八下数学-正方形培优专题(1)

正方形专题培优（1）
专题一旋转的思想与正方形问题一利用边作为旋转的入手点
1、如图，在正方形ABCD 中，F E 、分别是边CD BC 、上的点，满足CEF 的周长等于
正方形ABCD 的周长的一半，AF AE 、分别与对角线BD 交于N M 、，试问线段BM 、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，
请说明理由。

2、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ．
（1）求证：CE=CF ；
（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形
ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B=90°，AB=BC=12，E 是AB
的中点，且∠DCE=45°，求DE 的长；
N
F
M E B
D
A
C
②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，求△ABC的面积。

3、正方形ABCD中，E为直线AB上任意一点，DF⊥DE交直线BC的延长线于点F，直线EF、AC交于点H，连接DH
(1)如图1当，点E在AB上时:
①判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；②AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；
③求证：AB+AE=2AH.
（2）当点E在AB的反向延长线上时，如图2。

①判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；
②AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；3求证：
AB+AE=2AH
（3）当点E在AB的延长线上时，完成图3，1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数
量关系，并证明；2、AH、HC与AE之间是否存在类似的数量关系，并证明；3、AB、AE 与AH之间是否存在类似的数量关系，写出你的结论并证明
4、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G 为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
5（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为DC上一点，且∠1=∠2，求证：AF=BC+FC；
（2）已知：如图2，把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处，若旋转三角尺时，它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N，试证：MN2=BM2+DN2．
二利用对角线作为旋转的入手点
1、如图，正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．
（1）求证：OM=ON；
（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连接PM．若正方形ABCD的边长为12，且PM=5，试求AM的长．
2、如图，在正方形ABCD中，O是两对角线的交点，E、F分别为BC、CD上一点，且FC+CE=AB。

点P为△EFC的内角平分线的交点
（1）求证：OE=OP=OF
（2）如图，线段CP，CB、EF之间存在一个等量关系式，写出你的结论，并证明。

（3）若FC=3，EF=EC+1，直接写出PC的长_____________。

3、如图，在正方形ABCD中，点O是正方形对角线的交点，
∠MON=45°。

(1)如图1，当点M在BC边上，ON与CD的延长线交于N点，
写出BM、MN、CN之间的数量关系并证明你的结论。

(2)如图2，当点M在BC边上，ON与CD交于点N，写出BM、MN、CN之间的数量关系，并证明。

(3)在（2）中，若正方形的边长为4，MC=1，求CN的长。

4、如图，正方形ABCD中对角线AC、BD交于点O，直线a经过点A，过D作DE⊥a于E点，连接OE。

(1)如图1，当直线a在正方形内部时，求证：AE-DE=2OE
(2)如图2，当直线a在正方形外部时，DE⊥a于E点，连接OE，写出AE、DE、OE三者之间的数量关系____________________（不证明）
(3)在（2）的条件下，若OE=
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,AE:DE=4:3,连接BE，求线段BE的长。