线性代数第五章第四节

造矩阵
P ( p 1 , 1 , 1 p , 2 p 1 n 1 ,2 , p 2 , 1 p , 2 p 2 n 2 , , p s 1 ,s 2 , p ,s s ) p n
Λ di λ a 1, g , λ 1,( λ 2, , λ2, , λ s, , λs),
n 1
角 矩 阵 矩= 阵d iaPg (,使1 , P··-·1,APn ) =相似, 其 ， 中 从 而 是A -以 AE 的 n 个 特 征 与 - E值=为d i对a g角( 元1 -素 的, ··对·, 角 n矩- 阵) .相 似 . 当 是 A 的 k 重 特 征 值 时 ， 1 , ···, n 这 n 个 特 征 值中有 k 个等于 ，有 n – k 个不等于 ，从
n 2
n s
则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = . 要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线
上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
而 对 角 阵 - E 的 对 角 元 恰 有 k 个 等 于 0 ， 于
是 R ( - E ) = n – k . 而 R (A - E ) = R ( - E ),
所 以 R (A - E ) = n – k .
证毕
三、对称矩阵对角化的步骤
Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
用 表示 的共轭复数, 用 x 表示 x 的共轭复向量,
则
A x A x ( Ax ) ( x ) x .
于是有
T
x Ax
T
x ( Ax )
xTx
T
xx
,
显然, 当特征值 为实数时, 齐次线性方程组
(A - E)x = 0 是实系数方程组, 由 | A - E | = 0 知必有实的基
而 对 角 阵 - E 的 对 角 元 恰 有 k 个 等 于 0 ， 于
是 R ( - E ) = n – k . 而 R (A - E ) = R ( - E ),
所 以 R (A - E ) = n – k .
证毕
证 明 由 定 理 7 设知A对为称n矩阶阵对 A称与矩对阵 , 则 必 有 正 交
础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量.
定理 6 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特
征值, p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则
p1 , p2 正交.
证 明 由 已 知 有
1p1 = A p1 , 2p2 = A p2 , 1 2 . 因 A 对称,故
1p1T = (1p1)T = (A p1)T = p1TA T = p1TA , 于是
那么，一个 n 阶矩阵到底应具备什么条件 时才能对角化? 这是一个较复杂的问题. 我们对 此不进行一般性的讨论，而仅讨论当 A 为实对称 矩阵的情形.
二、特征值与特征向量的性质
定理 5 对称矩阵的特征值为实数.
定理 5 对称矩阵的特征值为实数. 证明 设复数 为对称矩阵 A 的特征值, 复
向 量 x 为 对 应 的 特 征 向 量 ， 即 Ax = x ， x 0 .
第 四 节 对称矩阵的相似矩阵
主要内容
问题的提出 特征值与特征向量的性质 对称矩阵对角化的步骤 举例
一、问题的提出
上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条 件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个 线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道, 有的 n 阶方阵能找到 n 个线性无关的特征向量, 而有的就不能找到 n 个线性无关的特征向量.
数分别为 n1 , n2 , ···, ns , n1 + n2 + ···+ ns = n.
Step2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0
的基础解系, 设为 p i1,p i2, ,p in i
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 p i1,p i2, ,p in i，以这些向量为列构
1 p1Tp2 = p1TA p2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,
即
(1 - 2 )p1Tp2 = 0 .
但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正 交 .
证毕
源自文库
证 明 由 已 知 有
1p1 = A p1 , 2p2 = A p2 , 1 2 . 因 A 对称,故
用 表示 的共轭复数,
用 x 表示 x 的共轭复向量,
则
A x A x ( Ax ) ( x ) x .
于是有
T
x Ax
T
x ( Ax )
xTx
xTx
,
定理 5 对称矩阵的特征值为实数. 证明 设复数 为对称矩阵 A 的特征值, 复
向 量 x 为 对 应 的 特 征 向 量 ， 即 Ax = x ， x 0 .
1p1T = (1p1)T = (A p1)T = p1TA T = p1TA , 于是
1 p1Tp2 = p1TA p2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,
即
(1 - 2 )p1Tp2 = 0 .
但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正 交 .
证毕
定理 7 设 A 为 n 阶对称矩阵, 则必有正交
矩阵 P , 使 P-1AP = , 其中 是以 A 的 n 个特征
值为对角元素的对角矩阵. 证明略.
推论 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特
征方程的 r 重根, 则矩阵 A - E 的秩 R(A - E) = n - r ,
从而对应的特征值 恰有 r 个线性无关的特征向
量.
证 明 由 定 理 7 设知A对为称n矩阶阵对 A称与矩对阵 , 则 必 有 正 交
角 矩 阵 矩= 阵d iaPg (,使1 , P··-·1,APn ) =相似, 其 ， 中 从 而 是A -以 AE 的 n 个 特 征 与 - E值=为d i对a g角( 元1 -素 的, ··对·, 角 n矩- 阵) .相 似 . 当 是 A 的 k 重 特 征 值 时 ， 1 , ···, n 这 n 个 特 征 值中有 k 个等于 ，有 n – k 个不等于 ，从