知量，则：x x y m m m 694.0==α，该板左边的弯矩已

由1B 板求得，m m kN m x

/20.9//⋅= 因板上下均为简支，故有：0///==y y m m

按跨中钢筋全部伸入支座锚固的配筋计算，将以上各值代入下式：

)13(12222//////

-=+++++n pl m m m nm nm nm x y

y y x x x )12.13(12

412388.120.94.22

-⨯⨯=++x x m m 解得：m m kN m x /55.8⋅=

m m kN m m x y /93.5694.0⋅==

图例：（a ）为1B 板，图（b ）为2B 板