考研数学强化线性代数讲义(至讲)
《线性代数》考点强化班 配套讲义 第二章 矩阵
( A2 )2
0
1
0
0
1
0
E
0
0
1
0
0
1
所以 B2 P1APP1AP P1A(PP1) AP P1A2P,,
B2020 P1A2020 P P1 A4 505 P P1EP P1P E
1 0 0 3 0 0
所以Leabharlann B2020 2 A2 E 2 0
1
0
，
AB A AE 1,33 A E 1,33 2E 1,33
1 0 3
AB
1
2E
1, 3 3
1
1 2
0 0
1 0
0
1
1 0 0
【例
12】设
A
为
3
阶矩阵，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P 1
AP
0
1
0
.若
0
0
2
P 1,2 ,3 ， Q (1 2 ,2 ,3 ) ，则 Q1AQ （ ）
行（3）-3行（1）
3 4 6 0 0 1
0 -2 -3 -3 0 1
1 0 0 -2 0 1
1 0 0 -2 0 1
行（1）行（3）
行（3）-2行（2）
0 -1 -1 -1 1 -1 0 1 1 1 -1 1
行（2）-行（3）
（-1）行（2）
0 -2 -3 -3 0 1
0 0 -1 -1 -2 3
0
0 a2
0
【例 2】设 A 其中 ai 0 ；求 Ak1 Ak 2 Akn .
0 0 0 an1
an 0 0 0
1
0 A 0
线性代数讲义
0 b2 a3 0 0
0 0 0
0 0 0 = _____________________ .
0 0 bn
an −1 bn −1 0 an
【例 2】四阶行列式
a1 0 0 b4
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
b1 0 0 a4
的值等于
（
）
(A)a1a2 a3 a4 − b1b2b3b4 (C )(a1a2 − b1b2 )(a3 a4 − b3b4 )
第一讲
行列式值的判断。
行列式
考试重点：核心考点是行列式的计算，主要考试题型分为数字型行列式计算，抽象型行列式计算，
一、基本概念、公式精讲
1 行列式的定义
定义 n 阶行列式
1
a11 D= a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
T
=
p1 , p2
∑
n!
(−1)τ ( p1 , p2
( B)a1a2 a3 a4 + b1b2b3b4 ( D)(a2 a3 − b2b3 )(a1a4 − b1b4 )
【常见形式 2：三对角线形】
，三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元
素不为零，其余元素均为零。 【例 3】五阶行列式
4
a 1− a 0 0 0 −1 1 − a a 0 0 D= 0 −1 1 − a a 0 = _____________ . −1 1 − a a 0 0 −1 1 − a 0 0 0
n) n)
D = a1 j A1 j + a2 j A2 j +
定理 2 n 阶行列式
+ anj Anj
2
(完整版)5月30日更新2015中创考研数学强化课程线性代数-李永乐1-4
科 目课 件 名 称代理如何进行学员信息采集-第一讲（内部培训）.exe代理的渠道经营和管理（内部培训）.exe2015中创考研思想政治指导-米鹏.wmv重命名2015中创考研英语指导课-赵敏.wmv重命名1小时30分2015中创考研英语权威复习指导-赵敏.wmv重命名2015中创考研政治全程复习规划-汪立轩(56分钟）2015中创考研思想政治指导课-徐之明.wmv重命名1小时2015中创英语全程规划-赵亮.wmv重命名1小时48分2015中创考研英语权威复习指导-陈正康2015中创教育考研英语权威复习指导-陈正康1小时09分.wmv重命名2015中创考研数学指导课-杨超.wmv重命名1小时18分2015中创考研（徐之明、米鹏、赵敏、陈正康、杨超）的讲座导学2015中创考研政治指导课程-徐之明（1小时38分）2015考研政治指导课_徐之明1小时37分钟（蓝背景高清版）2015中创考研英语权威复习指导—赵亮（1小时38分）中创版2015中创考研英语权威复习指导-陈仲凯（中创版）2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）3D版本2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）2015中创考研数学权威复习指导-杨超（1小时30分）声音优化版2015中创考研数学指导课-张宇2015中创考研英语权威复习指导-赵敏2015中创考研政治权威复习指导-米鹏中创2015考研专业院校选择-潘志恒2015中创考研政治复习规划-郑伟2015中创考研英语权威复习指导-赵亮2015中创考研英语高分复习指导课程-陈正康2015中创考研专业院校选择-潘志恒.wmv重命名2015中创考研专业院校选择-潘志恒(58分钟）.wmv重命名2015中创考研政治导学课程-郑伟2015中创考研数学复习指导-杨超2015中创考研数学复习指导2015中创考研英语导学2015考研政治导学课程-徐之明1-2讲高清版2015中创考研数学线性代数导学课程李永乐1-2讲中 创 教代理培训讲座专业院校选择导学班创 教 育办公电话9分。
考研数学强化线性代数讲义(至讲)讲义
第一讲基本概念一. 关于矩阵和向量的几个问题。
1．行向量和列向量3问题:(3,-2,1)和 -2 是不是一样?12. 下列矩阵都是什么矩阵?① 1 0 0 ② c 0 0 ③ 2 -1 1 ④ 0 0 1 ⑤ 0 0 00 0 0 0 c 0 0 1 7 0 2 0 0 0 00 0 2 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0⑥ 2 2 2 ⑦ 2 -1 0 12 2 0 0 1 2 72 0 0 0 0 2 0对角矩阵: ①②⑤ .上三角矩阵: ①②③⑤ .下三角矩阵: ①②⑤ .对称矩阵: ①②⑤④⑥ .3. 3 -1 4例:求矩阵A= 50 7 的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合.0 8 -63 -14 6 1 12 17解:2 5- 0 +3 7 = 10 - 0 + 21= 31 .0 8 -6 0 8 -18 -26二．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解.(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组:b1=b2=…=b m=0的线性方程组.n维(0,0,…,0)T总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).称矩阵a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1A= a21 a22… a2n 和(A|)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中.三. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换)2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行, 也有非零行,则零行都在下,非零行在上.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.1 -32 6 5 10 0 2 4 -6 30 0 0 -3 9 40 0 0 0 00 -3 2 6 5 20 0 2 4 -6 30 0 0 -3 9 40 0 0 0 01 -32 6 5 10 0 0 4 -6 40 0 0 -3 9 40 0 0 0 0问题1.设A是n阶矩阵, 下列命题中哪个正确?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A是上三角矩阵.(2) 如果A是上三角矩阵,则A是阶梯形矩阵.(3) 如果A是阶梯形矩阵,则A的最下面的行向量为零向量.(4) 如果A是阶梯形矩阵,并且它的(n,n)位元素不为0,则A的对角线上的元素都不为0.问题2.设A是阶梯形矩阵.下列断言哪几个正确?(1) A去掉任意一行仍然是阶梯形矩阵.(2) A去掉任意一列仍然是阶梯形矩阵.(3) A去掉右边的若干列仍然是阶梯形矩阵.3.简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.用初等行变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.(1) 2 -1 0 1 1 (2) 1 1 1 11 1 1 02 0 1 -1 22 5 4 -2 9 23 1 63 3 3 -1 8 , 3 a 1 7 .解：1 1 1 02 1 1 1 0 2 1 1 1 0 2(1) → 2 -1 0 1 1 → 0 -3 -2 1 -3 → 0 -3 -2 1 -3 →2 5 4 -2 9 0 6 4 -3 8 0 0 0 -1 23 3 3 -1 8 0 0 0 -1 2 0 0 0 -1 21 1 1 02 1 1 1 0 2 1 0 1/3 0 5/30 -3 -2 1 -3 0 -3 -2 0 -3 0 1 2/3 0 1/30 0 0 -1 2 → 0 0 0 -1 2 → 0 0 0 1 -20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(2) 0 1 -1 2 0 1 -1 2 0 1 -1 22 3 1 6 → 0 1 -1 4 → 0 0 0 23 a 1 7 0 a-3 -24 0 0 a-5 10-2a1 1 1 1 1 1 1 1若a≠5 0 1 -1 2 0 1 -1 2→ 0 0 a-5 10-2a → 0 0 1 -20 0 0 2 0 0 0 21 1 1 1 1 02 0若a=5 0 1 -1 2 0 1 -1 0→0 0 0 2 → 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0请注意:①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.四. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:1 5 1 1 10 3 -2 -1 -2(A|β)→ 0 0 3 1 40 0 0 -2 40 0 0 0 0x1+5x2+x3+x4=1,3x2-2x3-x4=-2,3x3+x4=4,-2x4=4,1 5 1 1 1(A|β)→ 0 0 3 1 40 0 0 -2 40 0 0 0 0x1+5x2+x3+x4=1,3x3+x4=4,-2x4=4,1 5 1 1 10 3 -2 -1 -2(A|β)→ 0 0 3 1 40 0 0 0 40 0 0 0 0x1+5x2+x3+x4=1,3x2-2x3+x4=-2,3x3+x4=4,0=4,矩阵消元法步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B |γ).(2)用(B |γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0 | d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B |γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0 |γ0 ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E |η),则η就是解.b11 * * … * 1 0 0 … 0 c1 x1=c1(B0|γ0)= 0 b22 * … * γ0 → 0 1 0 … 0 c2 x2=c2……………………… ,0 0 0 …b nn 0 0 0 … 1 c n x n=c n(c1, c2, …,c n)T就是解.(A|β)→ (B |γ)↓(B0 |γ0 ) →(E |η),η就是解.1 5 1 1 1 1 5 1 0 3 1 0 0 0 10 3 -2 -1 -2 0 3 -2 0 -4 0 3 0 0 0(B0 |γ0 )→ 0 0 3 1 4 → 0 0 3 0 6 → 0 0 1 0 20 0 0 -2 4 0 0 0 1 -2 0 0 0 1 -2解为(1,0,2,-2)T.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解.推论:当齐次方程组方程的个数m<n时,有非零解.问题η1=(1,1,1)T,η2=(1,2,4)T,η3=(1,3,9)T,α=(1,1,3)T,将α写为η1，η2，η3的线性组合.解：假设 x1η1+x2η2+x3η3=α ,x1+x2+x3=1,x1+2x2+3x3=1,x1+4x2+9x3=3.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(A|β) = 1 2 3 1 → 0 1 2 0 → 0 1 2 01 4 9 3 0 3 82 0 0 2 21 0 0 2→ 0 1 0 -2 .0 0 1 1 2η1-2η2+η3=α.第二讲 行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … (简记为|a ij |) a n1 a n2 … a nn每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.一. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13 a 11 a 12a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32一般地,一个n 阶行列式|a ij |= .)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑① 是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.)② 每一项n nj j j a a a 2121,都是n 个元素的乘积,它们取自不同行,不同列. 即列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.③ 规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数.称1,2…n 为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,就说它们构成一个逆序. 全排列j1j2…jn 的逆序数就是其中出现的逆序的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数. 例如求8元排列62874513的逆序数:022451531547826,(62874513)=5+1+5+4+2+2+0+0=19.对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积. 求下三角行列式a 11 0 0 … 0 0a 21 a 22 0 … 0 0 … … … …a n-11 a n-12 … a n-1n-1 0 a n1 a n2 … a nn-1 a nn=)12()1(n τ-a 11a 11…a nn =a 11a 11…a nn例1 求x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 1 2 2 1 x解：多项式f(x)的最高次项是4次项.由于从完全展开式看出,24项中除了对角线乘积这一项,其余项的次数不超过2.于是, x 4, x 3的系数可从(x-3) (x-8) (x+1)x 这一项中求得： (x-3) (x-8) (x+1)x= x 4+(-3-8+1) x 3+… =x 4-10 x 3+… 所以,系数分别为1和-10. 例2 设3阶矩阵a 11 a 12 a 13A = a 21 a 22 a 23 , 设|x E -A |的3个根为x 1,x 2.x 3.证明x 1+x 2+x 3= a 11+a 22+a 33 .a 31 a 32 a 33证: x-a11 -a12 -a13|x E-A|= -a21 x-a22 -a23 =(x- x1) (x- x2) (x- x3)-a31 -a32 x-a33看两边x2项的系数：右边=-(x1+x2+x3),左边看(x- a11) (x- a22) (x- a33)这一项,系数为-( a11+ a22+ a33),右边=左边, 得结论.二. 化零降阶法1.余子式和代数余子式元素a ij的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作M ij.a ij的代数余子式为A ij=(-1)i+j M ij.2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.n=4, |a ij|=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24例 3 1 a1 0 00 1 a2 0求 0 0 1 a3… 0 的值等于0的条件 .…………a n-1a n 0 0 … 0 1解:对第一列展开,得值= A11+a n A n1=1+(-1)n+1M n1.a1 0 0M n1= 1 a2…… 0 = a1 a2…a n-1,…………0 0 … 1 a n-1代入得到值=1+(-1)n+1 a1 a2…a n,则，当a1 a2…a n=(-1)n时，值为0.3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.4. 化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.例4 求行列式 3 0 4 02 2 2 20 -7 0 05 3 -2 2的第四行各元素的余子式的和.(01)解：所求为 M41+ M42+ M43+ M44=-A41+A42-A43+A443 04 0 3 4 0 3 4 0= 2 2 2 2 = -7 A32=7 2 2 2 =7 0 0 40 -7 0 0 -1 -1 1 -1 -1 1-1 1 -1 13 4=-28 -1 -1 =-28例5 4阶行列式2 4 5 -2-3 7 8 4 的第3列元素的代数余子式记作 A13，A23，A33，A43， 5 –9 -5 72 –5 2 2求①-A13-A23+2A33+A43. ②2A13-3A23+5A33+2A43.解：① 2 4 -1 -2-A13-A23+2A33+A43 = -3 7 -1 45 –9 2 72 –5 1 22 4 -1 -2 -53 6= -5 3 0 6 = (-1) A13= - 9 -1 39 -1 0 3 4 -1 04 -1 0 07 3 6 7 6= - 5 -1 3 = - 5 3 = 9.0 -1 0②2 4 2 -22A13-3A23+5A33+2A43= -3 7 -3 4 = 05 9 5 72 5 2 25. 性质某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.例6a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3解：理由上述性质，A11,A12,A13,A14与第2，3，4各行元素乘积之和等于0，得方程组：-9x-3+y+3z+3=0 -9x+y+3z=0-9-3z-x-3+3y=0 -x+3y-3z=12-9y+18+3x+3z+9=0 3x-9y+3z=-27-9 1 3 0-1 3 -3 123 -9 3 -27-1 3 -3 120 0 -6 60 -26 12 -9-1 -3 0 -90 -26 0 -780 0 1 -11 0 0 00 1 0 30 0 1 -1解得x=0,y=3,z=-1.三.其它性质3．把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .4．作第一类初等变换, 行列式的值变号.5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c.问题： |c A|=?c|A|;|c||A|; c n|A|;|c|n|A|;6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ所得到的行列式.例如|α，β1+β2，γ|=|α，β1，γ|+|α，β2，γ|.问题：|A+B |=|A|+|B |?解：设A，B都是4阶矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，B =(β1，β2，β3，β4)，则A+B =(α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4)|A+B|=|α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|=|α1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|+|β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|=…=…|A+B|可分解为16个行列式之和，它们的各列都有两个可能：αi 或βi .例7 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 , γ3),B =(β,γ1, γ2 , γ3),|A| =2, |B |=3 ,求|A+B | .解：A+B=(α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3),|A+B |=|α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3|=8|α+β, γ1, γ2 , γ3|=8|α, γ1, γ2 , γ3|+8|β, γ1,γ2 ,γ3|=40.7．如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.拉普拉斯公式的一个特殊情形：如果A与B都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 … 1 a 1 a2 a3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.四.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A 为n 阶矩阵)时.|A |≠0⇒方程组有唯一解.此解为 (D 1/|A |, D 2/|A |,⋯,D n /|A |)T ,D i 是把|A |的第i 个列向量换成常数列向量β所得到的行列式.1. |A |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件.(A |β)→(B |γ ) 问题:|A |=|B |？ |A |≠0⇔|B |≠0.于是只用说明|B |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件. b 11 * * … * (B |γ )= 0 b 22 * … * γ… … … …0 0 0 …b nn2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η ), η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.例 7 设有方程组 x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.1 1 1 a+b+c 1 1 1 a+b+c(A|β)= a b c a2+b2+c2→ 0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a)bc ac ab 3abc 0 c(a-b) b(a-c) 2abc-b2c-b2c1 1 1 a+b+c 1 1 0 a+b→ 0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a) → 0 b-a 0 b(b-a)0 0 (c-a)(c-b) c(c-a)(c-b) 0 0 1 c1 0 0 a→ 0 1 0 b0 0 1 c例8 O A =( ).其中 A是k阶矩阵, B是h阶矩阵。
考研线性代数讲义及其答案
例 4 设 A, B, I 为同阶矩阵，下列命题哪些是正确的？ (1) ( A + B ) 2 = A2 + 2 AB + B 2 不正确 正确 正确
(2) ( A + λ I )3 = A3 + 3λ A2 + 3λ 2 A + λ 3 I ( λ 为数)
(3)若 A, B 可交换，则 ( A + B ) 与 ( A − B ) 相乘也可交换. (4) ( AB ) 2 = A2 B 2 当且仅当 AB = BA
也即 ( A − E ) ⋅
2012 届普鸣学员个性化学习方案 例 11 下列矩阵 A, B 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵，其中
⎛ 3 2 1⎞ ⎛ b1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 1⎟ , B = ⎜ b2 ⎜ ⎜ 1 0 1⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ b3 ⎟ ⎠
解： A = 2 ≠ 0 ，故 A 可逆，记 A = ( aij )3×3 ，各元素的代数余子式分别为
答案： An = ( −8) n −1 A
⎛λ ⎜ 例9 A= ⎜ ⎜ ⎝
⎞ n λ 1⎟ ⎟ ，求 A λ⎟ ⎠
1
⎛λ 1 ⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解： A = λ 1 ⎟ = λE + ⎜ 0 1 ⎟ ，记 B = ⎜ 0 1⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛0 0 1⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟， 3 ⎜ ⎟ B =⎜ 0 0⎟ B = ⎜ 0 0⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
例 4 设行列式
⋯ ⋯
⋱ ⋮ ⋯ an
, ai ≠ 0, i = 1, 2,⋯ , n
1 1 a1 − − ⋯ − ⋯ 1 a2 an ⋯ 0 0 = ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ an 0
2022考研线性代数强化讲义(知识体系+重点题型解析)
第一章行列式一、知识体系 1122,,A i j i j A i j i j =a A a A a A ≠ i j i j 1122 +++= 0,= a A a A a A i j i j +++= ≠ 0, in jnn ! 项不同行不同列元素乘积的代数 定 ni nj 义和 性质 上()或下三角、主对角行列式 副对角行列式ab 型行列式 拉普拉斯展开式 范德蒙行列式行列式12,,,,12,,,T n kA k A A A D n D D x x x −D D D1−1n −1i =1 行列式的概念重要行列式展开定理=nAB A B ==A A= 行列式的公式 * =A A=12=== = ∏ n i 设 n A A 的特征值为λλλλ则 若A B A B 与相似,则Cramer 法则二、重点题型重点题型一数字行列式的计算【方法】【例1.1】设212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x −−−−−−−− f x ()=−−−−x x x x −−− 则方程f x ()0 =根的个数为【】（B ）2（C ）3（A ）1【详解（D ）4】【例1.2】利用范德蒙行列式计算222a a bcb bac cc ab=.【详解】【例1.3】设x x x x 1234≠0，则11121314212223243132333441424344x a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a a a +a a a a a a x a 2+2=+2+2.【详解】【例1.4】计算三对角线行列式000000000000αβαβαβαβαββαβ+++D n =++αβα【详解】重点题型二代数余子式求和【方法】【例1.5】已知1234522211312451112243150A=27，则A A A 414243=++=，A A 4445+=.【详解】010000200001n 000【例1.6】设A =n −，则A 的所有代数余子式的和为.【详解】重点题型三抽象行列式的计算【方法】【例1.7】（2005，数一、二）设α1,α2,α3均为3维列向量，A =(α1,α2,α3)，(,24,39)B ααααααααα=++++++123123123.若A =1，则=B .【详解】【例1.8】设A 为n 阶矩阵，αβ,为n 维列向量.若A a =，TAαb=0，β则TA β【详解】(2)(2)A A O −O A 1*−【例1.9】设A 为2阶矩阵，B =2 .若A =−1，则=B .【详解】【例1.10】设n 阶矩阵A 满足A A 2=，A E ≠，证明A =0.【详解】第二章矩阵一、知识体系 ()AB A A Ax +A B kAAT⇔≠||0 ⇔=r A n ⇔ ⇔=⇔=定 义 性质 定义法 初等变换 求法伴 随矩法阵法 分块矩阵法的列（或行）向量组线性无关 充要条件齐次线性方0 程组只有零解 非齐次线性方程组Ax b 有唯一解 ⇔A 的特征值均不为零 定义矩性质阵求法基本运算逆 秩定 义 伴随矩阵性质 定义 性质 求矩阵的逆初等变换与初等矩阵 求矩阵的秩线性 应用求表极大示线性无关组 解线性方程组 求二次型的标准形分块矩阵二、重点题型重点题型一求高次幂【方法】2131【例2.1】设46A a b c − =，B 为3阶矩阵，满足BA O=，且r B ()1>，则A n =.【详解】200412 【例2.2】设A =−320，则A n=.【详解】−−121 【例2.3】设A =−− −−363 121，P 为3阶可逆矩阵，B P AP =−12022B E ，则()+=.【详解】重点题型二逆的判定与计算【方法】 【例2.4】设n 阶矩阵A 满足A 2=2A ，则下列结论不正确的是【】 （B ）A E （C ）−可逆A E（D ）+可逆A E −3可逆 （A ）A 可逆【详解】,为n 阶矩阵，【例2.5】设A B a b ,为非零常数.证明： I ）若（AB aA bB ，则=+AB BA =2+=，则（II ）若A aAB E AB BA ；=.【详解】11a 0110a 【例2.6】（2015，数二、三）设A a =−，满足A O 3=. （I ）求a 的值；（II ）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ，求X −−+=.【详解】重点题型三秩的计算与证明 【方法】秩的性质（1）设A 为m ×n 阶矩阵，则()min ,r A m n {}≤； 2）（()()()r A B r A r B +≤+； （{3）()min (),()r AB r A r B }≤；（{4）max (),()()()()r A r B r A B r A r B }≤≤+；5）r A r kA k （()()(0)=≠；（6）设A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；7）设A 为m ×n 阶矩阵，若（r A n ()=，则()()r AB r B ；若=r A m ()=，则()()r CA r C =；===TTT8）（()()()()r A r A r AA r AA ；（9）设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩阵，AB O =，则r A r B n ()()+≤.,为n 阶矩阵，【例2.7】（2018，数一、二、三）设A B () X Y 表示分块矩阵，则【】 （A ）( )()r A AB r A （B ）=( )()r A BA r A ={ }（C ）( )max (),()r A B r A r B =T T（D ）r A B r A B ( )( )=【详解】 【例2.8】设A 为n 阶矩阵.证明：I ）若A 2=A ，则（r A r A E n ()()+−=；2=，则（II ）若A E r A E r A E n ()()++−=.【详解】重点题型四关于伴随矩阵【伴随矩阵的性质】||01**11（1）,AA A AA E A A A A AA A≠**−−== →==； （*1*=n 2）()kA k A −； 3）()AB B A （***=（4；）*A A n −1=；（** A A 5）()()T T=；（ 6）()()A 1**1A A A−−==；（ n −7）()A A A 2**=； ,()8）r A r A n （()1,()1=n r A n *==−r A n <−0,()1.【例2.9】设n 阶矩阵A 的各列元素之和均为2，且A =6，则A ∗的各列元素之和均为【】（B ）31（C ）3 （A ）2【详解（D ）6】ij 为n n 【例2.10】设A a =()(3)阶非零矩阵，A ij 为a ij 的代数余子式，≥证明：（*(,1,2,,)TTI ）a A i j n A A AA E ij ij ==⇔=⇔= 且A =1；*(,1,2,,)TT（II ）a A i j n A A AA E ij ij =−=⇔=−⇔= 且A =−1.【详解】重点题型五初等变换与初等矩阵【初等变换与初等矩阵的性质】（1）E i j (,)1=−，(())E i k k =，E ij k (())1=； T2）（(,)(,)E i j E i j =T，E ij k E ji k T ，E i k E i k (())(())=(())(())=；−13）（(,)(,)E i j E i j =1，E i k E i k(())−1=−1，(())(())E ij k E ij k =−；（4）初等行（或列）变换相当于左（或右）乘相应的初等矩阵；（5）可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.【例2.11】（2005，数一、二）设A 为n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得到矩阵B ，则【】（A ）交换A *的第1列与第2列，得B *（B ）交换A *的第1行与第2行，得B *（C ）交换A *的第1列与第2列，得−B *（D ）交换A *的第1行与第2行，得−B *【详解】123012001 【例2.12】设A = 001010100，P =110010001 ，Q = ，则()()T −P A Q 120212022=__________.【详解】第三章向量一、知识体系212(,,,)(,,,) (,,,)s k k k x 1x x r r βαααααααααβ αααβαβ+ k α [αβ,] =+++ ⇔= ⇔= →1122 s s 12 s 12 s s 12 s 定初等行变换义非齐次线性方程组(,,,)αααβ有解 充要条件 充分条件 求法行最简形矩阵向线性相关量 1 22 (,,,)0(,,,)x x x s r s x 1x x s ααα 定ααα义 ⇔=⇔< ⇔= 12s 12 s 12s ⇔至少有一个向量可由其余向量线性表 示齐次线性方程组充要条件ααα有非零解 充分条件齐次线性方程组充要条件(,,,)0只有零解 (,,,)ααα基本运算线性表示定义⇔任意向量均不能由其余向量线性表示线性无 关αs =s ⇔r (,,αα12,)12 s → 充分条初等行变换件定义极大线性无关组与向量组的秩求法行阶梯形矩阵二、重点题型重点题型一线性表示的判定与计算 【方法】,,与数【例3.1】设向量组αβγk l m ,,满足k l m km αβγ++=≠0(0)，则【】,与（A ）αβαγ ,等价 ,与（B ）αββγ,等价（D ）α与γ,,与（C ）αγβγ等价等价【详解】【例3.2】（123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)T T T2004，数三）设αααa ab a b ==+−=−−−+，β=−(1,3,3)T .当a ,b 为何值时， ,,线性表示I ）β不能由ααα（123；,,唯一地线性表示，并求出表示式（II ）β可由ααα123；,,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式（III ）β可由ααα123. 【详解】【例3.3】（2019，数二、三）设向量组（123(1,1,4),(1,0,4),(1,2,3)T TT a 2I ）ααα===+；向量组2a a a 123(1,1,3),(0,2,1),(1,3,3)T T T （II ）βββ=+=−=+I ）与（II ）等价，求a 的.若向量组（值，,,线性表示并将β3由ααα123.【详解】重点题型二线性相关与线性无关的判定【方法】【例3.4】（2014，数一、二、三）设ααα123,,均为3维列向量，则对任意常数k l,，1323,αααα ++k l ,,线性无关的【线性无关是ααα123】（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（A ）必要非充分条件【详解（D ）既非充分又非必要条件】【例3.5】设A 为n 阶矩阵，ααα123,,均为n 维列向量，满足A A 2αα11=≠0，212A A2ααα=+， 2323A A ααα=+ ,,线性无关，证明ααα123.【详解】,,线性无关，与4维列向量β1,β2两两正交，证明β1,β2线性相关【例3.6】设4维列向量ααα123.【详解】重点题型三极大线性无关组的计算与证明【方法】 1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)TTTT【例3.7】设ααααa a ==−−=−+=−−.（I ）当a 为何值时，该向量组线性相关，并求其一个极大线性无关组；（II ）当a 为何值时，该向量组线性无关，并将α=(4,1,6,10)T 由其线性表示.【详解】,为I ）设A B m n ×矩阵，则()()()r A B r A r B +≤+；×矩阵，B 为n s {×矩阵，则()min (),()r AB r A r B 【例3.8】证明：（（II ）设A 为m n 【详解}≤.】重点题型四向量空间（数一专题）【方法】过渡矩阵12,,,n 到基β1,β2, ,βn 的过渡矩阵为由基ααα(,,,)(,,,)=βββααα12C 12 n n ，−12αααβββ1C =(,,,)(,,,) 12 n n .12坐标变换公式,,, n 下的坐标为设向量γ在基αααx x x x12 n T，在基β1,β2, ,βn 下=(,,,)的坐标为y y y y 12 n T，则坐标变换公式为x =Cy =(,,,).2015，数一）设向量组ααα【例3.9】（123,,为R 3的一个基，113βαα=+22k ，βα22=2，313k=++βαα(1).,,为R 3的一个基I ）证明向量组βββ（123；（II ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基ααα123,,下的坐标相同，并求所有的ξ,,与基βββ123.I 【详解】（）3123201(,,)(22,2,(1))(,,)020201k k βββαααααααα1231321=+++= k k +201020201令C =k k +，则,,为R 3的一个基,,线性无关，故βββ=≠40，从而βββC 123123.（II ）设ξ在基ααα123,,下的坐标为x ,,与基βββ123，则 123123123Cx x=ξαααβββααα(,,)(,,)(,,)=x =C E x −=得()0.对C E −作初等行变换，1011010100102000k k kC E −=→当k =0时，方程组()00−C E x −=有非零解，所有非零解为1x c 1=，在两个基下坐标相同的所有非零向量为1231231xc −ξαααααααα1=(,,)(,,)0()==−c 31，其中c 为非零常数第四章线性方程组一、知识体系11220 () 0() ()()()()1 ()()()()r A n Ax r A n r A r A n r A r A n k k k ξξξ−− =⇔= Ax =0Ax =⇔<Ax b r A r A r A r A =⇔<⇔=− Ax b Ax b ==⇔== Ax b =⇔=< +++ 性 n r n r 质只有零解有非零解无解 判定有唯一解有无穷多解的通解线性方程组 1122()()()()()()()AX BAX B r A r A B n r A r A B n ξξξη−− Ax =0 ++++ Ax b k k k = =⇔< AX B r A r A B =⇔== AX B =⇔=< A B → n r n r =的通初等行变换解 定义无解矩阵方程判定有唯一解有无穷多解 求法行最简形矩阵 定义 求法,的行向量组等价()()A ⇔r A r r B B 解的性质与判定解的结构公共解定义公共解与同解 ⇔ A B 同解充要条 件==二、重点题型重点题型一解的判定【方法】【例4.1】（0TA2001，数三）设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，且r r A α α=()，则线性方程组（A ）Ax =α有无穷多解（B ）Ax =α有唯一解A x α （C ）αT0y =0只 有零解Ax α（D ） αT 0y =0有 非零解 【详解】 ×阶矩阵，且【例4.2】设A 为m n r A m n ()=<，则下列结论不正确的是【】T =0（A ）线性方程组A x 只有零解 T （B ）线性方程组A Ax =0有非零解 （C ）∀b ，线性方程组A x b（D ）∀b ，线性方程组T =有唯一解Ax b =有无穷多解【详解】重点题型二求齐次线性方程组的基础解系与通解【方法】1234为4阶矩阵，(1,0,1,0)T为线性方程组Ax =0【例4.3】（2011，数一、二）设A =αααα(,,,)的 *=0的基础解系可为【基础解系，则A x 】 , （A ）αα12,（B ）αα13,,（C ）ααα123,,（D ）ααα234【详解】a b c ，【例4.4】（2005，数一、二）设3阶矩阵A 的第1行为(,,)a b c 12324636k ,,不全为零，B =，满足AB O=，求线性方程组Ax =0的通解.【详解】【例4.5】（2002，数三）设线性方程组n 0n 0n 0 123n 0++++=ax bx bx bx bx ax bx bx 123++++=123++++=bx bx ax bx123++++=bx bx bx ax其中a ≠0，b ≠0，n ≥2. 当a b 求其通解,为何值时，方程组只有零解、有非零解，当方程组有非零解时，.【详解】重点题型三求非齐次线性方程组的通解【方法】,,为非齐次线性方程组【例4.6】设A 为4阶矩阵，k 为任意常数，ηηη123Ax b =的三个解，满足124ηη12+=23245 3，ηη23+==，则.若r A ()3Ax b =的通解为【】11203142− （A ） +k （B ）21324051 +k （C ）01102132− +k （D ）11121011 +k【详解】2017，数一、二、三）设3阶矩阵A =【例4.7】（(,,)=+2ααα123有三个不同的特征值，其中312ααα. I ）证明r A （()2=；（II ）若βααα=++123，求线性方程组Ax =β的通解.【详解】1101011λλλ 【例4.8】（2010，数一、二、三）设A =−11a ，b =，线性方程组 Ax b=有两个不同的解.（I ）求λ,a 的值；（II ）求方程组Ax b =的通解.【详解】【例4.9】设A 为m n ×阶矩阵，且r A r 12,,,()=.若ξξξ−为齐次线性方程组Ax =0的 n r 基础解系，η为非齐次线性方程组Ax =b 的特解，证明：（,,,,I ）ηξξξ12 n r −线性无关；,,,,（II ）ηηξηξηξ+++12 n r −线性无关；,,,,（III ）ηηξηξηξ+++n r −为Ax =b 所有解的极大线性无关组12 .【详解】重点题型四解矩阵方程【方法】矩阵方程解的判定AX B=无解⇔<()()r A r A B AX B ()()r Ar A B n =有唯一解⇔==AX B ()()r Ar A B n =有无穷多解⇔=<矩阵方程的求法对()AB 作初等行变换，化为行最简形矩阵，得矩阵X .101−202101【例4.10】设A =−−，矩阵X 满足AX E A X 20222，求矩阵X +=+.【详解】【例4.11】（123401111203−−2014，数一、二、三）设A =− −.（I ）求线性方程组Ax =0的一个基础解系；（II ）求满足AB E =的所有矩阵B .【详解】重点题型五公共解的判定与计算【方法】【例4.12】（2007，数一、二、三）设线性方程组（+ +=++=001321x x I ）x x 1+4x 2+a 2x 3=0ax 2x 32x 与方程（II ）x 1+2x 2+x 3=a −1有公共解，求a 的值及所有公共解.【详解】【例4.13】设齐次线性方程组（123420x x x 123+−=230I ）x x x x ++−= 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为ααa a T T =−+=−+.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解.【详解】重点题型六同解的判定与计算【方法】【例4.14】（2005，数三）设线性方程组（ =+=++ I ）202132+321 x 35 x 1+x 2+ax 3=0x x x x 3x +=++0 12+321 2(1)x 3=0c x 0与（II ） x cx b x +bx 2同解，求a ,b ,c 的值.【详解】第五章特征值与特征向量一、知识体系 (0)0()0A E B P AP P AP A n A λλA αλαα−1=≠ −= A E x −= =−1=Λ ⇔ ⇔k k A n 定义性质 特征方程法 定义 性质特征值与特 定义征有个线性无关的特征向量 充要条件重特征值有个线性无关的向特征向量量有个不同的特征值 充分条件为实对称矩阵 T k k 特征值与特征向量相似矩阵相似对角化==Λ特征值均为实数不同特征值的特征向量正交实对称矩阵重特征值有个线性 无关的特征向量,使得− A 可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q Q AQ Q AQ 1二、重点题型重点题型一特征值与特征向量的计算【方法】特征值与特征向量的性质 （1）不同特征值的特征向量线性无关；（2）不同特征值的特征向量之和不是特征向量；（3）k 重特征值最多有k 个线性无关的特征向量；4）设A 的特征值为12（,,,λλλnn ，则i =1∑nA λi=tr A ()，λi i =1=∏；=，即A =αβT，其中5）若r A （()1αβ,为n 维非零列向量，则A 的特征值为TT tr A ()λαββαn1===0 ，λλ2===（6）设α为矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则【例5.1】设1111111111111111−−A = −− −−求A 的特征值与特征向量.【详解】322 223010001【例5.2】（2003，数一）设A = 232 ，P = 101 ，B =P −1A *P ，求B +2E 的特征值与特征向量.【详解】12214212a 【例5.3】设A = −−− 的特征方程有一个二重根，求A 的特征值与特征向量. 【详解】 2【例5.4】设3阶非零矩阵A 满足A O = ，则A 的线性无关的特征向量的个数是【】（B ）1（C ）2（A ）0【详解（D ）3】【例5.5】设A =+αββαTT，其中αβ 1,为3维单位列向量，且αβT 3=，证明：（I ）0为A 的特征值； ,（II ）αβαβ为A +−的特征向量；（III ）A 可相似对角化.【详解】重点题型二相似的判定与计算【相似的性质】（1）若A B ，则A B ,有相同的行列式、秩、特征方程、特征值、迹；2）若（A B ，则()()f A f B ，A B −− 11 ，(0)AB BA A ≠，A B T T ，A B ** ；3）若（A B ，B C，则A C .【例5.6】设1000030000110022 A =矩阵B 与A 相似，则r B E r B E ()(3)−+−=.【详解】【例5.7】设n 阶矩阵A 与B 相似，满足A E 2=2，则 AB A B E +−−=. 【详解】【例5.8】（22−−002221 2019，数一、二、三）设A x =−−21001000y与B =−相似.I ）求（x y ,的值；−（II ）求可逆矩阵P ，使得P AP B 1=.【详解】重点题型三相似对角化的判定与计算【方法】【例5.9】设3阶矩阵A 的特征值为1，3，−2，对应的特征向量分别为ααα123,,.若P =−ααα(,2,)−1*=【132，则P A P 】12 （A ）−1− 36 （B ）−2 −36 （C ） −2 13（D ） −2【详解】【例5.10】设n 阶方阵A 满足32A A E O ，证明A 可相似对角化2−+=.【详解】【例5.11】（2020，数一、二、三）设A 为2阶矩阵，P A =(,)αα，其中α为非零向量且不是A 的特征向量.（I ）证明P 为可逆矩阵； 2ααα+−=60，求II ）若（A A P AP−1，并判断A 是否相似于对角矩阵.【详解】重点题型四实对称矩阵的计算【方法】2+=，n 阶矩阵B 满足【例5.12】设n 阶实对称矩阵A 满足A A O B B E 2+=，且r AB ()2=，则A +【详解】01413【例5.13】（2010，数二、三）设40A a a −=−T，正交矩阵Q 使得Q AQ 为对角矩阵.若Q的第12,1)T ，求a Q ,.【详解】 2=，【例5.14】设3阶实对称矩阵A 满足A E A E+的各行元素之和均为零，且r A E ()2+=.（I ）求A 的特征值与特征向量；（II ）求矩阵A .【详解】第六章二次型一、知识体系0,0T T f x Ax B C AC x Ax x Bx =x x Ax T =T ⇔ ⇔ 定∀≠>义 拉格朗日配方法 合同变换 标准形的求法法正交变换法 定义与有相同的正、负惯性指数 充要条件A B ,有相同的正、负特征值的个数 充分条件A B 与相似必要条件二次A B 与等价型有T 0(1,,)0A E A A 二次型与标准形合同矩阵定义 性质 ⇔f n ⇔ 正定矩阵 ⇔ii >= a i n > 的正惯性指数为与合同充要条件的特征 值均大于零⇔A 的顺序主子式均大于零必要条件二、重点题型重点题型一求二次型的标准形【方法】222【例6.1】（2016，数二、三）设二次型123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x=+++++ 的正、负惯性指数分别为1，2，则【】（B ）a <−2 a （A ）a >1【详解（D ）a =1或−（C ）−<<212】 =−+++++222【例6.2】（2018，数一、二、三）设二次型1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax .I ）求f x x x （(,,)0 123=的解；（II ）求f x x x (,,)123的规范形.【详解】【例6.3】（2020，数一、三）设二次型121122(,)44f x x x x x x 1122x y =−+22经正交变换x y =Q化为二=++22，其中次型(,)4121122g y y ay y y by a b ≥.I ）求（a b ,的值；（II ）求正交矩阵Q .【详解】重点题型二合同的判定【方法】 12【例6.4】（2008，数二、三）设A =21，与A 合同的矩阵是【】−1221 （A ）− 21− （B ） −12 21 12（C ）12− （D ）−21 【详解】【例6.5】设A B ,为n 阶实对称可逆矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P ，使得 ①PA B −；②=P ABP BA 1−；③=P AP B 122T =；④P A P B =. 成立的个数是【 】 （A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【详解】重点题型三二次型正定与正定矩阵的判定【方法】【例6.6】设A 为m n ×阶矩阵，且r A m ()=，则下列结论 ①AA T 与单位矩阵等价；③AA T 与单位矩阵合同；②AA T 与对角矩阵相似；④AA T 正定. 正确的个数是【 】（B ）2（C ）3 （A ）1【详解（D ）4】 I ）设A 为n 阶正定矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则【例6.7】证明：（A B −2为正定矩阵；,为n 阶矩阵，且（II ）设A B r A B n TT()+=，则A A B B +为正定矩阵.【详解】。
辅导讲义(线性代数第四讲)
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；
2018李永乐线性代数冲刺班讲义
参考答案 1 -6 0 0 ù é ê ú 1 2 0 ù é ê ú êú 0 0 ú ê0 1 ê ú ( ) ( ) 1. 1 1 8, 2 2 0 2. 4. 0 0 -1ú 5. a =-1 6. a =1 -2 3. ê ú ê 5 5 2 -2 ú ê0 0 ê ú ê ú ë 0 -1 0 û ê ú ê 5 5 ú ë0 0 -2 2 û
A x =b 解的结构 : α +k k k 1 1+ 2 … + n r r. η η ηnA α =λ α, α ≠0
齐次方程组线性无关解向量的个数 : n-r(A ) .
( )λ ( ) , 或 A -λ (λ 2 E -A = 0 E =0 E -A ) x =0 i ( )若P-1 3 A P = B. 由A 由B α =λ α⇒B (P-1 α ) =λ(P-1 α) ; α =λ α⇒A (P α ) =λ(P α). ⇔ k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量 .
1 1 1ù é ê ú ê ú 已知 A = ê0 0 0ú 和 B = 2 3. ê ú ê ú ë0 0 0û
( ( Ⅰ )求 a 的值 ; Ⅱ )求可逆矩阵 P 使P-1 A P = B.
2 -2 4ù é ê ú ê ú ê1 -1 aú 相似 . ê ú ê ú ë0 0 0û
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.
T 2 设 α, 矩阵 A = E +2 若A 则 αT 2. α A -3 E = O, +2 β 都是n 维非零列向量 , β , β=
.
0 ù é1 -1 0 ê ú ê ú 0 0 ú ê0 1 6 如A = ê 则A 3. = ú, 1 -1ú ê0 0 ê ú ê ë0 0 -1 1 ú û
2013考研冲刺班线性代数辅导讲义-李永乐
1 2 0 11.已知 A, B 满足关系式 A 2 AB E ，若 B 0 3 a ，则秩 r AB 2 BA 3 A = 0 0 5
2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D)与 a 有关不确定.
［
］
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2013 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
14.已知 A 是 3 阶矩阵， α1 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量， α2 是齐次方程组 Ax 0 的解，向量 α3 满 足 Aα3 α1 α2 α3 . （Ⅰ）证明 α1 ， α2 ， α3 线性无关. （Ⅱ）求矩阵 A 所有的特征值和特征向量. （Ⅲ）判断 A 是否和对角矩阵相似，并说明理由.
1 1 1 0 (C) +k 2 0 3 1
［ ］
10.n 维向量 α1,α2,α3,β1,β2，其中 α1,α2,α3 线性无关，β1 可由 α1,α2,α3 线性表出，β2 不能由 α1,α2,α3 线性表出. (1)α1,α2,α3,β1,β2 必线性相关. (3)α1,α2,α3,β1－β2 必线性相关. 上述命题中，正确的是 (A)(1)(3) (B)(2)(4) (C)(1)(4) (D)(2)(3) ［ ］ (2)α1,α2,α3,β1,β2 必线性无关. (4)α1,α2,α3,β1－β2 必线性无关.
1 1 1 15.已知矩阵 A= 1 a 1只有 2 个线性无关的特征向量.求矩阵 A 的特征值与特征向量. 3 1 3
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2013 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
2 16.已知 α=(1,k,－2)T 是二次型 xTAx=a x12 +a x2 +k x32－2x1x3－2x2x3 矩阵 A 的特征向量.试用正交变换化二次型
线性代数总复习讲义PPT课件
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
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【最新整理，下载后即可编辑】考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,… … … …a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m ,其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i 都用k i 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m ⨯n 个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m ⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a 11 a 12 … a 1n a 11 a 12 … a 1nb 1A = a 21 a 22 … a 2n 和(A |)= a 21 a 22 … a 2n b 2… … … … … … …a m1 a m2 … a mn a m1 a m2 … a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等(记作A =B ),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成a 1(a 1,a 2,⋯ ,a n )或 a 2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n 矩阵,右边是n ⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为1,2,⋯ ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =(1,2,⋯ ,n ).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m ⨯n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:① 加法交换律: A +B =B +A .② 加法结合律: (A +B )+C =A +(B +C ).③ 加乘分配律: c(A +B )=c A +c B .(c+d)A =c A +d A .④ 数乘结合律: c(d)A =(cd)A .⑤ c A =0⇔ c=0 或A =0.转置:把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作A T (或A ').有以下规律:① (A T )T = A .② (A +B )T =A T +B T .③ (c A )T =c A T .转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T 表示行向量,当是行向量时, T 表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s 是一组n 维向量, c 1,c 2,…,c s 是一组数,则称c 11+c 22+…+c s s 为1,2,…,s 的(以c 1,c 2,…,c s 为系数的)线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量.(3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E (或I ).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … .a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项nnj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 0023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(nn n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如 |,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A ||B |.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |)→(E |η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 12 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 .3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例31+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 3 3x 2-29 x 3 6 -6例7 求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A |=2, |B |=3 ,求|A +B | .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i i i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10).例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..第三讲 矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB . AB 的行数和A 相等,列数和B 相等. AB 的(i,j)位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a 11 a 12 … a 1n b 11 b 12 … b 1s c 11c 12 … c 1sA = a 21 a 22 … a 2nB = b 21 b 22 … b 2sC =AB =c 21 c 22 … c 2s… … … … … …… … …a m1 a m2 … a mn ,b n1 b n2 … b ns ,c m1c m2 … c ms ,则c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…+a in b nj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:① 矩阵乘法有条件.② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB =0推不出A =0或B =0.由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律)由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC .② 数乘性质 (c A )B =c(AB ).③ 结合律 (AB )C = A (BC ).④ (AB )T =B T A T .2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:① A k A h = A k+h .② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等!n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … … … …0 0 … A k 0 0 … B k如果类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A 1B 1 0 0AB = 0 A 2B 2 … 0 .… … …0 0 … A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是m ⨯n 矩阵B 是n ⨯s 矩阵. A 的列向量组为1,2,…,n ,B的列向量组为1,2,…,s , AB 的列向量组为1,2,…,s ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):① AB 的每个列向量为:i =A i ,i=1,2,…,s.即A (1,2,…,s )= (A 1,A 2,…,A s ).② =(b 1,b 2,…,b n )T ,则A = b 11+b 22+…+b n n .应用这两个性质可以得到:如果i =(b 1i ,b 2i ,…,b ni )T ,则i =A I =b 1i 1+b 2i 2+…+b ni n .即:乘积矩阵AB 的第i 个列向量i 是A 的列向量组1,2,…,n 的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c 倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s 列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)② 如果A 和B 都可逆,则AB 也可逆,并且(AB )-1=B -1A -1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E (i,j)-1= E (i,j), E (i(c))-1=E (i(c -1)), E (i,j(c))-1= E (i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵① 计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.② 伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记A ij 是|A |的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A 11 A 21 … A n1A *= A 12 A 22 … A n2 =(A ij )T .… … …A 1n A 2n … A mn请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时, A *和A -1有密切关系.基本公式: AA *=A *A =|A |E .于是对于可逆矩阵A ,有A -1=A */|A |, 即A *=|A |A -1.因此可通过求A *来计算A -1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc ≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1T,求a. (03三,四)④n维向量=(1/2,0,⋯,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB. (95四)⑤A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n =A n-2+A 2-E . (2) 求A n .例4设A 为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3, A 2=22+3,A 3=22+33.求作矩阵B ,使得A (1,2,3)=(1,2,3)B . (2005年数学四)例5设3阶矩阵A =(1,2,3),|A |=1,B =(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B |.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A 是3阶矩阵, 是3维列向量,使得P =(,A ,A 2)可逆,并且A 3=3A -2A 2.又3阶矩阵B 满足A =PBP -1.(1)求B .(2)求|A +E |.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A ,B 满足ABA *=2BA *+E ,其中A = 1 2 0 ,求|B |.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A = 1 -1 0 , A -1XA =XA +2A ,求X .-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A = -1 1 1 , A *X =A -1+2X ,求X .1 -1 1例11 4阶矩阵A ,B 满足ABA -1=BA -1+3E ,已知1 0 0 0A *= 0 1 0 0 ,求B . (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A = 2 1 0 , B = 0 0 0 , XA +2B =AB +2X ,求X 11.2 13 0 0 -1例13 设1=(5,1,-5)T ,2=(1,-3,2)T ,3=(1,-2,1)T ,矩阵A满足A 1=(4,3) T , A 2=(7,-8) T , A 3=(5,-5) T ,求A .2.概念和证明题例14 设A 是n 阶非零实矩阵,满足A *=A T .证明:(1)|A |>0.(2)如果n>2,则|A |=1.例15 设矩阵A =(a ij )3 3满足A *=A T ,a 11,a 12,a 13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A⇔T =1.(2)T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A 也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C 为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④E. ⑤4.例2 O.例 3 (1)提示:A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系 设1,2,…,s 是一个n 维向量组.如果n 维向量等于1,2,…,s 的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s 线性表示.如果n 维向量组1,2,…,t 中的每一个都可以可以用1,2,…,s 线性表示,就说向量 1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+x 22+…+x s s =是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,则矩阵(1,2,…,t )等于矩阵(1,2,…,s )和一个s ⨯t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是i 对1,2,…,s 的分解系数(C 不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,而1,2,…,s 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则1,2,…,t 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.当向量组1,2,…,s 和1,2,…,t 互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,…,s ≅1,2,…,t. 等价关系也有传递性.。
《线性代数》考研辅导讲义3
《线性代数》考研辅导讲义3五.向量的内积与线性无关向量组的正交化 1.内积设1212(,,,),(,,,)TT n n x x x x y y y y == ,则1122(,)T n n x y x y x y x y x y =+++=向量x的长度x ===若1x =,称x 为单位向量.向量的单位化:(0)xx x≠. 若(,)0x y =,称x 与y 正交.2.标准正交向量组、标准正交基若向量组两两正交且不含零向量,称为正交向量组.若向量组12,,,m ααα 满足0,(,)1,i j i ji jαα≠⎧=⎨=⎩,称12,,,m ααα 为规范(标准)正交向量组.若该向量组为向量空间的一组基,称其为规范(标准)正交基. 3.线性无关向量组的正交规范化—Schmiditt 正交化过程设向量组12,,,m ααα 线性无关.令111222111132333121122121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m βαβαβαββββαβαβαβββββββαβαβαβαβββββββββ----==-=--=----则12,,,k ααα 与12,,,(1)k k m βββ≤≤ 等价,且12,,,m βββ 为正交向量组.4.正交矩阵及其性质 若T A A E =(1T A A -⇔=),称A 为正交矩阵.A 为正交矩阵A ⇔的行(或列)向量组为两两正交的单位向量,从而可作为n R 的一组基.若A 为正交矩阵,则1,T A A -也为正交矩阵,且1A =±若,A B 为同阶的正交矩阵,则AB 也是正交矩阵.典型例题一.向量组的线性相关性问题 例1n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是( D )(A)存在一组不全为零的数12,,,m k k k ,使得11220m m k k k ααα+++≠ .(B) 12,,,m ααα 中任意两个向量线性无关.(C) 12,,,m ααα 中存在某一向量不能由其余向量线性表示. (D)12,,,m ααα 中任一向量都不能由其余向量线性表示.例2 设1234,,,αααα线性无关,则( C ) (A) 12233441,,,αααααααα++++线性无关.(B) 12233441,,,αααααααα----线性无关.(C) 12233441,,,αααααααα+++-线性无关. (D)12233441,,,αααααααα++--线性无关.解 对(A):()12233441123410011100,,,(,,,)01100011αααααααααααα⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭. 又12233441100111000(,,,)401100011R αααααααα=⇒++++<. 等等. 一般地:对n 维向量组12,,,m ααα ,令1122231,,,m m βααβααβαα=+=+=+ ,则(1)当m 为偶数时,12,,,m βββ 必线性相关;(2)当m 为奇数时,如果12,,,m ααα 线性无关,则12,,,m βββ 也线性无关;如果12,,,mααα 线性相关,则12,,,m βββ 也线性相关.例3 设三维向量组123,,ααα线性无关,则向量组122331,,k αααααα---也线性无关的充分必要条件是 .解 方法一:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭,122331123123101,,,,110(1),,001k k kαααααααααααα----=⋅-=-≠-, 则1k ≠.方法二:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭()123,,K ααα=.因为123,,ααα线性无关,所以()123,,3R ααα=,则122331,,k αααααα---也线性无关()122331,,3R k αααααα⇔---=()3 1.R K k ⇔=⇔≠例4 若向量组123,,ααα线性无关,向量组124,,ααα线性相关,则( C ). (A) 1α必可由234,,ααα线性表示. (B) 2α必不可由134,,ααα线性表示.(C) 4α必可由123,,ααα线性表示. (D)4α必不可由123,,ααα线性表示.解4α必可由12,αα线性表示,则4α必可由123,,ααα线性表示..例5 设n 维列向量组12,,,()m m n ααα< 线性无关,则n 维列向量组12,,,m βββ 线性无关的充分必要条件是( D ).(A) 向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表示.(B) 向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表示. (C) 向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价. (D)矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价.解 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等. 例6 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),T T T t ααα===(1) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为12,αα的线性组合.解 方法一:设1122330x x x ααα++=,即()112323,,0x x x ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其系数行列式111123513D t t==-,(1)当0D ≠即5t ≠时,齐次线性方程组只有零解,此时向量组123,,ααα线性无关;(2)当5t=时,齐次线性方程组有非零解,此时向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,系数矩阵1323111101,123012213000r x x A x x t -⎛⎫⎛⎫=-⎧ ⎪ ⎪=→⇒⎨⎪ ⎪=-⎩ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令31x =,则121,2x x ==-,所以123312202αααααα-+=⇒=-+.方法二:123111,,123513t tααα==-,所以(1)当5t≠时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当5t =时, 向量组123,,ααα线性相关; (3) 当5t =时,以下同方法一.方法三:123,,ααα线性相关123(,,)3R ααα⇔<.123111111(,,)12301213005rA t t ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,(1) 当5t ≠时, 123(,,)3R ααα=,向量组123,,ααα线性无关;(2) 当5t=时, 123(,,)23R ααα=<,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,123111101(,,)012012000000rr A ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则121,2,x x =⎧⎨=-⎩所以31122122x x ααααα=+=-.例7 已知三个向量组(Ⅰ)123,,ααα;(Ⅱ)1234,,,αααα;(Ⅲ)1235,,,αααα的秩分别为()()3,()4R R R I =II =III =,证明向量组12345,,,k ααααα-的秩为4.( 0k ≠)证 方法一:()()3,R R I =II =则123,,ααα线性无关,且1234,,,αααα线性相关,故存在123,,λλλ,使得4112233αλαλαλα=++.要证12345(,,,)4R k ααααα-=,只需证12345,,,k ααααα-线性无关.设有1234,,,x x x x ,使得112233445()0x x x x k ααααα+++-=,则11412242334345()()()0x x x x x x kx λαλαλαα+++++-=.因为()4R III =,所以1235,,,αααα线性无关,则11422433440,0,0,0.x x x x x x kx λλλ+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩因为1231000100001000k kλλλ=-≠-,所以齐次线性方程组只有零解,即12345,,,k ααααα-线性无关,则12345(,,,)4R k ααααα-=.方法二:同一得: 4112233αλαλαλα=++,则451122335k k ααλαλαλαα-=++-,所以1212345123512353100010(,,,)(,,,)(,,,)00100k K k λλαααααααααααααλ⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪-⎝⎭. 因为1235(,,,)4,()4R R K αααα==,所以12345(,,,)4R k ααααα-=.方法三:同一得:4112233αλαλαλα=++,则4114422433123451*********()12351235(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)c c c k c c c c k k k λλλααααααααλαλαλαααααααααα-÷----=++-→-→所以123451235(,,,)(,,,)()4R k R R ααααααααα-==III =.例8 设()m n R A n ⨯=,n 维列向量组12,,,()s s n ααα≤ 线性无关,证明向量组12,,,s A A A ααα 线性无关.证 设11220s s x A x A x A ααα+++= ,即1212(,,,)0s s x xA x ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为()m n R A n ⨯=,则1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ;又12,,,s ααα 线性无关,则120s x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以12,,,s A A A ααα 线性无关.例9 设A为n 阶正定矩阵, 123,,ααα是非零的n 维列向量,且0()T i j A i j αα=≠,证明:123,,ααα线性无关.证 设1122330x x x ααα++=,则1122330x A x A x A ααα++=,从而111122133()()()0T T T x A x A x A αααααα++=,即111()0Tx A αα=.因为A 为正定矩阵,且10α≠,则110T A αα>,所以10x =.同理可证20x =,30x =.例10 设A 为三阶矩阵,三维列向量123,,ααα线性无关,且11232123232,,A A A αααααααααα=++=+=+,求A.解123123110(,,)(,,)211302A A A αααααα⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭,即123123110(,,)(,,)211302A αααααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则123123123110,,,,211,,302A ααααααααα⋅=⋅=-.因为123,,ααα线性无关,则123,,0ααα≠,所以1A =-.【注意】如果已知123,,ααα,则可求出A :1123123110(,,)211(,,)302A αααααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.例11 设A 为三阶矩阵,有三个不同的特征值123,,λλλ,对应的特征向量依次为123,,ααα.令123βααα=++,证明: 2,,A A βββ线性无关.证12311223A A A A βαααλαλαλα=++=++, 2222112233()A A A ββλαλαλα==++21122123221232331(,,)(,,)1(,,)1A A K λλβββαααλλαααλλ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭因为123,,λλλ互不相同,所以123,,ααα线性无关.又21122221313223311()()()01λλλλλλλλλλλλ=---≠, 所以()3R K =,则2(,,)3R A A βββ=,即2,,A A βββ线性无关.二.线性表示问题例12 设三维列向量123211101,1,1,111λααλαβλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,问λ取何值时: (1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)β不能由123,,ααα线性表示.解 方法一:2123111,,111(3)111λαααλλλλ+=+=++,(1)当0λ≠且3λ≠-时, β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2)当0λ=时,12311101110(,,|)1110000011100000r αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)当3λ=-时, 123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.方法二:12321110(,,|)111111λαααβλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭2223111000032rλλλλλλλλλλ+⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪----⎝⎭.(1) 当20,30λλλ≠⎧⎨--≠⎩即0λ≠且3λ≠-时, 123123(,,)(,,|)3R R ααααααβ==,所以β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) 当0λ=时,1231110(,,|)00000000rαααβ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3) 当3λ=-时,1231129(,,|)033120006rαααβ-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.例13 证明:12,,,s ααα (其中10α≠)线性相关⇔存在i α(1)i s <≤使得iα可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一的.证 必要性:其思路是求向量组的一个极大无关组的排除法. 因为10α≠,所以1α线性无关.考虑12,αα:若12,αα线性相关,则2α可由1α线性表示,且表示式唯一; 若12,αα线性无关,考虑123,,ααα:若123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表示,且表示式唯一; 若123,,ααα线性无关,考虑1234,,,αααα: 依次类推,得因为12,,,s ααα 线性相关,类似可得存在i α,使得121,,,i ααα- 线性无关,而12,,,i ααα 线性相关,所以i α可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一. 充分性:设i α可由121,,,i ααα- 线性表示,则12,,,i ααα 线性相关,所以12,,,s ααα 线性相关.三.向量组的秩与向量组的极大无关组有关问题例14 求向量组123451124313612,,,,1510613110a c ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩和一个极大无关组.解1234511243112431361202431(,,,,)15106100011311000203r A a c a c ααααα----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,(1)当2,3a c ==时, 12345(,,,,)3R ααααα=,一个极大无关组为: 124,,ααα;(2)当2a ≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1234,,,αααα; (3)当3c≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1245,,,αααα.进一步, 当2,3a c ==时,把其余向量用该极大无关组线性表示:123451000201201(,,,,)0001100000r A ααααα-⎛⎫⎪-⎪=→← ⎪⎪⎝⎭行最简形则322αα=, 51242αααα=--+.例15 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,证明:(1)若()R A n =,则()()R AB R B =; (2)若()R B n =,则()()R AB R A =.(即左乘列满秩矩阵或右乘行满秩矩阵,则矩阵的秩不变)证 (1)方法一:()R A n =,则存在m 阶可逆矩阵P ,使得1A PA O ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1A 为n 阶可逆矩阵,则11A A B PABB O O ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1()()()()R AB R PAB R A B R B ===.方法二:因为()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤,所以()()()n R B n R AB R B +-≤≤, 即()()R AB R B =.方法三:因为()R A n =,所以线性方程组0ABx =与0Bx =同解,(事实上:(1) 0Bx =,则()00ABx A Bx A ===;(2)0ABx =,即()0A Bx =,因为()R A n =,则0Bx =.)所以()()m R AB m R B -=-, 得()()R AB R B =.同理可证(2).例16 设111212122212,0,0,1,2,,.n n i i n n n n a b a b a b a b a b a b A a b i n a b a b a b ⎛⎫⎪⎪=≠≠= ⎪⎪⎝⎭(1)求()R A ;(2)证明:存在数λ,使得A A k k 1-=λ.解 令()()1212,,,,,,,TTn n a a a b b b αβ== ,则T A αβ=.(1)A O ≠,则1()min{(),()}1()1R A R R R A αβ≤≤≤⇒=;(2)11()()()k T k T T k A A βααββα--==,令T λβα=即可.四.向量空间的有关问题(数学二、三、四不做要求)例17 设V 是向量组123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T Tααα==--=--所生成的向量空间,求dim V 及V 的一个规范正交基.解123115115111013(,,)24800031900r A ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,则()2dim 2R A V =⇒=,且12,αα为V的一个基.将12,αα正交单位化得V 的一个规范正交基:12,2,1,5,3)T T εε==--.例18 向量空间V 的两个基分别为12341123223433444(),,,;(),,,ααααβαααβαααβααβαI II =++=++=+=.(1)由基()II 到基()I 的过渡矩阵B ;(2)在基()I 与基()II 下有相同坐标的全体向量.解 (1)12341234123410001100(,,,)(,,,)(,,,)11100111P ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则112341234(,,,)(,,,)P ααααββββ-=, 所以11000110001101011B P -⎛⎫⎪-⎪== ⎪-⎪-⎝⎭.(2)设向量1211223344123434(,,,)x x x x x x x x ξαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭,则ξ在基()I 下的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以1234()00,x Px P E x x x x x k =⇒-=⇒====,则 12344000,k k k R ξααααα=⋅+⋅+⋅+=∈.例19 求向量(1,2,1,1)T ξ=在基底1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)T T T T ηηηη==--=--=--下的坐标.解 方法一:设ξ的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1234(,,,)x ξηηηη=,所以112345111(,,,)(,,,)4444T x ηηηηξ-==--. 方法二:注意到1234,,,ηηηη为正交基.设11223344x x x x ξηηηη=+++,则11111111(,)5(,)(,)(,)4x x ξηξηηηηη=⇒==,同理:324234223344(,)(,)(,)111,,(,)4(,)4(,)4x x x ξηξηξηηηηηηη====-==-.【注意】若1234,,,ηηηη为正交规范基,则ξ在1234,,,ηηηη的坐标为(,),1,2,3,4.j j x j ξη==例20 设12,αα线性无关, 12,ββ线性无关,且12,αα分别与12,ββ正交,证明: 12,αα,12,ββ线性无关.证 令112211220x x y y ααββ+++=,因为12,αα分别与12,ββ正交,则111212121222(,)(,)0,(,)(,)0.x x x x αααααααα+=⎧⎨+=⎩ 又12,αα线性无关,,所以11122122(,)(,)0(,)(,)αααααααα≠,则120x x ==.同理可证:120y y ==.所以12,αα,12,ββ线性无关.。
考研数学 线性代数讲义第8章二次型
⎛1 − a 1 + a 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 + a 1 − a 0 ⎟ 的秩为 2，所以有 ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ 1− a 1+ a = −4a = 0 ，得 a = 0 . 1+ a 1− a
6
水木艾迪
电话：010-62701055/82378805
f ( x1 , x 2 , x 3 )
2 2 2 = (1 − a ) x1 + (1 − a ) x 2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x 2
的秩为 2. (I) 求 a 的值； (II) 求正交变换 x = Qy ， 把 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化成标 准形； (III) 求方程 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) =0 的解. 解(I) 由于二次型 f 的秩为 2，对应的矩阵
a12 a 22 L a n2
L a 1 n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ L a 2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ L L ⎟⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ L a nn ⎠ ⎝ x n ⎟ ⎠
的矩阵 A 叫二次型的矩阵． 它是一个对称矩阵．其中 a ij = a ji ，即满足 AT = A ． 二次型矩阵 A 的秩称为二次型的秩． 例 1 二次型
解法 2 由于
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + x2 + 2 x3 + 2 x1 x 2 2 = ( x1 + x 2 ) 2 + 2 x 3 =0
所以
⎧ x 1 + x 2 = 0. ⎨ ⎩ x 3 = 0,
其通解为 x = k ( −1,1,0) ，其中 k 为任意常数。 8.4 实二次型的惯性定理 形如
2022考研高等数学强化讲义(重点题型解析)
2022考研高等数学强化讲义第一章函数极限连续重点题型一函数的性态【类型一与方法】有界性的判定例1下列函数无界的是 1（A ）f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞1（B ）f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞ 11（C ）f x x ()sin ,(0,)x x =∈+∞x 0sin t（D ）f x dt x (),(0,2022)t=∈∫【详解】【类型二与方法】导函数与原函数的奇偶性与周期性例2【2002，数二】设函数f x ()连续，则下列函数中，必为偶函数的是2x0()f t dt （A ）∫x20()f t dt （B ）∫x[0()()t f t f t dt −−]（C ）∫x [0()()t f t f t dt +−]（D ）∫【详解】重点题型二极限的概念例3【2003，数一、数二】设{a n }，{b n }，{c n }均为非负数列，且lim →∞a n =0n ，lim →∞b n =1n ， →∞c n =∞n lim ， 则必有（A ）a n <b n 对任意n 成立（B ）b n <c n 对任意n 成立→∞a n c n （C ）极限n lim 不存在→∞b nc n （D ）极限n lim 不存在【详解】例4【2014，数三】设lim →∞a a n =，且a ≠0，则当n n 充分大时有（A ） 2a a n >（B ）2aa n <（C ）a a n >−n 1【详解（D ）a a n <+n 1】x f x g x 例5【2000，数三】设对任意的x ，总有ϕ()()()≤≤，且lim ()()0x[g x x →∞−=ϕ]，则lim ()→∞x f x （A ）存在且等于零（C ）一定不存在【详解（B ）存在但不一定为零（D ）不一定存在】重点题型三函数极限的计算【类型一与方法】003sin 6()例6【2000，数二】若limx xf x x x →0+26()=0，则lim f x xx →0+为（C ）36 （D ）（B ）6∞（A ）0【详解】′′′++=3x满足初始条=()是二阶常系数微分方程例7【2002，数二】设y y x y py qy e 件y y (0)(0)0′的特解，则当x →0==时，函数 ln(1)+x y x ()2的极限（A ）不存在（B ）等于1 （C ）等于2 （D ）等于3【详解】[](1cos )ln(1tan )例8【2009，数二】求极限limsin 4x−−+x →0x x x .【详解】【类型二与方法】∞∞2(1)(21)(21)x xx x e e 例9lim e e x x →+∞+−=__________+2.【详解】1例10【2007，数三】lim (sin cos ) 2x x x 32→+∞++x x +=__________x +x 3.【详解】121(1)12ln 1x t e t dt x x例11【2014，数一、数二、数三】求极限limx →+∞t−−+∫.【详解】【类型三与方法】0 ∞1x e 例12lim ln(1)ln(1)x+x →0++=__________.【详解】【类型四与方法】∞−∞321例13求极限lim ln 2x x x x x →∞+−−1.【详解】【类型五与方法】00与∞011ln 例14【2010，数三】求极限lim 1xx x x→+∞−.【详解】【类型六与方法】1∞1x cos sin 例15【2012，数三】lim(tan )x xπ−=x →4__________.【详解】12例16求极限lim (0,)a a a a n N nx x +++ >∈x →0 nxx.【详解】重点题型四已知极限反求参数【方法】例17【1998，数二】确定常数a b c sin ,,的值，使limln(1)x b ax xt 3dtx →t 0−+=≠c c (0)∫.【详解】重点题型五数列极限的计算【类型一与方法】数列未定式例18设11,x n e 1−n nn =+−∈n N，求→∞x n n lim .【详解】【类型二与方法】通项由递推公式n n x f x +1=()给出x 例19【2002，数二】设031<<，n x n，证明数列{x +1==1,2,)n }的极限存在，并求此极限.【详解】例20【2011，数一、数二】（111ln 1I ）证明：对任意正整数n ，都有1n n n<+< + ；1112n n（II ）设a n nln (1,2,)=+++−=，证明数列{a n }收敛.【详解】【类型三与方法】n 项和的数列极限2sin sin 例21【1998，数一】求lim 1112n n n n ππsin π +++→∞ n +n n ++.【详解】例22【2017，数一、数二、数三】求2lim ln 1nn k kk =1→∞nn+∑.【详解】重点题型六无穷小量阶的比较【方法】例23【2002，数二】设函数f x ()在x =0的某邻域内具有二阶连续导数，且f (0)0≠，f ′(0)0≠，f ′′(0)0,,，使得当h →0≠.证明：存在唯一的一组实数λλλ123时，123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ是比h 2高阶的无穷小++−.【详解】例24【2006，数二】试确定A ，B ，C 的值，使得x(1)1()e Bx Cx Ax o x++=++23，其中o x ()3是当x →0时比x 3高阶的无穷小量.【详解】−⋅⋅x x x 与ax n 为等价无穷小，求n 与a 例25【2013，数二、数三】当x →0时，1cos cos 2cos3的值.【详解】重点题型七间断点的判定x例26【2000，数二】设函数f x ()=a ebx在(,)−∞+∞+内连续，且→−∞f x =，则常数x lim ()0a b ,满足（A ）a <0，b <0（C ）a ≤0，b >0【详解（B ）a >0，b >0（D ）a ≥0，b <0】第二章一元函数微分学重点题型一导数与微分的概念例1【2000，数三】设函数f x ()在点x a =处可导，则函数 在点f x ()x a =处不可导的充分条件是 ′=且（A ）f a ()0f a ()0（B ）f a =()0 ′=且f a ()0 ≠′>且（C ）f a ()0f a ()0′<且（D ）f a >()0f a ()0<【详解】例2【2001，数一】设f (0)=0，则f (x )在x =0处可导的充要条件为 1（A ）lim (1cosh)2f h →0h − 1（B ）lim (1)f e −h h →0h存在 1（C ）lim (sinh)存在2f h h →0h−存在1[（D ）lim (2)()f h f h ]h →0h −存在【详解】2.当自变量x 在x =−1处取得增量x ∆=−0.1时，相例3【2002，数二】设函数f u ()可导，y f x =()应的函数增量∆y 的线性主部为0.1，则f ′(1)=（A ）−1【详解（B ）0.1 （C ）1 （D ）0.5】例4【2004，数一、数二】设函数f x ()连续，且f ′(0)0>，则存在δ>0，使得（A ）f x ()在(0,) δ内单调增加（B ）f x ()在(−δ,0)内单调减少 （C ）对任意的x ∈(0,δ)，有f x f ()(0)>（D ）对任意的x ∈(−δ,0)，有f x f ()(0)>【详解】 2()(1)(2)()xx例5【2012，数一、数二、数三】设函数f x e e e n ，其中n 为正整数，则f ′(0) =−−−nx = n −1（A ）(1)(1)!nn （B ）−−(1)(1)!n−−−n −1（C ）(1)!n −n （D ）(1)!n 【详解】,0,≤ 例6【2016，数一】已知函数f x ()=x x 111<≤= x n ,1,2, +1n n n ，则（A ）x =0是f x ()的第一类间断点（C ）f x ()在x =0处连续但不可导【详解（B ）x =0是f x ()的第二类间断点（D ）f x ()在x =0处可导】重点题型二导数与微分的计算【类型一与方法】分段函数1=例7【1997，数一、数二】设函数f x ()连续，ϕ()()0x f xt dt ∫f x ，且lim()x=A (A 为常数)，求ϕ′x →0()x ，x 在x =0处的连续性并讨论ϕ′().【详解】【类型二与方法】复合函数11x x ≥例8【2012，数三】设函数f x ()= <x −，y f f x =(())21,，求x edydx ==__________.【详解】【类型三与方法】隐函数−=x y =()由方程例9【2013，数一】设函数y f x y x e (1)−确定，则1lim 1→∞n n n f−=__________.【详解】y −1例10【2007，数二】已知函数f u ()具有二阶导数，且f ′=(0)1，函数y y x 1=()由方程y xe −=所确定.设z f y x =−(ln sin )，求dz dxx =0，22d zdx x =0.【详解】【类型四与方法】反函数=()在(−∞,+∞)内具有二阶导数，且y ′≠0，x x y =()是y y x 例11【2003，数一、数二】设函数y y x 的反函数=().I ）试将（x x y =()所满足的微分方程2dx (sin )0d x3y x dy dy 2++=变换为y y x =()满足的微分方程；（II ）求变换后的微分方程满足初始条件y (0)03=，y ′(0)=2的解.【详解】【类型五与方法】参数方程例12【2008，数二】设函数y y x 0() t ln(1)2==()由参数方程x x t =+确定，其中x t ()y u du ∫是初值问题 dx te −x−=dt20 x t =0=|0的解，求2d y 2dx .【详解】【类型六与方法】高阶导数n (0)==−ln(12)在x =0处的n 阶导数y 例13【2010，数二】函数y x ()__________.【详解】2例14【2015，数二】函数f x x ()2x在x =0处的n 阶导数f =⋅()n (0)=__________.【详解】例15【2017，数一】已知函数f x ()=1+1x2，则f (3)(0)=__________.【详解】重点题型三导数应用求切线与法线【类型一与方法】直角坐标y f x =()表示的曲线0arctan x e−t 例16【2002，数一】已知两曲线y =f (x )与y =∫2dt 在点(0,0)处的切线相同，写出此切线2 方程，并求极限lim→∞n n nf.【详解】例17【2000，数二】已知f x ()是周期为5的连续函数，它在x =0的某个领域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x xx 是当x →0时比x 高阶的无穷小，且f x ()，其中α+−−=+α()在x =1处可导，求曲线y f x =()在点(6,(6))f 处的切线方程.【详解】=()x x t 【类型二与方法】参数方程 y y t =()表示的曲线1−t −µ02 例18【1999，数二】曲线 x e du=−22ln(2)= y t t ∫在(0,0)处的切线方程为__________.【详解】【类型三与方法】极坐标r r =()θ表示的曲线=θ例19【1997，数一】对数螺线r e 在点2,e ππ2处切线的直角坐标方程为__________.【详解】重点题型四导数应用求渐近线【方法】例20【2005，数二】曲线y =的斜渐近线方程为__________.【详解】例21【2014，数一、数二、数三】下列曲线中有渐近线的是 （A ）y x x 2=+sin sin（B ）y x x =+2sin x 1（C ）y x =+sin x 1【详解（D ）y x =+】1例22【2007，数一、数二、数三】曲线ln(1)y e x x=++渐近线的条数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】重点题型五导数应用求曲率【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）22741 例23【2014，数二】曲线 x t =+=++上对应于t =1y t t的点处的曲率半径是（A （B （C ）（D ）【详解】重点题型六导数应用求极值与最值【方法】例24【1997，数二】已知函数y f x []2=()对一切x 满足()3()1xf x x f x e ′′′ −x .+=−若′f x x ()0(0)00=≠，则（A ）f x ()（B ）f x 0是f x ()的极大值()0是f x ()的极小值x f x 00是曲线（C ）(,())y f x =()的拐点x f x 00也不是曲线0不是f x ()的极值，(,())y f x （D ）f x ()【详解=()的拐点】[] 2例25【2000，数二】设函数f x ()满足关系式f x f x x ′′′，且f ′()()+=(0)0=，则（A ）f (0)是f x ()的极大值（B ）f (0)是f x ()的极小值（C ）点(0,(0))f 是曲线y f x =()的拐点 （D ）f (0)不是f x ()的极值，点(0,(0))f 也不是曲线y f x =()的拐点【详解】′′例26【2010，数三】设函数f x ()，g x ()具有二阶导数，且g x ()0 <.若()g x a 0=是g x ()的极值，则f g x (())在x 0取极大值的一个充分条件是 （B ）f a ′>()0（C ）f a ″<()0（A ）f a ′<()0【详解（D ）f a ″>()0】322+++=60确定，求f x ()的极值=()由方程例27【2014，数一】设函数y f x y xy x y .【详解】重点题型七导数应用求凹凸性与拐点【方法】例28【2016，数二、数三】设函数f x ()在(,)−∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（A ）函数f x ()有2个极值点，曲线y f x =()有2个拐点 （B ）函数f x ()有2个极值点，曲线y f x =()有3个拐点 （C ）函数f x ()有3个极值点，曲线y f x=()有1个拐点（D ）函数f x ()有3个极值点，曲线y f x=()有2个拐点【详解】22例29【2001，数二】曲线y x x =−−(1)(3)的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】 例30【2011，数一】曲线(1)(2)(3)(4)y x x x x 234=−−−−的拐点是 （B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（（A ）（1，0）【详解4，0）】重点题型八导数应用证明不等式【方法】例31【2000，数一、数二】设f x ()，g x ()是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ′′ −<，则当a x b <<时，有（A ）()()()()f x g b f b g x（B ）>()()()()f x g a f a g x>（C ）()()()()f x g x f b g b （D ）>()()()()f x g x f a g a >【详解】 例32【2017，数一、数三】设函数f x ()可导，且f x f x ()()0′ >，则（A ）f f (1)(1)（B ）f f >−(1)(1)<−（C ） f f (1)(1)>−（D ）f f (1)(1)<−【详解】例3【2002，数二】设0<<a b，证明不等式2ln ln a b a a b b a−<<22+−【详解】重点题型九 导数应用求方程的根【方法】例34【2003，数二】讨论曲线4ln y x k 与y x x =+4ln 4的交点个数=+.【详解】x 1()2例35【2015，数二】已知函数xf x =+∫∫，求f x ()零点的个数.【详解】重点题型十微分中值定理证明题【类型一与方法】证明含有ξ一个点的等式1例36【1999，数三】设函数f x ()在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f f (0)(1)0==，2f=1.试证：（12I ）存在η∈,1，使f ()ηη =；（II ）对于任意实数λ，必存在ξη[′∈(0,)，使得f f ()()1]ξλξξ−−=.【详解】例37设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)=，a >0.证明：存在ξ∈a b 内可导，f a ()0(,)a b ，使得f f ()()aξb ξξ−′=.【详解】例38设函数f (x )在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f (1)=0，证明：存在ξ∈(0,1)，使得(2ξ+1)f (ξ)+ξf ′(ξ)=0.【详解】,【类型二与方法】证明含有ξη两个点的等式=，f (1)=31例39【2010，数二】设函数f x ()在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f (0)0.证明：存在ξ∈20,21，η∈1,1，使得f f ′′()()ξηξη+=+22.【详解】【类型三与方法】证明含有高阶导数的等式或不等式例40设f x ()在[−1,1]上有三阶连续的导数，f (1)0=，f ′−=，f (1)1(0)0ξ(1,1)=，证明∃∈−，使得f ′′′()3ξ=.【详解】第三章一元函数积分学重点题型一定积分的概念=()在区间[−−3,2]，[2,3]例1【2007，数一、数二、数三】如图，连续函数y f x 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2,0]，[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周.()()x=设F x f t dt ∫，则下列结论正确的是 3（A ）F F 4(3)(2)=−− 5（B ）F F 4(3)(2)=3（C ）F F 4(3)(2)−=5（D ）F F 4(3)(2)−=−−【详解】2008，数二、数三】如图，曲线段的方程为y f x =()例2【，函数f x ()在区间[0,a ]上有连续的导数，则定积分axf x dx ∫′()等于（A ）曲边梯形ABOD 的面积（B ）梯形ABOD 的面积（C ）曲边三角形ACD 的面积（D ）三角形ACD 的面积【详解】x1sin t例3【2009，数三】使不等式t∫dt x >ln 成立的x 的范围是（B ）1, 2π （C ） π2,π（D ）(,)（A ）(0,1)【详解π+∞】40tan πxx例4【2003，数二】设I 1=∫x 4dx ，I 2=0∫tan πx dx ，则（B ）1>>I I 12（A ）I I 12>>1（C ）I I 21>>1【详解（D ）1>>I I 21】重点题型二不定积分的计算【类型一与方法】分段函数例5求∫max(,,1)32x x dx .【详解】1x2x 4+例6求+∫1dx .【详解】【类型三与方法】无理函数例7【2009，数二、数三】计算不定积分 +>∫ln 1dx x (0).【详解】ln(1)【类型四与方法】指数有理式例8【2000，数二】设f x (ln )+xx =，计算∫f x dx ().【详解】1例9求∫sin cos x x 3dx .【详解】1例10求∫++x x 1sin cosdx .【详解】（2）∫sin cos 24x xdx 例11求（.1）∫sin 4cos 2cos3x x xdx 1【详解】（）1sin 4cos 2cos3(sin 6sin 2)cos3211sin 6cos3sin 2cos32211115sin 4444x x xx x x x x x xx x x x=+=+ sin 9sin 3sin =++−141111 cos9cos5cos3cos 3620124Ix x x x dx x x x x C=++−∫=−−−++(sin 9sin 5sin 3sin )（2）24211cos 211cos 4sin cos sin 2(1cos 2)1(1cos 2cos 4cos 2cos 4)161111cos 2cos 4cos 616321632x x x x x +−x x xx xx x x =⋅=+4282=+−−=+−−1111163216321111 sin 2sin 4sin 6cos 2cos 4cos 6166464192x x x dx x x x x C I =+−− ∫=+−−+ 【类型六与方法】被积函数含有对数函数、反三角函数例12求.【详解】重点题型三定积分的计算【类型一与方法】分段函数,0x x 1≥例13设f x ()= 1+1x,0 <2 1+e x(1)f x dx ，求−∫. 【详解】【类型二与方法】对称区间例14设f x ()，g x ()在[−l l ,]上连续，f x f x A ()()+−=，g x ()为偶函数.（()()()lllf xg x dx A g x dx 1）证明：−=∫∫；22xsin arctan xe dx ππ（2）计算−∫；222sin1xππ−（3）计算∫【详解x dx +−e .】【类型三与方法】周期函数100+π2100x x dx sin 2(tan 1)例15 求⋅+∫.【详解】【类型四与方法】被积函数含有变限积分函数或抽象函数的导数0例16【2013，数一】计算∫x 1ln(1)t +dt ，其中f x ()=t ∫.【详解】bf x a()f xg x ()()【类型五与方法】形如+∫dx 的积分例17 求下列积分（20xe sin dx e e sin cos x x π1）+∫（2）.【详解】40ln(1tan )π例18 求+∫x dx .【详解】重点题型四反常积分的计算【方法】例19【1998，数二】计算积分【详解】重点题型五反常积分敛散性的判定【方法】1x x (1)a b+∞例20【2016，数一】若反常积分+∫dx 收敛，则（A ）a <1且b >1（C ）a <1且a b +>1【详解（B ）a >1且b >1（D ）a >1且a b +>1】重点题型六变限积分函数sin ,0x x x πππ≤<例21【2013，数二】设函数f x ()= 2, 2≤≤0()()x =，F x f t dt ∫，则（A ）x =π是函数F x ()的跳跃间断点（B ）x =π是函数F x ()的可去间断点（C ）F x ()在x =π处连续但不可导（D ）F x ()在x =π处可导【详解】例22【2007，数二】设f x ()是区间0,4π上的单调，可导函数，且满足0cos sin sin cos t tf x ()f t dt tdtt t−−1()=x+∫∫其中f−1是f 的反函数，求f x ().【详解】重点题型七 定积分应用求面积【方法】例23【1998，数二】曲线y x x x 322与x 轴所围成的图形的面积A ==−++__________.【详解】66ππcos3θθ例24【2013，数二】设封闭曲线L 的极坐标方程为r =−≤≤，则L 所围平面图形的面积是__________.【详解】=−t (sin )x a t t≤≤=−(1cos )例25求摆线 y a t (02)π与x 轴所围的图形面积.【详解】重点题型八定积分应用求体积【方法】=()，使得由曲线例26【2002，数二】求微分方程xdy x y dx +−=(2)0的一个解y y x y y x =()与直线x =1，x =2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小. 【详解】例27【2003，数一】过原点作曲线y x =ln 及x 轴围成平面图形D =ln 的切线，该切线与曲线y x .（I ）求D 的面积A ；（II ）求D 绕直线x e 【详解=旋转一周所得旋转体的体积V .】重点题型九 定积分应用求弧长【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例28求心形线r a a =+>θ(1cos )(0)的全长.【详解】22020002l d a a d a t dt a tdt a πππ2ππθθθ==2cos 4cos 8cos 8θ===∫∫∫∫∫重点题型十定积分应用求侧面积【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例29过原点作曲线y =的切线，求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.【详解】设切点为x 0(，切线方程为 )y −0x x ，代入(0,0)，得x 0=2，y 0=1x故切线方程为y =2.由曲线y x =≤≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为1126S 1)πππ 1=−∫∫ 1(02)绕x 由yx x 2=≤≤轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为0πS 2==2∫12π因此，所求旋转体的表面积为S S S =+=61).重点题型十一定积分物理应用【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例30设星形线x a t y a t 33==cos ,sin 上每一点处线密度的大小等于该点到原点的距离的三次方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力.x y 处长为ds 的小段到原点的距离【详解】点(,)为r=，线密度为r 3，质量为3r ds ，其中ds a t tdt 3sin cos .32r ds 该小段对质点的引力为dF G Grds r == x ，水平分量为dF dF Gxds x r ⋅，垂直分量为ydF dF Gyds y r=⋅=，故323222cos 3sin cos 0.6,sin 3sin cos 0.6x y F Ga t a t tdt Ga F Ga t a t tdt Ga ππ=⋅==⋅=∫∫重点题型十二证明含有积分的等式或不等式【方法】()cos x=例31【2000，数二】设函数S x t dt ∫.I ）当n 为正整数，且n x n （ππn S x n ≤+≤<+(1)时，证明2()<2(1)；S x x ()（II ）求lim x→+∞.【详解】例32【2014，数二、数三】设函数f x ()，g x ()在区间[a b ,]上连续，且f x ()单调增加，0()1g x ≤≤.证明：I ）（0(),,xag t dt x a x a b []≤≤−∈∫；()()()a a g t dt b()aaf x dx f xg x dx+∫≤b（II ）∫∫.【详解】第四章常微分方程重点题型一一阶微分方程【类型一与方法】可分离变量y1y xx 2∆=()在任意点x 处的增量∆=+ +x 0α，且当∆→时，例1【1998，数一、数二】已知函数y y x α是∆x 的高阶无穷小，y (0)=π，则y (1)等于（B ）π （C ）e 4ππ（A ）2π【详解（D ）πe 4】例2【2002，数二】已知函数f x ()在(0,)+∞内可导，f x ()0>，→+∞f x =，且x lim ()1满足1f x hx lim h()f x () h →01=e +x，求f x ().【详解】【类型二与方法】一阶齐次例3【1999，数二】求初值问题0(0)|x =1(+−=>y dx xdy x=0的解 y .【详解】【类型三与方法】一阶线性例4【2010，数二、数三】设y y ,12是一阶线性非齐次微分方程y p x y q x′+=()()的两个特解.若,使λµy y 常数λµ12 是该方程的解，λµy y +12−是该方程对应的齐次方程的解，则（B ）λ=−21，µ=−2（A ）λ=21，µ=211 3，µ=31（D ）λ=23，µ=32（C ）λ=2【详解】22例5【2016，数一】若(1)y x =+22(1)y x =++′+=y p x y q x ()() 的两个解，则q x () +（A ）3(1)x x 2x x 2（B ）−+3(1)（C ）1+x x 221x（D ）−+x【详解】例6【1999，数三】设微分方程y y x ′−=ϕ2()2,1x ，其中ϕx ()<x =0,1>，试求在(,)−∞+∞内的连续函数y y x=()，使之在(,1)+∞内都满足所给方程，且满足条件y −∞和(1,)(0)0=.【详解】【类型四与方法】伯努利方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例7求解微分方程 4y y x ′x−.【详解】令z =21，则2z z x ′x −=2，得222211dx 22x x z e x e dx Cx x C − dx +=+=∫∫∫12x Cx 32，其中C 为任意常数+.【类型五与方法】全微分方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例8求解下列微分方程：22（1）(231)(2)0yyxe x dx x e y dy +−+−=；（2）2223x y x y y −34dx dy +=0.2y【详解】（1）法一：设P x y xe x (,)2312+−(,)2y，Q x y x e y =−，则PQ2xe yyx∂∂==∂∂，方程为全微分方程.u u设存在u x y (,)，使得du x y dx dy P x y dx Q x y dy x y∂∂(,)=+=+(,)(,)∂∂，得y y 223u x y xe x dx x e x x y (,)(231)ϕ()=+−=+−+∫∂u由y=+x e y2y ϕ′()，得ϕ′()2∂y y=−2，方程的，ϕ()=−y y 通解为232y +−−=x e x x y C .法二：由232232(231)(2)(2()()()(22)0yy y 22)(31)(2)yyxe x dx x e y dy xe dx x e dy x dx y dyy d x e d x x d y d x e x x y +−+−=++−+−=+−+−=+−−=232y+−−=得x e x x y C .2x （2）设P x y (,)y =y x 4322y −3，Q x y (,)=，则 46P x Qy y x∂∂=−=∂∂.当y ≠0时，方程为全微分方程.2243131xyy x 122x 2 u x y xdx x C y y y−(,)2=+dy x =−++−=∫∫2233方程的通解为x y y Cy −+=.重点题型二二阶常系数线性微分方程【类型一与方法】解的性质与结构1=−32x x ，例9【2013，数二】已知y e xe y e xe 2=−x x 2，y xe 3=−2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件yx =0=0，y ′x =0=1的解为y =__________.【详解】 ′′例10【2004，数二】微分方程y y x x +=++21sin 的特解形式可设为 2∗（A ）(sin cos )y ax bx c x A x B x =++++ (2∗（B ）sin cos )y x ax bx c A x B x =++++ 2∗（C ）sin y ax bx c A x =+++2∗（D ）cos y ax bx c A x =+++ 【详解】 2x′′′−+=+例11【2017，数二】微分方程y y y e x 48(1cos 2) 的特解可设为y *=22xx ++（A ）Ae e B x C x (cos 2sin 2)22x x ++（B ）Axe e B x C x (cos 2sin 2)22xx ++（C ）Aexe B x C x (cos 2sin 2)22x x ++（D ）Axe xe B x C x (cos 2sin 2)【详解】【类型二】已知微分方程的解反求微分方程11223x x 例12【2015，数一】设y e x e=+−′′′++=是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x 的一个特解，则（A ）a =−3，b =2，c =−1（C ）a =−3，b =2，c =1（B ）a =3，b =2，c =−1（D ）a =3，b =2，c =1【详解】 【类型三】解二阶常系数线性微分方程′′′例13【2012，数一、数三】已知函数f x ()满足方程f x f x f x ()()2()0′′+−=及f x f x e ()()2+=x.（I ）求f x ()的表达式；22x（II ）求曲线y f x f t dt =−()()∫的拐点.【详解】重点题型三高阶常系数线性齐次微分方程【方法】例14求解微分方程y (4)−3y ′′−4y =0.【详解】特征方程为r r 42−−=340，得r 1,2=±2，r i3,4=±，方程的通解为x x −y C e C e C x C x 22cos sin =+++1234.重点题型四二阶可降阶微分方程【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）2例15求微分方程()y x y y ″+′=′满足初始条件y y (1)(1)1=′=的特解.′=，则y p 【详解】本题不含y ，令y p ′′′=2′()，原方程化简为p x p p +=，转化为反函数1dx −=dp dp ppdp px p ，得x e e pdp C p p C − =∫∫∫+=+().由p y (1)(1)1=′=，得C =0，从而xp ′=2，于是y =322，得3y x C =+1.由y (1)13221=，得C 1=31，故y x 33=+.重点题型五欧拉方程【方法】（数一掌握，数二、数三大纲不要求）2′′′++=2sin ln 例16求解微分方程x y xy y x .=t，原方程转化为【详解】令x e D D y Dy y t (1)−++=2sin ，即2d y2+dty t =2sin .特征方程为r 2+=10，得λ=±i ，齐次方程的通解为y C t C t =+12cos sin .∗=+(cos sin )，代入方程，得A =−1，B =0，故令y t A t B t y t t ∗=−cos .因此原方程的通解为12y C x C x x x cos ln sin ln ln cos ln =+−⋅.重点题型六差分方程【方法】（数三掌握，数一、数二大纲不要求）+1−=⋅2t的通解为__________例17【1997，数三】差分方程t t y y t . 【详解】齐次方程的通解为y C t =.令t y At B *=+()2t，代入方程，得A =1，B =−2，故t y t*=−(2)2t.因此原方程的通解为y C t t =+−(2)2t. 2y y x x 5的通解为__________例18【2018，数三】差分方程∆−=. 【详解】121121()()()22x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y ++++++∆=∆∆=∆−=−−−=−+原方程化简为y y x x ++21−=25，转化为y y x x x =2x+1−=25.齐次方程的通解为y C .令x y A x*=，代入方程，得A =−5，故y x *=−5.因此原方程的通解为y C x =−25.重点题型七变量代换求解二阶变系数线性微分方程2例19【2005，数二】用变量代换x t t =<<cos (0)x y xy y ′′′π化简微分方程(1)−−+=0，并求其x =0=，y ′满足y |1|2x =0=的特解.【详解】重点题型八微分方程综合题【类型一】综合导数应用2001，数二】设L 是一条平面曲线，其上任意一点P x y x 例20【(,)(0)>到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点 12,0，求曲线L 的方程.【详解】【类型二】综合定积分应用例21【2009，数三】设曲线y f x=()，其中f x ()是可导函数，且f x ()0>.已知曲线y f x=()与直线y =0，x =1及x t t =>(1)所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt 倍，求该曲线的方程.【详解】【类型三】综合变限积分例22【()()()1xx−f x t dt x t f t dt e x 2016，数三】设函数f x ()连续，且满足−=−+−∫∫，求f x ().【详解】【类型四】综合多元复合函数x例23【2014，数一、数二、数三】设函数f u ()具有二阶连续导数，z f e y =(cos )满足 ∂∂22z e y e 2x x z z+=+(4cos )∂∂x y22=，f ′若f (0)0(0)0=，求f u ()的表达式.【详解】【类型五】综合重积分例24【1997，数三】设函数f t ()在[0,+∞)上连续，且满足方程x y t 222f t e 4πt f dxdy 2+≤4 ()=+∫∫求f t ().【详解】第五章多元函数微分学重点题型一多元函数的概念【方法】例1【2007，数二】二元函数f x y (,)在点(0,0)处可微的一个充分条件是 ]（A ）(,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y [f x y f →−=f x f （B ）lim(,0)(0,0)x x →0− f y f =0，且lim(0,)(0,0)yy →0−=0（C）(,)limx y→=0[f x f （D ）lim (,0)(0,0)0x x ]，且′′x →0−=lim (0,)(0,0)0f y f y y ′′y →0−=【详解】例2【2012，数一】如果函数f x y (,)在点(0,0)处连续，那么下列命题正确的是f x y （A ）若极限lim (,)x yx →0存在，则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微 f x y （B ）若极限lim (,)x y22x →0存在，则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微f x y （C ）若f x y (,)在点(0,0)处可微，则极限lim (,)x y x →0y →0+存在f x y （D ）若f x y (,)在点(0,0)处可微，则极限lim (,)x y22x →0y →0+存在【详解】例3【2012，数二】设函数f x y (,)可微，且对任意x y ,都有∂f x y x(,)>0，∂f x y (,)<0，则使不等∂y∂式f x y f x y 1122(,)(,)<成立的一个充分条件是（A ）x x 12 ，y y >12（B ）x x <12，y y >12>（C ）x x 12<，y y 12（D ）x x <12<，y y 12>【详解】例4【2012，数三】设连续函数z f x y =(,)满足x →0y →=0，则dz (0,1)=__________.【详解】重点题型二多元复合函数求偏导数与全微分【方法】例5【2001，数一】设函数z =f (x ,y )在点(1,1)处可微，且f (1,1)1=，∂(1,1)xf=2∂，∂(1,1)yf =3∂，x f x f x x ϕ()(,(,))=，求dx ϕ3dx ()x =1.【详解】例6【2011，数一、数二】设z f xy yg x =(,())，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g x ()可导，且在x =1处取得极值g (1)1=，求2x 11y z==∂∂∂x y.【详解】重点题型三多元隐函数求偏导数与全微分【方法】例7【2005，数一】设有三元方程xy −z ln y +e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 （A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z x y =(,)（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和z z x y =(,)（C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y x z =(,)和z z x y =(,)（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和y y x z =(,)【详解】例8【1999，数一】设y y x =()，z z x =()是由方程z xf x y =+()和F x y z (,,)0=所确定的函数，dz其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dx.【详解】重点题型四变量代换化简偏微分方程【方法】例9【2010，数二】设函数u f x y 222=(,)具有二阶连续偏导数，且满足等式2241250u u ux y∂∂∂++=∂∂x y ∂∂.确定a bξη∂2u=0,的值，使等式在变换ξ=+x ay ，η=+x by 下简化为∂∂.【详解】重点题型五求无条件极值【方法】222(,)例10【2003，数一】已知函数f x y (,)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim()f x y xyx yx →0y →0−=1+，则（A ）点(0,0)不是f x y (,)的极值点（B ）点(0,0)是f x y (,)的极大值点（C ）点(0,0)是f x y (,)的极小值点（D ）根据所给条件无法判别点(0,0)是否为f x y (,)的极值点。
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第一讲基本概念一. 关于矩阵和向量的几个问题。
1．行向量和列向量3问题:(3,-2,1)和-2 是不是一样?12. 下列矩阵都是什么矩阵?① 1 0 0 ②c 0 0 ③ 2 -1 1 ④0 0 1 ⑤0 0 00 0 0 0 c 0 0 1 7 0 2 0 0 0 00 0 2 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0⑥ 2 2 2 ⑦ 2 -1 0 12 2 0 0 1 2 72 0 0 0 0 2 0对角矩阵: ①②⑤ .上三角矩阵: ①②③⑤ .下三角矩阵: ①②⑤ .对称矩阵: ①②⑤④⑥ .3. 3 -1 4例:求矩阵A= 50 7 的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合.0 8 -63 -14 6 1 12 17解:2 5- 0 +3 7 10 - 0 + 21= 31 .0 8 -6 0 8 -18 -26二．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解.(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组:b1=b2=…=b m=0的线性方程组.n维(0,0,…,0)T总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).称矩阵a11 a12…a1n a11 a12…a1n b1A= a21 a22…a2n 和(A|)= a21 a22…a2n b2…………………a m1 a m2…a mn a m1 a m2…a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中.三. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换)2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行, 也有非零行,则零行都在下,非零行在上.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.1 -32 6 5 10 0 2 4 -6 30 0 0 -3 9 40 0 0 0 00 -3 2 6 5 20 0 2 4 -6 30 0 0 -3 9 40 0 0 0 01 -32 6 5 10 0 0 4 -6 40 0 0 -3 9 40 0 0 0 0问题1.设A是n阶矩阵, 下列命题中哪个正确?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A是上三角矩阵.(2) 如果A是上三角矩阵,则A是阶梯形矩阵.(3) 如果A是阶梯形矩阵,则A的最下面的行向量为零向量.(4) 如果A是阶梯形矩阵,并且它的(n,n)位元素不为0,则A的对角线上的元素都不为0.问题2.设A是阶梯形矩阵.下列断言哪几个正确?(1) A去掉任意一行仍然是阶梯形矩阵.(2) A去掉任意一列仍然是阶梯形矩阵.(3) A去掉右边的若干列仍然是阶梯形矩阵.3.简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.用初等行变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.(1) 2 -1 0 1 1 (2) 1 1 1 11 1 1 02 0 1 -1 22 5 4 -2 9 23 1 63 3 3 -1 8 , 3 a 1 7 .解：1 1 1 02 1 1 1 0 2 1 1 1 0 2(1) → 2 -1 0 1 1 →0 -3 -2 1 -3 →0 -3 -2 1 -3 →2 5 4 -2 9 0 6 4 -3 8 0 0 0 -1 23 3 3 -1 8 0 0 0 -1 2 0 0 0 -1 21 1 1 02 1 1 1 0 2 1 0 1/3 0 5/30 -3 -2 1 -3 0 -3 -2 0 -3 0 1 2/3 0 1/30 0 0 -1 2 →0 0 0 -1 2 →0 0 0 1 -20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(2) 0 1 -1 2 0 1 -1 2 0 1 -1 22 3 1 6 →0 1 -1 4 →0 0 0 23 a 1 7 0 a-3 -24 0 0 a-5 10-2a1 1 1 1 1 1 1 1若a≠5 0 1 -1 2 0 1 -1 2→0 0 a-5 10-2a →0 0 1 -20 0 0 2 0 0 0 21 1 1 1 1 02 0若a=5 0 1 -1 2 0 1 -1 0→0 0 0 2 →0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0请注意:①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.四. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:1 5 1 1 10 3 -2 -1 -2(A|β)→ 0 0 3 1 40 0 0 -2 40 0 0 0 0x1+5x2+x3+x4=1,3x2-2x3-x4=-2,3x3+x4=4,-2x4=4,1 5 1 1 1(A|β)→0 0 3 1 40 0 0 -2 40 0 0 0 0x1+5x2+x3+x4=1,3x3+x4=4,-2x4=4,1 5 1 1 10 3 -2 -1 -2(A|β)→0 0 3 1 40 0 0 0 40 0 0 0 0x1+5x2+x3+x4=1,3x2-2x3+x4=-2,3x3+x4=4,0=4,矩阵消元法步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B |γ).(2)用(B |γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0 | d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B |γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0 |γ0 ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E |η),则η就是解.b11* * …* 1 0 0 …0 c1x1=c1 (B0|γ0)= 0 b22* …* γ0 →0 1 0 …0 c2x2=c2………………………,0 0 0 …b nn 0 0 0 …1 c n x n=c n(c1, c2, …,c n)T就是解.(A|β)→ (B |γ)↓(B0 |γ0 ) →(E |η),η就是解.1 5 1 1 1 1 5 1 0 3 1 0 0 0 10 3 -2 -1 -2 0 3 -2 0 -4 0 3 0 0 0(B0 |γ0 )→0 0 3 1 4 →0 0 3 0 6 →0 0 1 0 20 0 -2 4 0 0 0 1 -2 0 0 0 1 -2解为(1,0,2,-2)T.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解.推论:当齐次方程组方程的个数m<n时,有非零解.问题η1=(1,1,1)T,η2=(1,2,4)T,η3=(1,3,9)T,α=(1,1,3)T,将α写为η1，η2，η3的线性组合.解：假设x1η1+x2η2+x3η3=α,x1+x2+x3=1,x1+2x2+3x3=1,x1+4x2+9x3=3.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(A|β) = 1 2 3 1 →0 1 2 0 →0 1 2 01 4 9 3 0 3 82 0 0 2 21 0 0 2→0 1 0 -2 .0 0 1 1 2η1-2η2+η3=α.第二讲 行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … (简记为|a ij |)a n1 a n2 … a nn每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.一. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13 a 11 a 12a 21 a 22 a 23 a 21 a 22= a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33 a 31 a 32一般地,一个n 阶行列式|a ij |=.)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑① 是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.)② 每一项n nj j j a a a 2121,都是n 个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项. ∑n j j j 21表示对所有n 元排列求和.③ 规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数.称1,2…n 为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,就说它们构成一个逆序. 全排列j1j2…jn 的逆序数就是其中出现的逆序的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数. 例如求8元排列62874513的逆序数:0022451531547826,(62874513)=5+1+5+4+2+2+0+0=19.对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积.求下三角行列式a 11 0 0 … 0 0a 21 a 22 0 … 0 0… … … …a n-11 a n-12 … a n-1n-1 0a n1 a n2 … a nn-1 a nn=)12()1(n τ-a 11a 11…a nn =a 11a 11…a nn例1 求x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 12 2 1 x解：多项式f(x)的最高次项是4次项.由于从完全展开式看出,24项中除了对角线乘积这一项,其余项的次数不超过2.于是, x 4, x 3的系数可从(x-3) (x-8) (x+1)x 这一项中求得：(x-3) (x-8) (x+1)x= x 4+(-3-8+1) x 3+…=x 4-10 x 3+…所以,系数分别为1和-10.例2 设3阶矩阵 a 11 a 12 a 13A = a 21 a 22 a 23 , 设|x E -A |的3个根为x 1,x 2.x 3.证明x 1+x 2+x 3= a 11+a 22+a 33 .a 31 a 32 a 33证: x-a11 -a12 -a13|x E-A|= -a21x-a22 -a23 =(x- x1) (x- x2) (x- x3)-a31-a32x-a33看两边x2项的系数：右边=-(x1+x2+x3),左边看(x- a11) (x- a22) (x- a33)这一项,系数为-( a11+ a22+ a33),右边=左边, 得结论.二. 化零降阶法1.余子式和代数余子式元素a ij的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作M ij.a ij的代数余子式为A ij=(-1)i+j M ij.2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.n=4, |a ij|=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24例3 1 a10 00 1 a2 0求0 0 1 a3…0 的值等于0的条件 .…………a n-1a n 0 0 …0 1解:对第一列展开,得值= A11+a n A n1=1+(-1)n+1M n1.a10 0M n1= 1 a2……0 = a1 a2…a n-1,…………0 0 …1 a n-1代入得到值=1+(-1)n+1 a1 a2…a n,则，当a1 a2…a n=(-1)n时，值为0.3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.4. 化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.例4 求行列式 3 0 4 02 2 2 20 -7 0 05 3 -2 2的第四行各元素的余子式的和.(01)解：所求为M41+ M42+ M43+ M44=-A41+A42-A43+A443 04 0 3 4 0 3 4 0= 2 2 2 2 = -7 A32=7 2 2 2 =7 0 0 40 -7 0 0 -1 -1 1 -1 -1 1-1 1 -1 13 4=-28 -1 -1 =-28例5 4阶行列式2 4 5 -2-3 7 8 4 的第3列元素的代数余子式记作A13，A23，A33，A43，5 –9 -5 72 –5 2 2求①-A13-A23+2A33+A43. ②2A13-3A23+5A33+2A43.解：① 2 4 -1 -2-A13-A23+2A33+A43 = -3 7 -1 45 –9 2 72 –5 1 22 4 -1 -2 -53 6= -5 3 0 6 = (-1) A13= - 9 -1 39 -1 0 3 4 -1 04 -1 0 07 3 6 7 6= - 5 -1 3 = - 5 3 = 9.0 -1 0②2 4 2 -22A13-3A23+5A33+2A43= -3 7 -3 4 = 05 9 5 72 5 2 25. 性质某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.例6a b c d已知行列式x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3解：理由上述性质，A11,A12,A13,A14与第2，3，4各行元素乘积之和等于0，得方程组：-9x-3+y+3z+3=0 -9x+y+3z=0-9-3z-x-3+3y=0 -x+3y-3z=12-9y+18+3x+3z+9=0 3x-9y+3z=-27-9 1 3 0-1 3 -3 123 -9 3 -27-1 3 -3 120 0 -6 60 -26 12 -9-1 -3 0 -90 -26 0 -780 0 1 -11 0 0 00 1 0 30 0 1 -1解得x=0,y=3,z=-1.三.其它性质3．把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .4．作第一类初等变换, 行列式的值变号.5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c.问题：|c A|=?c|A|;|c||A|; c n|A|;|c|n|A|;6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ所得到的行列式.例如|α，β1+β2，γ|=|α，β1，γ|+|α，β2，γ|.问题：|A+B |=|A|+|B |?解：设A，B都是4阶矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，B =(β1，β2，β3，β4)，则A+B =(α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4)|A+B|=|α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|=|α1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|+|β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|=…=…|A+B|可分解为16个行列式之和，它们的各列都有两个可能：αi 或βi .例7 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 , γ3),B =(β,γ1, γ2 , γ3),|A| =2, |B |=3 ,求|A+B | .解：A+B=(α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3),|A+B |=|α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3|=8|α+β, γ1, γ2 , γ3|=8|α, γ1, γ2 , γ3|+8|β, γ1,γ2 ,γ3|=40.7．如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.拉普拉斯公式的一个特殊情形：如果A与B都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B* B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a1a2 a3 …a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.四.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A 为n 阶矩阵)时.|A |≠0⇒方程组有唯一解.此解为 (D 1/|A |, D 2/|A |,⋯,D n /|A |)T ,D i 是把|A |的第i 个列向量换成常数列向量β所得到的行列式.1. |A |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件.(A |β)→(B |γ )问题:|A |=|B |？|A |≠0⇔|B |≠0.于是只用说明|B |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件.b 11 * * … *(B |γ )= 0 b 22 * … * γ… … … …0 0 0 …b nn2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η ), η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.例 7 设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.1 1 1 a+b+c 1 1 1 a+b+c(A|β)= a b c a2+b2+c20 b-a c-a b(b-a)+c(c-a)bc ac ab 3abc 0 c(a-b) b(a-c) 2abc-b2c-b2c1 1 1 a+b+c 1 1 0 a+b→0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a) →0 b-a 0 b(b-a)0 0 (c-a)(c-b) c(c-a)(c-b) 0 0 1 c1 0 0 a→0 1 0 b0 0 1 c例8O A =( ).其中A是k阶矩阵, B是h阶矩阵。