《高等代数》课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲

一、课程基本信息

1、课程代码：MA109

2、课程名称（中文）：高等代数课程名称（英文）：Higher Algebra

3、学时/学分：72学时+ 18学时（习题课）/4学分

4、先修课程：解析几何

5、面向对象：联读班。

6、开课院（系）、教研室：理学院数学系，代数和组合数学教研室

7、推荐教学参考书：

《大学代数》，陆少华、沈灏编著，上海交大出版社，2002。

《高等代数》，北京大学数学力学系。

二、课程的性质和任务

高等代数是一门重要的数学基础课。代数的理论、方法和思想已渗透到数学与科学的各个领域。随着通信与计算机科学的迅速发展，高等代数作为描述离散对象的各学科的重要基础，其地位与作用越来越重要。同时，代数课程还承担着提高学生数学素养，训练与培养思维能力、计算能力与建立数学模型能力的任务。通过《高等代数》课程的学习，应使学生能较好地熟悉与掌握多项式理论及线性代数的基本概念、理论与方法，并能运用到所学专业中去。

三、教学内容和要求

《高等代数》

高等代数的教学内容分为八部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数)

第一章数与多项式（10）

1数环与数域（2）

2一元多项式、最大公因式（2）

3 多项式的因式分解理论（4）

4 习题课（2）

要求：熟悉数环与数域的基本概念与运算法则；理解因子分解唯一性定理；熟练掌握求最大公因式的辗转相除法。

第二章行列式（10）

1 行列式的定义与基本性质（4）

2 行列式的按行展开，Laplace定理（2）

3 行列式的计算（2）

4 习题课（2）

要求：熟悉行列式的基本性质、掌握行列式的常用计算方法。

第三章矩阵 (12)

1 矩阵的概念与矩阵运算（2）

2 矩阵的初等变换与相抵标准形、矩阵的秩（4）

3 习题课（2）

4 逆矩阵与矩阵的求逆（2）

5 分块矩阵，例（2）

要求：熟练掌握矩阵的加、乘与求逆运算；熟练掌握求矩阵相抵标准形的初等变换方法。

第四章线性方程组（12）

1 解线性方程组的矩阵消元法（2）

2 Cramer法则，例（2）

3 n维向量组的线性关系、向量组的等价与向量组的秩（4）

4 线性方程组的矩阵形式、向量形式；线性方程组解的结构（2）

5 习题课（2）

要求：掌握线性方程组的求解理论与解线性方程组的矩阵消元法；理解线性方程组解的几何意义。

第五章 相似矩阵（8）

1 矩阵的特征值与特征向量（2）

2 矩阵的最小多项式；矩阵的Jordan标准形简介（2）

3 向量的内积及其性质（2）

4 习题课（2）

要求：掌握特征值与特征向量及最小多项式的求法、矩阵相似于对角阵的条件、向量内积的性质及将线性无关向量组标准正交化的方法。

第六章二次型（10）

1 二次型及其标准形、对称矩阵的合同标准形（4）

2 实二次型的惯性定理（2）

3 正定二次型（2）

4 习题课（2）

要求：掌握求二次型标准形的配方法、求对称矩阵合同标准形的基本方法；理解惯性定理的证明思想与正定二次型的判别。

第七章线性空间（14）

1 线性空间基本概念（2）

2 基底与维数、基变换与坐标变换（2）

3 习题课（2）

4 子空间（2）

5 内积空间（2）

6 标准正交基与Schmidt正交化方法（2）

7 习题课（2）

要求：熟练掌握线性空间的基本概念、基变换与坐标变换的关系；熟练

掌握求标准正交基的正交化方法。

第八章线性变换（14）

1 线性变换与矩阵（2）

2 线性变换的特征值与特征向量（2）

3 不变子空间（2）

4 正规变换（2）

5 幂零线性变换（2）

6 Jordan标准形（2）

7 习题课（2）

要求：熟练掌握线性变换的运算、线性变换与矩阵之间的关系、特征值

与特征向量的求法、不变子空间的性质；熟悉正规变换的概念与性质；了

解矩阵Jordan标准形的理论推导。

四．实验（上机）内容和基本要求

本课程无实验和上机的教学安排，但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题，选择部分算法自己上机实现。要求学生熟悉至少一门数学软件平台（Mathematica/ matlab/Maple）和至少一种编程语言。

五．对学生能力培养的要求

本课程属于数学基础课程，含有较多的数学推导和证明，希望在教师引导下，提高学生数学素养，训练与培养思维能力、计算能力与建立数学模型能力的任务。通过《高等代数》课程的学习，不但使学生能较好地熟悉与掌握多项式理论及线性代数的基本概念、理论与方法，而且能在学习中不断地体会代数课程的特点及精妙之处，领会线性代数中“变换—分类—标准形”的研究和解决问题的科学方法。