200道物理学难题——1三只蜗牛

200 道物理学难题
解法一（面积）
如下图所示， A0 , B0 , C0 代表三只蜗牛的初始位置。
图1Leabharlann Baidu
经过很短的时间， 三只蜗牛分别运动到了 A1 , B1 , C1 。 因为时间很短所以 A1 在 蜗牛 A 的运动方向上， 即 A1 在直线 A0 B0 上。 同理 B1 、 C1 也分别在 B0C0 、 C0 A0 上。
假定经过时间 t 行驶了距离 s ，则：
(34)
ds v dt s vt
根据公式(34)(35)可得曲率与 s 之间的关系：
(35)
d d dt ds
3 ds 3v v dt 2a0 3vt 2a0 3s
(36)
根据上式可知

s
0
2a0 3 1 ds ln 2a0 3s 3 2a0 3s
1
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三只蜗牛的运动速度相等，所以 A0 A1 B0 B1 C0C1 ，这样三角形 A1 B1C1 也是一 个等边三角形。 再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了 A2 , B2 , C2 再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了 A3 , B3 , C3 …… 也就是说：三只蜗牛在运动过程中，始终保持等边三角形的形状。同时， 这个等边三角形一边在旋转一边在缩小，当缩小至一个点（重心 O ）时三只蜗 牛相遇。 现在看看三角形边长、旋转角是如何随时间变化的。 考察三角形的面积，可知：
dx cos dy sin

2 a0 e 3 2 a0 e 3
2 a0 e 3
3
d dx idy d
3
2 a0 e 3
3 i
d
(41)
上式两边求定积分，可得
x yi
3 i 0
d
2 e 3 i 1 a0 3 3i
2 2 2
(19)
上式略去二阶微元，可得 3 da vdt 2
A1 B0 B1 中， A1 B0 边的高为
(20)
h A1 B1 sin A1 B0 B1 sin B0 a da sin d sin 60vdt v d sin 60dt a
r
(28)
(29)

a0
a dr r 3d ln 3 r 0 e 3 r 0 a0 3 3
3
(30)
上式表明：蜗牛的运动轨迹是一个对数螺旋曲线。 根据上式可知蜗牛的旋转圈数 n 为：
n
a 1 ln 0 2 2 3 r 3
(31)
当 r 0 时， n 。所以三只蜗牛转了无穷圈。
An Bn Cn 中重心 O 至各个顶点的距离为 r ，则
(9)
(10)
上式表明： 运动 8 分钟后， 三角形的边长将变为零， 此时三只蜗牛相遇于 O
a 3r a 3 da 3dr 上式代入公式(7)，可得 r
3dr 3 3rd
r a0
(11)
dr 3d r dr r 3d ln 3 3 r 0 a0 3 a0 3 e
3
(12)
r
对于蜗牛 A ， 以重心 O 为极点，OA0 为极轴建立极坐标系。 上式就是蜗牛 A 在这个极坐标系下的轨迹方程。可见：蜗牛的运动轨迹是对数螺旋曲线。 根据上式可知蜗牛的旋转圈数 n 为：
3
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n
a 1 ln 0 2 2 3 r 3
(13)
当 r 0 时， n 。所以三只蜗牛转了无穷圈。
1 1 A1 B0 A1 B1 sin A1 a vdt a da sin d 2 2 1 a 2 d 2 1 1 B0 A1 B0 B1 sin B0 a vdt vdt sin 60 2 2 1 av sin 60dt 2
3 v v vr v cos 30 r 2 v v sin 30 v v 2
(26)
vr
r 3 dr v a 0 2 dt
3
dr
0
t
a 3 3 vdt r 0 vt 2 3 2
(27)
上式中的 a0 表示等边三角形的初始边长，即 A0 B0C0 的边长。 令上式的 r 0 ，可求得 2a 2 60cm t 0 8 min 3v 3 5cm / min 也就是说：三只蜗牛运动 8 分钟后，将相遇于 O 点。三只蜗牛各自爬行的 路程为 vt 5cm / min 8 min 40 cm 。 径向速度 vr 与横向速度 v 满足下式 dr vr v dr dt r v rd v r d dt 将公式(26)代入上式，可得 dr dr 3 3d rd r 上式两边求定积分，可得
解法六（平面直角坐标）
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参考图 1，以 A0 点为原心，建立 xy 坐标系，如下图所示：
图4
参考等边三角形 A1 B1C1 。以 A1 为参照物， B1 有两个速度，把这两个速度分 解为两个：
3 一个是平行于 A1 B1 的纵向速度 1 cos 60 v v ，这个速度使等边三角形 2 An BnCn 的边长变小。等边三角形 An BnCn 的边长随时间变化的函数为 3 a (t ) a0 vt 2
S A0 B0C0 S A1 B1C1 3S A1 B0 B1 S A1 B1C1 S A0 B0C0 3S A1 B0 B1
边长为 a 的等边三角形，其面积为 1 S a 2 sin 60 2 上式两边微分，可得 dS a sin 60da
a da vdt a vdt sin 60 d sin 60 cos 60d 对上式做进一步化简： a da vdt d v sin 60 sin 60 d dt a a da a vdt sin 60 sin 60 cos 60d a da sin 60 cos 60d sin 60 a vdt a cos 60 d da sin 60 v sin 60 0 dt dt
A0 B0C0 与 A1 B1C1 的边长分别为 a 、 a da ，所以根据上式可知
S A1 B1C1 S A0 B0C0 a sin 60da A1 B0 B1 的面积计算公式有两个：
(1)
(2) (3)
(4)
S A1 B0 B1
(17)
(18)
解法三（余弦定理）
4
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参考图 1，对 A1 B0 B1 套用余弦定理，有
B1 A1 A1 B0 B0 B1 2 A1 B0 B0 B1 cos B0
2 2 2
a da a vdt vdt 2 a vdt vdt cos 60
(15)
(16)
公式(15)代入上式，可得
v da a cos 60 sin 60 sin 60 v sin 60 0 a dt da 3 v dt 2
上式除以公式(15)，可得 da 3a d 公式(17)(18)分别等价于公式(8)(7)。接下来的解法请参考解法一。
(8)
上面两个公式是在 A0 B0C0 附近推导得出的， 但是同样适用于 An Bn Cn 。 换 句话说就是：在三只蜗牛的运动过程中，上面两个公式是一直都成立的。 根据公式(8)可知三角形边长随时间变化的函数为： 3 a a0 vt 2 上式中的 a0 表示等边三角形的初始边长，即 A0 B0C0 的边长。 令 a 0 可得 2a 3 2 60cm 0 a0 vt t 0 8 min 2 3v 3 5cm / min 点。三只蜗牛各自爬行的路程为 vt 5cm / min 8 min 40 cm 。
(5)
S A1 B0 B1
(6)
公式(4)(5)代入公式(1)，可得
2
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1 a sin 60da 3 a 2 d da 3ad 2
公式(4)(6)代入公式(1)，可得
(7)
3 1 a sin 60da 3 av sin 60dt da vdt 2 2
a0 a 1 0 i a0e 2 2 3 3 cos 6 i sin 6 a0 5 a0 i i sin 6 2 2 3
上式的实质其实还是正弦定理。 上面两个公式相除，可得 da 3a d 公式(20)(22)分别等价于公式(8)(7)。接下来的解法请参考解法一。
(21)
(22)
解法四（速度分解）
参考下图，对蜗牛 A, B 的速度进行分解：
图2
径向速度使两只蜗牛之间的距离增大或减小，其数值为：
5
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解法二（正弦定理）
参考图 1，对 A1 B0 B1 套用正弦定理，有
B0 B1 A1 B0 A1 B1 sin B0 sin A1 sin B1 a da vdt a vdt sin 60 sin d sin 180 60 d (14)
v径 =
da 3 1 cos 60 v v dt 2
(23)
上式中的负号表示两只蜗牛之间的距离随时间的增加而变小。 横向速度使等边三角形旋转，其数值为： d d v v横 a v sin 60 sin 60 dt dt a 上面两个公式相除，可得： da 3a d 公式(23)(25)分别等价于公式(8)(7)。接下来的解法请参考解法一。
(37)
根据上式可知： 2 s 1 e 3 a0 3 xy 坐标系内，蜗牛 A 的运动轨迹满足下式


(38)
dx cos ds dy sin ds
根据公式(36)可知
(39)
ds
2a0 3s d 3
(40)
公式(38)代入(40)，再代入公式(39)，可得
(24)
(25)
解法五（极坐标）
如下图所示，考察蜗牛 A 的运动轨迹。以重心 O 为极点， OA0 为极轴建立 极坐标系。
图3
参考图 1，这个运动轨迹有一个特点，那就是运动方向与极径的夹角始终 为 30 。 把运动速度 v 分解为径向速度 vr （极径增大为正）与横向速度 v 。
6
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a a 1 0 0 i a0 e 2 2 3 3
3
cos 6 i sin 6
9
(42)
200 道物理学难题
可知：
x y
a0 a0 3 e cos 2 6 3 a0 a 0 e 3 sin 6 2 3 3
一个是垂直于 A1 B1 的横向速度 v sin 60 线方位角 增大，即：
(32)
3 这个速度使得运动轨迹的切 v， 2
a (t )
d 3 v dt 2
8
(33)
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公式(32)代入上式，可得：
3v 3 d 3 d v a0 vt 2 dt 2 dt 2a0 3vt