断裂力学-应力强度因子(第2章)
02--断裂力学-I-II-III裂尖场
z C2 z
C2 A2 B2i
C1,C2为待定复常数
0为实常数
代入裂纹上下表面（ ）的应力自由边界条 件，可得：
22 i 12 C1 r 1ei ( 1) C1 r 1e i ( 1)
C1 1 r 1ei ( 1) C2 r 1ei ( 1) 0
和 为解析函数
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
易证：
11 22 2 m 2 ( z ) ( z ) 4 Re ( z )
22 11 2i12 2 z ( z) ( z)
22 i12 ( z) ( z) z ( z) ( z)
平面问题 u u ( x1, x2 ) ，应变分量为：
(u , u , )
1 2
线弹性本构关系为：
平衡方程为： 变形协调方程为：
1 1 3 ( ) E 2 4
x
zy zy
K III cos 2 2 r K III sin 2 2 r
其中，K III S y a
线弹性断裂力学
均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近 位移场（I-II混合型裂纹）：
K II r 2 cos 1 2sin 2 2 2 2 r 2 sin 1 2 cos 2 2
断裂力学
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（4）相容方程
u x x v y y v u xy x y
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
k
结构为何破坏？
存在裂纹
（2） 研究对象与任务
定义： 断裂力学是研究带裂纹体的强度和裂纹扩展规律的一门学科。 任务： 1) 研究裂纹尖端附近的应力变化。 2) 掌握裂纹在荷载作用下的扩展规律。 3) 了解带裂纹构件的承载能力。 4) 提出抗断设计的方法，保证构件安全。
断裂力学的发展为强度设计打开了新领域，但并不能完全代替传统 的强度设计理论。
1.2 材料断裂韧度
（1）脆性断裂与韧性断裂
要区分两种不同的断裂需要首先了解什么是脆性,什么是韧性。 韧性（度）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。 韧度高的材料不易断裂。比如低强度钢在断裂前往往有大量的塑性 变形，颈缩。可容易产生塑性变形的材料并不一定韧度高。如金、 银很容易断裂，是因为强度太低，吸收能量有限。把韧性低的材料 称为脆性材料，如玻璃、粉笔。 脆性断裂：荷载与变形量是线性关系（非线性段很小）。起裂点与失 稳点非常接近。如图，裂纹扩展后荷载迅速下降，断裂过程很快结束。 从实验现象上看脆断的断口比较平坦，基本与轴线垂直。 韧性断裂： 韧性断裂有较长的非线性关系（即先早已进入塑性阶段）。 启裂后又有一段缓慢的扩展时间，除外荷载增加到失稳点否则不失稳。 实验试件切口根部发生塑性变形，剩余面积变小，端口可能是锯齿型。
1) 2) 3)
Z的共轭复数:
z x iy
z1 z 2 z1 z 2
cos i sin
哈工大断裂力学讲义(第二章)[研究材料]
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c2 x2 a2 z2 (1 f )4 a2c2 a2c2
调研学习
14
新的裂纹面仍为椭圆 长轴 短轴
c (1 f )c a (1E
2(1 2 ) (1 E
f
)a
(1
f
) y0
原有裂纹面:
1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅡ
lim
0
Z
(
)
2
2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.
Z(z)
sin z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
Z ( )
sin ( a)
2b
[sin ( a)]2 (sin a )2
调研学习
3
以新坐标表示
边界条件：
z ,x y xy 0
z a, 除去 z b 处裂纹为自由 表面上 y 0, xy 0 如切出 xy 坐标系内的第一象限的 薄平板，在 x 轴所在截面上内力 总和为P
Z 2 p( a) a2 b2
[( a)2 b2 ] ( 2a)
KⅠ
1 cos a sin a
2b
2b 2b 2b
2b tan a a 2b
取 Mw
2b tan a a 2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ 2a 1 ）可不
考虑相互作用,按单个裂纹计算.
2b 5
调研学习
9
二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算
x2 a2
断裂力学总结
失稳扩展
可以止裂
若材料的表面自由能是常数，则有：
失稳扩展
可以止裂
第二章应力பைடு நூலகம்度因子
2.1裂纹的几种基本型
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之则不发生。
图4-2
等于 时，则 ，当 时， 趋近于 值，得 ；当 时， 得： ，最后得到 。
4.2裂纹张开位移CTOD及J积分
裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。对I型裂纹来说，线弹性断裂力学给出 。若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以 代替 ， 代替 ，可得小范围屈服修正时 ，利用能量释放率 与 的关系有：
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能 要比在没有裂纹时所储存的总应变能 大，两者之差用 表示。由于没裂纹时的总应变能 与裂纹长度无关，故有：
1.2能量平衡理论的应用
按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。假设 为外界对系统所做的功， 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积， 为表面能，则断裂发生的临界条件为： 此式为带裂纹物体的断裂判据。按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量 ，将等于两倍的总应变能的变量 ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：
现以I型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。一块很长的矩形板，如图3-3，
断裂力学——2Griffith 理论(1)
13
Griffith理论
二、Griffith理论 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题 时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。 上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长 后，固定两端，构成能量封闭系统。
14
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa. The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa experiments on glass fibers that Griffith himself conducted suggested that the fracture stress increases as the fiber diameter decreases. –尺寸相关性
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concretE. Inglis
A Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis. Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures.
断裂力学课程设计
断裂力学课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解断裂力学的概念，掌握断裂力学的基本原理和主要公式。
2. 学生能描述材料断裂的类型及特点，了解断裂力学在实际工程中的应用。
3. 学生能运用断裂力学知识分析简单结构组件的断裂问题，并掌握基本的断裂控制方法。
技能目标：1. 学生具备运用断裂力学原理进行问题分析的能力，能运用相关公式进行计算。
2. 学生能通过案例分析和团队合作，提高解决实际工程问题的能力。
3. 学生能运用现代技术手段，如计算机软件，进行断裂分析，提高实际操作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习断裂力学，培养对工程科学的兴趣，增强探索精神。
2. 学生在学习过程中，培养严谨的科学态度，提高分析和解决问题的自信心。
3. 学生通过团队合作，培养沟通协调能力和团队合作精神，认识到团队协作的重要性。
4. 学生能关注断裂力学在工程领域的发展，意识到断裂控制对工程安全的重要性，树立安全意识。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程目标旨在使学生在掌握断裂力学基本知识的基础上，提高解决实际问题的能力，培养严谨的科学态度和团队协作精神，为未来从事相关领域工作打下坚实基础。
通过具体的学习成果分解，后续教学设计和评估将更有针对性，确保课程目标的实现。
二、教学内容本课程依据课程目标，选取以下教学内容：1. 断裂力学基本概念：讲解断裂力学的发展历程、断裂韧性的定义、断裂控制的目的。
- 教材章节：第一章 引言2. 断裂力学基本理论：包括应力强度因子、裂纹尖端应力场、位移场等基本理论。
- 教材章节：第二章 断裂力学基本理论3. 断裂类型及特点：分析线弹性断裂、弹塑性断裂、疲劳断裂等类型的特点及判定方法。
- 教材章节：第三章 断裂类型及特点4. 断裂力学应用：介绍断裂力学在工程领域的应用，如航空、汽车、建筑等行业的断裂控制。
- 教材章节：第四章 断裂力学应用5. 断裂分析及控制方法：讲解线性弹性断裂力学、弹塑性断裂力学分析方法及断裂控制策略。
应力强度因子的求解方法的综述
应力强度因子的求解方法的综述摘要：应力强度因子是结构断裂分析中的重要物理量，计算应力强度因子的方法主要有数学分析法、有限元法、边界配置法以及光弹性法。
本文分别介绍了上述几种方法求解的原理和过程，并概述了近几年来求解应力强度因子的新方法，广义参数有限元法，利用G*积分理论求解，单元初始应力法，区间分析方法，扩展有限元法，蒙特卡罗方法，样条虚边界元法，无网格—直接位移法，半解析有限元法等。
关键词：断裂力学；应力强度因子；断裂损伤；Solution Methods for Stress Intensity Factor of Fracture MechanicsShuanglin LU(HUANGSHI Power Survey&Design Ltd.)Abstract: The solution methods for stress intensity factor of fracture mechanics was reviewed, which include mathematical analysis method, finite element method, boundary collocation method and photo elastic method. The principles and processes of those methods were introduced, and the characteristics of each method were also simply analyzed in this paper.Key words: fracture mechanics; stress intensity factors0 引言断裂力学的基础理论最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。
Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂现象时，认为裂纹的存在及传播是造成断裂的原因。
应力强度因子
断裂与损伤力学应力强度因子数值计算方法综述2013年6月第一章应力强度因子求解方法概述含有裂纹的工程结构的断裂力学分析一直是一个重要问题，在断裂力学理论中应力强度因子是线弹性断裂力学中最重要的参量。
它是由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式而确定。
由于裂尖应力场强度取决于应力强度因子，因此在计算各种构件或试件的应力强度因子是线弹性断裂力学的一项重要任务。
由于应力强度因子在裂纹体分析中的中心地位，它的求解自断裂力学问世以来就受到了高度的重视。
迄今为止，已经产生了众多的理论和致值解法。
70年代中期以前的有关工作在文献中已有相当全面的总结，近20年来，求解的方法又得刭了明显的发展与完善。
下文将穿透裂纹问题(二维)与部分穿透裂纹问题（三维）分开讨论。
第二章 二维裂纹问题2.1 复变函数法由Muskhelishvili 的复变函数法，应力函数为：_])()()([2/1)]()(Re[z z z z z z z z χψψχψ++=+=Φ平面应变情况下的应力与位移为： )]('Re[42222z yx y x ϕφφσσ=∂∂+∂∂=+ )]('')(''[22z z z i xy y x χϕτσσ+=+-)](')('[21)(243x z z z iv u χϕμϕμμ+--=+ 可以证明，在裂纹尖端区域：)]('lim[220z z z iK K K I ϕπ-=-=∏由上式可见。
由于k 仅与)(z φ有关，因此只需确定一个解析函数)(z φ，就能求得k I ，这一方法一般只能用来解无限体裂纹问题。
对于含孔边裂纹的无限大板，通常可利用复变函数的保角映射原理来简化解题过程。
如采用复变（解析）变分方法，则可求解具有复杂几何形状的含裂纹有限大板的应力强度因子。
2.2 积分方程法弹性边值问题可以变为求解下列形式的积分方程：)())(()().,(r f dt t b a t t P t r M -=--⎰ 由积分方程解出沿裂纹的坐标的函数，便能直接求出应力强度因子k 。
裂纹 应力强度因子
裂纹应力强度因子裂纹是工程材料中常见的缺陷之一，它们对材料的强度和可靠性产生重要影响。
而应力强度因子是评估裂纹尖端应力分布的一种重要参数。
本文将从裂纹的定义、分类以及应力强度因子的计算方法等方面进行讨论。
一、裂纹的定义与分类裂纹是指材料内部或表面的断裂缺陷，它通常是由于外部应力或内部缺陷引起的。
裂纹可以分为表面裂纹和内部裂纹两种类型。
1. 表面裂纹：表面裂纹是指紧靠着材料表面的裂纹，常见的表面裂纹有划痕、剥落等。
表面裂纹的应力强度因子可以通过复杂的弹性力学公式进行计算，但本文不做深入讨论。
2. 内部裂纹：内部裂纹是指位于材料内部的裂纹，它们通常是由于材料制备过程中的缺陷或外部应力作用导致的。
内部裂纹可以进一步分为静态裂纹和疲劳裂纹两类。
静态裂纹是指在静态载荷作用下形成的裂纹，它们的扩展速率相对较慢。
而疲劳裂纹是指在循环载荷作用下形成的裂纹，它们的扩展速率相对较快。
二、应力强度因子的定义与计算应力强度因子是评估裂纹尖端应力分布的重要参数，它可以用来预测裂纹扩展的速率和方向。
应力强度因子的定义如下：应力强度因子K是一个与裂纹尖端应力状态有关的无量纲常数，它可以通过应力分析或试验测量得到。
在弹性力学中，对于平面应力问题，应力强度因子可以通过以下公式计算得到：K = σ√(πa)其中，σ是裂纹尖端的应力，a是裂纹的长度。
三、应力强度因子的应用应力强度因子的计算对于评估材料的疲劳寿命和可靠性非常重要。
通过计算裂纹尖端处的应力强度因子，可以预测裂纹在不同载荷条件下的扩展速率和方向，从而为材料的设计和使用提供参考依据。
应力强度因子还可以用于评估结构中的裂纹扩展行为。
通过测量裂纹尖端处的应力强度因子，可以及时发现结构中的裂纹扩展情况，从而采取相应的措施进行修复或更换。
四、应力强度因子的影响因素应力强度因子除了与裂纹尺寸和应力有关外，还受到材料的性质、载荷条件以及环境因素的影响。
1. 材料性质：不同材料的应力强度因子与裂纹尺寸和应力的关系不同。
疲劳与断裂2ppt课件第二章节应力疲劳
宏观机理的研究有助于了解材料 的疲劳断裂过程，并指导材料的
设计和应用。
裂纹扩展与断裂
当材料受到循环应力作用时， 裂纹会在材料内部形成并逐渐 扩展。
随着循环次数的增加，裂纹扩 展到一定程度后，材料会发生 断裂。
裂纹扩展与断裂的研究有助于 预测材料的寿命和安全性，为 工程结构的维护和安全评估提 供依据。
在循环应力作用下，材料内部的微观 结构会发生改变，如晶粒的变形、位 错的滑移等，这些改变会影响材料的 疲劳性能。
宏观机理
宏观机理主要研究材料在宏观尺 度上的疲劳行为，包括材料的应
力应变曲线、塑性变形等。
在循环应力作用下，材料会发生 塑性变形，随着循环次数的增加， 塑性变形逐渐累积，最终导致材
料的断裂。
Байду номын сангаас命较长。
应力集中
结构中的缺口、孔洞、 切槽等引起的应力集中，
会降低疲劳寿命。
环境因素
温度、湿度、腐蚀介质 等环境因素对材料的疲
劳性能产生影响。
02
应力疲劳的机理
微观机理
微观机理主要研究材料在微观尺度上 的疲劳行为，包括晶粒、位错等。
微观机理的研究有助于深入了解材料 的疲劳性能，并为提高材料的疲劳强 度提供理论依据。
03
应力疲劳的测试与评估
测试方法
01
02
03
恒幅载荷疲劳试验
在恒定的应力幅值下，对 试样进行疲劳试验，以确 定试样的疲劳极限和寿命。
随机载荷疲劳试验
模拟实际工况中的随机载 荷，对试样进行疲劳试验， 以评估试样在随机载荷下 的疲劳性能。
断裂力学方法
通过测量材料的裂纹扩展 速率和临界应力强度因子， 评估材料的疲劳性能和断 裂韧性。
应力强度因子
应力强度因子应力强度因子是力学领域中一个重要的概念，用来描述材料在裂纹尖端的应力集中情况。
在材料工程和断裂力学中，应力强度因子的概念被广泛应用。
应力强度因子的理论基础是线弹性断裂力学，该理论描述了材料在发生破裂时的应力和位移场。
应力强度因子的定义在裂纹尖端处的应力场通常是复杂的，而应力强度因子是一种在裂纹尖端的应力场附近对应力的特定描述。
它通常用符号K表示，可根据裂纹尖端的应力场表达式得出。
应力强度因子是衡量材料裂纹尖端应力集中程度的物理量。
应力强度因子的计算计算应力强度因子的方法主要有解析解法、半解析解法和数值解法。
解析解法适用于简单几何形状和边界条件的情况，可以通过应力场的解析解来计算应力强度因子。
半解析解法则是在解析解法的基础上引入数值计算方法解决更为复杂的情况。
数值解法则通过数值模拟来近似计算裂纹尖端的应力场和应力强度因子。
应力强度因子的应用应力强度因子的应用可以帮助工程师和科学家更好地理解材料的断裂行为。
通过计算裂纹尖端的应力强度因子，可以预测材料的疲劳寿命、裂纹扩展速率等参数，进而指导材料设计和使用。
此外，在材料选用、损伤评估、结构安全性评估等方面，应力强度因子也扮演着重要的角色。
结论应力强度因子作为描述裂纹尖端应力集中的重要参数，在材料断裂力学和工程实践中发挥着至关重要的作用。
深入理解和准确计算应力强度因子，对于改善材料性能、提高结构安全性具有重要意义。
在未来的研究和工程实践中，应该进一步探讨应力强度因子的计算方法和应用，为材料工程领域的发展做出新的贡献。
以上是对应力强度因子的简要介绍，希望对读者有所帮助。
第02讲：应力强度因子的基本概念
应力强度因子的物理意义
20
应力强度因子的物理意义
由上节推导可知，在裂纹尖端有表达式： 由上节推导可知，在裂纹尖端有表达式：
应力分量： 位移分量： 应变分量：
K σ ij = f (θ ) 2πr
r ui = K g (θ ) 2π
K ε ij = h(θ ) 2πr
21
应力强度因子(K) 应力强度因子
表征裂端应力应变场强度的参量 Irwin于1957年提出 由线弹性理论推出，所以一般只适用 于线弹性材料的断裂 线弹性断裂力学中最重要的表征参量
22
结构强度的控制参量是应力
工作应力： σ 构件在可能受到的最大工作载荷作用下的应力。 ( 由力学分析计算得到 )
极限应力： 材料可以承受的强度指标。 极限应力： σys 、 σb 材料可以承受的强度指标。 延性材料： 脆性材料： 延性材料： σys ； 脆性材料： σb ( 通过材料力学性能的实验得到 ) 强度判据： ( 作用 ≤ 抗力 ) 强度判据： 结构或构件的工作应力≤ 结构或构件的工作应力≤ 材料的极限应力 延性材料 σys σ≤ σb 脆性材料
I型裂纹的应力强度因子 型裂纹的应力强度因子
应力强度因子的物理意义
12
裂纹的三种基本类型
(a)Ⅰ型---张开型 (b)Ⅱ型---滑移型 (c)Ⅲ型---撕开型
任何型式的裂纹都可看做是三种基本类型的组合。 任何型式的裂纹都可看做是三种基本类型的组合。工程上 型裂纹出现的最多、最危险，研究最深入， 出现的最多 Ⅰ型裂纹出现的最多、最危险，研究最深入，它是低应力 脆断的主要原因，是本课程的主要研究对象。 脆断的主要原因，是本课程的主要研究对象。
13
试判断下图中为哪种裂纹形式
断裂力学-应力强度因子(第2章)
1.在“无限大”平板中具有长度为 2 a 的穿透板厚的裂 纹表面上,距离 x b 处各作用一对集中力P
x Re ZⅠ y Im ZⅠ
y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
选取复变解析函数：
2 pz a 2 b2
10
KⅡ lim 2 Z ( ) a
0
2b a tan a 2b
3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅢ lim 2 Z ( )
0
4.Ⅲ型周期性裂纹:
K a 2b a tan a 2b
11
§3-2
深埋裂纹的应力强度因子的计算
13
假设:椭圆形裂纹扩展时 r f
f r
f
1
r c 2 sin 2 a 2 cos 2 ac
边缘上任一点 p( x, z)有
x ( r )sin (1 f ) sin (1 f ) x1
z ( r )cos (1 f ) z1
K ( x y )ⅠⅡ | 0 2 Re( ) | 0 2
K lim 2 2 x(Z )
0
又
( x y ) 4Re[ x(Z )]
26
若采用
Z a K 2 2 lim Z ax( Z )
z a
选择 x( z ) 满足具体问题的应力边界条件
深裂纹：引入前后二个自由表面 使裂纹尖端的弹性约束减少 裂纹容易扩展
K I 增大
KI (表面) Me K （埋藏） I
弹性修正系数，由实验确定
一般情况下
应力强度因子的计算
应力强度因子的计算应力强度因子（Stress Intensity Factor）是应用于裂纹尖端的一个参数，用于描述裂纹尖端应力场的强度和分布情况，是计算裂纹扩展速率和破裂韧性的重要参数。
本文将详细介绍应力强度因子的计算方法。
一、引言在构件中存在裂纹时，应力场的分布将发生变化，通常存在一个应力集中区域，即裂纹尖端。
在裂纹尖端附近，裂纹两侧的应力强度具有很大的梯度，因此需要引入应力强度因子来准确描述和分析裂纹尖端的应力状态。
二、应力强度因子的定义应力强度因子可以描述裂纹尖端应力场的强度和分布情况。
对于模式I或拉应力模式下的裂纹，应力强度因子K是一个标量，具有长度的物理意义。
对于一种给定的应力场，应力强度因子K与应力强度因子K对应的应力场是相似的。
此外，由于应力强度因子K的引入，裂纹尖端附近的应力场能够用一个等效应力来代替，从而使裂纹尖端的破坏准则能够使用等效应力来描述。
三、常用的计算方法1.解析方法解析方法是通过对裂纹尖端附近应力场的数学分析，推导出裂纹尖端的应力强度因子。
常用的方法有：格里菲斯公式、韦尔奇定理、赵万江公式等。
这些方法通常需要对裂纹尖端应力场进行严格的数学推导和分析，适用于简单几何形状的裂纹。
2.应力分析方法应力分析方法是通过有限元分析、边界元分析等数值方法，对裂纹附近的应力场进行数值模拟，进而计算应力强度因子。
通过数值模拟可以得到更为复杂的几何形状下的应力强度因子。
通常需要使用计算机软件进行模拟和计算。
3.基于实验的方法基于实验的方法是通过实验测定裂纹尖端的应力强度因子，从而得到一种实验估算的方法。
常用的实验方法有高约束比压缩试验法、断口法、几何函数法等。
与解析方法和数值方法相比，实验方法具有直接、可靠、全面的优点，但通常对实验设备和技术要求较高。
四、应力强度因子的应用应力强度因子的计算在材料科学、工程结构分析和破坏力学等领域具有广泛的应用价值。
它可用于计算裂纹扩展速率、破断韧性、疲劳寿命等。
断裂力学的关键参数-应力强度因子
小刘-LZP08-07原文材料或构件中存在宏观裂纹，这些裂纹产生的原因一般为如下几个方面：应力强度因子是表征材料断裂的重要参量，是表征外力作用下弹性物体裂纹尖端附近应力场强度的一个参量。
1957年, 欧文(Irwin,G.R.)建立了以应力强度因子为参量的裂纹扩展准则——应力强度因子准则,从而成功地解释了低应力脆断事故。
应力强度因子的概念：应力强度因子是断裂力学在研究应力作用下考虑应力和裂纹尺寸这两个因素对裂纹扩展影响而引入的新参数，记为K，它反映了裂纹顶端附近应力强弱程度。
对于普通的构件，一般形状的裂纹应力强度因子属于KⅠ型。
应力强度因子与作用在构件裂纹顶端处的名义应力σ及裂纹尺寸α之间存在如下的普遍关系。
上式中的Y为表征含裂纹构件几何形状的一个无因次系数。
应力强度因子的分类：对于不同的裂纹扩展类型有不同的应力强度因子。
可以用下图表示：K1,K2,K3,分别对应于张开型,滑开型和撕开型裂纹的应力强度因子。
张开型(Ⅰ型)裂纹应力强度因子KⅠ是线弹性断裂力学中一个重要断裂参量.设外载和结构均以裂纹2a为对称。
工程上Ⅰ型裂纹出现的最多，最危险，研究最深入。
是低应力脆断的主要原因。
应力强度因子的应用：由张开型的应力强度因子表达式可以看出，KⅠ仅由裂纹长度和名义应力确定。
若已知裂纹长度和名义应力，则KⅠ为定值，并确定了裂纹能否扩展。
由此，我们可以用KⅠ来建立某个条件并判断构件的裂纹是否扩展。
比如，某一有一个2α长度的穿透裂纹的平板，在均匀拉应力作用下，KⅠ值随外应力增大。
当外应力σ增大到一定程度时，裂纹达到失稳状态，此时，即使外力不再增加，裂纹也会迅速扩展，直到断裂。
这说明此时材料已达到KⅠ的极值。
这个极值称为材料的断裂韧性，记为KⅠc。
可见，KⅠc 表示的是材料的一种力学性能，它与试件的几何形状、受力情况、试验环境以及加载方式等有关，其值可以用试验测定。
显而易见，带裂纹的零部件产生脆断的临界条件为：上式称为脆性断裂判断式，即说明当带张开型裂纹的机械零件的应力强度，因子KⅠ达到断裂韧性KⅠc时，零件即断裂。
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KⅡ lim Z ( ) 2
0
2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.
sin
(sin
z
2b
Z ( z)
z
2b
)2 (sin
a
2b
Z ( )
sin
[sin
2b
( a)
)2
2b
( a)]2 (sin
a
f F1 (Z ) F1 (Z ) ZF4 (Z ) ZF4 (Z )
a 1 KI ( ) 2 (c2 sin 2 a 2 cos2 ) c
1 4
在椭圆的短轴方向上，即
K I K Imax
2
，有
--椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子 当 a c 时， 2
KI 2
a
--圆片状深埋裂纹应力强度因子
x12 z12 x12 z12 x12 z12 1 (1 2 f ) 2 (1 2 f ) 2 1 2 2 2 f ( 2 2 ) a c a c a c
2f
2 2 2 y2 2 fy 2 f (1 f ) y 0 0
2 fy02
f
r c 2 sin 2 a 2 cos2 ac
K ( x y )ⅠⅡ | 0 2 Re( ) | 0 2
K lim 2 2 x(Z )
0
又
( x y ) 4Re[ x(Z )]
26
若采用
Z a K 2 2 lim Z ax( Z )
z a
选择 x( z ) 满足具体问题的应力边界条件
裂纹长度
又有
板宽度
19
A 当W
1 时，
2 A 2 A sin W W
tan
A
W
A
W
KI边 1.2 1.1 K I中
KI表 1.1 KI埋
K I 表 1.1K I 埋 1.16 a
--椭圆片状表面裂纹A处的 K I 值
20
二、表面深裂纹的应力强度因子
1
1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应 力强度因子 原裂纹面
z1 cos , x1 sin
x12 z12 2 2 2 2 2 2 1 c x a z a c 1 1 2 2 a c
ac c2 sin 2 a 2 cos2
M1 1.12
时， 接近于半圆形的表面裂纹 M1 1
a M 1 1 0.12(1 ) c
利用线性内插法
利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数
2B a 1 M2 ( tan )2 a 2B
裂纹深度 板厚
浅裂纹不考后自由表面的影响
22
2. 柯巴亚希.沙.莫斯
M 1 1 0.12(1 a 2 ) 2c
KⅡ 2
| 0
25
Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量
( x y )ⅠⅡ | 0 2 Re KⅠ 2 | 0 2 Im KⅡ 2 | 0
1 2 Re[ ( KⅠ iKⅡ)] | 0 2
取复数形式的应力强度因子
K KⅠ iKⅡ
2 2 ry 0 y 2 c 2 sin 2 a 2 cos2 ac
16
设各边缘的法向平面为平面应变,有:
KⅠ r 3 v [(2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
k 3 4
当 时，
4(1 2 ) r v KⅠ E 2
y 0, xy 0
z
2b
Z (sin
sin z
2b
2
) (sin
a
2b
)2
7
采用新坐标: z a
Z
2b ( a) 2 a (sin ) (sin )2 2b 2b
sin
( a)
当 0 时，sin 2b 2b , cos 2b 1
2b
a) 2
2b
( a)]2 (sin
2b
a) 2 2
2b
cos
2b
a sin
2b
8
Z
0
2b 2 a a cos sin 2b 2b 2b
a
sin
a
KⅠ lim 2 Z
0
a 2b a 2b 2b tan a tan 2b 1 a a a 2b cos sin 2b 2b 2b
3
边界条件：
z , x y xy 0
z a, 除去 z b 处裂纹为自由 y 0, xy 0 表面上
如切出 xy 坐标系内的第一象限的 以新坐标表示
薄平板，在 x 轴所在截面上内力 总和为P
2 p ( a ) a 2 b 2 Z [( a ) 2 b 2 ] ( 2a)
sin
取 M 2b tan a w
a
2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
2a 1 2b 5
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（
）可不
考虑相互作用,按单个裂纹计算.
9
二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算
1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
2b
)2
10
KⅡ lim 2 Z ( ) a
0
2b a tan a 2b
3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅢ lim 2 Z ( )
0
4.Ⅲ型周期性裂纹:
K a 2b a tan a 2b
11
§3-2
深埋裂纹的应力强度因子的计算
1.在“无限大”平板中具有长度为 2 a 的穿透板厚的裂 纹表面上,距离 x b 处各作用一对集中力P
x Re ZⅠ y Im ZⅠ
y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
选取复变解析函数：
2 pz a 2 b2 Z ( z 2 b2 )
原有裂纹面: 扩展后裂纹面:
x2 z 2 y 2 2 ( ) 1 2 a c y0
x2 z2 y 2 2 ( ) 1 2 a c y0
z z1 代入 原有裂纹面的边缘 y 向位移 y 以 x x1 ，
15
x12 z12 x12 z12 y 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 y a c (1 f ) a (1 f ) c 0
2q a
0
(a x )
2 2
dx
x a cos a2 x2 a cos
dx a cos d
5
KⅠ 2q
0
a
sin 1 ( a1 a )
a cos a d 2q sin 1 (a1 a ) a cos
当整个表面受均布载荷时
KⅠ 2q
x Re ZI y Im ZI'
( x y ) I
| |0
y Re ZI y Im ZI'
| |0
2 Re Z I
KI 2 Re 2
| |0
' Ⅱ型： x 2Im ZII y Re ZII
' y y Re ZII
( x y )Ⅱ | 0 2 Im ZⅡ | 0 2 Im
a
sin 1 (a a) q a
3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 长度为 2a ,间距为 2b 的裂纹 单个裂纹时
x 轴上有一系列
Z
z
z 2 a2
6
边界条件是周期的:
z , y x
y 0, a x a, a 2b x a 2b
KⅠ lim 2 Z ( )
0
2p a
(a 2 b 2 )
4
2.在无限大平板中,具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离 x a1 的范围内受均布载荷q作用 利用叠加原理 集中力 qdx
dKⅠ
a
2q a
(a x )
2 2
dx
令
KⅠ
18
§3-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算 一、表面线裂纹的应力强度因子
欧文假设： 半椭圆片状表面线裂纹 K I 与 深埋椭圆裂纹的 K I 之比等于边裂 纹平板 K I 与中心裂纹平板的 K I 值之比
KI表 KI边 K I 埋 K I中
K I边 K I中 2 A 0.1sin 1 W )2 (1 A tan W
p( x, z), p( x1, z1 ) 均在 y 0的平面内
c2 x2 a2 z2 (1 f )4 a2c2 a2c2
14
新的裂纹面仍为椭圆
长轴
短轴
c (1 f )c
a (1 f )a
2(1 2 ) a 2(1 2 ) (1 f )a y0 (1 f ) y0 E E
2 2 2 2ry0 16(1 ) 2 r c 2 sin 2 a 2 cos2 KI 2 ac E 2
1 E 2 2 2 2 2 2 K I2 ( ) y c sin a cos 0 2 4 1 ac