证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法
1、利用梅涅劳斯定理的逆定理
例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。

解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C
CC B
S AC C B S ∆∆=
又易证1
1
AC C CC B ∆∆.则112
2
2AC C CC B S AC b S CB a
∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.
同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222
1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c
⋅⋅=⋅⋅=.
由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。

2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）
例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，
点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。

(96中国奥数) 证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。

记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。

联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ， 易知0
90AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，
∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD
因为2AM AE AB AH AD =⋅=⋅（B 、D 、H 、E 四点共圆）， 即AM AD
AH AM
=
；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ∆∆，故AHM AMD ∠=∠
A
B
C
C 1
B 1A 1
同理，AHN AND ∠=∠。

因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。

3、利用面积法
如果S
S EMN
FMN
=∆∆，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与EF
的中点三点共线。

例3 、如图，延长凸四边形ABCD 的边AB 、DC 交于点E ，延长边AD 、BC 交于点F ，又 M 、N 、L 分别是AC 、BD 、EF 的中点，求证：M 、N 、L 三点共线。

证明：设BC 的中点为O ，辅助线如图所示， 由//,//OM AE ON DE 可知， 点O 必在EMN ∆内，此时，
S S S S EMN OMN OME ONE =++∆∆∆∆
O O O B MN MB NC MN BCN S S S S S ∆∆∆∆∆=++=+
B B B
C 11111
()()()22224
MD BCD MC DMC A ADC ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+=+=⋅+=四边形 同理，1
4
FMN S S ∆=四边形ABCD 。

因此S
S EMN
FMN
=∆∆。

此时，直线MN 平分EF ，即M 、N 、L 三点共线。

注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。

4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。

例4 、如图4(a)，凸四边形ABCD 的四边皆与⊙O 相切，切点分别为P 、M 、Q 、N ，设PQ 与
E
MN 交于S ，证明：A 、S 、C 三点共线。

证明：如图4(b)，令PQ 与AC 交于/S
易证//APS CQS ∠∠与互补。

而//AS P CS Q ∠=∠，则
/
/
/
/
//
sin sin sin sin AS APS CQS S C
AP AS P CS Q CQ
∠∠
===∠∠， 故//AS AP S C CQ =。

再令MN 与AC 交于//S 。

同理可得////AS AM S C CN
= 但AP AM CQ CN =，所以//////AS AS S C S C =。

利用合比性质得，///
AS AS AC AC
=。

因此，///AS AS =，可断定/S 与//S 必重合于点S ，故A 、S 、C 三点共线。

注：观察本题图形,显然还可证得B 、S 、D 三点共线；换言之，AC 、BD 、PQ 、MN 四线共点。

5、利用位似形的性质
如果ABC ∆与///A B C ∆是两个位似三角形，点O 为位似中心，那么不仅A 、/A 、O ；B 、/B 、O ；C 、/C 、O 分别三点共线，而且ABC ∆、///A B C ∆的两个对应点与位似中心O 也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。

例5、如图,ABC ∆内部的三个等圆⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 两两相交且都经过点P ，其中每两个圆都与ABC ∆的一边相切,已知O 、I 分别是ABC ∆的外心、内心，证明：I 、P 、O 三点共线。

证明：联结12O O 、13O O 、23O O 12//O O AB 、23//O O BC 、13//O O 可断定ABC ∆与123O O O ∆且易知ABC ∆的内心I (b)
(a)
B
因为⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 为等圆， 即123PO PO PO ==,
所以点P 是123O O O ∆的外心。

又点O 是ABC ∆的外心，故P 、O 两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I 、P 、O 三点共线。

6、 利用反证法
有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。

例
6
、
如
图
，
梯
形
ABCD
中
、
DC 1P 2P 3P 1P 2P 3P 12P P 、12PP 11PE BC ⊥1E 22P E BC ⊥2E 11PF AD ⊥1F 22P F AD ⊥2F 1
P 2P 11112222PE PF P E P F +=+1P 2P 1P P 22P F 2P P 11PE 11222211PE P E P F PF -=-12PH P G =12PPP ∆12PH P G =12PPP ∆1221PPP PP P ∠=∠1221DMN PPP PP P CNM ∠=∠=∠=∠3P 12PP
3P 12PP 13
P P //M N 、//
M N 、1P 3
P ////
DM N CN M ∠=∠////DM N DMN CNM CN M ∠>∠=∠>∠3P 12PP 1P 2P 3P AB CD EF BC DE FA
⋅⋅=⋅⋅AB FC DE BF CD EA
⋅⋅=⋅⋅,,PAB PCD PFC PBF PDE PEA
∆∆∆∆∆∆,,AB PA FC PC DE PE
CD PC BF PF EA PA
===1AB FC DE PA PC PE CD BF EA PC PF PA
⋅⋅=⋅⋅=AB FC DE BF CD EA ⋅⋅=⋅⋅ABC ∆AB BC CA >>/A /B /C /A /B /C 明：P 、K 、L 三点共
/B
线。

（提示：设第一组垂线的垂足为M 、N ，第二组垂线的垂足为X 、Y ，寻证MN//XY ，得出KMN ∆与LXY ∆位似。

）
1、 图8，凸四边形ABCD 的0120A B ∠+∠=，以AC 、BD 、CD 为一边分别作三个正三角形：
ACP BQD CDR ∆∆∆、、。

证明：P 、Q 、R 三点共线。

（提示：延长AD 、BC 交于点E ，显然C 、D 、R 、E 四点共圆，
再寻找其他的四点共圆，利用方法2）
2、 ⊙O 的弦AC 、BD 交于点S ，过点A 、B 分别作⊙O 的切线得交点P ，延长AD 、BC 得交 点Q ，求证：P 、S 、Q 三点共线。

（提示：设射线QS 交AB 于点K ，设线段PQ 交AB 于点/K ，利用同一法，设法证明点K 与/K 重合）。