第二章 控制系统的微分方程
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School of Mechanical Engineering
dy ky F ( t ) dt
上海工程技术大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
例2.2：转动系统
TK (t ) K i (t ) 0 (t ) d Tc (t ) C 0 (t ) dt d2 J 2 0 (t ) TK (t ) Tc (t ) dt d2 d J 2 0 (t ) C 0 (t ) K 0 (t ) K i (t ) dt dt
机械旋转系统
——扭转刚度系数 μ——粘性摩擦系数
K
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
例2.1：直线运动（机械平移系统）
d2 d m 2 x o (t) C x o (t) Kx o (t) f i (t) dt dt
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
建立数学模型的目的：
●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要 工作（或基础工作）。
●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动 的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。 因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种 不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
对图示机械网络，根据牛顿第二定 律，有：
dxi dxo dxo dx u2 K 2 xi xo u1 dt dt dt dt dxo dx u1 K1 x dt dt
Mathematical models of the control systems—— the mathematical relationships between the system ’ s variables.
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分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系， 确定待研究元件或系统的输入量和输出量(必要 时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间 变量。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
写出每或一环节(元件) 运动方程式 从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入 手），依据各元件所遵循的物理，化学，生 物等规律，列写各自方程式，但要注意负载 效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前 一级的影响。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part 2.1.5 电气系统的微分方程 电气系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压 定律（克希霍夫电流电压定律）写出微分方程式， 进而建立系统的数学模型。 1 ）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电 流之代数和应等于 0 （即流出节点的电流之和等 于所有流进节点的电流之和）。 2）基尔霍夫电压定律 电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的 电压降的代数和。
负载效应
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
写成标准形式 微分方程的标准化包含两方面的内容：
①将与输入量有关的各项放在方程的右边， 与输出量有关的各项放在方程的左边； ②各导数项按降幂排列
dny d n-1 y dy d mx d m-1 x dx an n an 1 n-1 a1 a0 y bm m bm1 m-1 b1 b0 x dt dt dt dt dt dt
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控制理论基础 Part2.1.3 理想元件的微分方程描述 电气系统三元件 电阻
第二章 控制系统的微分方程
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
控制理论基础
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
第二章 控制系统的微分方程
本章主要内容:
2.1 建立系统微分方程的一般方法和步骤
2.2 线性系统及其齐次性和叠加性
2.3 非线性数学模型线性化
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part2.1.6 机电系统的微分方程
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part2.1.2 建立系统微分方程的一般步骤
系统分析，确定输入变量(Input variable) 和输出变量(Output variable) 简化系统、划分环节、写出每或一环节(元 件) 运动方程式
消去中间变量
写成标准形式
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
简化系统 忽略次要因素
分布参量集中化 非线性因素线性化 时变参量定常化
School Байду номын сангаасf Mechanical Engineering
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
划分环节 按功能（测量、放大、执行）划分
故： G2 (s) X o (s)
X i ( s)
(u1s K1 )(u2 s K 2 ) (u2 s K 2 )(u1s K1 ) K1u1s
u1 s 1 u2 K K s 1 1 2 u1 s 1 u2 u K K s 1 1 K s 1 2 2
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控制理论基础 机械式加速度仪
输入量：机械式加速度仪位移x
输出量：y
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
dny d n-1 y dy d mx d m-1 x dx an n an 1 n-1 a1 a0 y bm m bm1 m-1 b1 b0 x dt dt dt dt dt dt
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
机械运动系统的三要素
质量 M 弹簧 K 阻尼 μ
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part 2.1.4 机械系统的微分方程
机械系统中部件的运动有直线和转动两 种。机械系统中以各种形式出现的物理现 象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要 素。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
机械平移系统
！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。
xi K2 u1 K1 u2 xo x
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
(u2 s u1s K2 ) X o (s) u1sX (s) (u2 s K2 ) X i (s) u1sX o (s) (u1s K1 ) X (s)
第二章 控制系统的微分方程
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
输入量：位移xi
输出量：位移xo
xi K2 u1 K1 u2
xo
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1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量
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控制理论基础
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控制理论基础
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控制理论基础 Part2.1.1 微分方程的一般特征
第二章 控制系统的微分方程
Input-output description of the physical systems — differential equations The input-output description—description of the mathematical relationship between the output variable and the input variable of the physical systems.
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
建立数学模型的方法：
解析法（本课程研究）
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法(系统辨识课研究)
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
电气系统
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控制理论基础 气系 统的微分方程。
第二章 控制系统的微分方程
例2.3： uC 为输出电压， ur为输入电压， 写出电
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
常用数学模型
时间域： 微分方程(Differential Equation) 复数域： 传递函数(Transfer Function)
频率域： 频率特性(Frequency Characteristics)
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part 2.1建立系统微分方程的一般方法和步骤
数学模型(Mathematical Model)的定义 数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间 动态关系的数学表达式。揭示系统结构、参数与性能 特性的内在联系。
Part 2.2 线性系统及其齐次性和叠加性
线性系统：用线性微分方程描述的系统。 线性微分方程：因变量或它的导数都不高于一次方，并 且没有因变量与其导数之积。 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数 是随时间而变化的。 dy f k (t ) y F (t ) dt 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数 是常数。
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dy ky F ( t ) dt
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第二章 控制系统的微分方程
例2.2：转动系统
TK (t ) K i (t ) 0 (t ) d Tc (t ) C 0 (t ) dt d2 J 2 0 (t ) TK (t ) Tc (t ) dt d2 d J 2 0 (t ) C 0 (t ) K 0 (t ) K i (t ) dt dt
机械旋转系统
——扭转刚度系数 μ——粘性摩擦系数
K
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第二章 控制系统的微分方程
例2.1：直线运动（机械平移系统）
d2 d m 2 x o (t) C x o (t) Kx o (t) f i (t) dt dt
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
建立数学模型的目的：
●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要 工作（或基础工作）。
●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动 的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。 因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种 不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
对图示机械网络，根据牛顿第二定 律，有：
dxi dxo dxo dx u2 K 2 xi xo u1 dt dt dt dt dxo dx u1 K1 x dt dt
Mathematical models of the control systems—— the mathematical relationships between the system ’ s variables.
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分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系， 确定待研究元件或系统的输入量和输出量(必要 时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间 变量。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
写出每或一环节(元件) 运动方程式 从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入 手），依据各元件所遵循的物理，化学，生 物等规律，列写各自方程式，但要注意负载 效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前 一级的影响。
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第二章 控制系统的微分方程
Part 2.1.5 电气系统的微分方程 电气系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压 定律（克希霍夫电流电压定律）写出微分方程式， 进而建立系统的数学模型。 1 ）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电 流之代数和应等于 0 （即流出节点的电流之和等 于所有流进节点的电流之和）。 2）基尔霍夫电压定律 电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的 电压降的代数和。
负载效应
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
写成标准形式 微分方程的标准化包含两方面的内容：
①将与输入量有关的各项放在方程的右边， 与输出量有关的各项放在方程的左边； ②各导数项按降幂排列
dny d n-1 y dy d mx d m-1 x dx an n an 1 n-1 a1 a0 y bm m bm1 m-1 b1 b0 x dt dt dt dt dt dt
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控制理论基础 Part2.1.3 理想元件的微分方程描述 电气系统三元件 电阻
第二章 控制系统的微分方程
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
控制理论基础
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
第二章 控制系统的微分方程
本章主要内容:
2.1 建立系统微分方程的一般方法和步骤
2.2 线性系统及其齐次性和叠加性
2.3 非线性数学模型线性化
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Part2.1.6 机电系统的微分方程
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part2.1.2 建立系统微分方程的一般步骤
系统分析，确定输入变量(Input variable) 和输出变量(Output variable) 简化系统、划分环节、写出每或一环节(元 件) 运动方程式
消去中间变量
写成标准形式
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第二章 控制系统的微分方程
简化系统 忽略次要因素
分布参量集中化 非线性因素线性化 时变参量定常化
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
划分环节 按功能（测量、放大、执行）划分
故： G2 (s) X o (s)
X i ( s)
(u1s K1 )(u2 s K 2 ) (u2 s K 2 )(u1s K1 ) K1u1s
u1 s 1 u2 K K s 1 1 2 u1 s 1 u2 u K K s 1 1 K s 1 2 2
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控制理论基础 机械式加速度仪
输入量：机械式加速度仪位移x
输出量：y
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dny d n-1 y dy d mx d m-1 x dx an n an 1 n-1 a1 a0 y bm m bm1 m-1 b1 b0 x dt dt dt dt dt dt
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第二章 控制系统的微分方程
机械运动系统的三要素
质量 M 弹簧 K 阻尼 μ
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
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第二章 控制系统的微分方程
Part 2.1.4 机械系统的微分方程
机械系统中部件的运动有直线和转动两 种。机械系统中以各种形式出现的物理现 象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要 素。
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第二章 控制系统的微分方程
机械平移系统
！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。
xi K2 u1 K1 u2 xo x
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第二章 控制系统的微分方程
(u2 s u1s K2 ) X o (s) u1sX (s) (u2 s K2 ) X i (s) u1sX o (s) (u1s K1 ) X (s)
第二章 控制系统的微分方程
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第二章 控制系统的微分方程
输入量：位移xi
输出量：位移xo
xi K2 u1 K1 u2
xo
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1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量
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控制理论基础 Part2.1.1 微分方程的一般特征
第二章 控制系统的微分方程
Input-output description of the physical systems — differential equations The input-output description—description of the mathematical relationship between the output variable and the input variable of the physical systems.
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第二章 控制系统的微分方程
建立数学模型的方法：
解析法（本课程研究）
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法(系统辨识课研究)
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
电气系统
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控制理论基础 气系 统的微分方程。
第二章 控制系统的微分方程
例2.3： uC 为输出电压， ur为输入电压， 写出电
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
常用数学模型
时间域： 微分方程(Differential Equation) 复数域： 传递函数(Transfer Function)
频率域： 频率特性(Frequency Characteristics)
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part 2.1建立系统微分方程的一般方法和步骤
数学模型(Mathematical Model)的定义 数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间 动态关系的数学表达式。揭示系统结构、参数与性能 特性的内在联系。
Part 2.2 线性系统及其齐次性和叠加性
线性系统：用线性微分方程描述的系统。 线性微分方程：因变量或它的导数都不高于一次方，并 且没有因变量与其导数之积。 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数 是随时间而变化的。 dy f k (t ) y F (t ) dt 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数 是常数。