江苏省南通中学2019届高考数学备考微专题(四)数列中的新定义问题 (1)

南通中学2019届高考数学备考微专题（四）

数列中的新定义问题

1、高考考情:以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高.

2、命题形式:常见的有新定义、新规则等.

3、求解策略：（1）准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法. 一．例题

1、若数列{}n a 满足

111

n n

d a a +-= (,n N d *∈为常数),则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列1n b ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

为“调和数列”,且12990b b b +++==90,则46b b •的最大值是 。

【解析】由已知得{b n }为等差数列,且b 4+b 6=20,又b n >0,所以b 4·b 6≤ 100,当且仅当b 4=b 6时等号成立.

2、若数列{}n a 满足

110,,n n

p

n N p a a *+-=∈为非零数列，则称数列{}n a 为“放飞”数列。已知正项数列1n b ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

为“放飞”数列，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是 。

【解析】依题意可得1n n b qb +=，则数列{}n b 为等比数列.又9999123

99502b b b b b ==，则

502b =

.8925024b b b +≥==，当且仅当892b b =即该数列为常数列时取等号.

3、若数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -++≥≥，则称数列{}n a 为凹数列。已知等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，且数列n b n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

为凹数列，则d 的取值范围是 。 3、(,4]-∞ 二．课堂习题

1.如果数列{}n a 共有k （k N *

∈，4k ≥）项，且满足条件：①120k a a a ++

+=；②

121k a a a ++

+=，则称数列{}n a 为P(k )数列．

（1）若等比数列{}n a 为P(4)数列，求1a 的值；

（2）已知m 为给定的正整数，且2m ≥．①若公差为正数的等差数列{}n a 是P(2m ＋

3)数列，求数列{}n a的公差；②若

1

,1,

3

,12,

12

n

n

q

n m n N

a

m n

m n m n N

-

*

*

⎧

≤≤∈

⎪⎪

=⎨

-

⎪+≤≤∈

⎪⎩

，其中q为常数，q

＜﹣1．判断数列{}n a是否为P(2m)数列，说明理由．

2.已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的n N *

∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}n a 为“M 数列”．

（1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”，其前n 项和n S 满足2

22()n S n n n N *

<+∈，

求数列{}n a 的公差d 的取值范围；

（2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足3

4

n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列”，求数列{}n a 的通项公式．

解析：（1）因为等差数列{}n a 为“M 数列”，所以3d >， ………………2分

由 11a =，得 (1)2n n n S n d -=+

， 由题意，得2(1)

222

n n n d n n -+<+对n N *∈均成立， 即()142n d n -<+对n N *∈均成立， …………………4分

当1n =时，3d >均成立； …………………5分

当2n ≥时，42

1

n d n +<

-恒成立， 因为4264411

n n n +=+>--，所以34d <≤， ………………7分

综上可得，数列{}n a 的公差d 的取值范围是34d <≤． …………………8分

（2）设数列{}n a 的公比为q ，则111n n n a a q q --==， 因为公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”， 所以1111(1)(1)3n n n n a a a q q q q --+-=-=->，

所以q 至少为大于等于2的正整数； …………………9分 又

11

2n n

n n a a q a a +--=-≥，所以数列1{}n n a a --单调递增，

所以在数列1{}n n a a --中，21a a -为最小项， …………………11分 由{}n a 为“M 数列”，可知只需213a a ->，即 13q ->，所以4q > ………12分 同理，在1{}n n b b --中，“21b b -”为最小项， 因为{}n b 不是“M 数列”，所以存在13m m b b --≤，

又“21b b -”为最小项，所以213b b -≤， 即 1(1)4a q -≤，所以5q ≤…………………14分