断裂力学-应力强度因子(第2章)

3
边界条件：
z , x y xy 0
z a, 除去 z b 处裂纹为自由 y 0, xy 0 表面上
如切出 xy 坐标系内的第一象限的 以新坐标表示
薄平板，在 x 轴所在截面上内力 总和为P
2 p ( a ) a 2 b 2 Z [( a ) 2 b 2 ] ( 2a)
1.在“无限大”平板中具有长度为 2 a 的穿透板厚的裂 纹表面上,距离 x b 处各作用一对集中力P
x Re ZⅠ y Im ZⅠ
y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
选取复变解析函数：
2 pz a 2 b2 Z ( z 2 b2 )
原有裂纹面: 扩展后裂纹面:
x2 z 2 y 2 2 ( ) 1 2 a c y0
x2 z2 y 2 2 ( ) 1 2 a c y0
z z1 代入 原有裂纹面的边缘 y 向位移 y 以 x x1 ，
15
x12 z12 x12 z12 y 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 y a c (1 f ) a (1 f ) c 0

1
1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应 力强度因子 原裂纹面
z1 cos , x1 sin
x12 z12 2 2 2 2 2 2 1 c x a z a c 1 1 2 2 a c


ac c2 sin 2 a 2 cos2
2 2 2 2ry0 16(1 ) 2 r c 2 sin 2 a 2 cos2 KI 2 ac E 2
1 E 2 2 2 2 2 2 K I2 ( ) y c sin a cos 0 2 4 1 ac
17
2(1 2 ) a y0 E
sin
取 M 2b tan a w
a
2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
2a 1 2b 5
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（
）可不
考虑相互作用,按单个裂纹计算.
9
二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算
1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
1950年,格林和斯内登分析了弹
性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的 应力和应变得到椭圆表面上任意点, 沿 y 方向的张开位移为
x2 z 2 1 y y0 (1 2 2 ) 2 a c
其中:
2(1 2 ) a y0 E
第二类椭圆积分
12
2 a 2 2 2 [sin ( ) cos ] d 0 c 2

2b
a) 2

2b
( a)]2 (sin

2b
a) 2 2
2b
cos

2b
a sin

2b
8
Z
0
2b 2 a a cos sin 2b 2b 2b
a
sin
a
KⅠ lim 2 Z
0
a 2b a 2b 2b tan a tan 2b 1 a a a 2b cos sin 2b 2b 2b
2 2 ry 0 y 2 c 2 sin 2 a 2 cos2 ac

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设各边缘的法向平面为平面应变,有:
KⅠ r 3 v [(2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
k 3 4
当 时，
4(1 2 ) r v KⅠ E 2
M1 1.12
时， 接近于半圆形的表面裂纹 M1 1
a M 1 1 0.12(1 ) c
利用线性内插法
利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数
2B a 1 M2 ( tan )2 a 2B
裂纹深度 板厚
浅裂纹不考后自由表面的影响
22
2. 柯巴亚希.沙.莫斯
M 1 1 0.12(1 a 2 ) 2c
x Re ZI y Im ZI'
( x y ) I
| |0
y Re ZI y Im ZI'
| |0

2 Re Z I
KI 2 Re 2
| |0
' Ⅱ型： x 2Im ZII y Re ZII
' y y Re ZII
( x y )Ⅱ | 0 2 Im ZⅡ | 0 2 Im
a

sin 1 (a a) q a
3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 长度为 2a ,间距为 2b 的裂纹 单个裂纹时
x 轴上有一系列
Z
z
z 2 a2
6
边界条件是周期的:
z , y x
y 0, a x a, a 2b x a 2b
18
§3-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算 一、表面线裂纹的应力强度因子
欧文假设： 半椭圆片状表面线裂纹 K I 与 深埋椭圆裂纹的 K I 之比等于边裂 纹平板 K I 与中心裂纹平板的 K I 值之比
KI表 KI边 K I 埋 K I中
K I边 K I中 2 A 0.1sin 1 W )2 (1 A tan W
KⅡ 2
| 0
25
Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量
( x y )ⅠⅡ | 0 2 Re KⅠ 2 | 0 2 Im KⅡ 2 | 0
1 2 Re[ ( KⅠ iKⅡ)] | 0 2
取复数形式的应力强度因子
K KⅠ iKⅡ
y 0, xy 0
z
2b

Z (sin
sin z
2b
2
) (sin
a
2b
)2
7
采用新坐标: z a


Z
2b ( a) 2 a (sin ) (sin )2 2b 2b
sin

( a)
当 0 时，sin 2b 2b , cos 2b 1
K ( x y )ⅠⅡ | 0 2 Re( ) | 0 2
K lim 2 2 x(Z )
0
又
( x y ) 4Re[ x(Z )]
26
若采用
Z a K 2 2 lim Z ax( Z )
z a
选择 x( z ) 满足具体问题的应力边界条件
a 1 KI ( ) 2 (c2 sin 2 a 2 cos2 ) c
1 4
在椭圆的短轴方向上，即
K I K Imax


2
，有

--椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子 当 a c 时， 2

KI 2

a
--圆片状深埋裂纹应力强度因子
深裂纹：引入前后二个自由表面 使裂纹尖端的弹性约束减少 裂纹容易扩展
K I 增大
KI (表面) Me K （埋藏） I
弹性修正系数，由实验确定
一般情况下
Me M1 M 2
后自由表面的修正系数
21
前自由表面的修正系数
1.巴里斯和薛
a 0 c
a 1 c
时， 接近于单边切口试样
2q a
0
(a x )
2 2
dx
x a cos a2 x2 a cos
dx a cos d
5

KⅠ 2q
0
a
sin 1 ( a1 a )
a cos a d 2q sin 1 (a1 a ) a cos
当整个表面受均布载荷时

KⅠ 2q
2b
)2
10
KⅡ lim 2 Z ( ) a
0
2b a tan a 2b
3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅢ lim 2 Z ( )
0
4.Ⅲ型周期性裂纹:
K a 2b a tan a 2b
11
§3-2
深埋裂纹的应力强度因子的计算
f F1 (Z ) F1 (Z ) ZF4 (Z ) ZF4 (Z )
第二章 应力强度因子的计算
1
计算 K 值的 几种方法
1.数学分析法:：复变函数法、积分变换；
2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.
2
§2-1
三种基本裂纹应力强度因子的计算
一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算
KⅠ lim 2 ZⅠ 计算 K 的基本公式 0
p( x, z), p( x1, z1 ) 均在 y 0的平面内
c2 x2 a2 z2 (1 f )4 a2c2 a2c2
14
新的裂纹面仍为椭圆
长轴
短轴
c (1 f )c
a (1 f )a
2(1 2 ) a 2(1 2 ) (1 f )a y0 (1 f ) y0 E E
2B a 1 M2 ( tan )2 a 2B
表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）
a K I Me
23
§2-4 其他问题应力强度因子的计算 一、Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算
复变数：
z x iy
z x iy
取复变解析函数：x( z) p iq 取应力函数
x12 z12 x12 z12 x12 z12 1 (1 2 f ) 2 (1 2 f ) 2 1 2 2 2 f ( 2 2 ) a c a c a c
2f
2 2 2 y2 2 fy 2 f (1 f ) y 0 0
2 fy02
f
r c 2 sin 2 a 2 cos2 ac

KⅠ lim 2 Z ( )
0
2p a
(a 2 b 2 )
4
2.在无限大平板中,具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离 x a1 的范围内受均布载荷q作用 利用叠加原理 集中力 qdx
dKⅠ
a
2q a
(a x )
2 2
dx

令
KⅠ
13
假设:椭圆形裂纹扩展时 r f
f r
f
1


r c 2 sin 2 a 2 cos 2 ac
边缘上任一点 p( x, z)有
x ( r )sin (1 f ) sin (1 f ) x1
z ( r )cos (1 f ) z1



2b
sin

2b
( a) sin


2b
cos

2b

2b
a cos

2b a

2b
sin

2b
aห้องสมุดไป่ตู้

2b
cos
a sin
[sin
( a)]2 (
[sin

2b
) 2 cos 2

2b
a2

2b
cos


2b
a sin

2b
a (sin
a
( z) p1 iq1
2 ( z) ( z) zx( z) zx( z)
或
Re[ ( z) zx( z)]

满足双调和方程
24
分析第一应力不变量
2 2 x y 2 2 4 Re[ x' ( z)] x y
对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹 Ⅰ型：
裂纹长度
又有
板宽度
19
A 当W
1 时，
2 A 2 A sin W W
tan
A
W

A
W
KI边 1.2 1.1 K I中
KI表 1.1 KI埋
K I 表 1.1K I 埋 1.16 a

--椭圆片状表面裂纹A处的 K I 值
20
二、表面深裂纹的应力强度因子
KⅡ lim Z ( ) 2
0
2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.
sin
(sin
z
2b
Z ( z)
z
2b
)2 (sin
a
2b
Z ( )
sin
[sin

2b
( a)
)2

2b
( a)]2 (sin
a