2018全国II卷高考压轴卷文科数学(含解析)

2018全国卷II 高考压轴卷文科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}0,1,2,3,4A =---，{}210B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}4 B ．{}1,2,3--C ．{}0,1,2,3--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---2. 已知复数()z a i a R =+∈，若4z z +=，则复数z 的共轭复数z = A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81126a a =+，则9S =( ) A ．27 B ．36 C.45 D ．544. 已知命题p ：“a b >”是“22ab>”的充要条件；q ：x R ∃∈，ln x e x <，则A ．￢p ∨q 为真命题B ．p ∧￢q 为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题5. 若命题:0,,sin 2p x x x p π⎛⎫∀∈<⌝ ⎪⎝⎭，则为 A ．0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∉≥ ⎪⎝⎭C ．0000,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭D ．0000,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≤ ⎪⎝⎭6. 将函数cos 2y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =是奇函数 B ．()y f x =的周期为2π C ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于点(,0)2π-的对称7. 执行如图的程序框图，则输出的S 值为A.1B.23 C.12-D.0 8. 函数2()(3)ln f x x x =-⋅的大致图象为（ ）A B C D9. 多面体MN ABCD -的底面ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM 的长为（ ）A 3B 5C 6D ．2210. 已知向量()()2,1,1,1m n =-=u r r .若()()2m n am n -⊥+u r r u r r,则实数a =（ ）A ．57-B ．57C ．12-D ．1211. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是（ ） A ．()263cos5x f x π=+ B ．()53cos 5xf x π=+ C ．()2,8,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩ D ．()2,08,0x f x x ≤⎧=⎨>⎩二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若,x y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该学校今年计划招聘教师最多人.14. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是a b c 、、，且222()a b c +-(cos cos )a B b A ⋅+abc =，若2a b +=，则c 的取值范围为 ．15. 抛物线 M ：y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，抛物线M 与 椭圆N 交于A ，B ，若F ，A ，B 共线，则椭圆N 的离心率等于 ．16. 已知函数f （x ）=lg[（m 2﹣3m+2）x 2+（m ﹣1）x+1]的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.18.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11AAC C ， 1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .(l)求证： 1A C ⊥平面1ABC ； (Ⅱ)求证： 1//AA EF ；(Ⅲ)记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值．19.（12分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？20.（12分）平面曲线C 上的点到点F (0,1）的距离等于它到直线1-=y 的距离。

（1）求曲线C 的方程；（2）点P 在直线1-=y 上，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，求证：A 、B 、F 三点共线；（3）若直线PF 交曲线C 于D 、E 两点，设DF FE DP PE λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r，，求证λμ+为定值，并求这个定值。

21.（12分）已知函数()ln x x f x =,()g x x a =+． （Ⅰ）设()()()h f x x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （Ⅱ）若10a -<<，函数()()()x g x M x f x ⋅=，试判断是否存在0(1,)x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为2,4x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）若直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，求弦长||AB ；（2）以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 23sin ρθθ=+，圆O 和圆C 的交点为P ，Q ，求弦PQ 所在直线的直角坐标方程．23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数.|1||1|)(+---=x x m x f （1）当5=m 时，求不等式2)(>x f 的解集；若函数322++=x x y 与)(x f y =的图像恒有公共点，求实数m 的取值范围.数学（文史类）试卷答案及评分参考一、选择题： 1.【答案】C【解析】求解二次不等式可得： ，结合交集的定义可得：.本题选择C 选项.2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，先变量词，再否结论，故选C.6.【答案】C7.【答案】D【解析】由图知本程序的功能是执行22019cos0coscoscos333S πππ=++++L 此处注意程序结束时2019n =，由余弦函数和诱导公式易得：2345cos0coscoscos cos cos 033333πππππ+++++=，周期为6，202033664=⨯+ 2201911cos0coscoscos 336011033322S πππ=++++=⨯++--=L 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】B 11.【答案】C【解析】抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），圆x 2+（y ﹣4）2=1的圆心为C （0，4）， 根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C ．12.【答案】C 二、填空题： 13.【答案】10 14.【答案】[1,2) 15. 【答案】﹣1【解析】如图所示由F ，A ，B 共线，则AF ⊥x 轴， 由抛物线 M ：y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，∴=c ，把x=，代入抛物线方程可得：y 2=2p•，解得：y=p ．∴A （，p ），即A （c ，2c ）．代入椭圆的方程可得：，又b 2=a 2﹣c 2，∴，由椭圆的离心率e=，整理得：e 4﹣6e 2+1=0，0＜e ＜1．解得：e 2=3﹣2，∴e=﹣1，故答案为：﹣1．16．【答案】m ＞或m≤1【解析】由于f （x ）的定义域为R ， 则（m 2﹣3m+2）x 2+（m ﹣1）x+1＞0恒成立，若m 2﹣3m+2=0，即有m=1或2，当m=1时，1＞0，恒成立， 当m=2时，x+1＞0不恒成立． 若m 2﹣3m+2＞0，且判别式小于0，即（m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3m+2）＜0，即有m ＞2或m ＜1，且m ＞或m ＜1， 则m ＞或m ＜1， 综上，可得，m ＞或m≤1，故答案为：m ＞或m≤1．三、解答题：（一）必考题：60分。

17．（本小题满分12分）【答案】（Ⅱ）解：由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列.设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-【解析】18．（本小题满分12分）【答案】（1） 因为 AB ⊥平面11AAC C ，所以 1A C AB ⊥． 在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以 四边形11AAC C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． 所以 1A C ⊥平面1ABC ． （2）在 三棱柱111ABC A B C -中， 因为 11//A A B B ， 1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． 因为 平面1AA EF ⋂平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． （3）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V . 因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以2313V V =， 所以 1233213V V V V =-=. 因为 116V V =， 所以 3131624V V =⨯=. 因为 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高， 所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14， 所以 14BF BC =．19．（本小题满分12分）【答案】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人）， 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大． 【解析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．20．（本小题满分12分）【答案】(1)y x 42=证明：（2）设1122(,1)(0,1)(,)(,)P t F A x y B x y -，由已知，设，242x xy y '==由得,121222x x A B k k ∴==过、的切线的斜率分别为，121122()()22x xA B y y x x y y x x ∴-=--=-过、的切线的切线方程分别为， 由22112244y x y x ==，，得上述切线方程的化简方程为11222(),2()y y x x y y x x +=+= P Q 点在这两条切线上,11222(1)2(1)2(1)y tx y tx A B y tx ∴-=-=-=，，即点、在直线上(1,0)2(1)F y tx A B F -=Q 点在直线上，故、、三点共线。