高等几何自学指导
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。
2. 掌握空间解析几何的基本知识。
3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。
教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。
2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。
3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。
教学准备：1. 教案和教材。
2. 多媒体教学设备。
教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。
2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成教材中的练习题。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。
教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。
2. 理解线性变换和矩阵运算。
3. 学会运用向量空间解决实际问题。
教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。
2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。
高等代数与解析几何学习辅导
高等代数与解析几何学习辅导可以通过以下几种方式进行：
1. 寻找资源：可以上网搜索一些学习资料，如书籍、教材等，用于辅助学习。
2. 自学：可以对照书本自学，仔细阅读，并结合实例进行练习，加深对知识的理解。
3. 向老师求助：可以向老师提出问题，老师会给予宝贵的帮助。
4. 找指导老师：可以找一位指导老师，请他帮你讲解知识，并给出学习指导。
5. 网上学习：可以通过网络学习系统，如慕课网、腾讯课堂等，进行学习。
6. 加入学习群：可以加入一些学习群，与其他学习者交流学习心得，互相鼓励，共同进步。
高等数学课程自学指导教材
高等数学课程自学指导教材高等数学是大学数学系列课程中的一门重要课程，涵盖了微积分、线性代数和概率统计等内容。
为了帮助学生更好地进行自学，本文将给出一份高等数学课程自学指导教材，内容包括了学习的顺序、学习方法以及常见问题解答等方面。
一、学习顺序1.微积分部分微积分是高等数学的基础，建议以微积分开始学习高等数学课程。
首先，可以从函数与极限、导数与微分入手，掌握微分中的基本概念和运算法则。
然后深入学习微分的应用，如曲线的切线与法线、最值问题等。
接下来学习积分，包括不定积分和定积分，重点理解积分与微分的关系以及如何运用定积分求解面积、体积等问题。
2.线性代数部分线性代数的学习可以与微积分部分交替进行，这样可以保持对两个模块的学习兴趣。
线性代数的重点内容包括向量、矩阵、行列式和线性方程组等。
学习线性代数时，可以通过大量的实例进行演算，提高运算和推导的能力。
同时，要注意线性代数与几何之间的联系，如平面与直线的方程、几何空间与线性方程组的关系等。
3.概率统计部分概率统计是高等数学中的一门应用性较强的课程，可以与微积分和线性代数共同学习。
概率统计的内容包括概率论和数理统计两个部分。
在学习概率论时，要掌握基本的概率概念、概率运算和随机变量等。
在学习数理统计时，要学会利用样本数据进行参数估计和假设检验，了解常见的概率分布和统计推断方法。
二、学习方法1.自主学习高等数学课程的自学需要具备一定的自主学习能力。
可以通过阅读教材、参考书籍、观看相关的在线教学视频等方式来学习相关知识。
同时，也可以通过做练习题、习题课、刷题等方式巩固所学的内容。
2.重点理解与实践在学习高等数学时，要注重对重点知识点的理解，并能够将其应用于实际问题解决中。
可以通过解答习题、课后作业以及参与实践项目等方式，巩固对知识点的掌握。
3.思维导图与总结为了更好地理解和记忆高等数学的内容，可以尝试使用思维导图来梳理知识脉络，建立起整体的学习框架。
同时，学习过程中可以将重要的概念、公式和解题方法进行总结，形成自己的学习笔记，便于复习和查阅。
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的性质和相互关系。
3. 理解几何变换的基本原理。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的性质和相互关系。
3. 几何变换的基本原理。
教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。
2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。
3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。
2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。
2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。
3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。
教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。
2. 理解平面的性质和方程。
3. 学会利用直线和平面解决几何问题。
教学内容：1. 直线的性质和方程。
2. 平面的性质和方程。
3. 直线与平面的相互关系。
教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。
2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。
3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。
2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。
课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。
大纲高等几何
高纲0870江苏省高等教育自学考试大纲29790高等几何江苏教育学院编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一、课程性质及其设置目的与要求（一）课程性质与特点《高等几何》是高等师范院校数学与应用数学专业的重要基础课程之一，本课程在学生具备初等几何、解析几何与高等代数知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使他们能用变换群观点来看待几何学，加深对几何学和几何空间概念的理解。
本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。
本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。
通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。
（二）课程设置目的与要求课程内容包括：变换群与几何学；射影平面；射影变换；二次曲线的射影理论；射影几何的子几何。
课程设置目的和要求：一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维能力，为进一步学习其他课程打下基础。
另一方面使学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解, 使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础。
二、课程内容与考核目标第一章变换群与几何学（一）课程内容1．变换与变换群2．仿射坐标和仿射平面3．仿射变换4．欧氏平面和保距变换5．几何学与变换群的关系（二）学习与考核要求本章是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点。
掌握仿射变换的定义、性质和代数表达式；理解仿射坐标和图形的仿射性质，掌握仿射对应图形；掌握保距变换的性质和代数表达式；特别是基本仿射不变性---平行性和基本仿射不变量---单比，及其计算方法。
第二章射影平面（一）课程内容1．扩大仿射平面2．射影平面3．交比与调和共轭4．对偶原理（二）学习与考核要求本章作为学习全课程的基础和中心内容，重点讲解欧氏平面的拓展过程，在此基础上给出射影直线和影射平面的概念和模型，使得学生明确了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系。
大学二年级数学教案学习高等几何的基本理论与证明
大学二年级数学教案学习高等几何的基本理论与证明一、引言在大学数学的学习中，高等几何是一个重要的专题。
掌握高等几何的基本理论与证明对深入理解数学的本质和发展起着至关重要的作用。
本文将围绕大学二年级数学教案学习的主题，探讨高等几何的基本理论与证明。
二、高等几何的基本概念高等几何是几何学的一门重要分支，它研究高维空间中的几何性质与关系。
在学习高等几何之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 高等几何的维数在传统的几何学中，我们研究的是二维和三维空间的图形和性质。
而在高等几何中，我们将研究的对象扩展到了更高的维度，例如四维、五维等等。
维数是指空间中所需要的坐标数量。
每个维度对应一个坐标轴，例如二维空间对应二个坐标轴（x轴和y轴），三维空间对应三个坐标轴（x轴、y轴和z轴）。
2. 几何空间的拓扑性质拓扑学研究的是空间中的连续性质与变形关系。
在高等几何中，我们将关注几何空间的拓扑性质，例如紧致性、连通性、同胚等。
这些性质的研究对于了解几何空间的结构以及其性质具有重要的意义。
3. 高等几何的基本要素高等几何的基本要素包括点、直线、面以及高维空间中的各种图形。
我们将通过研究这些基本要素的性质和关系，来理解高等几何的构建和推导过程。
三、高等几何的基本理论高等几何的基本理论是研究高维空间几何性质的理论基础。
在学习高等几何时，我们需要掌握以下几个重要的理论：1. 坐标系与变换在高维空间中，我们需要使用坐标系来表示点和向量。
坐标系的选择和变换对于研究几何性质和解决几何问题起着至关重要的作用。
在高等几何中，我们将学习各种坐标系的选择和变换方法。
2. 向量运算与线性变换向量运算是研究高维空间中向量性质的重要工具。
线性变换是指将向量从一个空间映射到另一个空间的变换。
向量运算和线性变换的研究对于理解高等几何中的向量空间和线性映射具有关键性的意义。
3. 几何性质与关系高等几何研究的核心是研究几何性质与关系。
我们将学习高维空间中的点、直线、面以及其他图形的性质和关系，例如距离、角度、平行、垂直等。
高等几何教案教学目标
高等几何教案教学目标教案标题：高等几何教案教学目标教学目标：1. 知识与理解：学生能够理解高等几何的基本概念和术语，包括平行线、垂直线、角度、三角形、四边形等，并能正确运用这些概念进行问题解决。
2. 技能与能力：学生能够运用几何知识解决实际问题，包括测量和计算线段长度、角度大小，判断线段和角度的关系，推导和证明几何定理等。
3. 态度与价值观：培养学生对几何学科的兴趣和好奇心，鼓励他们积极参与几何学习活动，发展逻辑思维和分析问题的能力。
4. 学科与跨学科融合：将几何知识与其他学科进行融合，如数学、物理等，培养学生综合运用知识解决跨学科问题的能力。
教学内容：1. 复习与导入：通过复习前一节课的知识和概念，引导学生回顾几何学的基本概念和术语，如平行线、垂直线、角度等。
2. 知识讲解与示范：以示例和图形为基础，讲解高等几何的基本概念和定理，包括平行线的判定、角度的计算、三角形的性质等，并通过实例演示如何应用这些概念解决问题。
3. 练习与巩固：提供一系列练习题目，让学生运用所学的几何知识解决问题，包括计算线段长度、角度大小，判断图形的性质等，逐步巩固所学的知识和技能。
4. 拓展与应用：引导学生运用几何知识解决实际问题，如建筑设计、地图测量等，培养他们将几何知识应用于实际生活和其他学科的能力。
5. 归纳与总结：引导学生总结本节课所学的几何知识和技能，梳理重点概念和定理，提醒学生注意常见错误和易混淆的概念，巩固学习成果。
教学方法：1. 讲授法：通过讲解和示范，向学生传授几何知识和技能，引导他们理解和掌握相关概念和定理。
2. 演示法：通过图形演示和实例演示，让学生直观感受几何概念和定理的应用，帮助他们理解和记忆相关知识。
3. 练习法：通过练习题目，让学生运用所学的知识解决问题，巩固学习成果，培养他们的解决问题的能力。
4. 合作学习：组织学生进行小组合作学习，让他们互相讨论和解答问题，共同探讨几何知识，培养他们的合作和交流能力。
大学高等几何画板教义讲义(一)
第一篇 几何画板基基知识第一章 用工具框作图通过本章学习，你应熟练使用绘图工具作“点”、“线”、“圆”；学会在几何对象上画“点”、“线”、“圆”；学会用绘图工具构造交点、等圆、直角等的构造技巧；学会“点”、“线”、“圆”的标签的显示和隐藏；理解用几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系。
第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍1、启动几何画板：单击Windows98→选择“几何画板4.03”，单击即可启动几何画板。
进入几何画板系统后的屏幕画面如下图所示几何画板的窗口是不是和其他Windows 应用程序窗口十分类似？有控制菜单、最大/最小化以及标题栏，画板窗口的左侧是画板工具栏，画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。
画板的左侧是画板工具箱，把光标移动到工具的上面，一会儿就会显示工具的名称，看看它们分别是什么？它们分别是【选择箭头工具】、【点工具】、【圆规工具】、【直尺工具】、【文本工具】、【自定义画图工具】。
和一般的绘图软件相比，你会不会感觉它的工具是不是少了点？几何画板的主要用途之一是用来绘制几何图形。
而几何图形的绘制，我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。
因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。
这种公里化作图思想因为“三大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重大，源远流长。
从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。
因为这种把绘图区状态栏工具框所有绘图建立在基本元素上的做法和数学作图思维中公里化思想是一脉相承的。
按住工具框的边缘，可随意拖动到画板窗口的任何位置，不同位置形状不同。
试一试，能否拖到某一个地方，工具框变成如下形状？顾名思义，猜测一下它们都有何功能？：选择对象这是它的主要功能，当然还有其他：画点可以在画板绘图区任何空白的地方或“线”上画点。
“线”可以是线段、射线、圆、轨迹、函数图像：画圆只能画正圆不能画椭圆，是不是有点遗憾？（几何画板也能画椭圆，请看第二章）：画线直尺工具当然用于画线段，还不仅仅如此！：加标注（即说明性的文字）或给对象标标签：自定义工具如果你觉得上述工具不够（如：不能直接画正方形），你可以定义新的工具选择某项绘图工具时，用鼠标单击一下该工具即可。
高等几何教案(高职高专)
高等几何教案(高职高专)一、教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和理论；2. 掌握高等几何的基本运算方法和技巧；3. 能够应用高等几何解决实际问题。
二、教学内容：1. 高等几何的基本概念和性质；2. 高等几何的基本运算方法；3. 高等几何在实际问题中的应用。
三、教学步骤：1. 导入：引导学生回顾基本几何概念；2. 讲解：详细讲解高等几何的基本概念和性质；3. 实例演练：通过实例演示高等几何的基本运算方法；4. 练：布置练题，让学生巩固运算技巧；5. 应用拓展：引导学生思考高等几何在实际问题中的应用；6. 深化理解：通过讨论和交流，帮助学生进一步理解高等几何的概念和理论；四、教学资源：1. 课本：《高等几何教材》；2. 讲义：提供详细的课堂讲义；3. 实例：准备一些实际问题的例子供学生练。
五、教学评估：1. 布置作业：要求学生完成一定数量的练题；2. 小测验：进行小规模的测验，检查学生对基本概念和运算方法的掌握情况；3. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与和互动，评估他们的研究情况。
六、教学反思：根据学生的反馈和表现，及时调整教学策略，帮助他们更好地理解和掌握高等几何的知识。
七、教学特点：1. 系统性：按照一定的顺序和步骤进行教学；2. 实用性：注重高等几何在实际问题中的应用；3. 互动性：鼓励学生参与讨论和交流，增强研究效果。
八、教学方法：1. 讲授法：结合教材内容进行讲解；2. 演示法：通过实例演示高等几何的运算方法；3. 练法：布置练题，让学生进行实践和巩固；4. 探究法：引导学生自主思考和发现高等几何的性质。
九、教学时间安排：本教案为总共6课时，每课时为50分钟。
十、参考资料：1. 罗素·A·基地著，《高等几何教材》；2. 朱江等编著，《高等几何教学参考资料》。
十一、备注：本教案适用于高职高专高等几何课程教学，可根据实际情况进行调整和变化。
高等几何课件
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论1. 教学目标了解高等几何的基本概念和发展历程。
理解几何学在数学和其他领域中的应用。
激发学生对高等几何的学习兴趣。
2. 教学内容高等几何的定义和发展历程。
几何学在数学和其他领域中的应用。
学习高等几何的意义和方法。
3. 教学步骤引入话题：介绍几何学的历史和基本概念。
讲解高等几何的定义和发展历程。
通过实际例子展示几何学在数学和其他领域中的应用。
引导学生思考学习高等几何的意义和方法。
4. 课后作业研究几何学在数学和其他领域的应用实例。
思考学习高等几何的意义和方法。
教案章节二：解析几何基础1. 教学目标掌握解析几何的基本概念和常用工具。
学会使用坐标系进行几何问题的分析和解决。
2. 教学内容解析几何的基本概念和常用工具。
坐标系的定义和应用。
点的坐标和向量的基本运算。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的解析几何知识。
讲解解析几何的基本概念和常用工具。
通过实际例子演示坐标系的应用。
讲解点的坐标和向量的基本运算。
4. 课后作业复习解析几何的基本概念和常用工具。
练习使用坐标系解决几何问题。
教案章节三：平面几何1. 教学目标掌握平面几何的基本概念和定理。
学会解决平面几何问题。
2. 教学内容平面几何的基本概念和定理。
平行线、相交线和圆的性质。
三角形的分类和性质。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的平面几何知识。
讲解平面几何的基本概念和定理。
通过实际例子演示平行线、相交线和圆的性质。
讲解三角形的分类和性质。
4. 课后作业复习平面几何的基本概念和定理。
练习解决平面几何问题。
教案章节四：空间几何1. 教学目标掌握空间几何的基本概念和定理。
学会解决空间几何问题。
2. 教学内容空间几何的基本概念和定理。
空间直线、平面和多面体的性质。
空间角和空间向量的应用。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的空间几何知识。
讲解空间几何的基本概念和定理。
通过实际例子演示空间直线、平面和多面体的性质。
讲解空间角和空间向量的应用。
《高等几何》教学中注意的若干问题-4页精选文档
《高等几何》教学中注意的若干问题《高等几何》是高等师范院校数学专业的重要基础课程之一，它与《初等几何》、《解析几何》、《高等代数》有极其密切的联系。
它是在学生已学过许多数学知识，特别是已经熟悉初等几何、解析几何与高等代数等有关知识的基础上，以仿射几何作为从欧氏几何到射影几何的桥梁，进一步系统地学习射影几何的基础知识，以及射影几何和仿射几何、欧氏几何的内在联系和根本差别等方面的内容。
本文作者从事多年高等几何的教学，总结了一些教学中应注意的问题和体会。
一、介绍几何发展史，激发学生的学习积极性在讲课中，向学生说明射影几何悠久的发展历史，对激发学生学习兴趣很有帮助。
远在公元四世纪，古希腊人已经发现了圆锥曲线，后来有很多关于圆锥曲线的定理成为射影几何的内容。
1639年，Desargues建立了无穷远元素的概念，并得出了透视三点形的定理和关于点列对合的定理，奠定了射影几何发展的基础。
1649年，Pascal发现了关于二阶曲线的定理，这条著名定理至今仍在射影几何中占极其重要的地位。
1822年，Poncelet研究了图形在射影变换下的性质（射影性质），接着他又提出了交比、无穷远直线等重要概念，并建立了对偶原则和配极理论。
1827年，Mobius研究了平面和空间的一一对应，并和Feuerbach建立了齐次坐标。
而二阶和高阶曲线的射影理论是在1832年Steiner建立了二阶曲线的射影定义之后逐步建立起来的。
到了1872年，Klein提出了著名的变换群的观点，从而可以通过变换群的关系来分析各种几何之间的内在联系和根本差别。
在整个数学发展过程中，不仅在数学上最重要，而且在人类文化史上也是非常突出的就是Euclid的《几何原本》。
这是第一本系统性的书，主要的目的是研究空间的性质。
这些性质都可以从很简单的公理用逻辑的推理得到。
这是一本关于整个数学的书，不仅限于几何学。
华人数学大师陈省身教授对数学有重大贡献，尤其是几何学方面。
《高等几何》课程学习指南
《高等几何》课程学习指南一、课程目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。
二、课程主要内容结构以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：1、射影平面。
包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。
2、射影变换。
包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。
高等几何自学指导
《高等几何》（第二版）自学指导Ⅱ目录·第七章二次曲线的仿射性质·第八章二次曲线的度量性质第七章二次曲线的仿射性质本章主要内容如下（所讨论的二次曲线非退化）：一、中心1、定义：中心为无穷远直线的极点2、存在性：椭圆、双曲线有唯一中心，抛物线以无穷远点为中心3、性质：平分过中心的弦4、方程：中心是方程组a 11 x+a 12 y+a 13=0的解a 12 x+a22 y+a 23=0二、直径与共轭直径1、定义（1）无穷远点的极线（非无穷远线）称为直径（2）如何两直径之一的极点在另一直径上，则此两直径称为共轭直径。
2、存在性（1）二次曲线有无穷多条直径（2）有心二次曲线有共轭直径，无心二次曲线无共轭直径3、性质（1）有心二次曲线的直径过中心，无心二次曲线的直径彼此平行（2）共轭直径平分与另一条直径平行的弦；平行于过另一端点的切线。
4、求法：按照定义三、渐近线1、定义：以Γ与l∞的交点为切点的Γ的切线2、存在性：双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远线为渐近线。
3、性质：渐近线过中心，且调和分割任一对共轭直径4、求法： （1）见EX72 （2）按照定义求四、仿射分类 虚椭圆A33 ≠0椭圆 A 33 ＞0 有心二次曲线二次曲线 双曲线A 33 ＜0A 33 =0 抛物线；无心二次曲线例1 判断二阶曲线0133221=++x x x x x x 的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。
解 ,0021212102121210≠=ij a ,41210212131==A 4121212132=-=A ，4102121033-==A 。
因为|A|≠0,A 33<0，所以方程表示双曲线，中心为（1，1，－1）设过点（0，1，1）的直径为0)(323222121313212111=+++++k x a x a x a x a x a x a ，于是得2212121-=+-=k所求直径为：02321=+-x x x 设所求共轭直径为0)(323222121313212111='+++++k x a x a x a x a x a x a则 221)2(2122121211=-⨯-=++-='ka a ka a k故共轭直径为：032321=++x x x例2 求平分二次曲线02322=-++-y x y x 与直线02=+y x 平行的弦的直径的方程。
高等几何教学中应注意的问题
高等几何教学中应注意的问题作者：马丽君来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2013年第19期马丽君（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 012000）摘要：高等几何是数学专业的一门必修课，主要是让学生对图形的几何性质有更深入的了解，从而扩大学生的知识领域.高等几何教学中融合了现代数学的思想和学习方法，内容抽象，丰富.学习高等几何，有助于提高学生对于几何学的认识，有助于提高学生的空间想象能力，对培养学生思考问题的方式有很大的作用.然而高等几何的内容比较抽象，有很强的逻辑性，解题也有很强的技巧性，使学生理解起来比较困难.本文主要对高等几何教学中的注意事项进行阐述，旨在提高高等几何的教学水平.关键词：高等几何；教学；现状中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2013）10-0232-02高等几何是在学生学习了初级几何、解析几何、高等数学的基础上开设的课程.高等几何是在克莱因的观点上进行定义的，它是以变换群的思想为指导思想，通过一些重要的定理，对平面射影几何的相关知识进行讲解，对射影几何、欧式几何、解析几何、椭圆几何等多种几何学的相关知识进行了内在的联系.克莱因的变换群认为，每一个几何学都有一个变换群与之对应，而几何学研究的就是图形在对应的变换群中保持不变的图形的性质和不变量.从功能上进行理解，高等几何是在高层面上对几何空间的特征、研究方法、内在联系的深入认识和研究，以便于进一步掌握几何学的本质特征，使学生能够更好的应用几何学的知识.高等几何自身的特点决定了用高等几何解析几何学中的难题变得更加普遍.1 高等几何教学的现状高等几何是利用变换群的观点将仿射几何学、射影几何学、欧式几何学、非欧几何学等几个几何学的分支统一起来，包含着重要的数学思想，是学习几何和数学的重要的基础，它能够丰富学生的思维逻辑能力和空间想象力，高等几何对提高学生的数学素质具有至关重要的作用.然而，由于高等几何的抽象，学生认为它知识面广，内容抽象，使学生难以理解.而教师认为高等几何中的内容抽象，在授课的过程中很难为学生进行描述，另外，高等几何在高校教学中的计划课时很少，使教师的教学计划也受到了一定程度的制约，难以达到教学任务.由于部分高校对高等几何在整个数学专业课中的作用认识不足，导致高校对高等几何的教学缺乏有效的改革方式，从而教师教授高等几何缺乏动力，使学生对高等几何缺乏足够的兴趣，而高等几何这门课程大多被安排在大四，这段时间学生往往忙于工作，无暇重视高等几何的学习.同时，多数教师往往重视教学研究，在教学方法上只是采用“满堂灌”的形式，一味的传授理论知识，而不忽略了对学生的引导，这些都会影响高等几何教学质量的提高，影响高等几何在现阶段的进一步发展.2 高等几何教学中应注意的事项针对当前高等几何教学的现状，以现代科技发展的趋势，以高等几何课程的特点，以高等教师对学生的认知情况，总结了高等几何教学中应注意的事项，现阐述如下：2.1 明确教学目的在高等几何课程开课初期，教师要让学生了解几何学的发展历史，激发学生对于几何学的兴趣，同时教师向学生介绍高等几何的作用及学习高等几何的目的和要求.“兴趣是最好的老师”，引起学生的兴趣是让学生主动走近高等几何的第一步，也是关键的一步.这一阶段主要是向学生介绍高等几何内容的丰富性和应用的广泛性，让学生初步理解高等几何所涉及内容的大概范围，了解到初等几何与高等几何的区别和联系，初步认识仿射几何学、射影几何学，了解射影几何学产生和发展的过程，和与现实世界的联系方式，从而让学生从思想上认识到射影几何在几何发展中的作用和意义.通过教师对高等几何的初步介绍，让学生对高等几何建立良好的印象，从而愿意接受高等几何，为教师进一步教学奠定基础.高等几何能够使学生居高临下的看待初等几何的内容，对整个几何学的应用有很大的帮助作用，教师要明确教学的目的，经常引导学生，使学生重视学习的目的和要求，在激发学生兴趣的同时，也可以提高学生对于学习高等几何的积极性和自觉性.2.2 注重概念教学高等几何是以变换群和公理化的方法讨论了几何体系的总体性质与结构，它包含了大量的现代数学思想，大量的公理和定理等内容.学生深入理解并掌握高等几何中涉及到的公理、定理等概念问题，才能够更好的去运用它们.如果对概念认识不清，就可能没有办法进行正确的判断和推理，不能正确的解决问题.但在实际教学过程中，教师往往不够重视概念的教学，只是对概念一带而过，让学生记住，而不进行深入的解释，导致了学生对概念不够重视，理解也不全面.因此教师在授课的过程中，应该注意对概念来源、内容、用途的解释，让学生理解概念更容易.概念是从具有某些共性的事物中进行抽象的结果，对概念的解释要遵循从特殊到一般，从具体到抽象的过程.教师在授课过程中，要对概念的内容、关键字、使用概念时的注意事项等进行强调，并对概念进行一定的拓展和延伸，加深学生对概念的理解和认识.高等几何中对中心投影、仿射不变性、度量不变形、二次曲线的射影性质、射影不变量等内容都进行了分析和研究，可以让学生深入理解几何学的内容.在高等几何的学习中，“透视仿射对应”是一个重要的概念，教师在介绍概念之前，可以先用生活中的例子来引导学生，从所列的例子中总结它的共性，并将透视对应的概念进行抽象，从而使学生更加透彻的理解“透视仿射对应”的概念.在透视对应的应用中，有限个透视对应链就可以构成一个射影对应，而利用“透视仿射对应”对完全四点形的调和性质定理、巴斯加定理、巴布士构图方法等进行了证明，同时利用透视也说明了三种特殊射影变换的正确性，揭示了双曲射影变换的性质等.因此，在高等几何的学习中，学生对概念进行深入理解对于提高学生的数学思维有很大的帮助，而教师在授课过程中更应该注重概念教学方法，旨在提高高等几何的授课质量，从而提高学生的数学素质.2.3 加强重点难点教学高等几何中涉及的内容范围广，且抽象，有很多的重点难点问题，而学生在理解重点难点问题时就很困难，如果教师对这些问题处理不当，就容易引起学生厌烦的心理，对学生掌握相关知识很不利.因此，教师在讲解重点难点问题时，要透彻的分析，并反复强调，让学生接受起来更容易，并能够牢记.在克莱因变换群的观点来理解几何学，高等几何研究的是从变换的角度研究图形的不变性和不变量，并且高等几何用变换群的观点把不同的几何学进行了统一.而从群论的角度来定义几何学，对几何学的发展有很大的推动作用.它将几何学的系统知识与几何中的图形分开来理解，并且得到了对立事物的统一性质.我们知道，非欧几何是仿射几何学的一部分，仿射几何学是射影几何学的一部分，因此，射影几何就是学习的重点，对于初等几何的认识有很大的帮助.同时，高等几何中的许多内容都是从克莱因变换群的角度进行理解的，而克莱因变换群本身就是高等几何中的重点难点问题.在实际教学中，教师可以对仿射几何、欧式几何的基本内容作简要的介绍，重点介绍仿射几何、欧式几何、射影几何和它们相应的变换群以及它们之间的联系.明白了这些问题，仿射几何、欧式几何中基本的概念的相关性质就很容易理解了.另外，高等几何中的重点难点问题不是教师讲一遍，学生就可以理解的，教师应该利用仿射几何、欧式几何的性质来引导和启发学生，在授课过程中反复的利用基础知识将重点难点问题进行强化，加深学生的印象，在多次的引导下，更易于学生对于这些问题的理解，从而提高高等几何的教学质量.2.4 化抽象式教学为具体式教学高等几何中涉及的内容比较抽象，不易于学生的理解.教师要结合课程的特点，将高等几何涉及到的知识进行简化，使学生理解起来更加清晰.教师在授课的过程中要随时总结，将学生难以理解的知识点进行总结，然后将抽象化的知识进行处理，使知识点以更加直观的形式呈现在学生的面前.我们知道，高等几何的知识是初等几何知识的延伸，高等几何为初等几何提高了理论依据.而高等几何很抽象，初等几何很直观，结合两者的特点及联系，高等几何的知识可以从初等几何的角度进行初步理解，从而让学生理解起来更加的方便.例如在学习高等几何中的定理：完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离.学生在初接触这个定理时很难理解，不明白它要表示的是什么.因此，教师就要发挥自身的作用，教学生换一种形式去理解，即经过对边点X有一个调和直线组，其中一个对是过X的对边a、b，另一对为过X的对边三点形的两边c、d，另两个对边点也做类似的处理，这样就将抽象的问题变为了具体式的教学，使学生理解起来更加的轻松.2.5 重视习题课教学学生在课堂上掌握了高等几何的基本内容，对于较复杂的问题，学生往往是在课堂上听得懂，课后做题就很困难，这说明了学生还没有真正掌握高等几何的概念，不能很好的进行应用.要解决这个问题，在习题课教学中教师首先要注意选取典型的例题.好的例题往往更容易启发学生的思维，更容易培养学生自主运用的能力，更容易让学生记住.习题课的内容主要将本课程的重点、难道进行答疑，并将学生具有共性的问题进行分析，因此，对于习题课上例题的选择很重要.在选题的过程中要注意例题的代表性、典型性、针对性.并注意选取“一题多解”的例题进行训练，让学生从不同的角度对题目进行分析、理解、掌握，从而真正的掌握到同一类题目的解题技巧.如在处理共点、共线、共圆的问题时，可以从平面几何、解析几何、高等几何等多种角度进行理解.类似这样的例题还有很多种类型，它们能够发散学生的思维，使学生能够举一反三，从而加深学生对高等几何的理解.高等几何中的证明题的难度相对比较大，必须能够灵活的运用所学的知识，才能将其进行论证.通过习题课上的讲解，教师要教给学生解决问题的技巧，以便提高学生的解题能力.比如采用综合法的解题思路，即从高等几何的定义、公理、定理的角度进行考虑，经过严密的逻辑推理来验证命题的正确性.这样方法是从原因来导出结果的过程.在证明的过程中也可以利用分析法，即建立射影坐标系，设立点的坐标和曲线方程，将几何问题转化为代数问题，从而方便学生的得出结论.3 结语高等几何有助于提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力，培养学生的抽象思维，为学生学习其他数学科目奠定基础.在高等几何的教学中，教师要明确教学目的，注重概念教学和习题课教学，加强对重点难点问题的教学，同时通过一定的努力，将抽象化的教学转变为具体式的教学，提高学生对于高等几何的理解.总之，教师需要不断的加强理论知识的学习，掌握各个知识点之间的联系，研究学生易于接受的教学方法，充分调动学生学习高等几何的积极性，这样才能更好的提高高等几何的教学质量，促进高等几何教学的进一步发展.参考文献：〔1〕范春文.高等几何教学初探[J].西藏大学学报，2005(10):79-82.〔2〕张晗.高等几何教学问题及教学方法探讨[J].数学教学与研究，2010(52):88-89.〔3〕高玉华.高等几何教学中应注意的几个问题[J].扬州师院自然科学学报，2008(02):63-65.〔4〕袁丽霞.关于高等几何教学的思考[J].新疆师范大学学报，2012(08):187.〔5〕廖小勇,胡如寿,袁明豪.高等几何课程教学改革探讨[J].黄冈师范学院学报，2009(06):10-13.。
高等几何学习指导
《高等几何》学习指导第一章仿射坐标与仿射变换一、教学目的要求1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系；2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质；4、熟练掌握仿射变换的代数表示.二、教学重点、难点重点：透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法.难点：透视仿射对应的概念、特征及判断.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、共线三点单比（简比）的概念2、透视仿射对应1）、概念：①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应；②、平面π到平面/π的透视仿射对应.2）、判断：对应点连线互相平行.3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系；2）、共线三点单比的坐标表示： 设31311233232(,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --===--则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩， 111221220a a a a ∆=≠；5、仿射性质1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比.3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C3(,1)2-,求单比（ABC ）. 解：设A 、B 、C 的非齐次坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y由3132322()1352x x ABC x x +-===---.例2、平面上是否存在仿射变换，使点A （1，2），B （-2，-4）， C （3，6）分别变为点A /（-1，-1），B /（2，2），C /（0，0）？解：由于A ，B ，C 三点共线，A /，B /， C /也共线，下面验证它们的单比是否保持不变，由于：//////////312011(),(),()()325022AC A C ABC A B C ABC A B C BC B C -+======-∴≠+-因此这样的仿射变换不存在.例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，3），（2，5），（3，-7）的仿射变换.解：设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠， 将（0，0）对应（2，3）， （1，1）对应（2，5），（1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得：1323111213212223111223212223232537a a a a a a a a a a a a a a ===++=++=-+-=-+ ，解此方程组，得132311122122112,3,,,4,622a a a a a a ====-==故所求仿射变换为：//11222463x x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩， 且1102246-∆=≠-. 例4、求一仿射变换，它使直线210x y +-=210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）.解：在直线210x y +-=上任取两点（1，0），（-1，1），由于 （1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的坐标分别代入仿射变换式/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，解得：//22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩，220322∆=≠--，即为所求的仿射变换.例5、求椭圆的面积. 解法1（见教材第15页）解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为222x y r +=即22221x y r r+=，令仿射变换T ：//x x a r y yb r⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即//ax x rb y y r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 其中2000aabr b rr ∆==≠， 其对应图形为椭圆：/2/2221x y a b+=故T 是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为S ，椭圆的面积为S / 由定理4.3//22S abS S r ab S rππ=∆⇒=∆== 所以椭圆的面积为ab л.例6、求将点O （0，0），A （1，0），B （0，1）分别变为O /（1，1），A /（3，1），B /（3，2）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为2的圆的仿射对应图形的面积.解：①、设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠ 将O （0，0）对应O /（1，1）， A （1，0）对应A /（3，1），B （0，1）对应B /（3，2）分别代人上式解得//2211x x y y y ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩且 22001∆=≠ 为所求仿射变换.②、////1,1,42OAB O A B S S S π∆∆===圆，设圆的仿射对应图形面积为/S ，则//////1,42812O A B OABS S S S S ππ∆∆==∴=⨯=圆. 五、习题1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-3,2),B(6,1),C 33(,)22,求单比（ABC ）.2、经过点A （-3，2）和B （6，1）的直线AB 与直线x+3y-6=0相交于P ，求(ABP).3、求仿射变换{4y 2x 4y 1y x 7x ++='+-='的不变点.4、试求：在仿射变换下，梯形、菱形、等边三角形、正方形、等腰三角形、圆、两全等矩形的对应图形.5、二平行线间的平行性是仿射不变性吗？6、任意两线段之比是仿射不变量吗？7、三角形三高线共点是仿射性质吗？三角形三中线共点是仿射性质吗？8、若（ACB ）＝2，则C 是A ，B 的中点吗？ 9、在仿射变换 {73532-+='+-='y x y y x x 下，点O （0，0），A （3，2），的像点为 、 ；B （1，-4）的原像点为 .10、求将点A （1，0），B （0，-1），C （-1，1）分别变为A /（8，-1），B /（6，-6），C /（1，1）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为3的圆的仿射对应图形的面积.第二章射影平面一、教学目的要求1、理解中心射影、无穷远元素及射影平面的概念，掌握无穷远元素的性质，了解射影观点与仿射观点的区别；2、掌握笛沙格定理及其应用，了解笛沙格构图；3、掌握齐次坐标的定义，熟练掌握点和直线的方程、齐次坐标的求法及其应用；4、理解对偶元素、对偶运算及对偶命题的概念，掌握对偶原理及写出一命题的对偶命题的方法；5、明确完全四点形、四线形的概念，掌握它们的调和性质及应用；6、了解复元素的概念.二、教学重点、难点重点：无穷远元素的概念及其性质，齐次坐标的定义及运算，笛沙格定理及其应用，对偶原理.难点：无穷远元素的概念，点方程、线坐标的定义.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、无穷远元素的概念2、射影直线与射影平面的概念3、图形的射影性质经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）.射影性质⎧⎧⎨⎨⎩⎩点列同素性，射影图形结合性线束但平行性、共线三点的单比不是射影性质.4、笛沙格定理1）、笛沙格（Desargues ）定理：如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上.2）、笛沙格（Desargues ）定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点.3）、透视三点形：如果两个三点形对应边的交点共线——所在直线称为透视轴； 如果两个三点形对应顶点的连线共点——该点称为透视中心. 由笛沙格定理知，两个三点形若有透视心，则必有透视轴，反之亦然，这样的两个三点形称为透视三点形.4）、笛沙格构图：构成一个图形的基本元素有两类：点和线，分别称为第一类和第二类元素，用11a 和22a 表示，而12a 表示第一类元素点与第二类元素线结合，21a 表示第二类元素线与第一类元素点结合.Desargues 定理所表示的图形所含的第一类元素点的个数11a ＝10个，所含的第二类元素线22a ＝10条，每一点与12a ＝3个第二类元素线结合，每一线与21a ＝3个第一类元素点结合.可表示为：A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛103310 （A 称为构形矩阵，且A 为对称矩阵）. 即：图形中有10个点，每个点有3条线通过；有10条线，每条线上有3个点.布局十分巧妙！更为巧妙的是：在10个点中，任一个点都可作为透视心，在10条线中，任一条线都可作为透视轴.如图，对于任一点C,考察两个三点形/YXC ABO 和，它们对应顶点连线/,,AY BX OC 交于一点C,则其对应边交点YX AB Z Y C OA A XC BO B ===,,////共线.即如果以C 为透视心，则其对应的透视轴为直线Z A B //. （读者可另行考虑以图中其余的点作为透视心，则必能找到其对应的透视轴！）5、齐次坐标 1）、齐次点坐标：① 一维齐次点坐标设直线上普通点的坐标为x，则该点的齐次坐标是122(,),,(0)x x x x x x =≠12其中， 当210,(,0)(1,0)(0)x x =∝≠1时即其中x 规定为这直线上无穷远点的一维齐次坐标.② 二维齐次点坐标设平面上的点的非齐次坐标为(x,y),则该点的齐次坐标是1212333(,,),,x xx x x x y x x == 斜率为k 的直线上的无穷远点的齐次坐标为(1,k,0)或者2121(,,0),x x x k x = ③ 直线的（齐次坐标）方程：1122330a x a x a x ++= ④ 无穷远直线的方程：30x = 2）、齐次线坐标：① 直线的齐次线坐标 []123,,u u u点123(,,)x x x x 在直线[]123,,u u u u 上1122330u x u x u x ⇒++= ② 点的方程（线有坐标，点有方程）在齐次坐标中，点123(,,)a a a a 的方程为 1122330a u a u a u ++=， 反之，[]123,,u u u 所构成的一次齐次方程表示一点. 3）、点几何与线几何的观点： 点几何——点有坐标；线有方程，平面上，把点看成几何基本元素，点的轨迹构成曲线，直线看成一系列点构成；线几何——线有坐标；点有方程，平面上，把直线看成几何基本元素，直线的集合构成曲线，点看成一束直线构成.6、对偶原理 1）、对偶图形：对偶元素 ——“点”与“直线”；对偶作图——“点在线上”与“线通过点”；对偶图形——由点和直线组成的图形，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个图形称为一对对偶图形.如：点列——线束三点形——三线性（自对偶） 简单四点形——简单四线形（自对偶） 完全四点形——完全四线形 2）、对偶命题与对偶原则：对偶命题——由点和直线组成的命题，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个命题称为一对对偶命题.对偶原则——在射影平面上，如果一个命题成立，则其对偶命题也成立. 3）、代数对偶：① 两个不同点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线（交点）的线坐标（点坐标）为：233112233112(,,)a a a a a a a b b b b b b b =⨯ ② 三个不同点（线）123123123(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b c c c c 共线（共点）的充要条件是：1231231230a a a b b b c c c =③ 以两个不同已知点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线为底的点列中一点（交点为顶点的线束中任一直线）的齐次坐标能够写为la mb +，其中,l m 为不全为零的常数.7、复元素在复射影平面上有以下重要结论：1）、一元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭复元素重合； 2）、如果点x 在直线u 上，则x 的共轭复点x 在直线u 的共轭复直线u 上；3）、两共轭复直线的交点为一实点，两共轭复点的连线为一实直线. 四、例题例1、写出下列点的齐次坐标：(0,0)、(1,0)、(0,1)、以3为斜率的直线上的无穷远点.解：这些点的齐次坐标依次为：(0,0,1)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,3,0) 例2、写出下列直线的齐次坐标：x 轴、y 轴、无穷远直线、过原点且斜率为2的直线.解：这些直线的齐次坐标依次为：[0,1,0]、[1,0，0]、[0，0，1]、[2，-1，0].例3、求直线340x y -+=上的无穷远点的坐标和线坐标方程. 解：直线的齐次坐标方程为123340x x x -+=，这条直线与无穷远直线30x =的交点1233340x x x x -+=⎧⎨=⎩即为无穷远点，从而无穷远点的坐标（3，1，0）.这个点的齐次线坐标方程是1230u u +=.例4、求直线[1,-1,2]与两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）之连线的交点的坐标.解：两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）连线上的点（3+5λ，4-3λ，-1+λ）在直线[1,-1,2]上，所以（3+5λ）-（4-3λ）+2（-1+λ）=0，解得310λ= 所以交点坐标为（45，31，-7）.例5、试证、[2,-1,1]、[3,1,-2]和[7,-1,0]三线共点，并把[2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.解：由2113120710--=-得三线共点，所以存在二实数λ，μ，使得 [2,-1,1]=λ[3,1,-2]+μ[7,-1,0]，于是有372121λμλμλ+=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得11,22λμ=-=，故[][][]112,1,13,1,27,1,022-=--+-，即 [2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.例6、利用对偶命题解题：(1)、求通过两直线[2,1,3]与[1,-1,0]的交点与点P ：12320u u u +-=的直线坐标；(2)、求两点123340u u u +-=，123530u u u -+=的连线与直线12320x x x -+=的交点坐标.解：(1)、这两直线的交点Q 方程为123213011u u u =-， 即1230u u u +-=，即Q 点的坐标为（1，1，-1），而P 点的坐标为（1，2，-1），所以过这两点的直线方程为1231210111x x x -=-，即130x x +=，其坐标为[1，0，1] .(2)、过这两点的直线l 的方程为1233410531x x x -=-，即1238290x x x --=，其坐标为[1,-8,-29]，而直线/l 坐标为[1,-1,2]，所以这两直线交点的方程为12311201829u u u -=--，即123453170u u u +-=，其坐标为(45,31,-7).例7、（1）求过点(1,,0)i -的实直线；（2）求直线[,2,1]i i -上的实点.解：（1）因为过点(1,,0)i -的实直线必过其共轭复点(1,,0)i ，所以所求直线为1231001x x x i i-=，即30x =为所求.（2）直线[,2,1]i i -上的实点为此直线与其共轭复直线[,2,1]i i -+的交点，由方程1231232(1)02(1)0ix x i x ix x i x ++-=⎧⎨-+++=⎩，解得实点为（2，-1，2）.例8、设三点形ABC 的三边BC, CA, AB 的方程分别为052,0153,0237=-+=--=+-y x y x y x ,求证三点形 ABC 与坐标三点形A 1A 2A 3透视，并求出透视轴方程.解：在三点形ABC 和 A 1A 2A 3中，123123123:7320,:350,:250,BC x x x CA x x x AB x x x -+=--=+-= 231312123:0,:0,:0,A A x A A x A A x ===其对应边之交点：233112(0,2,3),(1,0,3),(1,2,0)BC A A L CA A A M AB A A N ⨯=⨯=⨯=-因为0231030120=-，所以L 、M 、N 共线， 即三点形ABC 和 A 1A 2A 3透视，且透视轴方程为1236320x x x +-=例9、如图，设直线AB 与CD 交于M ，AC 与BD 交于N ，直线MN 分别交AD 、BC 于K 、H ，直线BK 交AC 于L ，求证：HL 、CK 、MA 交于一点.解：在三点形HCM 与LKA 中，对应边的交点HC хLK=B ，CM хKA=D ，MH хAL=N ，而B 、D 、N 在一条直线上，由笛沙格定理的逆定理，这两个三点形对应顶点的连线HL 、CK 、MA 交于一点.五、习题1、回答下列问题：①、坐标原点的方程是U 3＝0吗？②、X 轴上的无穷远点坐标是（0，1，0）吗？③、三直线［1，1，1］，［1，－1，1］，［3，－1，3］共点吗？ ④、共线三点的单比是射影不变量吗？⑤、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个吗？ ⑥、方程22120x x -=表示什么图形？方程22120u u -=表示什么图形？ ⑦、当正负号任意选取是，齐次坐标（1,1,1±±±）表示多少个相异的点？2、写出下列点的坐标：①、P 1(3,7,-2),P 2(0,0,1),P 3(3,-1,0)的非齐次坐标. ②、直线5x+3y-1=0上的无穷远点的齐次坐标. ③、直线l [1,1,2]与m[0,1,1]的交点坐标. ④、直线ix 1+4x 2+(1+i)x 3 = 0上的实点坐标.3、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个，对吗？4、写出下列直线的方程：①、点A(0,1,2)与B(1,0,1)D 连线方程. ②、通过点（1,i,0）的实直线方程.5、已知点123(1,1,1),(1,1,1),(3,1,3)P P P --，求证123,,P P P 共线，并求λ，μ的值，使得312P P P λμ=+.6、下列诸方程表示什么？123123120;0;0;20u u u u u u u u =-=++=+=；221122540;u u u u -+=7、已知Pappus 定理：设直线l 上有互异三点A ，B ，C ，直线l '有互异三点C ,B ,A '''，那么三点B A B A N ,A C A C M ,C B C B L '⨯'='⨯'='⨯'=共线.写出其对偶命题.8、“一线束中三直线a,b,c 与不过中心的二直线21,l l 相交得两个互成透视的点列”.写出其对偶命题.9、“如果两个三角形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线共点”.写出此命题的对偶命题.10、证明三角形三中线共点.11、指出下图中以B 为透视心的两个三点形和其对应的透视轴.12、ABCD 是个四面体，点M 在BC 上，一直线通过M 分别交AB ，AC 于P 、Q ，另一直线过M 分别交DB 、DC 于R 、S ，求证PR 、QS 、AD 交于一点.13、画出下面图形的平面对偶图形。
成人自学《高等几何》指导
求 法 会 利 用 配 极 原 则 证 明有
;
、,Βιβλιοθήκη ; 关 问题 理 解 二 阶 曲 线 的 射 影 分 类 ( 利 用 坐 标变 换 和
写 出 一 个 命题 的 对 偶命题 元 素 所 具 有 的性 质
。
;
复元 素 的 概 念 和 共 扼 复
利 用 不 变 全 ) 掌握其 标 准 方 程 弄 清 奇异 点 的 概念
; ;
.
第五 章
,
二 次 曲 线的 射 影 理 论
。
因
这 一 章 包括 的 内 容 比 较 丰 富 涉 及 的 概 念 也 较 多 它 在全书 中 占有 很重 要 的地 位 二 阶 曲 线 的 定 义 ( 代数 定 义 几何定 义 ) 及 方 程 将二级 曲线化 为二 阶 曲线
;
;
、
。
:
么
是 中心 针 影 影 消
,
0
(a d 一 be 共 0 )
, 。
第一章
正 交 变换 与 仿 射变 换
。
领 会 对 合 的 定 义 抓 住 其特 点 弄 清 它 与 一 般 针 影 变换 不 同 之 处 如 何 判 断 一 个 封 影 变 换 是 对 合 解 射 影 变换 与射 影 坐 标
。
本章 内 容 是从 欧 氏 几 何 过 渡 到针 影 几 何 的 桥梁 重点
, ,
.
田 井 宋
针 变换 的 概 念 性 质和 代数 表
示式
。
、
:
第一
、
,
把 变 换 群 与 几 何 学联 来起 来 给 几 何
,
注 意 正 交 变换 ( 资 变换 )
,
.
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《高等几何》（第二版）自学指导Ⅱ
目录
·第七章二次曲线的仿射性质
·第八章二次曲线的度量性质
第七章二次曲线的仿射性质
本章主要内容如下（所讨论的二次曲线非退化）：
一、中心
1、定义：中心为无穷远直线的极点
2、存在性：椭圆、双曲线有唯一中心，抛物线以无穷远点为中心
3、性质：平分过中心的弦
4、方程：中心是方程组
a 11 x+a 12 y+a 13=0
的解
a 12 x+a22 y+a 23=0
二、直径与共轭直径
1、定义
（1）无穷远点的极线（非无穷远线）称为直径
（2）如何两直径之一的极点在另一直径上，则此两直径称为共轭直径。
2、存在性
（1）二次曲线有无穷多条直径
（2）有心二次曲线有共轭直径，无心二次曲线无共轭直径
3、性质
（1）有心二次曲线的直径过中心，无心二次曲线的直径彼此平行
（2）共轭直径平分与另一条直径平行的弦；平行于过另一端点的切线。
4、求法：按照定义
三、渐近线
1、定义：以Γ与l∞的交点为切点的Γ的切线
2、存在性：双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远线为渐近线。
3、性质：渐近线过中心，且调和分割任一对共轭直径
4、求法： （1）见EX72 （2）按照定义求
四、仿射分类 虚椭圆
A
33 ≠0
椭圆 A 33 ＞0 有心二次曲线
二次曲线 双曲线A 33 ＜0
A 33 =0 抛物线；无心二次曲线
例1 判断二阶曲线0133221=++x x x x x x 的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。
解 ,00
2
12
121
02121210
≠=
ij a ,41210
212131
==A 412
12121
32=-=A ，4
102121
33
-==A 。
因为|A|≠0,A 33<0，所以方程表示双曲线，中心为（1，1，－1）
设过点（0，1，1）的直径为
0)(323222121313212111=+++++k x a x a x a x a x a x a ，于是得
22
12121-=+
-=k
所求直径为：02321=+-x x x 设所求共轭直径为
0)(323222121313212111='+++++k x a x a x a x a x a x a
则 221)
2(21
22121211=-⨯-=++-='k
a a k
a a k
故共轭直径为：032321=++x x x
例2 求平分二次曲线02322=-++-y x y x 与直线02=+y x 平行的弦的直径的方程。
解 与直线02=+y x 平行的弦上的无穷远点为P ∞（1，－2，0），所求直径为P ∞关于曲线02322=-++-y x y x 的极线，即
0142=++y x
例3 求双曲线042322
2=-+-+y x y xy x 的渐进线方程。
解
方法一
设渐近线的方程为
0)(323222121313212111=+++++k x a x a x a x a x a x a
于是有
－3k 2+2k+1=0 解得
k 1=1，k 2=－1/3 所以渐近线方程为
0)23(1=--+++y x y x 和
0)23(3
1
1=---++y x y x
化简得
056y 2x ,
0122=++=--和y x
方法二
A 31=1，A 32=3，A 33=－4
所以中心为（－1/4，－3/4），带入渐近线方程 0)4
3
(3)43)(41(2)41(22=+-++++y y x x 分解因式
)4
3(3)41(0
)4
3()41(=+++=+-+y x y x
化简求得两渐进线方程为
0122=--y x
和
0562=+-y x
第八章 二次曲线的度量性质
本章主要内容如下： 一、基本概念
1、圆点：在直角坐标系下，无穷远线上一对共轭虚点I （1，i, 0）和 J （1，-i ，0）。
2、迷向直线：通过圆点的虚直线：y=ix+b,y=-ix+c,它具性质： （1）平行性：迷向直线是两束平行的虚直线 （2）极小性：迷向直线上任意两个非圆点的距离为0 （3）迷向性：迷向直线与其它直线的交角不定
3、拉格尔定理：
（1）ɑ=2i
㏑D ，其中ɑ=∠(l 1,l 2),D=(IJ,P ∞Q ∞), P ∞=l 1×l ∞,Q ∞=l 2×l ∞
（2）意义：将“交比”同“角度”有机地联系起来，为用射影几何观点研究欧氏几何开辟了道路。
二、度量性质 1、主轴和顶点
（1）定义：垂直于它所平分的弦的直径，称为主轴；主轴与二次曲线的普通交点称为顶点。
（2）存在性：
①椭圆、双曲线：有两条主轴，四个顶点 ②抛物线：有一条主轴，一个顶点
③圆：任何直径均为圆的主轴，圆上任何点都是顶点 （3）性质：双曲线的两条主轴平分渐近线所成的角 （4）方程：椭圆、双曲线的主轴方程为：
a 11 a 12 a 13
x （1,k,0） a 12 a 22 a 23 y =0
a 13 a 23 a 33
z
2、焦点和准线
（1）定义：四条迷向切线的有限交点称为焦点，焦点的极线称为准线。
（2）存在性：
①椭圆、双曲线：有四个焦点，四条准线（两虚两实） ②抛物线：有一个焦点，一条准线
③圆：有一个焦点（圆点），一条准线（l ∞） （3）性质
①过焦点的两条共轭直径互垂
②二次曲线的任意一条切线与两条定切线的交点在焦点处张成定角 （4）求法：先求曲线的迷向切线，再求它们的交点（交点是焦点）。
焦点的极线就是准线
例1 证明圆的任何一对共轭直径都互相垂直。
证明 如上图
已知l l ,是圆的一对共轭直径，与∞l 交于P ，Q ，I ，J 为圆点，根据渐近线的性质，知
1),(-=IJ PQ O
根据拉盖尔定理的推论可知：
OQ OP ⊥
例2：证明：在一平面上垂直于同一直线的二直线互相平行。
证明 设一平面上直线l l l l ⊥⊥21,，直线l l l l ⊥,,21上的无穷远点顺次为
∞∞∞R Q P ,,
因为l l ⊥1，所以;1),(-=∞∞IJ R P 因为l l ⊥2，所以;1),(-=∞∞IJ R Q 所以 =∞∞),(IJ R P ),(IJ R Q ∞∞
因此∞∞Q P ,重合为一点，即二直线21,l l 有公共的无穷远点，即21||l l 例3 试求二次曲线01023322=-+-+y x y xy x 的主轴方程.
解 因为
03
2/32
/31,00
5
1
532/31
2/3133≠-=
≠---A
所以方程表示有心二次曲线。
解方程
02
34232=-+k k 即 03832=-+k k 解之，得 3,3/1-=k 故所求主轴方程为
0)5323
(31)123(=--+-+
y x y x 和 0)532
3
(3)123(=----+
y x y x 化简后得所求主轴方程为
322170
439=--=-+y x y x
例4 试求抛物线01424222=+-++x y xy x 的主轴和顶点.
解 因为40
2
22,40
2
223231-=--
==-=
A A ，代入公式得主轴为
0)22(4)222(4=++-+y x y x
即 0122=-+y x
解方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-++01220
1424222y x x y xy x
得顶点之坐标为（3/8，1/8）
例5 求抛物线01424222=+-++x y xy x 的焦点和准线。
解 将已知方程化成齐次式
042422
33122
2121=+-++x x x x x x x ①
设自)0,,1(i I 和)0,,1(i J -所作二迷向切线之方程为 312bx ix x +±= ② 将②代入①，得
0)12()1(442
323121=++-±+±x b x x ib b ix ③
③有重根的条件为
0)12()1(22=+±-±b i ib b 解之，得
2
,221i
b i b =-=
所以，迷向切线方程为
3122
x i
ix x -=
和
3122
x i
ix x +-=
解出它们的交点，得到焦点为F （1，0，2）
再求F （1，0，2）关于二次曲线的极线，得到准线为 021=-x x。