高等数学导数与微分练习题(完整资料).doc

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导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 ? 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x )C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.10. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i=f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

高等数学第二章导数与微分1

高等数学第二章导数与微分1第二章导数与微分一、选择题16、函数f(x) 在a，b 上可导的充分条件是f(x) 在a，b 上????(A) 有界(B) 连续(C) 有定义(D) 可微17、设f(x)= (x+ sinx )cosx，则在x=0处有(A) f?(0)?2(B) f?(0)?1(C) f?(0)?0(D) f(x)不可导18、设f(x) 是可导函数，且lim f(x0?2h)?f(x0) ?1 ，则f’(x0)?() . h?0h1 2(A) 1(B) 0(C) 2 (D)19、极限lim x?0 ln (x?a)?lna (a?0) 的值是x1 a (A) 0(B) 1(C) a(D) 20、设f (11) ? ，则d [f(x)] ? x x?1 (A) 1 (1?x) 2dx (B) ? 1 (1?x) 2dx (C) x (1?x) 2dx(D) ? x (1?x) 2dx 21、设 f (0)=0,f’(0)?1,则limx?0 f(2x) = x(A)2(B)11(C)1(D)2 4 22、设f(x)?arctan x ，则lim f(1??x)?f(1) ? ?x?0?x11(A) 1 (B) –1(C)(D) ? 2 2 223、设y?cos2 x，则y?? (A) 4cos2x(B) ?4cos2x (C) ?4sin4x(D)?2sin4x24、d ( lnx ) d x(A) ? 2(B) x 2 x 2 x x(D) 1 x x25、y?e2 x 在x?0 处的切线方程为(A) y?26、y?e x 1x?1(B) y?x?1 (C) y?2x?1(D) y?2x?1 2 在x=0处(A) 不连续但可导(B) 连续但不可导(C)连续且可导(D)不连续也不可导27、曲线2ex?2cosy?1?0 上点处的切线的斜率等于31 2 (A) 2 3 ? 2 3(C) 2(D)28、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，记(I)：在(a，b)内f(x)?0与(J)：在(a，b)内，f(x)＝f(a)，则(I)是(J)的(A) 充分但非必要条件(B) 必要但非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件二、填空题12、设’f(x)?sinx,则导数f?(x)?．?xx, 则y??．f(e2x)，且f(x)具有2阶导数，则y???______________.13、设y14、设y?15、设y(n?2)?sin (1?2x)，则y(n)? _____________________ ．_．x y?ey?1?0 确定y=f (x)，则y??__________16、设方程17、设f’’(x) 存在，则y?f (x) 的二阶导数2d2ydx2＝___________________________．18、y? x ?lnx，则y??(1)?________________．f(x0?h )?f(x0?h) ?．h?0h19、设f’(x0) 存在，则lim20、y?21、设yx?x，y??_____________．(n?2)?ln(x?1)，则y(n)?．22、设y?lny?2x?0 ，则23、设f(x)?dy?_____________．dxxex，则f(n)(x)?___________．f(1?x)?f(1?x) ＝x?0x24、设f(x) 在x=1处可导且f’(1)?2 ，则lim_____________________________．25、设y?x?26、y?xf(e27、函数29、y?x 1?x2 arccosx，则dy＝____________________________．) ，f(u) 可微，则dy?_______________．y?e?xcos (3?x) 的微分dy?．x ?1 在x=1 处的切线方程为________________．___________ ____．x 在x?1 处的法线方程为30、曲线y? 三、简答下列各题22、y?ln ( tanx)?23、y ? x x 3x sinx，求y’．1?sinx ，求y ‘ ．．3x ?xx，求y ’24、设y?sin26、设y?( x )x (x?0) ，求y ’．1?x 3125、设y?arctan ，求y ．’x 27、设y?28、设y?x?xsinx ，求y?。

高等数学第二章导数与微分习题

h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。

x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。

导数与微分(含答案)

第二单元导数与微分一、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h→--+=2、()cos x y e -=，则()0y '=3、3sin y x =，则dy =4、y =1|x dy ==5、()3ln f x x x =，则()1f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()8y =7、设()23sin 7n y x e -=+，则()n y =8、设210cos 2x y e x x =++，则()10y = ；()12y =9、设()()22f x x y ef e =+，则dy dx=10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为法线方程为 11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()1f '= 12、()22,43f x y x xy y =-+，则()()1,1,limh f y h f y h→+-=13、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0z x ∂=∂ ；()1,0y f '=14、()zu xy =，则du = 15、2ln xz y=，则12x y dz ===16、yz x=在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的z ∆= ；dz = 17、设233z x xy y =-+，则22z x∂=∂ ；22z y ∂=∂ ；2zy x ∂=∂∂18、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则x f '= ；y f '=19、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的条件；连续是极限存在的条件极限存在是连续的条件；连续是可微可导的条件20、多元函数可微、可导（偏导数存在）、连续之间关系：（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的条件（3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的条件二、计算题1、xaaa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y ' 2、()3ln 32cos 2sin 332x x y e x x +=+-+，求(0)y '3、()2sin 2x y x =，求y ' 4、sin x y x =y '5、y =y ' 6、设ln tan x y arc t ⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx7、设sin cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩，求0t dy =8、设()ln(2)111x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，求()2f '-，()f x '9、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b10、设()2135f x x x -=++，求()f x '11、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '12、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂13、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 14、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 15、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dz dt16、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy dx=17、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 18、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz==-19、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z zx y∂∂+=∂∂导数与微分答案二、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h →--+=()4212f '-=-2、设()12f '=-，则()()11limh f f h h→-+=()12f '-=3、()cos x y e -=，则()0y '=sin14、3sin y x =，则233cos dy x x dx =5、()3ln f x x x =，则()15f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()824x y e =7、设()2sin 7n y x -=，则()49sin 7ny x =-8、设210cos 2x y e x x =++，则()10102101021022cos 21010!22cos 210!2x x y e x e x π⎛⎫=++⋅+=-+ ⎪⎝⎭ ；()12122121221222cos 21222cos 22x x y e x e x π⎛⎫=++⋅=+ ⎪⎝⎭9、设()()22f x x y e f e =+，则()()()222222f x x x dy xe f x xf e e dx''=⋅+⋅10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为3y x =- 法线方程为3y x =+11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()19!f '=-()()()()()123......10f x x x x x x =----⇒⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()123......10123......10f x x x x x x x x x x x '''=----+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()23......10123......10x x x x x x x x x '=---+----⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11121311009!f '=⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-12、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的充分条件；连续是极限存在的充分条件极限存在是连续的必要条件；连续是可微可导的必要条件 13、()212y x x x x =-+-不可导点2x =-14、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,01z x ∂=∂ ；()11,02y f '=15、()22,43f x y x xy y =-+，则()()()01,1,lim1,46y h f y h f y f y y h→+-'==-+16、2lnxz y=，则1212x y dz dx dy ===-17、设233z x xy y =-+，则222z x∂=∂ ；226z y y ∂=∂ ；23zy x ∂=-∂∂ 18、()z u xy =，则()()()()11ln z z zdu yz xy dx xz xy dy xy xy dz --=++19、yz x =在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的()()2.1,1.22,10.0714z f f ∆=-= 21110.10.20.07542y dz dx dy dz x x =-+⇒=-⋅+⋅=20、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1212x f f xf y '''=+ ；1222y xf f yf y '''=--21、（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的充分条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的必要条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的必要条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的充分条件（3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的充分条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的充分条件22、曲线2cos 2sin 3x t y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩上对应于6t π=处的切线方程213z x π-==- ，法平面方程：()1302x y z π⎛⎫--+-+-= ⎪⎝⎭23、曲面27z e z xy -+=在点()2,3,0处的切平面方程()()()322310032120x y z x y z -+---=⇒+--= ，法线方程：230231x y z ---==-二、计算题1、x a aa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y '【解】：()()111ln x a a x a a a x x a a e a x x a a e y e a e x e x e a a e ax e x ---'''=⋅+⋅+=⋅+⋅+2、()3ln 32cos 2sin 332xx y e x x +=+-+，求y ' 【解】：()()()33213323ln 32323cos 22sin 2032x xx x x y e x e x x ⋅⋅+-++'=-+-+ ()()33233ln 323cos 22sin 232x x x e x e x x -+=-++3、sin x y x =y ' 【解】：()1sin sin ln 223xx xy xex x ==++⇒()()1s i n l n22s i n 1c o s l n 3232x x x y e x x x x x x -⎛⎫'=⋅+++⋅+ ⎪⎝⎭4、()2sin 2x y x =，求y ' 【解】：()222lnsin 2lnsin 22cos 2sin 22ln sin 22sin 2x x xxxx y x e y e x x x x ⎛⎫'==⇒=+⋅⋅⎪⎝⎭ ()2l n s i n 222l n s i n 22c ot 2xx e x xx x =+⋅5、y =y ' 【解】：1）()()()()()21ln ln 1ln 13ln 5ln 1ln 212y x x x x x =+--++--+ 2）等式两边同时对x 求导()()212135211221221x y y x x xx x --'=-++-⇒+--+ ()()2213511122121x y y x xx x x ⎡⎤'=++--⎢⎥+--+⎣⎦()()2213511122121x x xx x x ⎡⎤=++--⎢⎥+--+⎣⎦6、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dydx =【解】：1）0x =时0y =2）()()()1cos sin x y x y e e xy e e y xy y xy ''''-+=⇒-⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦ ()0,0sin sin 01sin sin x x x y yy e y xy e y xyy y e x xy e x xy==++''=⇒==--7、求由方程：()()cos sin xyy x =所确定的函数()y y x =的导数dydx【解】：1）等式两边同时取对数()()ln cos ln sin x y y x = 2）等式两边同时对x 求导数：()()sin cos ln cos ln sin cos sin y xy x y y x y y x-''+⋅⋅=+⋅⇒ ()()ln cos cot ln sin tan y y xdy dx x x y -=+8、设ln tan x y arc t⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx【解】：1）()()2222121ln 12tan 1tan 1t t t x t x t x y arc t y arc t y t ⎧'=⎧⎪⎧+=+⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=⎩'=⎪+⎩2）1t t y dy dx x t'==' 9、设2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩，求t dy dx =【解】：1）0t =时，1y =2) 6262cos sin cos 01sin t t y y yt t t y x t x t e t e y t e t y y e t '=+⎧'=+⎧⎪⇒⇒⎨⎨⋅''⋅+⋅-='=⎩⎪-⎩3）0,1cos cos 1sin 1sin 62622y y y yt t t y t e te ty dy dy e e t e t dx x t dxt ===⋅⋅'--==⇒=='++ 10、设()ln 111x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，求()2f '，()f x '【解】：1）()()()2212ln 2x x f f x x =='''===2）()()11ln x f x x f x x'>⇒=⇒=， ()()111x f x x f x '<⇒=-⇒= 1x =为分段点，且()1=ln1=0f ()()()111101lim lim 111x x f x f x f x x ---→→---'===--， ()()()()()()11111ln 01lim lim lim 11111111x x x f x f x x f f f f x x ++++-+→→→--''''====⇒=⇒=-- ()1111x f x xx ⎧>⎪'=⎨⎪≤⎩11、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b【解】：1）可导必连续，故()()()()211112lim lim 1lim lim 11x x x x f x f x f ax b x -+-+→→→→==⇒=+=+ 即11a b b a +=⇒-=-2）因为可导，故()()()()()()111111lim lim 11x x f x f f x f f f x x -+-+→→--''=⇒=-- ()()()()221111211111lim lim lim lim 11111x x x x x x ax b ax a x a x x x x x -+-+→→→→--++--+=⇒==----+ 1,2a b =-=12、设()2135f x x x -=++，求()f x '【解】：1）()()()()()()22135131521325f x x x f x x x f x x x '-=++⇒=++++⇒=++=+ 13、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '【解】：()()()3232sin 2sin 312sin 4261f x x x f x x x =+--⇒=-- ()2612f x x x '⇒=-14、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂【解】：1）()()()()22222322cos 22sin 26sin 24cos 2z z x y x x y x x y x x y x x∂∂=---⇒=----∂∂2）()()22222sin 24cos 2z z x x y x x y y y ∂∂=-⇒=--∂∂3）()()22222sin 24cos 2zx y x x y x y∂=-+-∂∂15、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()()()()sin u v u v x x u v z z u z ve xy e x y x u x v x++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v ye e x y y x y e ++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()sin u v u v y y u v z z u z ve xy e x y y u y v y++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v xe e x y x x y e++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦16、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()22ln 2323x x x y z x y e-=-=()()22ln 2322ln 2323x x y z x e x x y x x y -⎛⎫∂=⋅-+ ⎪∂-⎝⎭()212323x z x x y y -∂=--∂ ，17、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dzdt【解】：()()()22cos2ln 32cos2ln 326ln 322sin 232t t t t t dz z ee t dt t -+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎛⎫=⇒=⋅-- ⎪+⎝⎭ 18、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：1）()222,,2F x y z x z y z y =++2222,41,4x y z F xz F yz F x y z '''==+=+2）2224x z F z xz x F x y z '∂=-=-'∂+， 222414y z F z yz y F x y z '∂+=-=-'∂+19、设方程()222sin xy e y x y +=+确定函数()y y x =，求dy dx【解1】：()()()()()()22222s i n 2c o s 22x y x y e y x y e y x y y x y x y '''''+=+⇒⋅++=+⋅+()()22222cos 22cos xyxy x x y ye y xe y y x y +-'⇒=+-+ 【解2】：1）()()222,sin xy F x y e y x y =+-+ ()()22222cos ,22cos xy xy x y F ye x x y F xe y y x y ''=-+=+-+2）()()()()222222222cos 2cos 2cos 2cos xy xy x xy xy y ye x x y x x y ye F dy dx F xe y x y xe y x y -++-'=-=-='-+-+ 20、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz ==-【解】：1）(),,22xy z F x y z e z e -=+--， 12,12x y z ==-⇒= ,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=- 12,,12224xy x z x y z z F z ye z e x F e xe -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂-， 12,,12222xy y z x y z z F z xe z e y F e y e -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂- 2）2122242x y e e dzdx dy e e==-=+-- 21、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂ 【解】：1）()()1222z y f xy xyf xy xg g x x ∂'''=++-∂2）()21212z x f xy yg g y x∂'''=++∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z z x xy y x y∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y ∂∂+=∂∂ 设()(),,2sin 2323F x y z x y z x y z =+---+。

高等数学导数与微分综合测试题(3)含答案

高等数学导数与微分综合测试题（3）一、选择题1．设函数()n f x =()f x 在(),-∞+∞内________.A 处处可导B 恰有一个不可导点C 恰有两个不可导点D 至少有三个不可导点2．若()()f x f x =--，且在()0,+∞内()()0,0,f x f x '''>>则在(),0-∞内必有 A ()()0,0f x f x '''<< B ()()0,0f x f x '''<> C ()()0,0f x f x '''>< D ()()0,0f x f x '''>>3．设2,0,(),0,x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处________. A 极限不存在 B 极限存在，但不连续 C 连续，但不可导 D 可导 4．设函数()f x 可导，()()()1F x f x sin x =+,则()0f 0=是()F x 在0x =处可导的________.A 充分必要条件B 充分条件，但非必要条件C 必要条件，但非充分条件D 既非充分条件，又非必要条件 5．()()000limx x f x f x x x →--存在的充要条件是（）A ()00f x =B ()f x 在0x 点连续C ()00f x '=D ()f x 在0x 处可导 6．设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是______.A ()0f a =且()0f a '=B ()0f a =且()0f a '≠C ()>0f a 且()0f a '>D ()<0f a 且()0f a '< 7．设函数()f x 连续，且()00f '>，则存在0δ>，使得_______. A ()f x 在()0,δ内单调增加 B ()f x 在()0,δ-内单调减少C 对任意的x ∈()0,δ，有()f x ()0f >D 对任意的x ∈()0,δ-，有()f x ()0f > 8．设()f x '在[]a,b 上连续，且()>0f a '，()<0f b '，则下列结论错误的是_______.A 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f a >B 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f b >C 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 'D 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 二. 填空题1.设函数()=y f x 由方程2ln +4xy x =y 所确定，则曲线()=y f x 在点()1,1处的切线方程是_____________. 2．函数()1sin ,xy x =+则x dyπ==_____________.3．设3(),(1),tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导，且()00f '≠，则t 0dy dx ==______________.4．已知函数()y y x =由方程2610y e xy x ++=－确定，则()0y ''=______________. 5．设)(x f 为可导函数，且满足条件()()11lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点()()11,f 处的切线斜率为_____________.6．设函数()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=，则()()n f x ＝_____________. 7．设sin 2,x y =则dydx＝_____________. 8．22,()d yy f f x dx=已知具有二阶导数，则=_____________.三、计算题与证明题1．求函数()()ln 1+2f x x x ＝在0x =处的n 阶导数()()(n)0n 3f ≥.2．设函数()f x 在0x =可导，且()()0000f f '≠≠，，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.3．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某邻域内满足关系式()()()1sin 31-sin 8,f x f x x x α-=+＋其中()x α是0x →时是比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程. 4．设()()0101,f f '==-，求下列极限：（1）()222lim 21x x xf x →--- （2）()021lim x x f x x→-5．设函数()y y x =由方程()f y yxee =确定的，其中f 具有二阶导数且()1,f x '≠求22d y dx.6. 设函数()f x 在x a =可导，且()0f a ≠，求()1lim xx f a x f a →∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7. 设()222x y f f ⎡⎤=⎣⎦求dydx.四．证明题1. 设()(),f x g x 的定义域为(),-∞+∞，且它们在点0x 可导，证明：()()()00,,,,f x x x h xg x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0x 可导的充要条件是：()()()()0000,.f x g x f x g x ''==2. 设()[]f x C a,b ∈，()()f a f b 0,==且()()0,0.f a f b +-''<<证明：()f x 在(),a b 内必有一个零点.高等数学导数与微分综合测试题（3）答案一、选择题1．C 2．C 3．D 4．A 5． C 6．B 7．C 8．D 二、填空题1. -0x y = 2．dx π- 3．3 4．-2 5．-2 6． ()1!n n fx + 7．1ln 2sin 22sin x x⋅⋅ 8．321144f f x x -'''⋅-三、计算题与证明题1．解：由莱布尼兹公式及()()()()()111!ln 1+1k k kk x x ---=⎡⎤⎣⎦+(k 为正整数)，得 ()()()()()()()()()()()n-13111!-12!-13!-1111n-2n-(n)2n n-n-2-n -n -n -fx x+2nx +n n +x +x +x =，所以()()()()()13()1!0113!2n n n n fn n n n ---=---=-.2．解：由于()()()0lim 200h af h bf h f →+-=，所以()()-=100a+b f ，由于()≠00f ，故-=10a+b .又因()()()()()()()001lim lim 0==h h af h +bf 2h -f 0af h +-a f 2h -f 0h h→→()()()()000lim lim ((+=0)+20)h h a f h -f 2h f 2h f =af f h h →→⎡⎤⎣⎦''－－，由此得2,1a b ==-.3．解：()()()0lim 1sin 31sin lim 8,x x f x f x x a x →→--=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＋得()()131f f 0－＝，故 ()10f ＝。

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

高等数学题库第02章(导数与微分)

第二章导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（）（1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。

导数微分考试题目及答案

导数微分考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数为：A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 1D. 3x^2 - 6x + 3答案：A2. 若函数f(x)的导数为f'(x) = 2x + 1，则f'(1)的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A3. 函数f(x) = sin(x)的导数为：A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x) + cos(x)D. -cos(x)答案：A4. 函数f(x) = e^x的导数为：A. e^xB. e^(-x)C. 1/e^xD. x * e^x答案：A5. 函数f(x) = ln(x)的导数为：A. 1/xB. -1/xC. xD. -x答案：A6. 函数f(x) = x^2的二阶导数为：A. 2xB. 2C. 4xD. 4答案：B7. 若函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x + 5，则f'(0)的值为：A. 5B. 3C. -6D. 0答案：A8. 函数f(x) = 1/x的导数为：A. -1/x^2B. 1/x^2C. -1/x^3D. 1/x^3答案：A9. 函数f(x) = sqrt(x)的导数为：A. 1/(2*sqrt(x))B. 1/(2*x)C. 1/(2*x^(1/2))D. 1/(2*x^2)答案：A10. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的导数为：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 12x + 6C. 3x^2 - 12x + 3D. 3x^2 - 12x + 12答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2的导数为________。

答案：4x^3 - 12x^2 + 12x2. 函数f(x) = cos(x)的导数为________。

高等数学-——导数与微分练习题.pdf

C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ，则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan

高数导数练习题

精品第二章导数与微分练习题一、填空题1.设 y2sin x cos(cos x) ，则 y_________________.2.设函数 y y( x) 由方程 sin( x 2y 2 )e x xy 20 所确定，则dy__________. dx3.设 ysin x2，则 dy____________________. e4．设函数 y y x 由方程xy e x e y0 所确定，则y0, y 05．若函数设y t 2 sect arcsin t +sin1, ，则 dy。

x1t226．曲线在 t 2 处的切线方程为，d y。

t 3y dx2t147.设 f (0)0, f '(0)4,则 lim f ( x)=_______________. xx 08. f (x)x( x1)(x2)( x 3)( x4)L ( x100) ，则 f (1)________.9.设 y f [ x2 f ( x2 )] ,其中 f (u) 为可导函数,则 dy_____________.dx二、选择题1.若 f ( x)x23,x1）ax b,x在 x 1 处可导，则（1A.a2,b2B.a2, b2C.a2,b2D.a2, b22.设 f '( x0 ) 2 ，则lim f ( x0h) f ( x0h) ＝().h0hA.不存在B. 2C. 0 D 、 43.设 f ( x2 )x3 (x0) ,则 f (4) ()A.2B.3C.4D.54.设 f ( x) 是可导函数，且lim f (1) f (1x)1，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处x 02x的切线斜率为（）A.1B.0C.-1D.-21 cosx＞5. 设 f ( x), xx，其中 g(x) 是有界函数，则 f (x) 在 x =0 处（）x 2g (x), xA.极限不存在B.可导C.连续不可导D.极限存在，但不连续三、解答下列各题1. 设 x 1,求 d ( x 2 arctan x 1)2.设 y ln cos e x1 cosxcsc3．x ，求 y 3. 设 y arcsin 3x arctan x tan e x ，求 dy ．4.设函数 yy( x) 由方程 xy e ye 所确定，求 y (0), y (0) .5. 求由参数方程x ln(1 t 2 )所确定的隐函数的一阶导数dy , 二阶导数 d 22y.y arctantdxdx6．设 yx 2 3 x41 x5，求 y 。

第2章导数与微分(题库)(1)

第2章导数与微分本章知识点1. 函数()f x 在点0x x =导数()0f x '= . 左导数()0f x -'= ；右导数()0f x +'= . 2. 导数存在的判别定理： .3. 导数几何意义：函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线斜率k = . 切线方程为：；法线方程为 .4. 函数()f x 在点0x x =处可导是连续的_____________条件；可微是可导的_____________条件；连续是可微的_____________条件.5. 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数d d yx = . 6. 隐函数(),0F x y =的求导步骤为：将y 视为函数()y x ，⑴在(),0F x y =_________________________；⑵利用“解方程”的思想，_________________________.7. 对数求导法适用形式：；求导方法： .8. 由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定得函数()y y x =的导数d d y x = .9. 函数()y f x =的微分计算公式为d y = . 10. 导数运算法则（和、差、积、商）：()()f x g x '±=⎡⎤⎣⎦ ； ()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦ ；()()f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.2.1 导数概念A 组1. 函数()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 2. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 3. 设()0f x '存在，则()()0003limh f x h f x h→+-=（）.A. ()0f x 'B. ()03f x 'C. ()03f x '-D. 3 4. 如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '=（）.A. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆-∆ B. ()()0lim 2x f x x f x x ∆→-∆-∆C. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆--∆ D. ()()0lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆5. 设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处（）.A. 左、右导数都存在B. 左导数存在，但右导数不存在C. 左导数不存在，但右导数存在D. 左.右导数都不存在6. 已知()03f x '=，则()()000limx f x x f x x∆→-∆-=∆______________________.7. 曲线x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛02，π处的切线方程为______________________. 8. 曲线e x y =在()0,1处的切线方程为______________________.9. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______________________. 10. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的法线方程为______________________. 11. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程为________________.12. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的法线方程为________________.B 组13. 设函数()2,1,, 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1=x 处连续且可导，b a 、应取什么值？2.2 函数的求导法则A 组1. 设x y -=2，则='y （）.A. x -2B. x --2C. 2ln 2x --D. 2ln 2x -2. 设xxy ln =，则='y . 3. 设x y 2sin =，则='y .4. 设22x a y -=，则='y .5. 设2)(arcsin x y =，则='y .6. 设xy 1cos ln =，则='y .7. 设xxy -+=11arctan ，则='y .8. 已知物体的运动规律为()3m s t =，则该物体在()2s t =时的加速度=a __________2m /s .2.3 高阶导数A 组1. 函数x x y ln 22+=的二阶导数=''y ____________________.2. 函数21e x y -=的二阶导数=''y ____________________.3. 函数x y tan =的二阶导数=''y ____________________.4. 函数x x y cos =的二阶导数=''y ____________________.5. 求函数x a y =的n 阶导数=)(n y ____________________.6. 函数e x y =的n 阶导数=)(n y ____________________.7. 函数x y sin =的n 阶导数=)(n y ____________________.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数A 组1. 由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==32bty atx 确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 2. 由参数方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos ln 确定的函数()y y x =的导数d d yx =_____________.3. 参数方程1ee ttx y t -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 4. 参数方程e sin e cos tt x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数4d d t y x π==_______________. 5. 设函数()y y x =是由方程 0922=+-xy y 所确定的隐函数，求d d yx.6. 设函数()y y x =是由方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数，求d d y x.7. 设函数()y y x =是由方程 2sin e 0x y xy +-=所确定的隐函数，求d d y x.8. 求由方程()e e sin x y xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .9. 求由方程0e =--y y x 所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .10. 求由方程1e y y x =-所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.11. 设函数()y y x = 是由方程 1e x y xy ++=所确定的隐函数，求0d d x y x=.12. 求由方程22e cos()y xy x y +=+所确定的函数()y y x =的导数d d yx.13. 求由方程e cos()0x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.14. 求曲线2eettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩在0=t 相应的点处的切线方程及法线方程.15. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 相应的点处的切线方程及法线方程.B 组16. 设函数()y y x =由方程122=-y x 所确定的隐函数，求22d d yx.17. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数()y y x =的导数221d d t y x =.18. 求参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶函数导数22d d y x ，其中()f t ''存在且不为零.19. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d yx .20. 求由参数方程3e2ettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d y x .21. 用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1的导数d d y x .第2章导数与微分（题库）第页共计11页 11 2.5函数的微分A 组1. 设3e x y =，则=y d ____________________. 2. 函数x x y 2sin =的微分=y d __________ .3. 设x y sin ln =，则=y d ____________________.4. 设e cos x y x =，则=y d ____________________.5. 函数x y ln ln = 则=y d ____ __________ .6. 设)1(ln 2x y -=，则=y d ____________________.7. 设函数22e x y x =，则=y d ______________ .B 组8. 利用微分计算三角函数的近似计算：sin 29.。

高等数学导数与微分练习题

作业习题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ；（2）xxy sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xxx y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数22dx y d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ；（2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y )37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (x x x x x x y -='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y ]1[12222ax xax x ++++=221ax +=。

导数和微分练习题(答案版)

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。

《高等数学》第二章.导数和微分的习试题库完整

第二章导数与微分一、判断题1. []00''()()f x f x = ,其中0x 是函数()f x 定义域内的一个点。

（）2. 若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处连续。

（）3. 因为()f x x =在0x =处连续，所以()f x 在0x =处可导。

（）4. 因为()f x x =在0x =处的左、右导数都存在，所以()f x 在0x =处可导。

（）5. ()f x 在0x 处可导的充要条件左、右导数存在且相等。

（）6. 若曲线()y f x =在0x 处存在切线，则'0()f x 必存在。

（）7. 若()f x 在点0x 处可导，则曲线()f x 在点0x 处切线的斜率为()0f x '。

（）8. ()()()sin sin cos tan cot cos sin cos x x x x x x xx ''⎛⎫'====- ⎪-'⎝⎭。

（）9. ()()()22sin cos cos sin sin tan sec cos cos x x x x x x x x x '''-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭。

（）10. 若()f x ，g()x 在x 处均可导，则[]()g()()g()f x x f x x '''=。

（）11. 设()sin cos f x x x =，'''()(sin ).(cos)(sin )cos f x x x x x ==-。

（）12. 设2()x e f x x =，则'()2x e f x x=。

（）13. 由参数方程0y e xy +=的两边求导得'0y e x xy ++=，于是'1()y y e y x=-+。

（）14. ()()n x x e e =。

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【最新整理，下载后即可编辑】作业习题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ；（2）xx y sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xxx y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy与二阶导数22dxy d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ；（2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-=)37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (x xx x x x y -='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=')cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y])(211[1222222'+++++=a x a x a x x]2211[12222x ax ax x ⋅++++=]1[12222a x xax x ++++=221a x +=。

（5）解：)11()11(11)11(arctan 2'-+-++='-+='x x x x x x y 11)1()1()1()1(2)1(2222+-=-+--⋅+-=x x x x x x 。

（6）解：)(])1[(1ln '='+='+x xx xe xx y ]1ln )1()1()1([)1(2x x x x x x x x x x x +-+-+⋅++= )1ln 11()1(xx x x x x +-++=。

2、（1）解：两边直接关于x 求导得0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y)sin(sin )sin(cos y x x y x x y y ++++-='。

（2）解：将0=x 代入原方程解得,1=y原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ，上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y 将0=x ，,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y ，将0=x ，,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。

3、解：),cos 1(t a dt dx -=t a dt dy sin =； 2cot )cos 1(sin t t a t a dt dx dt dy dx dy =-==； 2csc41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dxdt dx dy dt d dx y d -=-⋅-=⋅=。

4、（1）解：1-='ααx y ；2)1(--=''αααx y ；……依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n αααα 。

（2）解：设,,2sin 2x v x u ==则)50,,2,1)(22sin(2)( =⋅+=k k x u k k π，),50,,4,3(0,2,2)( ===''='k v v x v k代入萊布尼茨公式，得2)2482sin(2!249502)2492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)50(2)50(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+==πππx x x x x x x y )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=。

5、（1）解：),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=.（2）解：]122arcsin 111[112222xx x x x x y --⋅----='2322)1(arcsin 1x x x x -+-=；='=dx y dy dx x x x x 2322)1(arcsin 1-+-。

6、解：首先把点)3,2(b a 代入方程左边得1343422222222=-=-=-bb a a b y a x ，即点)3,2(b a 是切点。

对双曲线用隐函数求导得,,0222222ya xb y b y y a x ='⇒='-过点)3,2(b a 的切线的斜率为,3232)3,2(22ab ba ab b a y =='故过点)3,2(b a 的切线方程为)2(323a x ab b y -=-；过点)3,2(b a 的法线方程为)2(233a x b ab y --=-。

7、解：,01sin 1sin0)0()()0(lim lim lim200===--='+++→→→+x x x x x x f x f f x x x 同理0)0(='-f ；故0)0(='f 。

显然xxx xx x xx x f 1cos 1sin 211cos 1sin 2)(22-=⋅-='在0≠x 点连续，因此只需考查)(x f '在0=x 点的连续性即可。

但已知x1cos 在0=x 点不连续，由连续函数的四则运算性质知)(x f '在0=x 点不连续。

讨论习题：1、设,)3()(-=x x x x f 求)(x f '。

2、求和n n x n x x x S 2322232++++= 。

3、设函数)(x f 在]1,1[-上有定义，且满足,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x证明)0(f '存在，且1)0(='f 。

讨论习题参考答案： 1、解：因为⎪⎩⎪⎨⎧---=),3(),3(),3()(222x x x x x x x f.0,30,3<<≤≥x x x易知)(x f 在开区间),3()3,0()0,(+∞⋃⋃-∞内都是可导的；又对于分段点0=x ，3=x ，有00)3(0)0()()0(200lim lim=--=--='++→→+x x x x f x f f x x ，00)3(0)0()()0(200lim lim=--=--='--→→-x x x x f x f f x x ，即0)0(='f ；930)3()3(2323lim lim ==---='++→→+x x x x f x x ，9)(30)3()3(2323lim lim -=-=---='--→→-x x x x f x x ，即)3(f '不存在；所以除3=x 之外)(x f 在区间),3()3,(+∞⋃-∞內均可导，且有⎪⎩⎪⎨⎧--=',36,0,63)(22x x x x x f).3,0(,0),,3()0,(∈=+∞⋃-∞∈x x x2、解：因为xx x x x n n--=+++++11112，212)1()1(1)1(x nx x n x x x n n n-++-='++++⇒+ ， 2112)1()1(1321x nx x n nxx x n n n -++-=++++⇒+- ；]1)1()122([)1(])1()1([})1()1(1[])321([)32()321(3221222322121123212132223222--++-+--='-++-='-++-⋅='++++='++++=++++=++++=⇒+++++---x x n x n n x n x x x nx x n x x x nx x n x x nx x x x x nx x x x x x n x x x x n x x x S n n n n n n n n n n n n3、证：由,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x 可知当0=x 时，0)0(0≤≤f ，即0)0(=f 。

又)0,11(,0)0()()(3≠≤≤-+≤--=≤x x xx x x f x f x x f x x ；已知1300lim lim =+=→→x xx x x x x ，由两边夹定理可得 10)0()()0(lim 0=--='→x f x f f x 。

思考题：1、若)(u f 在0u 不可导，)(x g u =在0x 可导，且)(00x g u =，则 )]([x g f 在0x 处（）（1）必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。

2、设)(x g '连续，且)()()(2x g a x x f -=，求)(a f ''。

思考题参考答案：1、解：正确选择是（3）例如：u u f =)(在0=u 处不可导；若取x x g u sin )(==在0=x 处可导，则x x g f sin )]([=在0=x 处不可导；即（1）不正确。

又若取4)(x x g u ==在0=x 处可导，则有44)]([x x x g f ==在0=x 处可导。

即（2）也不正确。

2、解：因为)(x g 可导，所以)()()()(2)(2x g a x x g a x x f '-+-='又因为)(x g ''不一定存在，故用定义求)(a f ''，)(2)]()()(2[)()0)(()()()(lim lim lima g x g a x x g ax x f a f ax a f x f a f ax a x ax ='-+=-'=='-'-'=''→→→。

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导数与微分习题及答案

高等数学第二章 导数与微分1

高等数学第二章导数与微分习题

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