二分法求函数零点教案

二分法求函数零点教案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

用二分法求方程的近似

解

１、二分法的概念

对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过

不断把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。 ２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤：

（１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x

（３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点

若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a,

1x )）

若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)）

（４）判断是否达到精确度ε

即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复

（２）～（４）

3、用二分法求函数零点的条件：

若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。 例题讲解：

例1：下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二

分法求图中函数零点的是（ ）

解：应选B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。

例2、 利用二分法求方程

x x

-=31

的一个近似解（精确到）。 解：设()31-+=x x x f ，则求方程x x

-=31

的一个近似解，即求函数()x f 的一个

近似零点。∵()0212<-=f ，()03

1

3>=f ，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。

∵区间的左右端点精确到所取的近似值都是，

∴函数)x (f 满足题设的一个近似零点是

故方程

x x

-=31

满足题设的一个近似解是 例3、 二次函数)R x (c bx ax y 2

∈++=的部分对应值如下表：

。

解：由上表提供数值大于0的自变量的取值集合是),3()2,(+∞⋃--∞ 评析：开口方向是解题关键信息，零点是－2，3，且开口向上， 例4、已知函数6x 5x 2x )x (f 2

3

+--=的一个零点为1

（1）求函数的其他零点；

（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。

解：（1）由题意，设

n x )m n (x )1m (x )n mx x )(1x ()x (f 2

32--+-+=++-=，

∴⎪⎩⎪

⎨⎧=--=--=-6

n 5

m n 2

1m 解得⎩⎨⎧-=-=6n 1m 令0)x (f =，

即0)6x x )(1x (2

=---，解得=x 1，－2，3 ∴函数的其他零点是－2，3

（2）函数的三个零点将x 轴分成4个区间： ]2,(--∞，]1,2(-，]3,1(，],3(+∞

作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x 的取值范围是：

),3()1,2(+∞⋃-

例5、求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度．

【解析】由于f(－2)＝－1<0， f(－3)＝4>0，

故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：

所以函数的一个近似负零点可取－.

达标练习：

1．下列函数零点不宜用二分法的是( )

A．f(x)＝x3－8 B．f(x)＝lnx＋3 【答案】C

C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x＋1

2．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f>0，f<0，则方程的根在区间( )

A．, B．(1, C．,2) D．不能确定

【解析】由题意知f·f<0，∴方程的根在区间,内，故选A.

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2， f＝，f＝－

f＝－，f 5)＝， f 25)＝－，

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为________．

【解析】根据题意知函数的零点在 25至 5之间，

因为此时| 5－ 25|＝ 25<，故方程的一个近似根可以是 5.答案不唯一，可以是[ 5, 25]之间的任意一个数．【答案】 5

4、方程⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

＝ln x 的根的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【解析】 方法一：令f(x)＝ln x －⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x ， 则f(1)＝－1

2<0，f(e)＝1－

1

2e

>0， ∴f(x)在(1，e)内有零点．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)

在定义域内仅有1个零点．方法二：作出y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x 与y ＝ln x 的图象观察可知

只有一个交点．故选B.

5、方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

【解析】 令f(x)＝2x －1＋x －5，则f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2,3)内有解．故选C. 6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：

A ．,

B ．,

C ．,

D ．,

【解】 设f(x)＝2x －x 2，由表格观察出在x ＝时，2x >x 2，即f>0；在x ＝时，2x

x

的零点所在的区间是( )

【解析】 f(12)＝e －2<0， f(1)＝e －1>0， ∵f(1

2)·f(1)<0，

故选B.

二、填空题(每小题5分，共10分)