专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案

专题五平面向量
第十三讲平面向量的概念与运算
答案部分
1. A【解析】通解如图所示,
C
1 1 11 1 -
EB=ED DB^AD 2CB92(AB AC r(AB—AC)
= 2 3AB_」AC •故选A .
4 4
1 11 —
2
3. B【解析】a (2 a -b) =2a - a 2 -(-1)=3，故选B .
4. A【解析】因为m, n为非零向量，所以m n =| m ||n|cos：：：m, n •：：：0的充要条
件是cos：：：m, n，：0 .因为■ ：：：0，则由m='n 可知m, n 的方向相反，m, n = 180 ,
所以cos ：：：m, n：0，所以"存在负数■，使得m - ■ n ”可推出"m n 0”；而
m n :: 0可推出cos ：：：m, n •：：：0，但不一定推出m, n的方向相反，从而不一定推得
"存在负数■,使得m =，n ”，所以"存在负数■，使得m =，n ”是"m n 0 的充分而不必要条件.
2
5. B【解析】由n - (t m n)可得n (t m • n) = 0 ,即卩t m n n = 0 ,
优解 E
B
= AB —AE = AB
巧 AD=
AB
—2Y(AB
+ AC
)
=—AB - - AC .故选 A .
4
4
2 2 2 2
•- (a- 3b ) =(3 a b ) ,• a - 6a b 9 b
2 2
9a 6a b b ,又 | a |=| b |=1 ,••• a b 二 0 ,••• a _ b ；反之也成立，故选
2. C 【解析】••• a -3b = 3a +b ,
C .
| m | | n | cos< m ,n >
=_3凹=_3 4 = _4 .故选 B . | m | 3
D 【解析】由向量的坐标运算得 a 、b= 4, m —2 ,
•/ (a b) _b ,••• (a b) b =12 —2(m —2) =0 , 解得m =8，故选D .
JI
，选A .
4
10. B 【解析】对于 A 选项，设向量a 、b 的夹角为T ,T | a 巾鬥a || b |cos= < | a || b |,
• A 选项正确；对于 B 选项，•••当向量a 、b 反向时，| a-b p|| a |-| b ||, • B 选项 错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，
C 选项正确；对于
D 选项,
根据向量的运算法则，可推导出 (a b ) (a -b )二a
2
- b 2
，故D 选项正确，综上选 B .
11. D 【解析】如图由题意,
n 2
I n |2
6. B 【解析】设
TB
3 3
DF DE (b-a) , AF = AD
2 4
5 3 七
5 3
•- AF BC a b b :
1 1
AC (b —^a), 2 2
1 3
DF a (b-a) ，故选B.
8
7. 8. A 【解析】由题意得cos ABC
9. 所以.ABC =30；，故选A .
2 2
A 【解析】由题意(a- b) (3a 2b^ 3a -a ・b-2b
=0, 即 3 a - a b cos 日-2
=0，所以 3 (2 2)2
3
□ cos，- 2 = 0， 3
cos^ •••
54
a 4
|BA| | BC|
1
2 2 2 2
BC =応為质b）—2打，故歸2，故A错误;|2二2|芥2 ,
2
AC =2a (2a b) =4|a| 2ab =2 2cos60、=2 ,
T
AB AC =2AD , 且AD _ BC，所以4a , _三，故选D .
12. 【解
析】
EB 孔三獄BC）E（CA CB）W（TB 忌兀.
13. 【解
析】
由（a b）-10 ①，（a—b）2=6 ②，①一②得ab = 1.
14. 【解
析】由题意得乜二cos丄=L
3 3m
，两边平方化简得6. 3^18 ,
2 -
6
2 . 9 m2
15. 解得m = 3，经检验符合题意.
B【解析】设x1 y1x2y2x3 y3x4y4，若S的表达式中有0个a b ,
2 2
则S =2a 2b ,记为S,若S的表达式中有2个a b,则S =2a
42 彳2 叫T
2b 2a b 记为S2，若S的表达式中有4个a b，则S =4a b，记为& ,又|b|=2|a| ,
16.
17. 所以“3质^bjaubr 0,
2 2 2
S -S2 =a +b -2a b = (a-b)2= 0,
S2 - S3 = (a - b)20 ,•••S3 :: S2 ：：3，
故S mi^ S3 = 4a b ,
设a,b的夹角为,
2 2 1 二
则S min =4a b =8| a|2 cos^ - 4| a|2，即cos ，又[0,二]，所以二二一
2 3 B【解析】对于A, C, D，都有e // e2，所以只有B成立.
B【解析】由于|b t a |2= b2JaLbt a2t2，令f(t)二b22^b t - a2t2,
而t是任意实数，所以可得f （t）的最小值为
所以I；| = 1，又AB AC
所以a b = —1，故B,C错误；设B,C中点为D，则
A
C
18.
19.
20.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4a b -(2ab) 4a b -4a b cos v 4b sin 二
2 = 2 = :: 4a 4 a 4
即|b | sin -1,则知若二确定，则| b|唯一确定.
C【解析】••• 2a -3b =(2k-3,-6) , (2 a- 3b) _ c ,
所以(2a -3b) c =2(2k 一3) -6 =0。

解得k = 3，选C
C【解析】因为AC BD =1 (-4) • 2 2=0，所以AC _ BC，所以四边形的面积
为| AC | | BD | 1222・.(-4)
2
—.5，故选C.
2
D【解析】由题意，设|AB | = 4，则|F0B|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H ,
在AB上任取一点P，设HP。

二a，则由数量积的几何意义可得,
PB PC =|PH ||PB|=(| PB| -(a 1))|PB|，RB PC」| RH ||P°B| …，T —* T T T T
PB PC > F O B PC 恒成立，相当于(| PB | -(a 1)) | PB |> -a 恒成立，PB |2-(a 1)|PB| a > 0 恒成立，只需.：-(a 1)2-4a = (a-1)2< 0 即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H是AB的中点, 故厶
ABC是等腰三角形，所以AC二BC.
21.
22.
23.
A【解析】AB =(3, -4)，所以| AB |=5,这样同方向的单位向量是^AB =(?,-彳).
5 5 5
A【解析】AB = (2,1), CD = (5,5),贝U向量AB在向量CD方向上的射影为
AB
cos-
AB CD _
(2,1)_(5,5)
C D J52；52
2515 3.2
5 2 2
C【解析】建立平面直角坐标系，令向量a, b的坐标a = 1,0 , b= 0,1，又设
c = (x,y )，代入c-a-b = 1得J(x_1 ' + (y _1
$ =1,
2 2
的最大值为圆（X -1）+（y -1） =1上的动点到原点的距离的最大值,
即圆心（1, 1）到原点的距离加圆的半径，即 ,2 1 .
为X 轴，y 轴建立平面直角坐标系.设
B 1(a,0), B 2(0,
T T —
则 AP = AB 1 + AB 2 = (a , b), 即卩 P(a , b). 由I OB ；|=|OB 2 |= 1，得(X -a)2
+ y
2
= X 2 + (y — b)2= 1.
所以(X — a)2
= 1 — y 2
>0 (y — b)2= 1 — X 2
> 0. 由 |OP |v —，得(X — a)
2
+ (y — b)2v —,
2
4
即 O W — x
2
+ 1 — y 2
< —
4
所以
7
<x 2 + y 2
<2 即—< y]x 2 + y 2
兰 J2.
4
2
所以|OA |的取值范围是「I ，故选D .
I 2
'」
25. B 【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易
的②是对的；以a 的终点作长度为 亠的圆，这个圆必须和向量 •b 有交点，这个不一定 能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即 必须p b
二k +卩斗a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前
还强调过，不懂学生做得如何
.
2 2
26. C 【解析】* a _b,. a b =0,. - 1 2cos v - 0r cos2v - 2cos 八 1 = 0.正确的是 C . 27. C 【解析】| a
b |=|a | -| b 戶 |a |2 2ab | b |2 =| a |2
-2 | a || b | - | b
|2
，则
ab - -1 a || b |= 0 ,所以a ,b 不垂直，A 不正确，同理 B 也不正确； ab- -1 a ||b |，则cos < a ,b - -1，所以a , b 共线，故存在实数 ',
使得 b a , C 正确；若 b = a ，则，=1，此时 | a b 2 | a 产 0 =| a | - | b | , 所以D 不正确.
. . . . 1
24. D 【解析】因为 AB 1丄AB 2，所以可以A 为原点，分别以
AB 2所在直线
b), O(x , y),
AB 1 ,
28
B【解析】（1：2），由（「b）〃c，得6-4「“0,解得二
29. D【解析】•/ 2a-b 二(5,2 -k)，由a (2a - b) = 0 ,得(2,1) (5,2 - k) =0 ,
二 10 2 -k =0，解得 k =12 .
1
S=2 | a||b |sin ::: a , b ,
-|a||b| 1「cos 2
:: a,b =- |a||b|sin ：： a,b -. 2 2
31. B 【解析】若a 与b 共线，则有a LI b =mq -np=0 ,故A 正确;
因为 bU a = pn — qm ，而 a 口 b 二mq — np ，所以有 a] b = b^| a ， 故选项B 错误，故选B .
1
32.
丄【解析】2a b= (4,2)，因为 c 二(1, ■)，且 c // (2a b ),
2
1
所以1
2=4,,即一—.
2
33.
2 .3【解析】T | a
2b |2
a |2
4| b |2
4ab 二 4 4 1 4 2 1
cos60‘ =12 ,
••• | a 2b | = 2、、3
34. 4,2., 5【解析】设向量a,b 的夹角为二，由余弦定理有:
a b = 12
2^-2 1 2 cos 二-J ~ 5 4cos 二,
则:
令 y =、、5 4cos x . 5「4cos x , 贝U y 2
=10+2^25-16cos 2 日己【16,20】,
|、• 3© -勺 |= . ( 3& -e 2)2 = ■.第2 - 2 J3© 0 * 勺2
= 2 ,
18 ■ p |=§@」e 2)2 =晶2 2 e e^ '
2
亀
2
»〕1 (2)
,
30. C 【解析】
三角形的面积 2』a|2|b|2 _(ab)2 =2 |a|2|b|2 -(ab)2 cos :: a,b
一2 1 2 cos = 5-4cos)
a +l
b 七-b ='5 4cos 5 -4cos ,
据此可得:
(a +b‘ + a —b )
4
(a+b + a — b min
b |彳a -b 的最小值是 —【解析】
3
=20 = 2 4，最大值是2・、5.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43. ..3 - =2 1 ■2 cos60 = J ■2，解得:
3
3
【解析】由"一7可得sin-器，
co
…话，由
rT T
OC OA
得
OC OB 二mOB OA nOB
2
=mOA nOB OA
' 2，即
OC =
m
OA +
n
OB
I ,：2 cos m n cos( ：亠45 )
|' 2 cos 45 =mcos(很亠45〔) n
两式相加得，、.2(cos ^：〉cos45：) =(m n)(1 cos(v ：卜
45'；))
所以m - n
所以m - n
—3【解析】
、、2 cos ’：亠2
cos45、
1 cos(二「卜
45、)
_ _ _ _ 二3
& 2 2
、-- — --- -----
1 --
10 2 10 2
由题意得：2m n =9,^-2n = -8= m =2, n =5,m - n = -3
9【解析】因为OA_AB , |OA| = 3 ,
2 _2 2
所以OA^OB =OA・(OA AB)=|OA| OA・OB=|OA|=3 -9 .
【解析】由题意f (x) = xln(x「a • x2 )=f(-x) =-xln(、, a x2 -
x),
所以.a2x 解得a =
1.
1 2 2、、2【解析】由题意可令b二x08 y0e2■ e3，其中诜_ e ,i =1,2 ,
, y0 5 x, 5
由b e^2得x00=2，由b e2，得—y0，解得x0=1，y0=2
2 2 2 2
•-1 b\-je~7e~e) ^2.
2 2 2
-2【解析】由\ a b \=\a \ - \ b \ 得a —b，则m • 2 = 0，所以m = -
2 .
1
90【解析】由AO (AB AC)，得O为BC的中点，故BC为圆O的直径, 2
所以AB与AC的夹角为90 .
uur uuu uuu uuu
AB AC cos A ••由AB •AC cos A = ta
nA ,
um uuu
【解析】••• AB AC -
故VABC的面积为
um
AB
uuu
AC 1 1
丄\ AB\\AC \sin —
2 6 6
44.②④【解析】S有下列三种情况:
2 ^2 2 2 2 S=a a b b b ,
2 2 2
S2=a a b a b b b ,
吟F 甲片 T叩呷T 呷2
S3 = a b a b a b a b b
•/ S, -S^=S^-S^=a +? -2a b = (^b)^|^b |2> 0 ,
…S
min = S3 ,
2
若a _ b，则S min = §3 = b，与| a |无关，②正确;
若aLb，则S min二S3 =4a・b・b2，与|b|有关，③错误;
若|b| 4|a|，则S m^ -S^ -4| a | |b|cosr |b|^ -4| a | |b| |b|^ -|b|2|b|2=0.
④正确;
若|bh2| a|, S min =8曲,则S min 二S3 =4： b b =8詁|2込「4|：|2=8|[|2
45. •、5【解析】v | a | = 1 ,
•••可令a = (cos ’sin v) , v ■ a b = 0 ,
46.
47.
｛，cosv 2=0
( ，即
sin r 1=0
COS J _ - 2_
( 丸，解得人2=5得|人|= J5 .
sin J --—
1 2 2
2【解析】••• a〃b，-
sin2“co「，- 2讣如"「,
兀 1
(0, —) ,••• tan r
2 2
因为cos C,a 叶一
c a—,
cos c,b；U -
c b—，所以」°a c b ',
又|b| = 2|a|，所以2c a 二c b
即2[(m 4) 2(2m 2)] =4(m 4) 2(2m 2) = m=2
【解析2】由几何意义知c为以ma , b为邻边的菱形的对角线向量,
|b| = 2|a|，故m=2
48.
49.
2 1 1
2【解析】be = b «[t a (1—t)b]=t a «b (1—t)b2= —t 1_t = 1——1=0,解得t =
2. 2 2
T r T T
BA AD = AD - DC ,
2【解析】在正方形中，AE=AD」DC,BD」BA AD二
2
50.
—1
所以AE BD =(AD $ DC) (AD - DC) = AD —
【解析】向量^^B 与AC
2 1
--DC =2
2
命=2,所以
AB|=3,|
AB AC =
二=^A^{AC^S120 =—gx3x2 = —3 .^AP 丄
即rP BC K朗邑
2 2
以AC - ■ AB (■ -1)AB AC =0,即4 -9 -3(，-1)=0,解得■
7
12
| x|
51
. 2【解析】血=y e』2」y2「3xy
|x| |x| 1
x
2 y23xy
2
X
1
二[ ，所以凶的最大值为2.
◎ 3y 1（；环4 |b|
1 1
52. 【解析】因为E为CD的中点，所以BE=BC • CE = AD-1 DC
2 2
1
二AD AB.
2 AC 二AD AB，因为AC BE =1 ,
1 2 12 1
所以AC BE =(AD AB) (AD AB)二AD AB AB AD =1 ,
2 2 2
即1 -!AB 'AB cos60 =1，所以-^AB . ^TB =0,解得"AB =* .
53. 4【解析】如图建立坐标系,
由 c 「a 」b ，可得站二「2" -- -
,•••
4
2 卩
【解析】（I ）由a= （1,0,）b= 11 ），得2a+b= （31卜设与2a + b 同向的单位向量为
（n ）由a = 1,0 ,b= 1,1 ，得b -3a=：；：-2,1 •设向量b -3a 与向量a 的夹角为v
54. b =3.. 2【解析】
2； — b 二 10
b -3.2
二（2a —b ）1 2 * 4 =10= 4 b 2 - 4 b cos45 =10 55.
『3価迥
10 ，10
2 ”5
（n ）
5
c= x,y ，则
x 2 y 2
"且 x, 3y -x =0,
y 0，解得
3,10
X ,
10
故 c = s/10
y
F
与2a b 同向的单位向量的坐标为
3 10 10
10 ' 10
56. 57.
则
co
-川（
「2,1"1,0）
2/5
、5 1
4a|_b
9 叩甲 耳2 牡
—【解析】2a —b 乞3二4a +b <9 +
8
2 2
4a b - 4
一9
8
P-,—］【解析】如图，向量:-与］在单位圆O 内，因|=1,「|< 1,
6 6
a b ： ：-4a [b = 9 4a_b ： ：「4a b 二
58.
58.
59.
59.
60.
60.
61.
61.
62.
62.
i
B
5
【解析】由题意知a ・b 二(e i -2e2)(k e i • e2) = 0 ,即k ej ye2 -2k&e2 -2e2=0 ,
亦2兀2兀 5
即k cos 2kcos 2=0，化简可求得k =-.
3 3 4
1【解析】向量a + b与向量k a- b垂直，••• (a - b) (k a -b) = 0 ,
化简得(k -1) (a b 1^0，易知a b - 0，故k =1 .
【解析】设a与b的夹角为v ,由题意有(a 〈a - b) = a八a・b-
3
1
=-•二COST --，所以cos ，因此0 W * 二，所以 -
2 3
—1【解析】a b 二(1,m-1)，由(a a)//c得1 2-(m-1) (-1) = 0, 所以m =
—1.
【解析】(1)因为a = (cos x,sin x) , b = (3, rs：3) , a // b,
所以i -3 cosx = 3sin x .
若cosx = 0，则sin x = 0，与sin x cos x 二1 矛盾，故cosx = 0.
于是tanx =
又x • [0,二]，所以x =
6
(2) f (x) = a b = (cos x,sin x) (3, —V3) =3cos x - V3sin x = 2^3cos(x
+
—)
. 6 因为rm，所以“訂:疳］,
从而T兰
cos
(x+n)兰〒
n n
于是，当
x
r孑即时，
f(x)
取到最大值3；
当x ■ n - 7：，即x时，f(x)取到最小值_2、3 .
6 6。