工程结构的分类(按构件的几何特征)

B

x

x
x
dx
Tx

1 2
(
x

x

x
y
dy)dy

xdy
高阶小量
同理
Txdx

1 2
(
x

x
x
dx

x

x
x
dx

x
y
dy)dy

(
x

x
x
dx)dy

高阶小量
线弹性平面问题的平衡方程
(
xy

xy
y
dy)dx

xdy
针对微元体 物理方程 几何方程 平衡方程
针对微元体 物理方程 几何方程 平衡方程
基本变量：位移、应变、应力
基本方程：力的平衡方程 几何变形方程 物理本构方程
一、平衡方程
连续体微元受力分析

x

x
y
dy
x (x, y)
C
dy o dx
A
其余类推
D

x

x
x
dx

x
y
dy

k




PD PD
3k

2

3k 1
PD

3k

求直接结点荷载列阵 PD
PD

PD

1
,
PD

2
,
PD

3
,,
PD , 3k 2 PD , 3k 1 PD 3k ,,
PD , 3N 2 PD , 3N 1 PD 3N
屈服、非线 性变形
任意形状的 体
质点描述 运动状态 力的平衡
刚体描述 运动状态 力的平衡
材料物性 变形方面 力的平衡
材料物性 变形方面 力的平衡
材料物性 变形方面 力的平衡
材料物性 （弹塑性）
变形方面 力的平衡
质点和刚体 质点的牛顿
三大定律 的牛顿三大 定律
物理方程 几何方程 平衡方程
物理方程 几何方程 平衡方程
S K u (i) (i) T
(i) (i) (i) T
S K u (i)
(i) 1 (i) (i) (i)
T
T
坐标变换
S K u (i)
(i) 1 (i) (i) (i)
T
T
(i) 1
(i)T
T
T
S K u (i)
l2
0 6EI
l2 4EI
l 0 6EI l2 2EI
l
00
0 12EI l3
0
6EI l2
00
12EI 0
l3
0

6EI l2
0
6EI
l2 2EI

l
0

6EI l2

4EI

l
局部坐标系中的单元刚度矩阵
平面刚架单元刚度矩阵 在小变形的线性
系统下，认为轴向变 形与弯曲变形之间相 互独立、互不影响。
S (i) K (i)u(i)
局部坐标系中的单元刚度矩阵
EA

l
0

K
(i)


0 EA
l

0

0
0
12EI
l3 6EI
l2
0

12 l
EI
3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0

6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
u1
u(i)

u2

u3

u4
S1
S (i)

S
2

SS43

1 0 1 0
K (i)

AE

0
0
0
0
l 1 0 1 0

0
0
0
0
局部坐标系中的单元刚度矩阵
u1
S1
u2

S
2

u(i)
y
12EI l3
Cx2

6EI l2
C
x

6EI l2
C
6EI l2
C
x
y

2EI
l
6EI

l2 Cy 6EI l2 Cx

4EI
l
平面刚架单元刚度矩阵
教参4 公式（1-21）
(i)
K

(i)
K JK


K
JJ
K KJ
K JK
K KK
局部坐标系中的单元刚度矩阵
平面梁单元刚度矩阵
忽略轴向力和轴 向变形，只考虑剪切 与弯曲变形。
u1
u(i)

u2

uu43

S1
S (i)

S
2

SS43

S (i) K (i)u(i)
局部坐标系中的单元刚度矩阵
1
2
1端的单位位移
Q1

求等效结点荷载列阵 PE
各单元固端力累加
S S
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0
0 0 sin cos 0

00 0
0 1
坐标变换
引入符号 Cx cos Cy sin
Cx Cy 0
Cy Cx 0
0 0 1
坐标变换
Cx Cy 0 0 0 0
Cy Cx 0 0 0 0

( i ) T



0 0
0 1 0 0 0 0
00
Cx
Cy
0


0

0
0
0 Cy
Cx
0
0 0 0 0 0 1
坐标变换
S (i)

S (i) (i) T
u(i)

u (i) (i) T
S (i) K (i)u(i)
(i)T (i) (i) (i)
T
T
K K (i)
(i)T (i) (i)
T
T
轴力单元刚度矩阵
K K (i)
(i)T (i) (i)
T
T
轴力单元刚度矩阵
Cx Cy 0 0 Cy Cx 0 0
0 0 0 0

( i ) T



0 0
0 1 0 0 0 0 0 Cx Cy 0
工程结构的分类（按构件的几何特征）
杆件结构：长度远大于横截面尺寸（宽和高）； 薄壁结构（平－板、曲－壳）：两方向的尺寸（长和宽）远大于
另一方向的尺寸（高）；
实体结构：三方向的尺寸具有同阶大小。
板
杆件结构
壳 薄壁结构
实体结构
杆系结构分析
初中物理 －力学
高中物理 －力学
大学物理 －力学

S3 S3
S4 S4 cos S5 sin

S (i)

S (i) (i) T
S5

S4
sin


S5
cos

S6 S6

坐标变换
cos sin 0 0
0 0
sin cos 0 0
0 0

( i ) T



0 0
C
2 x
CxCy
CxCy
C
2 y
0 0
Cx2 CxCy
CxCy

C
2 y
0 0
(i)
K
AE
l
0

C
2 x
00 CxCy 0
0
C
2 x
0 0
CxCy 0
CxCy

C
2 y
0 CxCy
C
2 y
0
0
000
0 0
用于求解平面桁架结构
平面梁单元刚度矩阵

12EI
l3 12EI
l3
C
2 x
CxC
y
(i)
K



6EI l2
C
y

12EI l3
C
2 y
12EI l3 CxCy


6EI l2
C
y

12EI l3
CxC
y
12EI l3
Cx2
6EI l2 Cx
12EI l3 CxCy

12EI l3
Cx2
6EI l2 Cx
通过本章内容的学习，重点了解有限元 分析的思路和方法，并能应用于实际工作。
有限元法求解问题的思路或方法——变 复杂为简单，变未知为已知。
概述
概述—分析方法
离散化 单元分析 整体分析
离散化 是指对连续 结构进行剖 分。
单元分析 的任务就是要 建立单元结点 处力学参数之 间的关系。
整体分析 的任务是保证 结构从离散状 态恢复原状所 必需的。
0
12EI l3
6EI l2
0

6EI

l2
2EI
l

0


6EI l2

4EI
l
局部坐标系中的单元刚度矩阵
单元刚度矩阵是对称矩阵； 单元刚度矩阵是奇异矩阵； 刚度元素Kij的物理意义是，当单元仅在 第j个方向上有一个单位位移时，在第i个方 向上产生的杆端力的大小。
u4
S3

12EI l3
u1

6EI l2
u2

12EI l3
u3

6EI l2
u4
S4

6EI l2
u1

2EI l
u2

6EI l2
u3

4EI l
u4
局部坐标系中的单元刚度矩阵
12EI

l3 6EI
K (i)

l2

12 l
EI
3
6EI

l2
6EI
l2 4EI
概述—分析方法
直杆单元刚度矩阵
局部坐标系中的单元刚度矩阵
轴力杆单元刚度矩阵
S1

AE l
u1
u2
S2

AE l
u1
u2
S1
S
2


AE l
1 1
1u1
1

u2

S (i) K (i)u(i)
局部坐标系中的单元刚度矩阵
轴力杆单元刚度矩阵
理论力学 流体力学 土力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学
中学力学 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学
对象
质点
质点系 刚体
简单变形体
数量众多的 简单变形体
任意变形体
任意变形体
特征 变量 方程
无变形 无形状
无变形 复杂形状
变形小
简单形状的 体
变形小
多个简单形 状的体
变形小
任意形状的 体
l 6EI
l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2
12EI
l3 6EI
l2
6EI
l2 2EI

l

6EI l2

4EI

l
局部坐标系中的单元刚度矩阵
局部坐标系中的单元刚度矩阵
0
0

0
K (i)

0
0

0
0 12EI
l3 6EI
l2 0 12EI l3 6EI
斜杆单元刚度矩阵
整体坐标系中的单元刚度矩阵
在整体分析时，各单元需要统一的坐 标系——整体坐标系。
局部坐标系下 坐标变换 整体坐标系下
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵
杆端位移 坐标变换 杆端位移
杆端力
杆端力
坐标变换
坐标变换
S1 S2

S1 cos S2 sin S1 sin S2 cos

6EI l2
Cy
6EI l2
C
x
4EI
l
6EI l2 Cy

6EI l2
Cx
2EI
l

12EI l3
C
2 y
12EI l3
CxCy
6EI l2 Cy
12EI l3
C
2 y

12 l
EI
3
CxC
y
6EI l2 Cy
12EI l3
CxCy

12 l
EI
3
C
2 x

6EI l2
C
x

12EI l3
CxC
结点荷载列阵
结点荷载列阵
非结点荷载
直接结点荷载 PD
+
等效结点荷载 PE
综合结点荷载 PC
结点荷载列阵
结点荷载列阵
非结点荷载
直接结点荷载 PD
+
等效结点荷载 PE
综合结点荷载 PC
求直接结点荷载列阵 PD
将直接施加在各结点上的荷载按三个 方向分解，并按结点序号排列成列阵的形 式即可。
PD
A u dx B
u u dx
x
∂u
∂v
εx = ∂ x εy = ∂ y
角应变：
xy

u y

v x
三、物理方程
线弹性平面问题物理方程
平面应力：

x

E
1 2
( x


y)

y

E
1 2
(
y


x
)

xy

G
xy

E 2(1
)
xy
平面应变：
E

E 1μ

uu43

S (i)

SS43

u5

S5

u6
S6
1 0 0 1 0 0

0
00
0
0 0
K (i)

AE l
0 1
0 0
0 0
0 1
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0


0 0 0 0 0 0
A
dy
o Fbx dxdy
xydx
(