结构可靠度-可靠性的基本概念与数学基础
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第9章 结构可靠度分析
g X i
X
( X i Xi )
Z g ( X , X , , X ) 2 Z n g X
1 2 n
则 Z g ( X , X ,, X )
1 2 n
g Z i 1 X i
n
X
X
i
显然 Pf
可靠度指标β：
由β定义的代替失效概率Pf的指标。 β Pf 2.7 3.5×10-3 β与Pf关系 3.2 6.9×10-4 3.7 1.1×10-4 4.2 1.3×10-5
9-23
9.1 结构可靠度基本概念
令:
R S Z 2 2 Z R S
Y Z Z
9-2
9.1 结构可靠度基本概念
(1)、(4)为结构的安全性 (2)为结构的适用性 (3)为结构的耐久性 统称为结构的可靠性
●结构的功能函数
令 Z=R–S R：结构抗力； S：结构荷载效应。
9-3
9.1 结构可靠度基本概念
则有三种情况： (1) Z > 0 结构可靠 (2) Z < 0 结构失效 (3) Z = 0 结构处于极限状态 称 Z=R–S 为结构的功能函数 Z = R – S = 0 为结构极限状态方程 由于影响荷载效应S和结构抗力R都有 很多基本的随机变量，则结构功能函数的 一般形式为
n
2
p f ( )
9-26
9.2 结构可靠度分析的实用方法
情况Ⅱ : 结构功能函数为非线性函数
Z g ( X 1 , X 2 ,, X n )
在各个变量的中心点（均值点）展开成泰勒 级数，仅取线性项
Z g X1 , X 2 ,, X n
02第二章 结构可靠度的基本概念
f S ( s) f R (r )
r ≤s
∫∫
f RS ( r , s ) drds =
r ≤s
∫∫
f R ( r ) ⋅ f S ( s ) drds
干涉面积
s, r
结构的失效概率与随机变量R和S的概率密度干涉面积 密切相关，因此这种积分法又叫概率干涉法。 概率干涉法
2.2 结构的失效概率
–
首先对 r 积分, 在对 s 积分
Ps
Z
Z >0
3. 结构可靠指标
–结构可靠指标的定义：
φ Z ( z)
Ps
β = −Φ −1 ( Pf )
式中 Φ −1 为正态分布函数的反函数。 Pf
−β
0
Z
第 二 章 结构可靠度的基本概念
2. 2 结构失效概率
2.2 结构的失效概率 2.2.1 多总体基本变量的失效概率 1. 功能函数
Z = g ( X ) = g ( x1 , x2 ," , xn )
2.2 结构的失效概率
2.2.2 两综合变量的失效概率
1. 基本假定 (1) S 表示构件总的荷载效应，其PDF和CDF： f S ( s ) , FS ( s ) (2) R 表示构件的抗力，其PDF和CDF： f R ( r ) , FR ( r )
(3) R 和
f RS ( r , s ) = f R ( r ) ⋅ f S ( s ) S 是统计独立的，则有：
安全状态 极限状态 失效状态
0 Ø结构的极限状态方程
Z = g ( R, S ) = R − S = 0
S
2.1 结构可靠度的定义 Ø 极限状态方程的特点
–Z
为安全余量
r ≤s
∫∫
f RS ( r , s ) drds =
r ≤s
∫∫
f R ( r ) ⋅ f S ( s ) drds
干涉面积
s, r
结构的失效概率与随机变量R和S的概率密度干涉面积 密切相关，因此这种积分法又叫概率干涉法。 概率干涉法
2.2 结构的失效概率
–
首先对 r 积分, 在对 s 积分
Ps
Z
Z >0
3. 结构可靠指标
–结构可靠指标的定义：
φ Z ( z)
Ps
β = −Φ −1 ( Pf )
式中 Φ −1 为正态分布函数的反函数。 Pf
−β
0
Z
第 二 章 结构可靠度的基本概念
2. 2 结构失效概率
2.2 结构的失效概率 2.2.1 多总体基本变量的失效概率 1. 功能函数
Z = g ( X ) = g ( x1 , x2 ," , xn )
2.2 结构的失效概率
2.2.2 两综合变量的失效概率
1. 基本假定 (1) S 表示构件总的荷载效应，其PDF和CDF： f S ( s ) , FS ( s ) (2) R 表示构件的抗力，其PDF和CDF： f R ( r ) , FR ( r )
(3) R 和
f RS ( r , s ) = f R ( r ) ⋅ f S ( s ) S 是统计独立的，则有：
安全状态 极限状态 失效状态
0 Ø结构的极限状态方程
Z = g ( R, S ) = R − S = 0
S
2.1 结构可靠度的定义 Ø 极限状态方程的特点
–Z
为安全余量
结构可靠度分析基础和可靠度设计方法
结构可靠度分析基础和可靠度分析方法1一般规定1.1当按本文方法确定分项系数和组合值系数时，除进行分析计算外，尚应根据工程经验对分析结果进行判断并进行调整。
1.1.1从概念上讲，结构可靠行设计方法分为确定性方法和概率方法。
在确定性方法中，设计中的变量按定值看待，安全系数完全凭经验确定，属于早期的设计方法。
概率方法为全概率方法和一次可靠度方法。
全概率方法使用随机过程模型及更准确的概率计算方法，从原理上讲，可给出可靠度的准确结果，但因为经常缺乏统计数据及数值计算上的复杂性，设计标准的校准很少使用全概率方法。
一次可靠度方法使用随机变量模型和近似的概率计算方法，与当前的数据收集情况及计算手段是相适应的。
所以，目前国内外设计标准的校准基本都采用一次可靠度方法。
本文说明了结构可靠度校准、直接用可靠指标进行设计的方法及用可靠指标确定设计表达式中作用，抗力分项系数和作用组合值系数的方法。
1.2按本文进行结构可靠度分析和设计时，应具备下列条件：1具有结构极限状态方程；2基本变量具有准确、可靠的统计参数及概率分布。
1.2.1进行结构可靠度分析的基本条件使建立结构的极限状态方程和基本随机变量的概率分布函数。
功能函数描述了要分析的结构的某一功能所处的状态：Z>0表示结构处于可靠状态；Z=0表示结构处于极限状态；Z＜0表示结构处于失效状态。
计算结构可靠度就是计算功能函数Z＞0的概率。
概率分布函数描述了基本变量的随机特征，不同的随机变量具有不同的随即特征。
1.3当有两个及两个以上的可变作用时，应进行可变作业的组合，并可采用下列规定之一进行：（1）设m种作业参与组合，将模型化后的作业在设计基准期内的总时段数，按照顺序由小到大排列，取任一作业在设计基准期内的最大值与其他作用组合，得出m种组合的最大作用，其中作用最大的组合为起控制作用的组合；（2）设m种作用参与组合，取任一作用在设计基准期内的最大值与其他作业任意时点值进行组合，得出m种组合的最大作用，其中作用最大的组合为起控制作用的组合。
可靠度实用计算方法
[( X m ) X
i 1 i X i
]
i m X i
中心点法的最大特点是：
计算简单，运用中心点法进行结构可靠性计算时，不 必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计 参数：均值、标准差或变异系数，即可按上式计算可 靠指标值以及失效概率Ｐf 。 若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合 概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐ f 值大致在同一个数量级内； 若β值较大，即Ｐf 值较小时，Ｐf 值对基本变量的联 合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计算 出的Ｐf 值可在几个数量级范围内变化。
n
x i
平均值和方差为
m g ( m , m , , m ) Z x 1 x 2 xn
2 Z
g 2 [( X m ) ] i x i X i 1 i m
n
x i
点M＝(μX1 , μX2 ····· μXn) ，称为Ω的中心点，它以各基本变 量的均值为坐标。极限状态方程Ｚ＝０所对应的曲面将空 间分为结构的可靠区和失效区，Ｚ＝０所对应的曲面称为 失效边界。中心点Ｍ位于结构的可靠区内 g (m ,m ,m ) X 1 X2, Xn z n z g 2
z
2 R
2 S
z R S 2 2 z R S
在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）是比 较容易得到的参数，故国内外目前广泛采用均值 ( 一阶原 点矩)和标准差(二阶中心矩)来计算结构可靠度。当结构功 能函数为非线性函数时，则设法对其进行线性化处理。具 有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSM）。
工程结构设计大致可以分为两个步骤：
i 1 i X i
]
i m X i
中心点法的最大特点是：
计算简单，运用中心点法进行结构可靠性计算时，不 必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计 参数：均值、标准差或变异系数，即可按上式计算可 靠指标值以及失效概率Ｐf 。 若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合 概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐ f 值大致在同一个数量级内； 若β值较大，即Ｐf 值较小时，Ｐf 值对基本变量的联 合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计算 出的Ｐf 值可在几个数量级范围内变化。
n
x i
平均值和方差为
m g ( m , m , , m ) Z x 1 x 2 xn
2 Z
g 2 [( X m ) ] i x i X i 1 i m
n
x i
点M＝(μX1 , μX2 ····· μXn) ，称为Ω的中心点，它以各基本变 量的均值为坐标。极限状态方程Ｚ＝０所对应的曲面将空 间分为结构的可靠区和失效区，Ｚ＝０所对应的曲面称为 失效边界。中心点Ｍ位于结构的可靠区内 g (m ,m ,m ) X 1 X2, Xn z n z g 2
z
2 R
2 S
z R S 2 2 z R S
在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）是比 较容易得到的参数，故国内外目前广泛采用均值 ( 一阶原 点矩)和标准差(二阶中心矩)来计算结构可靠度。当结构功 能函数为非线性函数时，则设法对其进行线性化处理。具 有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSM）。
工程结构设计大致可以分为两个步骤：
结构可靠度-可靠性的基本理论
➢ 结构可靠与否是指结构本身而言，安全与否是指与 结构相关的生命财产而言
➢ 结构安全性的度量----安全度。主要与结构是否造 成生命财产不安全的破坏与倒塌联系；
➢ 可靠性的度量----可靠度。是针对各不同极限状态 而言。
➢ 可靠性比安全性概念更广泛、更科学
1.2 问题提出 研究结构可靠性理论是结构设计的需要
1、结构可靠性的基本概念 2、结构可靠性理论的数学基础 3、结构可靠度的分析方法 4、建筑结构作用与抗力的统计分析 5、结构体系可靠度 6、模糊可靠度理论 7、结构动力可靠性理论 8、结构时变可靠性理论
1.1 结构可靠性的定义
结构可靠性：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的能力。 结构可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的概率。
必要的稳定性 安全性、适用性、耐久性
可靠性 安全性 适用性 耐久性
安全性：
结构应能承受在正常施工和正常使用时可能出现 的各种作用；在偶然事件发生时和发生后应能保持整 体稳定性。
适用性： 结构在正常使用条件下应具有良好的工作性能。 耐久性： 结构在正常维护条件下应具有规定的耐久性能。
可靠性与安全性的区别
结构可靠性理论与应用
牛荻涛 2004.09
参考书
➢余安东、叶润修，建筑结构的安全性与可靠性，上海科技 文献出版社，1986 ➢赵国藩等，工程结构可靠度，水利水电出版社，1984 ➢吴世伟，结构可靠度分析.人民交通出版社 ,1990 ➢贡金鑫，工程结构可靠度计算方法，大连理工大学出版社， 2003 ➢李桂青，工程结构时变可靠度理论及其应用.科学出版社， 2001 ➢王光远，结构软设计理论，科学出版社，1998
Z 0 结构处于极限状态
Z gx x1, x2,, xn 0
➢ 结构安全性的度量----安全度。主要与结构是否造 成生命财产不安全的破坏与倒塌联系；
➢ 可靠性的度量----可靠度。是针对各不同极限状态 而言。
➢ 可靠性比安全性概念更广泛、更科学
1.2 问题提出 研究结构可靠性理论是结构设计的需要
1、结构可靠性的基本概念 2、结构可靠性理论的数学基础 3、结构可靠度的分析方法 4、建筑结构作用与抗力的统计分析 5、结构体系可靠度 6、模糊可靠度理论 7、结构动力可靠性理论 8、结构时变可靠性理论
1.1 结构可靠性的定义
结构可靠性：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的能力。 结构可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的概率。
必要的稳定性 安全性、适用性、耐久性
可靠性 安全性 适用性 耐久性
安全性：
结构应能承受在正常施工和正常使用时可能出现 的各种作用；在偶然事件发生时和发生后应能保持整 体稳定性。
适用性： 结构在正常使用条件下应具有良好的工作性能。 耐久性： 结构在正常维护条件下应具有规定的耐久性能。
可靠性与安全性的区别
结构可靠性理论与应用
牛荻涛 2004.09
参考书
➢余安东、叶润修，建筑结构的安全性与可靠性，上海科技 文献出版社，1986 ➢赵国藩等，工程结构可靠度，水利水电出版社，1984 ➢吴世伟，结构可靠度分析.人民交通出版社 ,1990 ➢贡金鑫，工程结构可靠度计算方法，大连理工大学出版社， 2003 ➢李桂青，工程结构时变可靠度理论及其应用.科学出版社， 2001 ➢王光远，结构软设计理论，科学出版社，1998
Z 0 结构处于极限状态
Z gx x1, x2,, xn 0
结构可靠度的基本概念
P{ R ≥S }=Ps Ps----结构可靠概率或结构可靠度
建筑结构设计目标：使得结构在规定的设计使用年限内以适 当的可靠度且经济的方式满足规定的各项功能要求。
第一节 结构可靠度基本概念
●结构的功能要求
四项基本功能：
(1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用； (2) 在正常使用时具有良好的工作性能； (3) 在正常维护下具有足够的耐久性能； (4) 在偶然事件发生时（如地震、火灾等）及发生后，仍能保
£
[t ]
Þ
Tmax
£ [t ] ×Wp
M max W
£ [s ]
Þ
M max
£ [s ] ×W
单筋矩形截面 抗弯计算式
0M
1
fcbx
h0
x 2
结构抗力R
荷载效应S 结构抗力R
指结构或结构构件承受荷载效应S的能力
建筑结构设计目标：荷载效应S ≤ 结构抗力R
R≥S 不能绝对满足，只在一定概率意义下满足，即：
结构的荷载效应S与结构抗力R
作用在
荷载
荷载效应
建筑结构上
轴力 剪力 弯矩 …… 挠度 转角 裂缝 ……
内力效应 变形效应
荷载效应统称为S
结构的荷载效应S与结构抗力R
材料特性
强
轴向拉压杆件 度
安
受扭转杆件
全 校
核
受弯杆件
公 式
构件的几何特征
FN max A
£
[s ]
Þ
FN max
£
[s ] ×
A
Tmax Wp
持必需的整体稳定性。
4
第一节 结构可靠度基本概念
(1)、(4)为结构的安全性 (2)为结构的适用性 (3)为结构的耐久性
建筑结构设计目标：使得结构在规定的设计使用年限内以适 当的可靠度且经济的方式满足规定的各项功能要求。
第一节 结构可靠度基本概念
●结构的功能要求
四项基本功能：
(1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用； (2) 在正常使用时具有良好的工作性能； (3) 在正常维护下具有足够的耐久性能； (4) 在偶然事件发生时（如地震、火灾等）及发生后，仍能保
£
[t ]
Þ
Tmax
£ [t ] ×Wp
M max W
£ [s ]
Þ
M max
£ [s ] ×W
单筋矩形截面 抗弯计算式
0M
1
fcbx
h0
x 2
结构抗力R
荷载效应S 结构抗力R
指结构或结构构件承受荷载效应S的能力
建筑结构设计目标：荷载效应S ≤ 结构抗力R
R≥S 不能绝对满足，只在一定概率意义下满足，即：
结构的荷载效应S与结构抗力R
作用在
荷载
荷载效应
建筑结构上
轴力 剪力 弯矩 …… 挠度 转角 裂缝 ……
内力效应 变形效应
荷载效应统称为S
结构的荷载效应S与结构抗力R
材料特性
强
轴向拉压杆件 度
安
受扭转杆件
全 校
核
受弯杆件
公 式
构件的几何特征
FN max A
£
[s ]
Þ
FN max
£
[s ] ×
A
Tmax Wp
持必需的整体稳定性。
4
第一节 结构可靠度基本概念
(1)、(4)为结构的安全性 (2)为结构的适用性 (3)为结构的耐久性
可靠性讲稿(2.2可靠性的基本公式)
Xiukai Yuan
随机变量 X 服从对数正态分布
1 1 ln x − µ f ( x) = exp(− ) 2 σ σ x 2π 其中ln x ~ N ( µ , σ 2 )
1 2 E ( X ) exp( µ + σ ) = 2 D( X ) = [exp(2µ + σ 2 )][exp(σ 2 ) − 1]
可靠度: Pr 失效概率: Pf 且: Pr + Pf = 1
Xiukai Yuan
• 结构可靠度(reliability)的普遍表达式
两类基本变量：强度变量，应力变量 与强度相关的基本变量：结构尺寸，表面粗糙 度，材料的性质，划痕，裂纹等。
R = R( xR1 , xR2 ,..., xRi )
∞
µln Z x2 1 Pr = Φ Φ(β ) exp(− )dx = µln Z = ∫−σ 2 2π σ ln Z ln Z
β =
µ 1 + V 2 1/ 2 S ln R 2 µ S 1 + VR µln R − µln S = 2 2 1/ 2 2 2 [ln(1 V ) ln(1 V + + + σ ln R + σ ln S R S )]
S0
(3)应力处在 dS 小区间内由干 涉引起的可靠概率(R和S独立)：
f s ( S0 ) dS ∫ f R ( R ) dR
S0 ∞
Xiukai Yuan
(4)对应力的所有可能值，强度大于应力的概率，即
Pr = P ( R > S ) =
∫
∞
−∞
f s ( S )dS ∫ f R ( R )dR
随机变量 X 服从对数正态分布
1 1 ln x − µ f ( x) = exp(− ) 2 σ σ x 2π 其中ln x ~ N ( µ , σ 2 )
1 2 E ( X ) exp( µ + σ ) = 2 D( X ) = [exp(2µ + σ 2 )][exp(σ 2 ) − 1]
可靠度: Pr 失效概率: Pf 且: Pr + Pf = 1
Xiukai Yuan
• 结构可靠度(reliability)的普遍表达式
两类基本变量：强度变量，应力变量 与强度相关的基本变量：结构尺寸，表面粗糙 度，材料的性质，划痕，裂纹等。
R = R( xR1 , xR2 ,..., xRi )
∞
µln Z x2 1 Pr = Φ Φ(β ) exp(− )dx = µln Z = ∫−σ 2 2π σ ln Z ln Z
β =
µ 1 + V 2 1/ 2 S ln R 2 µ S 1 + VR µln R − µln S = 2 2 1/ 2 2 2 [ln(1 V ) ln(1 V + + + σ ln R + σ ln S R S )]
S0
(3)应力处在 dS 小区间内由干 涉引起的可靠概率(R和S独立)：
f s ( S0 ) dS ∫ f R ( R ) dR
S0 ∞
Xiukai Yuan
(4)对应力的所有可能值，强度大于应力的概率，即
Pr = P ( R > S ) =
∫
∞
−∞
f s ( S )dS ∫ f R ( R )dR
结构可靠度分析与计算
ln R
1
2 S
S
1
2 R
ln（1 R2） ln（1 S2）
第一节 结构可靠度基本原理
当结构功能函数的基本变量不为正态分布或对数正态 分布时，或者功能函数为多个随机变量组成的非线性函数 时，可靠指标很难直接用包含基本变量统计参数的公式计 算。
第一节 结构可靠度基本原理
结构可靠度： 结构可靠性的概率度量
可靠概率: 失效概率:
结构能完成预定功能的概率（ps） 结构不能完成预定功能的概率（pf）
ps pf 1
失效概率pf 越小，结构的可靠性越高； 失效概率pf 越大，结构的可靠性越低。
习惯上以失效概率pf来度量结构可靠度。
第一节 结构可靠度基本原理
失效概率计算
已知R和S的联合概率密度函数为fRS（r，s），则结 构的失效概率为
p f P{Z 0} P{R S 0} fRS (r，s)drds rs
假定R、S相互独立，相应的概率密度函数为fR（r） 及fS（s），则有
pf
f（R r） f（S s）drds
[
0
s 0
f（R r）dr]
f（S s）ds
0
F（R s）f（S s）ds
rs
第一节 结构可靠度基本原理
或
pf
f（R r） f（S s）drds
[
r
f（S s）ds] f（R r）dr
rs
[1
0
r 0
f（S s）ds] f（R r）dr
[1
0
F（S r）]
f（R r）dr
式中 FR（）、FS（）——随机变量R、S的概率分布函数。
第一节 结构可靠度基本原理
ch3结构可靠性理论的基本概念
S
ds
s, r
f R (r )
∞ S
fS (s)ds∫ fR (r)dr
结构的可靠度p 大于S的概率 任意值在全区间（－ 结构的可靠度 s是R大于 的概率，即上式对 任意值在全区间（－ ，∞） 大于 的概率，即上式对S任意值在全区间（－∞， ） 内均应成立， 内均应成立，所以 ∞ ∞ f (r)drds (3-16) ps = fS (s) R
–
这些基本变量的集合构成基本变量空间,也称状态空间 记为 这些基本变量的集合构成基本变量空间 也称状态空间,记为 也称状态空间
X = ( X 1 , X 2 ,L , X n )
Z = g ( X ) = g ( X 1 , X 2 ,L , X n )
则当： 则当：Z >0时, 表示结构处于可靠状态， 时 表示结构处于可靠状态， Z =0时, 表示结构处于极限状态。 时 表示结构处于极限状态。 Z <0时, 表示结构处于失效状态， 时 表示结构处于失效状态， 很明显，极限状态给出了结构“可靠” 失效” 很明显，极限状态给出了结构“可靠”与“失效”之间的界 限。 称方程 (3-2) Z = g ( X ) = g ( X 1 , X 2 ,L , X n ) = 0 为极限状态方程。 极限状态方程。
∫
−∞
∫
S
s, r
3.1 结构可靠度与失效概率…12 同样地， 可定义为作用S小于抗力 的概率，即先考虑R， 小于抗力R的概率 同样地，ps可定义为作用 小于抗力 的概率，即先考虑 ，
它落在dr区间的概率为： 区间的概率为：
Pf =
∫
z <0L
∫
f X (x1) f X (x2 )L f X (xn )dx1dx2 Ldxn (3-7)
第9章 结构可靠度分析
不为正态分布或对数正态分布
时，或结构功能函数为非线性
函数时â
pf
√结构可靠指标很难用基本变
量的统计参数表达â
μZ
Z √则要由失效概率计算可靠指
可靠指标β与失效概率pf的关系
标。
9 - 16
第二节 结构可靠度分析的实用方法
一、中心点法
Ö特点：仅利用基本随机变量的统计参数(均值和方差)计算 结构的可靠度,因此实用方便。
与R相互独立，则
fZ (Z ) = fZ (R, S) = fR (R) × fS (S)
òò 此时有pf = P{Z < 0}= P{R-S < 0}= fR(R) fS(S)dRdS R-S<0
先对R积分，再对S积分，由上式有： 先对S积分，再对R积分，由上式有：
ò ò p f
=
+¥é -¥ êë
÷ö ø
dM=0.05。L为常数，L=4m。采用中心点法计算可靠指标。
P
q
L/2
L/2
简支梁及其受载
9 - 20
第二节 结构可靠度分析的实用方法
解：
mZ
=
mM
-
L 4
mP
-
1 8
L2 m q
= 18 -
4 4
´10
-
1 8
´42´源自2=4kN × m
s P = mPd P = 10´ 0.10 = 1.0kN
< 0}= PîíìsZZ
<
0ýü þ
=
P
ì í î
Z
s
m
Z
Z
< - mZ sZ
ü ý þ
其中：mZ = mR - mS , s Z =
时，或结构功能函数为非线性
函数时â
pf
√结构可靠指标很难用基本变
量的统计参数表达â
μZ
Z √则要由失效概率计算可靠指
可靠指标β与失效概率pf的关系
标。
9 - 16
第二节 结构可靠度分析的实用方法
一、中心点法
Ö特点：仅利用基本随机变量的统计参数(均值和方差)计算 结构的可靠度,因此实用方便。
与R相互独立，则
fZ (Z ) = fZ (R, S) = fR (R) × fS (S)
òò 此时有pf = P{Z < 0}= P{R-S < 0}= fR(R) fS(S)dRdS R-S<0
先对R积分，再对S积分，由上式有： 先对S积分，再对R积分，由上式有：
ò ò p f
=
+¥é -¥ êë
÷ö ø
dM=0.05。L为常数，L=4m。采用中心点法计算可靠指标。
P
q
L/2
L/2
简支梁及其受载
9 - 20
第二节 结构可靠度分析的实用方法
解：
mZ
=
mM
-
L 4
mP
-
1 8
L2 m q
= 18 -
4 4
´10
-
1 8
´42´源自2=4kN × m
s P = mPd P = 10´ 0.10 = 1.0kN
< 0}= PîíìsZZ
<
0ýü þ
=
P
ì í î
Z
s
m
Z
Z
< - mZ sZ
ü ý þ
其中：mZ = mR - mS , s Z =
《工程结构可靠度》总结报告
《工程结构可靠度》总结报告**:**班级：土木四班学号:0943０5２005日期:2０11．4.2０《工程结构可靠度》总结报告第二章结构可靠度分析2.1．1结构的功能要求（1）承载能力要求要求结构能承受在正常施工和正常使用过程中出现的各种作用而不出现承载力不足的情况。
(２)正常使用要求结构在承受在正常使用中出现的各种作用时能良好工作而不出现影响正常使用或适用性不充分的情况。
(３）整体性要求要求结构在偶然事件（火灾、爆炸、撞击等)发生时及发生后,仍能保持必要的整体稳定性而不发生连续倒塌。
自我理解:这三项要求是结构功能的基本要求,是所有建筑必须满足的。
这是对建筑的要求，同时也是我们施工方必须对建筑遵守的要求。
比如说正常使用要求,假如我们按要求使用的条件下，房屋的墙壁却出现大的裂缝,看起来让人心生不安，无法在居住下去,这就给居住者带来严重的影响,同时也会影响我们施工方的信誉。
２.1.2结构的功能函数一般情况下,总可以把影响结构可靠性的因素归纳为结构构件的荷载效应S 和抗力R。
Z=g（Ｒ，Ｓ)＝R-SＺ>0,结构可靠;Z<０，结构失效；Ｚ=0，结构处于极限状态根据Z的大小,可以判断结构是否满足某一确定功能的要求,因此称上式为表达Z的结构功能函数。
2．１.3结构的极限状态定义：结构的期望状态:结构处于满足其功能要求的状态。
用功能函数表示:ｇ（Ｘ１,…，X n)>0结构的不期望状态：结构处于未能满足其功能要求的状态。
用功能函数表示:ｇ(X１,…,Xｎ）<0结构的极限状态：分隔结构的期望状态和不期望状态的一组规定的状态。
换言之，结构整体或部分超越该状态就不能满足设计规定的某一功能要求,此状态即称为结构该功能的极限状态。
用功能函数表示：g(Ｘ1，…,X n)＝０称为结构的极限状态方程。
简单情况可表示为:Z ＝R-S ＝0在直角坐标系中可以表示为:极限状态分类: 按功能划分,可分为三类：１.承载能力极限状态 2.正常使用极限状态 ３．整体性极限状态理解：前两类极限状态是进行建筑设计时所采用的两类基本极限状态。
第九章 结构的可靠度分析与计算
Xi
X i Xi
Xi
则标准正态空间坐标系中的极限状态方程为
§9.2 结构可靠度分析方法
§9.1 结构可靠度基本概念和原理
可靠指标 和失效概率pf 之间的对应关系
pf
2.7 3.5×10-3
3.2 6.9×10-4
3.7 1.1×10-4
4.2
4.7
1.3×10-5 1.3×10-6
可靠指标表达式为
R S
2 2 R S
当R和S均为对数正态分布时，可靠指标的表达式经推导为
（一）线性功能函数情况
设结构功能函数Z：由若干个相互独立的随机变量Xi 所组成的线 n 性函数，即
Z a0
a X
i i 1
i
式中 a0、ai ——已知常数（i =1，2，…，n）。
功能函数的统计参数为
Z a 0 a i Xi
i 1
n
Z
i 1
n
2 （a i Xi ）
（1）安全性。 在正常施工和正常使用时，结构应能承受可能出现的各种外界作用；在预 计的偶然事件发生时及发生后，结构仍能保持必需的整体稳定性。 （2）适用性。 结构在正常使用时应具有良好的工作性能，其变形、裂缝或振动性能等 均不超过规定的限度。 （3）耐久性。 结构在正常使用、维护的情况下应具有足够的耐久性能。
§9.2 结构可靠度分析方法 Βιβλιοθήκη g（ X1， X2， ， Xn）
结构可靠指标为
1 2
g Z （ i 1 X i
n
2 X）
i
Xi
g X i
， X ） Z g（ X ， X ， n Z g 2 （ X ）
【结构设计】结构可靠度分析与计算.pdf
第9章 结构可靠度分析与计算 教学提示：本章介绍了结构可靠度的基本原理和基本分析方法。
并在此基础上，简述了相关随机变量的结构可靠度和结构体系的可靠度分析及计算方法。
教学要求：学生应掌握结构可靠度基本概念，熟悉结构可靠度常用的计算方法。
9.1 结构可靠度的基本概念9.1.1 结构的功能要求和极限状态工程结构设计的基本目的是：在一定的经济条件下，使结构在预定的使用期限内满足设计所预期的各项功能。
《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB 50068—2001)规定，结构在规定的设计使用年限内应满足下列功能要求。
(1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用。
(2) 在正常使用时具有良好的工作性能。
(3) 在正常维护下具有足够的耐久性能。
(4) 在偶然事件发生时(如地震、火灾等)及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。
上述(1)、(4)项为结构的安全性要求，第(2)项为结构的适用性要求，第(3)项为结构的耐久性要求。
这些功能要求概括起来称为结构的可靠性，即结构在规定的时间内(如设计基准期为50年)，在规定的条件下(正常设计、正常施工、正常使用维护)完成预定功能(安全性、适用性和耐久性)的能力。
显然，增大结构设计的余量，如加大结构构件的截面尺寸或钢筋数量，或提高对材料性能的要求，总是能够增加或改善结构的安全性、适应性和耐久性要求，但这将使结构造价提高，不符合经济的要求。
因此，结构设计要根据实际情况，解决好结构可靠性与经济性之间的矛盾，既要保证结构具有适当的可靠性，又要尽可能降低造价，做到经济合理。
整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。
极限状态是区分结构工作状态可靠或失效的标志。
极限状态可分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。
(1) 承载力极限状态。
这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形。
结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。
第二章可靠性的数学基础及系统可靠性
∑ σˆ
2
=
1 n −1
n i =1
(ti
− t)2
∑ σ =
命的数学期望E（T），记作θ。
可靠性特征量-寿命特征量
不可修复产品
设N个不可维修产品在同样条件下试验，测得全部寿命数 据（每次失效时间）为t1，t2，… tn，则平均寿命为：
∑ t = MTTF
=
1 N
n
ti
i =1
4. 寿命特征量
若子样比较大，即N很大，则将数据分成ti为中值的 m组，每组的失效数为 ∆ri ，则
产品的可靠度是时间的函数，随着时间的增长， 产品的可靠度会越来越低，它介于1与0之间，即0≤ R(t) ≤ 1。
R(t) 1
t
0
对于不可修复的产品，可靠度的观测值的计算：
Rˆ (t) = ns (t) = 1 − nf (t)
n
n
♦ 式中，n——开始投入工作产品总数；
♦ ns(t)——到t时刻完成规定功能的产品数，即残存数； ♦ nf(t)——到t时刻未完成规定功能的产品数，即失效
♦ （1）定义的对象 “产品”的具体含义（范围）——零件、元器 件、部件、设备或系统。
♦ （2）规定的条件
规定的条件是指： ① 使用和维护条件，动力、负载条件，使用方法，使
用频次，操作人员的技术水平，维修方法；
② 环境条件；
③ 贮存条件包括运输、保管条件等。
♦ （3）规定的时间
♦ 规定的时间是以时间为尺度度量产品的可靠性 特性，它是可靠性区别于产品其他特性的重要 特征。
♦ 寿命是可靠性的基本概念，对不可修复的产品 指失效前的工作时间，而对可修复的产品而言 指相邻两故障间的工作时间。
《结构可靠性分析》总复习-总复习
1，不考虑基本变量的实际分布，直接假定其服 从正态或对数正态分布，导出结构可靠度分析的 表达式。由于在分析中采用了泰勒级数在均值 （中心点）展开，故简称中心点法。
2，考虑基本变量的实际分布，把非正态分布的 随机变量当量（等效）化成正态变量，计算可靠 指标，故称为考虑分布类型的二阶矩模式或简称 当量正态变量模式。由于计算的是设计验算点的 值，故又称验算点法。
随机变量的数字特征 数学期望
1. 定义
方差
结构可靠度中常用的概率分布
1，均匀分布 2，正态分布 3，对数正态分布 4，指数分布 5，极值分布 6，泊松分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量 二维随机变量函数的分布 多维随机变量的数字特征
大数定理和中心极限定理
数理统计基础知识 一般概念
1 母体、个体和样本 母体(总体)：研究对象的全体，常指X取值的全体
i 1,2,
式中
R
为由计算公式确定的构
P
件抗力；
RP R•, 这里 R•为抗力函数
~N(0,1),
n21S2 ~2(n1)
n
故有统计T量 x0
x0 ~t(n1)
n1S2
S
n 2 n1 n
P Tt t
2
2
tt,则拒绝
2
3、母体分布的假设检验 （2检验法）
假设H0：总体x的分布函数为 F(x)=F0(x) (F0(x)是某个已知的分布)
统计量 2
k
i
npi 2
~
2
总复习
结构设计
可靠性 经济性
实践经验
工程实测 专家系统
数学理论
统计数据 实验数据
图 1.1 结 构 可 靠 性 设 计
2，考虑基本变量的实际分布，把非正态分布的 随机变量当量（等效）化成正态变量，计算可靠 指标，故称为考虑分布类型的二阶矩模式或简称 当量正态变量模式。由于计算的是设计验算点的 值，故又称验算点法。
随机变量的数字特征 数学期望
1. 定义
方差
结构可靠度中常用的概率分布
1，均匀分布 2，正态分布 3，对数正态分布 4，指数分布 5，极值分布 6，泊松分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量 二维随机变量函数的分布 多维随机变量的数字特征
大数定理和中心极限定理
数理统计基础知识 一般概念
1 母体、个体和样本 母体(总体)：研究对象的全体，常指X取值的全体
i 1,2,
式中
R
为由计算公式确定的构
P
件抗力；
RP R•, 这里 R•为抗力函数
~N(0,1),
n21S2 ~2(n1)
n
故有统计T量 x0
x0 ~t(n1)
n1S2
S
n 2 n1 n
P Tt t
2
2
tt,则拒绝
2
3、母体分布的假设检验 （2检验法）
假设H0：总体x的分布函数为 F(x)=F0(x) (F0(x)是某个已知的分布)
统计量 2
k
i
npi 2
~
2
总复习
结构设计
可靠性 经济性
实践经验
工程实测 专家系统
数学理论
统计数据 实验数据
图 1.1 结 构 可 靠 性 设 计
结构可靠度之JC法课件
大跨度结构如大型体育场馆、会展中 心等建筑的稳定性和安全性是至关重 要的。通过应用JC法，可以综合考虑 大跨度结构的材料性能、跨度、支撑 体系等多种因素，对大跨度结构在不 同荷载和环境条件下的可靠度进行分 析，从而评估大跨度结构的稳定性和 安全性。
案例分析
某大型会展中心的大跨度结构在不同 荷载和环境条件下的可靠度分析，通 过JC法计算出不同工况下的失效概率 和可靠指标，为大跨度结构的优化设 计和安全评估提供了科学依据。
桥梁结构是交通基础设施的重要组成 部分，其安全性和耐久性对于保障人 们的生命财产安全至关重要。通过应 用JC法，可以综合考虑桥梁的荷载、 材料性能、结构形式等多种因素，对 桥梁在不同荷载和环境条件下的可靠 度进行分析，从而评估桥梁的安全性 和耐久性。
案例分析
某大型桥梁在不同设计荷载和环境条 件下的可靠度分析，通过JC法计算出 不同工况下的失效概率和可靠指标， 为桥梁的维护和加固提供了科学依据 。
量的方差和相关系数计算得出。
03
结构反应的标准差
结构反应的标准差是其方差的平方根，也是描述结构反应离散程度的重
要参数。
04
JC法的应用案例
案例一：桥梁结构的可靠度分析
总结词
详细描述
桥梁结构的可靠度分析是JC法的重要 应用之一，通过分析桥梁在不同荷载 和环境条件下的可靠度，可以评估桥 梁的安全性和耐久性。
确定结构反应的统计参数
01
结构反应的均值
根据结构反应的数学模型和基本变量的统计参数，可以计算出结构反应
的均值。例如，如果结构反应是线性函数，那么其均值可以通过基本变
量的均值直接计算得出。
02
结构反应的方差
根据结构反应的数学模型和基本变量的统计参数，可以计算出结构反应
[工学]结构可靠性分析
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10
2
荷载标准值(characteristic value of a load)
荷载标准值是建筑结构按极限状态设计时采用的荷载基本代表值。荷载标准 值可由设计基准期最大荷载概率分布的某一分位值确定，若为正态分布，则 如图中的 P k 。 永久荷载标准值——按结构设计规 定的尺寸和材料容重平均值确定。
可变荷载标准值
楼面活荷载标准值 风荷载标准值 雪荷载标准值
荷载标准值的概率含义
在结构设计中，各类可变荷载标准值及各种材料容重可由《荷载规范》查取。
11
3 材料强度的变异性及统计特性(variability and statistical characteristic of material strength )
按极限状态方法设计建筑结构时，要求所设计的结构具有一定的预定功能， 这可用包括各有关变量在内的结构功能函数来表达，即
Z g ( X1, X 2 , Z g ( X1 , X 2 ,
, Xn ) , Xn ) 0
—— ——
功能函数 极限状态方程
当功能函数中仅包括作用效应
R
和结构抗力 S 两个基本变量时，可得
9
1
荷载的统计特性(statistical characteristic of a load)
我国对建筑结构的各种恒载、民用房屋楼面活荷载、风荷载和雪荷载进行了 大量的调查和实测工作。对所取得的资料应用概率统计方法处理后，得到了 这些荷载的概率分布统计参数。 永久荷载 —— 正态分布 可变荷载随时间的变异可统一用随 机过程来描述。对可变荷载随机过 可变荷载 —— 程的样本函数处理后可得到可变荷 —— 极值Ⅰ型分布 载在任意时点的概率分布和在设计 基准期内的最大值的概率分布。
2
荷载标准值(characteristic value of a load)
荷载标准值是建筑结构按极限状态设计时采用的荷载基本代表值。荷载标准 值可由设计基准期最大荷载概率分布的某一分位值确定，若为正态分布，则 如图中的 P k 。 永久荷载标准值——按结构设计规 定的尺寸和材料容重平均值确定。
可变荷载标准值
楼面活荷载标准值 风荷载标准值 雪荷载标准值
荷载标准值的概率含义
在结构设计中，各类可变荷载标准值及各种材料容重可由《荷载规范》查取。
11
3 材料强度的变异性及统计特性(variability and statistical characteristic of material strength )
按极限状态方法设计建筑结构时，要求所设计的结构具有一定的预定功能， 这可用包括各有关变量在内的结构功能函数来表达，即
Z g ( X1, X 2 , Z g ( X1 , X 2 ,
, Xn ) , Xn ) 0
—— ——
功能函数 极限状态方程
当功能函数中仅包括作用效应
R
和结构抗力 S 两个基本变量时，可得
9
1
荷载的统计特性(statistical characteristic of a load)
我国对建筑结构的各种恒载、民用房屋楼面活荷载、风荷载和雪荷载进行了 大量的调查和实测工作。对所取得的资料应用概率统计方法处理后，得到了 这些荷载的概率分布统计参数。 永久荷载 —— 正态分布 可变荷载随时间的变异可统一用随 机过程来描述。对可变荷载随机过 可变荷载 —— 程的样本函数处理后可得到可变荷 —— 极值Ⅰ型分布 载在任意时点的概率分布和在设计 基准期内的最大值的概率分布。
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结构可靠 性理论
半概率法-------- 水准一 近似概率法------水准二 全概率法---------水准三
关键如何确定结构的安全度
结构安全度的确定
抗力R、荷载S的取值 规定的安全度指标
全经验法
➢特征：
荷载与抗力的取值
凭经验
安全度指标
凭经验ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“安全系数”
➢不足：
K R S K
所有取值凭经验 如：英国规定各种房屋的安全系数为4，
必要的稳定性 安全性、适用性、耐久性
可靠性 安全性 适用性 耐久性
安全性：
结构应能承受在正常施工和正常使用时可能出现 的各种作用；在偶然事件发生时和发生后应能保持整 体稳定性。
适用性： 结构在正常使用条件下应具有良好的工作性能。 耐久性： 结构在正常维护条件下应具有规定的耐久性能。
可靠性与安全性的区别
规定时间-------设计使用年限
规定条件------正常设计、正常施工、正常使用 未包括人为的过失和错误
预定功能------ 功能要求
结构的功能要求:
➢ 在正常施工和使用时，能承受出现的各种作用 ➢ 在正常使用时具有良好的工作性能 ➢ 在正常维护下，具有足够的耐久性 ➢ 在设计规定的偶然事件发生及发生后，能保持
b
不足之处：R 和 S 的取值虽考虑了变异性，但 Kb 仍凭经验。
近似概率法
➢安全度与失效概率联系 ➢用“可靠指标”β反映失效概率
对于 Z RS
若 Z 服从正态分布，则
Z Z
若R、S为正态分布，则
Kb
2 R
2 S
S
S KR KS
其中
KR R Rb
KS S Sb
全概率法
➢特点：
➢ “半随机过程”模型
将结构的抗力作为随机变量，将作用效应视为随机 过程，结构的功能函数仍是一个随机过程。其极限状 态方程为
Z(t) R S(t)
➢ “随机变量”模型 将结构的抗力和作用效应都作为随机变量，结构的功
能函数则成为随机变量。其极限状态方程为
Z RS
结构的极限状态和失效概率如图所示。
1、结构可靠性的基本概念 2、结构可靠性理论的数学基础 3、结构可靠度的分析方法 4、建筑结构作用与抗力的统计分析 5、模糊可靠度理论 6、结构动力可靠性理论 7、结构时变可靠性理论
1.1 结构可靠性的定义
结构可靠性：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的能力。 结构可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的概率。
结构可靠性理论与应用
牛荻涛 2004.09
参考书
➢余安东、叶润修，建筑结构的安全性与可靠性，上海科技 文献出版社，1986 ➢赵国藩等，工程结构可靠度，水利水电出版社，1984 ➢吴世伟，结构可靠度分析.人民交通出版社 ,1990 ➢贡金鑫，工程结构可靠度计算方法，大连理工大学出版社， 2003 ➢李桂青，工程结构时变可靠度理论及其应用.科学出版社， 2001 ➢王光远，结构软设计理论，科学出版社，1998
Z 0 结构处于极限状态
Z gx x1, x2,, xn 0
结构的“极限状态方程”
1.5 结构可靠性的数学模型
➢ “全随机过程”模型
将结构的抗力和作用效应都视为随机过程，结构 的功能函数也是一个随机过程。其极限状态方程为
Z (t) R(t) S(t) R(t) 结构抗力随机过程 S (t) 荷载效应随机过程
R、S或各变量都采用随机变量或随机过程来描述。 用失效概率直接衡量结构的可靠性，不借助于安全
系数 或可靠指标 。
K
Pf PR S Pf
1.4 结构的极限状态
整个结构或结构的一部分作为刚体失去平
衡，如倾覆、滑移
承
载 能
结构构件或连接因材料强度被超过而破坏（包
力
括疲劳破坏）或因过度变形而不适于继续承载
极
限
状
结构转变为机动体系
态
结构或构件丧失稳定，如压屈等
正
影响正常使用和外观的变形
常
使
影响正常使用和耐久性能的局部损坏
用
极
影响正常使用的振动
限
状 态
影响正常使用的其他特定状态
极限状态函数------结构的”功能函数”
Z gx x1, x2,, xn
Z 0 结构处于可靠状态
Z 0 结构处于失效状态
结构可靠度主要研究结构设计过程中的不确定性
➢可靠性分析中不确定性的分类
随机性
不
事件发生条件的不充分性对结构可靠性的影响
确
模糊性
定
性
结构失效准则的不分明性或中间过渡性对结构
可靠性的影响
信息不完整性
反映了未来信息的不完备对结构可靠性的影响
目前的结构可靠性理论主要是对随机性的研究
➢结构可靠性分析的随机不确定性
设相互独立的随机变量R，S 的概率密度函数为
R x 和 S x则
Pf PZ 0 PR S 0
R yS xdxdy y x0
先对x积分后对y积分得：
Pf
对于桥梁结构，考虑除了强度不定性外还有各种动荷载引起
不定性及撞击和振动的影响，建议安全系数取6。
半概率法
选用S、R的的平均值
“中心安全系数”
K R S R S
不足之处：只考虑平均值，没能考虑变异性。 为此发展了“标准安全系数”
Kb Rb Sb
Rb、
S
分别为其平均值减去对应均方差的若干倍而得到。
➢ 物理不确定性：
在一定的环境和条件下，由其内在因素和外在条件共同决定 的设计变量的变异性。如几何参数不确定性、材料性能不确 定性等。
➢ 统计不确定性：
由于随机变量样本量不足而导致统计参数估计值的不确定性 处理方法：贝叶斯方法
➢ 模型不确定性：
由计算公式不准确或模型简化而产生的不确定性
1.3 结构可靠性理论的发展
➢ 结构可靠与否是指结构本身而言，安全与否是指与 结构相关的生命财产而言
➢ 结构安全性的度量----安全度。主要与结构是否造 成生命财产不安全的破坏与倒塌联系；
➢ 可靠性的度量----可靠度。是针对各不同极限状态 而言。
➢ 可靠性比安全性概念更广泛、更科学
1.2 问题提出 研究结构可靠性理论是结构设计的需要
➢ 结构设计的目标
在满足使用条件下既安全又经济
➢ 结构设计理论的内容：
结构分析
构件设计
作用
作用效应 ≤ 安全储备 × 抗力
材料
➢安全储备
安全度
结构可靠性理论更符合结构设计过程的实际
➢结构设计中的不确定性 不确定性是指事件出现或发生的结果是不确定
的，或在事件出现或发生之前不能预测其结果。 需要用不确定性方法进行分析和推断。