变力做功的求解方法

变力做功的求解方法

变力做功的求解方法

物理与电子信息工程学院物理学

[摘要] 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。

[关键词] 变力功图像法等效代换法

1 前言

功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。

2 用图像法求变力做功

功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方

画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部

分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。

图2.2.1 力-位移图象

在F-x 图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功，即功是力对位移

的积累效应。如果已知在位移x 内F 随位移变化的图象，可以根据图象与x 轴所围

成的面积求出变力F 对物体做的功，这种求功的方法称为图像法。

线性变化的力是一种特殊情况的变力，作用力是位移的线性函数kx F =，它的

力-位移图象是一条倾斜的直线，直线下方的梯形或三角形的面积表示为线性变力

的大小。

在功的求解问题中，当已知力与位移的函数关系或力与位移的关系曲线时，就

可以用图像法求解。如重心位置变化时的重力所做的功；弹簧伸缩时弹力所做的功；

打击木桩时的阻力所做的功，它们的力与位移都成线性关系：kx F =。在求这些力

做的功时，由于很容易找到力和位移的函数关系，作出x F -图线，可以用图像法

很简单的进行求解。

利用图像法求解功的思路是：首先确定研究对象，进行受力分析，找出力与位

移之间的函数关系式；根据题意及关系式作出x F -图线；最后利用几何关系求出

图线和坐标轴围成的面积，即为所求力的功。

例1：质量为m 的质点在外力的作用下沿x O 轴运动，已知0=t 时质点位于原

点，且初速度为零，设外力F 随距离性地减小，且0=x 时，0F F =;当L x =时，0=F 。

试求质点从0=x 运动到L x =处的过程中，力F 对质点所做功和质点在L x =处的

速率[1]。

分析与解：当0=t 时，;,0,0000F F x v ===并且外力随距离增大而减小；又

当L x =时，0=F 。所以当质点从0=x 运动到L x =处的过程中，变力F 所做的功

转化为质点运动的动能。因此我们用图像发求变力所做的功，再则求出质点在L

x =处的速度。

由于力F 随距离的增加而减小，所以建立以ox 轴为横轴，oF 轴为竖轴的平面

坐标系，如图所示：

图2.2.2 例1示

意图

设变力F 做功为W ，质点运动到L x =处的速度为v ，所以：图中阴影部分的

面积对应的就是变力F 做的功，即

L F W 02

1= 又由于变力F 所做的功转化为质点的动能，已知质点的质量为m ；则：

m

L F v mv L F W 02002121=-== 解得力F 对质点所做的功为：

L F W 02

1=

F

F

质点在L x =处的速度为：

m

L F v 0= 由此可见，当力和位移成线性关系时，可用图像法简单、直观的求解变力做功。

3 从能量转化的角度求变力做功

贯穿功和能全部的知识重点是“功是能量变化的量度”。功是过程量，能是状态量，不同的过程决定不同的状态变化，或者说由于不同性质的力做功引起不同性质能量的变化。所以在求解变力做功时，可以把问题转化为求解动能的改变量或者机械能的改变量。

3.1 用动能定理求变力做功

质点在一定时间的运动过程中，其动能改变的数值等于在同样时间内外力对该质点做的功。因此，在功的计算中，如果一个物体受到几个力的作用，除了变力外，其他力对物体不做功或做功之和为零，就可以利用动能定理直接求解变力做的功，即由其做功的结果----动能的变化求变力F 的功： k E W ∆=。动能定理求变力做功

适用于多个力做功，但只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功又容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功[2]。

如在人通过定滑轮拉物体的过程中，求绳对物体的拉力所做的功。物体始、末状态的动能已知为零，以绳为研究对象，受到人的拉力和物体对绳的拉力，根据动能定理即可求得绳对物体的拉力所做的功等于人对绳的拉力所做的功。又如要求人通过定滑轮拉物体的过程中滑动摩擦力做的功，先求出其它力如重力、支持力、拉力等做的功，再找出始、末状态的动能，利用动能定理即可求解。

利用动能定理求解的思路如下：首先明确研究对象，对研究对象做受力分析；再确定物理过程，研究在所确定的物理过程中那些力做功，并求出外力做功的代数和；再确定研究过程的初、末状态的动能；最后根据动能定理列方程，结合其它有关规律分析求解。

例2：如图所示，用同种材料制成的一个轨道，A 段为1/4圆弧，半径为R ，