理论力学14应力状态分析
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2
2
2 xy
在 - 坐标系下，其对应一圆，称为应力圆。
该应力圆的圆心坐标为
半径为
C
x
2
y
,
0
R
x
2
y
2
2 xy
30
x y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
30 50 30 50 cos 60 20sin 60 52.3 MPa
2
2
30
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
30
30 50 sin 60 20cos 60 18.66 MPa
3
3. 切应力最大值
max
五、单向应力状态
1. 斜截面上的应力
2
2
cos 2
2
sin 2
2. 主平面和主应力
主平面： 主应力：
0 0
1 1 0
2 0 2 0
3 0 3
3. 最大切应力及其所在平面
最大切应力所在平面： 最大切应力：
45°斜截面
max
2
[例1] 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应 力单位为 MPa）
解： 对于图示单元体，有 x 30 MPa y 50 MPa xy 20 MPa 30 代入相应公式，即得指定斜截面上的正应力和切应力
30
2
[例2] 图示单元体的应力状态，试求主应力并确定主平面的位置。 解： 对于图示单元体，有 x 25 MPa y 75 MPa xy 40 MPa 代入相应公式得
x y 2
x
2
y
2
2 xy
25 75
40 75
19.3
0 0 90 109.3
与 1 、3 的对应关系见主应力单元体图
0
x
第四节 二向应力状态分析的图解法
由二向应力状态下斜截面上应力的解析算式，易得
x
y
2
2
2
x
y
2
25 75 2
2
402
39 MPa 89 MPa
所以，三个主应力分别为
1 39 MPa
2 0
3 89 MPa
主平面的方位角
0
1 2
arctan
2 xy x
y
1 2
arctan
2 25
x
2
y
2
2 xy
切应力最大值
max
1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力
sin 2 主平面： 45°斜截面
主应力： 1
2 0
3. 三向应力状态 三个主应力都不为零
◆ 二向应力状态与三向应力状态又统称为复杂应力状态
第二节 复杂应力状态的工程实例
薄壁圆筒承受内压 p，研究其上任意一点的应力状态 ——
薄壁圆筒： 壁厚 ＜内径 D / 20
假设应力沿壁厚均匀分布
1. 横截面上的轴向拉应力
由平衡方程
Fix 0,
p
第十四章 应力状态分析与强度理论
第一节 应力状态概念
点的应力状态：通过点的所有截面在该点处的全部应力情况 一、研究点的应力状态的方法 单元体法： 围绕点截取一个无限小的微立方体，称为单元体。通过单元体来 研究该点的应力状态。
单元体的特征： 1. 无限小，其上各面均通过该点，其上的应力即代表该点的应力。 2. 平行面上应力相同。
πD2 4
x
πD
0
得横截面上的轴向拉应力
x
pD
4
D x
2. 纵截面上的周向拉应力 由平衡方程，
Fiy 0, p lD t 2l 0
得纵截面上的周向拉应力
t
pD
2
可见，周向拉应力 t 是轴向拉应力 x 的 2 倍
对于薄壁圆筒，内表面受到的内压 p 和外表面受到的大气压强远
注意： 1）斜截面方位角 的定义及
正负号规定
2）正应力、切应力的正负号规定
3）
90
x y
4） 90，即切应力互等定理
x
xy
yx y
1 2
x y
1 2
x y
cos 2 xy sin 2
1 2
x y
sin 2 xy cos 2
二、主平面与主应力
主平面
tan
20
2 xy x
y
0 0 90
主应力
x y 2
x
2
y
2
2 xy
0
说明： 1）必须按其代数值大小记作 1 ≥ 2 ≥ 3
2）主应力即为正应力的极值，即
max 1
min 3
1 2
x y
sin 2 xy cos 2
三、切应力极大值及其所在平面
切应力极大值所在平面
tan
21
x 2 xy
y
结论： 切应力极大值所在平面与主平面相交 45°
切应力极大值
m ax
小于 x 与 t ，故可近似作为二向应力状态处理。
第三节 二向应力状态分析的解析法
二向应力状态， 又称为平面应力状态
一、斜截面上的应力
1 2
x y
1 2
x y
cos 2 xy sin 2
1 2
x y
sin 2 xy cos 2
二、主平面·主应力·主方向 1. 主平面 切应力为零的平面称为主平面 说明：任何单元体总存在三对互相垂直的主平面
2. 主应力 主平面上的正应力称为主应力
说明：任何单元体总存在三个主应力，按其代数值大小，分别记作
3. 主方向
1 ≥2 ≥3
主平面的方位，亦即主应力的方向
三、应力状态的分类 1. 单向应力状态 只有一个主应力不为零 ◆ 单向应力状态又称为简单应力状态 2. 二向应力状态 有两个主应力不为零 ◆ 二向应力状态又称为平面应力状态
2
2 xy
在 - 坐标系下，其对应一圆，称为应力圆。
该应力圆的圆心坐标为
半径为
C
x
2
y
,
0
R
x
2
y
2
2 xy
30
x y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
30 50 30 50 cos 60 20sin 60 52.3 MPa
2
2
30
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
30
30 50 sin 60 20cos 60 18.66 MPa
3
3. 切应力最大值
max
五、单向应力状态
1. 斜截面上的应力
2
2
cos 2
2
sin 2
2. 主平面和主应力
主平面： 主应力：
0 0
1 1 0
2 0 2 0
3 0 3
3. 最大切应力及其所在平面
最大切应力所在平面： 最大切应力：
45°斜截面
max
2
[例1] 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应 力单位为 MPa）
解： 对于图示单元体，有 x 30 MPa y 50 MPa xy 20 MPa 30 代入相应公式，即得指定斜截面上的正应力和切应力
30
2
[例2] 图示单元体的应力状态，试求主应力并确定主平面的位置。 解： 对于图示单元体，有 x 25 MPa y 75 MPa xy 40 MPa 代入相应公式得
x y 2
x
2
y
2
2 xy
25 75
40 75
19.3
0 0 90 109.3
与 1 、3 的对应关系见主应力单元体图
0
x
第四节 二向应力状态分析的图解法
由二向应力状态下斜截面上应力的解析算式，易得
x
y
2
2
2
x
y
2
25 75 2
2
402
39 MPa 89 MPa
所以，三个主应力分别为
1 39 MPa
2 0
3 89 MPa
主平面的方位角
0
1 2
arctan
2 xy x
y
1 2
arctan
2 25
x
2
y
2
2 xy
切应力最大值
max
1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力
sin 2 主平面： 45°斜截面
主应力： 1
2 0
3. 三向应力状态 三个主应力都不为零
◆ 二向应力状态与三向应力状态又统称为复杂应力状态
第二节 复杂应力状态的工程实例
薄壁圆筒承受内压 p，研究其上任意一点的应力状态 ——
薄壁圆筒： 壁厚 ＜内径 D / 20
假设应力沿壁厚均匀分布
1. 横截面上的轴向拉应力
由平衡方程
Fix 0,
p
第十四章 应力状态分析与强度理论
第一节 应力状态概念
点的应力状态：通过点的所有截面在该点处的全部应力情况 一、研究点的应力状态的方法 单元体法： 围绕点截取一个无限小的微立方体，称为单元体。通过单元体来 研究该点的应力状态。
单元体的特征： 1. 无限小，其上各面均通过该点，其上的应力即代表该点的应力。 2. 平行面上应力相同。
πD2 4
x
πD
0
得横截面上的轴向拉应力
x
pD
4
D x
2. 纵截面上的周向拉应力 由平衡方程，
Fiy 0, p lD t 2l 0
得纵截面上的周向拉应力
t
pD
2
可见，周向拉应力 t 是轴向拉应力 x 的 2 倍
对于薄壁圆筒，内表面受到的内压 p 和外表面受到的大气压强远
注意： 1）斜截面方位角 的定义及
正负号规定
2）正应力、切应力的正负号规定
3）
90
x y
4） 90，即切应力互等定理
x
xy
yx y
1 2
x y
1 2
x y
cos 2 xy sin 2
1 2
x y
sin 2 xy cos 2
二、主平面与主应力
主平面
tan
20
2 xy x
y
0 0 90
主应力
x y 2
x
2
y
2
2 xy
0
说明： 1）必须按其代数值大小记作 1 ≥ 2 ≥ 3
2）主应力即为正应力的极值，即
max 1
min 3
1 2
x y
sin 2 xy cos 2
三、切应力极大值及其所在平面
切应力极大值所在平面
tan
21
x 2 xy
y
结论： 切应力极大值所在平面与主平面相交 45°
切应力极大值
m ax
小于 x 与 t ，故可近似作为二向应力状态处理。
第三节 二向应力状态分析的解析法
二向应力状态， 又称为平面应力状态
一、斜截面上的应力
1 2
x y
1 2
x y
cos 2 xy sin 2
1 2
x y
sin 2 xy cos 2
二、主平面·主应力·主方向 1. 主平面 切应力为零的平面称为主平面 说明：任何单元体总存在三对互相垂直的主平面
2. 主应力 主平面上的正应力称为主应力
说明：任何单元体总存在三个主应力，按其代数值大小，分别记作
3. 主方向
1 ≥2 ≥3
主平面的方位，亦即主应力的方向
三、应力状态的分类 1. 单向应力状态 只有一个主应力不为零 ◆ 单向应力状态又称为简单应力状态 2. 二向应力状态 有两个主应力不为零 ◆ 二向应力状态又称为平面应力状态