沪教版(上海)八年级第一学期第五讲 一元二次方程解法2

第五讲一元二次方程解法2

一、一元二次方程解法选取

1. 直接开平方法

直接开平方法的概念：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.

（1）形如的方程.方程的解是：.当m＝0时，方程有两个相等的实数根.

（2）形如的方程.方程的解是：.

（3）形如的方程.方程的解是：.

总之，如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数，那么就可以用直接开平方法求解.

2. 因式分解法

（1）因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个一次因式的积，进而分成两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

（2）因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0。用式子表示为：若，则a＝0或b＝0。

（3）用因式分解法解一元二次方程的步骤是：

①将方程化为（a≠0）的形式；

②将方程的左边分解为两个一次因式的积；

③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解.

点拨：（1）分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法；

（2）如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积；

（3）等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方式，将它写成平方形式，便实现了因式分解.

3. 配方法

配方法的含义：把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法.

归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

（1）如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；

（2）把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；

（3）然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；

（4）最后用直接开平方法解这个一元二次方程.

4. 公式法

（1）二次方程（a≠0）的求根公式为：

（），其中公式中的a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法.

（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是：

①首先把一元二次方程化为一般形式； ②确定公式中a 、b 、c 的值； ③求出

的值；

④若≥0，则把a 、b 、c 及的值代入求根公式即可求解.当<0时，此时方程无实数解.

说明：①求根公式是专指一元二次方程的求根公式，只有方程为一元二次方程时，方可运用求根公式，即

中a ≠0.②公式中的“

≥0”是公式成立的一个前提条件.

例1、解下列方程

（1）3)2(2=-x （2）04)12(32=--y （3）0342

=-x x

=x ±

解：2-1=y ±

解：()4-3=0x x

12x x

121122y y ， 123=,=04

x x

（4）

052

3

212=-+x x （5）4)2)(3(-=-+x x (6)208)52(2+=+x x 解：

2

12+3-10=0

=-5,=2

x x x x 解：()()212+-2=0

+2-1=0=-2,=1

x x x x x x 解：()()()()2

122+5-42+5=02+52+1=051

=-,=-22

x x x x x x

（7）24)14(10)14(2

=+-+x x （8）01532=+--x x （9）07532

=+--x x

解：()()()()()()2

124+1-104+1-24=0

4+1-124+1+2=0

4-114+3=0113

=,=-44

x x x x x x x x

解：12=37x x ∆

解：12=109

x x ∆练习：解下列一元二次方程：

（1）018)32(22

=-+x （2） a x =-2

)3( （3）01832

=++-x x

解：()

2

122+3=92+3=3=0,=-3

x x x x ±

解：12<0,0

a a x x ≥当方程无解当 解：()()212-3-18=0

-6+3=0=6,=-3

x x x x x x

（4）5)1)(3(=-+x x （5）)(4)(22

a x a x --=- （6）02142

=--x x

解：()()212+2-8=0+4-2=0=-4,=2

x x x x x x 解：()()()()2

122-+4-=02--+2=0=,=-2

x a x a x a x a x a x a 解：

()()12-6+3=0

=6,=-3

x x x x

（7）05342

=--x x （8）x x =-162

解：12=

=88x x 解：()()2

12116--1=02-13+1=0=,=-23

x x x x x x ⇒⇒

二、根的判别式

求根公式：x =

，当2

-4b ac >0

等于一个具体数，所

以一元一次方程的1x ≠2x ，即有两个不相等的实根．当2

-4b ac =0时，

，所以1x =2x =

，即有两个相等的实根；当2

-4b ac <0时，根据平方根

的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）

我们把2

-4b ac 叫做一元二次方程()2++=0

0ax bx c a ≠的根的判别式，记作2

=-4b ac ∆；

利用根的判别式判断一元二次方程根的情况：

（1）当∆>0时，一元二次方程()2

++=00ax bx c a ≠有两个不相等实数根即1x ， 2

x ．

（2）当∆=0时，一元二次方程()2++=00ax bx c a ≠有两个相等实数根即1x =2x =． （3）当∆<0时，一元二次方程()2++=00ax bx c a ≠没有实数根． 利用一元二次方程根的情况来判断根的判别式的符号： 当方程有两个不相等的实数根时，∆>0； 当方程有两个不相等的实数根时，∆=0； 当方程有两个不相等的实数根时，∆<0； 例1、不解方程，判定方程根的情况

（1）2

16+8=-3x x 2）()2-4=5-8x x x （3）2

2+5=3x x （4）(2

-x x

解：=-124∆ 解：=56∆ 解：=49∆ 解：=-3∆

（5）当<0c 时，判别方程2

++=0x bx c 的根的情况．解：2

=-4>0b c ∆，方程有两个不相等的实数根。

2

4b ac -24b b ac -+-24b b ac ---2

4b ac -2b a

-2b a

-