线性代数第五章第四节
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《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第四节 对称矩阵的对角化
矩阵因 PA ,对使称P,因-故1AAP 对= 称,,其故中 是以 A 的 n 个特征
值为对角1p1元T =素(的1对p1p)角T1T=矩=(阵A(p.11p)1T)T= =p1(TAApT1)=T p=1TpA1TA, T = p1TA
于是证明从略于.是
1 p1Tp2 = p11TpA1pT2p2==p1pT1(TA2p2 =) =p1T2(p21pTp2 2) ,= 2 p1Tp
的基础解系, 设为 pi1 , pi2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 pi1 , pi2 , , pini ，以这些向量为列构
造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
1
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式
3 2 0
|A E| 2 2 2
0 2 1
例 18
设
A
A0101010111
1 1,
,
1 1 1 1 00
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
方法评单注击这里求特征多项式
角矩阵 矩=角阵di矩aPg阵(,使1,矩P·=·-·阵1d,AiaPPng)=(,相使1似,,P··其，-·1,A中从Pn而)=相是A似-以 , 其，AE中从的而n是A个-以 与 - E值=与为di对ag角-(元1E-值素=为的d, i·对·a对·g,角(角n元1矩-素阵)的,.相··对·似, 角.n矩-当阵).相似. 当 是 A 的 k 重是特A征的值时 k 重，特1征, ·值··,时n，这1n, 个···特, 征n 这 n 个特
同济大学线性代数第五章
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向
量单位化；(4)最后正交化．
思考题
设 n 阶实对 A 满A 称 2 足 A ,矩 且 A 的 阵 秩 r, 为
试求d行 e 2E t 列 A 的 式 . 值
思考题解答
解由 A 2A 可A 的 得特1或 征 0,又 值 A 是为 实对
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设 复 为数 对 A 的 称特 矩 ,复 征 阵 x 向 为 值 量
对应的 , 特征向量
即A x ,x 0 .
用 表示 的 共轭复数 ,x表x示 的 共轭复向量 ,
则 AxAx A x x x .
1. 求A的特征值;
2. 由 A iE x0 ,求 A 的 出特 ;征
3. 将特征向量正交化;
4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A的特征值
A 对 ,A 称 A T ,
1 p 1 T 1 p 1 T A 1 T p p1TA Tp1TA ,
于是 1 p 1 T p 2 p 1 T A 2 p 1 p T 2 p 2 2 p1Tp2, 1 2 p 1 T p 2 0 .
12,p1Tp20. 即p1与p2正交 .
对 2 1 , 由 A E x 0 , 得
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
量单位化；(4)最后正交化．
思考题
设 n 阶实对 A 满A 称 2 足 A ,矩 且 A 的 阵 秩 r, 为
试求d行 e 2E t 列 A 的 式 . 值
思考题解答
解由 A 2A 可A 的 得特1或 征 0,又 值 A 是为 实对
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设 复 为数 对 A 的 称特 矩 ,复 征 阵 x 向 为 值 量
对应的 , 特征向量
即A x ,x 0 .
用 表示 的 共轭复数 ,x表x示 的 共轭复向量 ,
则 AxAx A x x x .
1. 求A的特征值;
2. 由 A iE x0 ,求 A 的 出特 ;征
3. 将特征向量正交化;
4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A的特征值
A 对 ,A 称 A T ,
1 p 1 T 1 p 1 T A 1 T p p1TA Tp1TA ,
于是 1 p 1 T p 2 p 1 T A 2 p 1 p T 2 p 2 2 p1Tp2, 1 2 p 1 T p 2 0 .
12,p1Tp20. 即p1与p2正交 .
对 2 1 , 由 A E x 0 , 得
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
线性代数四五章知识点总结
线性代数四五章知识点总结第四章：行列式1. 行列式的定义行列式是一个数学工具，它可以用来表示一个线性变换对体积的放大倍数。
对于一个n阶（n行n列）的方阵A，它的行列式记作det(A)，行列式的元素通常用aij表示，其中i代表行号，j代表列号。
2. 行列式的性质（1）行列式中的行（列）互换，则行列式变号。
（2）行列式的某一行（列）乘以一个数k，那么行列式的值也要乘以k。
（3）行列式中的某一行（列）的元素都是两个数的和，那么行列式等于两个行列式的和。
（4）若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为0。
3. 行列式的计算（1）余子式和代数余子式对于一个n阶行列式A，如果去掉第i行和第j列的元素后，剩下来的(n-1)阶行列式就是A的余子式，用Mij表示。
而对应的代数余子式就是Mij乘上(-1)^(i+j)。
（2）拉普拉斯（Laplace）展开定理通过代数余子式的计算，可以利用拉普拉斯展开定理来计算n阶行列式的值。
即对于一个n阶行列式A，其中的元素aij乘以对应的代数余子式Mij后相加，即可得到行列式的值。
第五章：特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的概念对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么λ称为A 的特征值，x称为A对应于特征值λ的特征向量。
2. 特征值和特征向量的计算寻找一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A-λI)x=0来得到。
其中A是待求矩阵，λ是特征值，x是特征向量，I是单位矩阵。
3. 特征值和特征向量的性质（1）特征值的性质：一个n阶方阵A的n个特征值之和等于它的主对角线元素之和，即Tr(A)=λ1+λ2+...+λn。
（2）特征向量的性质：如果A有n个不同的特征值λ1,λ2,...,λn，那么这n个特征值对应的n个特征向量是线性无关的。
4. 特征值与对角化如果一个n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以将它对角化成对角阵D，即找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D。
线性代数同济六版共五章全课件-PPT
b11 b12 b1n
D1
b21
b22
b2 n
,
bn1 bn2 bnn
其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip ,
于是
D (1) 1
t(
pppp )
1
i
j
n
b1
p1
bipi
bjpj
bnpn
(1)
t(
经对换1与4 得排列 53412
求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
t(53412) = 0+1+1+3+3=8
练习
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
2. a14a21a33a44和a12a43a31a24是否为四阶行列式中项 的，
易知，向量组与它的最4大无关组是等价的.
m×s s×n m×n
例 7 向量组
例5 n 阶行列式 我们也可以证明，如果把矩阵 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行
为矩阵 A 的秩，矩阵 A 的秩记成 R(A).
假设 r > s, 看齐次线性方程组
一般来说，向量组的最大无关组不是唯一的.
若 x1 = c1 , x2 = c2 , ……, xn = cn 是 ⑴ 的解，记1
一元一次方程 ax = b
一元二次方程 二元 、三元线性方程组
行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量
第一章 行列式
线性代数第五章
定义
综上所述: 对于给定的 n 阶实方阵 A (aij )nn ，求它的特征值就是求它的特征方程的 n 个根． 对于任意取定一个特征值 0 ，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组 (0En A)x 0 的所有非零解． 注意：虽然零向量也是 (0En A)x 0 的解，但 0 不是 A 的特征向量．
证明：先用归纳法证明，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ． 当 k 1时，显然有 Ap p ．假设 Ak p k p 成立，则必有
Ak1 p A(Ak p) A(k p) k Ap k1 p ． 因此，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
Ap A(k1 p1 k2 p2 ) k1Ap1 k2 Ap2 0 (k1 p1 k2 p2 ) 0 p ． 由此可见， A 的属于同一个特征值 0 的若干个特征向量的任意非零线性组合必是 A 的 属于特征值 0 的特征向量．
5.1.1 特征值与特征向量的定义
例题
例3
设
A
1 2
2 4
0 1
1
0 1
．
这说明 A 和 A 属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
定理 2 设 1 ，2 ，L ，n 是 n 阶方阵 A (aij )nn 的全体特征值，则必有
n
n
n
i aii tr(A) ， i | A | ．
i 1
i 1
i 1
例6
求
A
0 1
1
0
的特征值和特征向量．
解：特征方程
| E2 A |
1
1 2 1 0
的两个根为 1 i ，2 i ，这里， i 1 是纯虚数．
综上所述: 对于给定的 n 阶实方阵 A (aij )nn ，求它的特征值就是求它的特征方程的 n 个根． 对于任意取定一个特征值 0 ，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组 (0En A)x 0 的所有非零解． 注意：虽然零向量也是 (0En A)x 0 的解，但 0 不是 A 的特征向量．
证明：先用归纳法证明，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ． 当 k 1时，显然有 Ap p ．假设 Ak p k p 成立，则必有
Ak1 p A(Ak p) A(k p) k Ap k1 p ． 因此，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
Ap A(k1 p1 k2 p2 ) k1Ap1 k2 Ap2 0 (k1 p1 k2 p2 ) 0 p ． 由此可见， A 的属于同一个特征值 0 的若干个特征向量的任意非零线性组合必是 A 的 属于特征值 0 的特征向量．
5.1.1 特征值与特征向量的定义
例题
例3
设
A
1 2
2 4
0 1
1
0 1
．
这说明 A 和 A 属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
定理 2 设 1 ，2 ，L ，n 是 n 阶方阵 A (aij )nn 的全体特征值，则必有
n
n
n
i aii tr(A) ， i | A | ．
i 1
i 1
i 1
例6
求
A
0 1
1
0
的特征值和特征向量．
解：特征方程
| E2 A |
1
1 2 1 0
的两个根为 1 i ，2 i ，这里， i 1 是纯虚数．
线性代数第五章
１．内积 ２．向量旳范数 ３．许瓦兹不等式
x x1 , x2 , , xn T , y y1 , y2 , , yn T
称 xT y x1 y1 x2 y2 xn yn
为向量 x与 y 旳内积，记为 x , y．
2
内积满足下列运算规律：
⑴ x, y y, x
⑵ kx , y kx ,y
15
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵
1.正交矩阵 2.正交变换
定义５．２ 假如 n阶方阵 A 满足AT A I
则称 A 为正交矩阵．
定理５．３ 假如 A , B均为 n 阶正交矩阵，
那么：⑴ A1 AT
⑵ AT 即 A1 为正交矩阵
⑶
1 2
A A
A A
为
2n
阶正交矩阵
⑷ AB，BA 都是正交矩阵
8
定理5．２ 若 1 , 2 , , r为 n 维正交向
量组，且 r n ，则必有非零 n 维向量 x ， 使 x 与 1 , 2 , , r 两两正交．
推论：对 rr n个两两正交旳 n 维非零向量，总
能够添上 n r个 n 维非零向量，使 n 个向
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空
第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵旳特征值与特征向量 第三讲 相同矩阵与实对称矩阵旳对角化 第四讲 二次型及其原则形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课
1
第一讲 正交向量组与正交矩阵
一．向量旳内积与许瓦兹
（Schwarz）不等式
１．内积
内积定义：对 n维列向量
19
第二讲 方阵旳特征值和特征向量
1.定义
第5章_线性代数PPT课件
9/16
2、符号矩阵的其他运算 (1)转置运算：transpose >> B=sym('[a,b;c,d]'); >> B' [ conj(a), conj(c)] [ conj(b), conj(d)]
>> transpose(B) [ a, c] [ b, d]
10/16
(2)行列式运算：det(A) (3)求逆运算：inv(A)或A^(-1) (4)求秩运算：rank(A) (5)求特征值运算：[V,D]=eig(A) >> A=sym('[1,2;3,4]') >> eig(A)
(7)约当标准型运算：[B,C]=jordan(A)
12/16
3、符号代数线性方程(组)的求解 例：求解方程ax2 bx c 0。
>> f='a*x^2+b*x+c'; >> solve(f) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
8/16
四、符号矩阵运算
1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：
+、－、*、.*、/、./、\、.\、^、.^实现。
>> B=sym('[a,b;c,d]'); >> C=sym('[x,y;z,w]'); >> B*C ans = [ a*x+b*z, a*y+b*w] [ c*x+d*z, c*y+d*w]
7 10 A * A 15 22
2、符号矩阵的其他运算 (1)转置运算：transpose >> B=sym('[a,b;c,d]'); >> B' [ conj(a), conj(c)] [ conj(b), conj(d)]
>> transpose(B) [ a, c] [ b, d]
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(2)行列式运算：det(A) (3)求逆运算：inv(A)或A^(-1) (4)求秩运算：rank(A) (5)求特征值运算：[V,D]=eig(A) >> A=sym('[1,2;3,4]') >> eig(A)
(7)约当标准型运算：[B,C]=jordan(A)
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3、符号代数线性方程(组)的求解 例：求解方程ax2 bx c 0。
>> f='a*x^2+b*x+c'; >> solve(f) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
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四、符号矩阵运算
1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：
+、－、*、.*、/、./、\、.\、^、.^实现。
>> B=sym('[a,b;c,d]'); >> C=sym('[x,y;z,w]'); >> B*C ans = [ a*x+b*z, a*y+b*w] [ c*x+d*z, c*y+d*w]
7 10 A * A 15 22
线性代数第五章
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
3、向量空间与基
向量空间的定义 :设V为n维向量的集合, 且V非空, 若集合V对 于向量的加法和数乘封闭： a, b V , k R,有
a b V , ka V , 则称集合V为向量空间. 向量空间中的一个最大无关组称为该向量空间的一个基. 如：
Rn : n 维实向量空间.
Rn中任意n个线性无关的向量组均可作为 Rn 的一组基.
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
可求得向量在标准正交基下的坐标. 因此，在给向量空间取 基时常常取标准正交基.
问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
4、求标准正交基的方法 基 正交基 标准正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程
, ,
ar b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 , ar ] [br1 , br1 ]
br
1
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
线性代数(同济大学第五版)第五章
十、化二次型为标准形
定理1: 任给可逆矩阵C, 令B=CTAC(A与B为合同 矩阵), 如果A为对称矩阵, 则B也为对称矩阵. 说明1: 若A与B是合同矩阵，则： 1.正(负，零） 特征值的个数相同，2.具有相同的秩. 说明2: 二次型 f 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B=CTAC; 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, ·, n ; · · 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, ·, n ; · · 4. 记P=(1, 2, ·, n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 · · 标准形: f = 1y12+2y22+·+nyn2 . · ·
十二、正定二次型
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定 二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵; 如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定 二次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 概念：正惯性指数，负惯性指数 推论: 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特 征值全为正. 定理3(霍尔维茨定理): (1)对称矩阵A为正定的充 分必要条件是A的各阶主子式为正, 即
七、相似矩阵
P-1AP = B 定理1: 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 推论: 若n阶方阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n ) · · 相似, 则1, 2,·, n 既是A的n个特征值. · · 相似矩阵的性质: 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数). (A)与 (B) 相似 当矩阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n )相似时, · · 则 (A)= P()P-1. 而
线性代数课件(高教版)5-4
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
二、 正交向量组 １ 正交的概念
当[ x, y] 0时, 称向量x与 y正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交. ２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
例 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
[b1,a2 ] [b1 , b1 ]
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 单位正交向量组 （单位正交组，标准正交组，规范正交组）
正交向量组的每个向量都是单位向量，称其为 单位正交向量组。
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
正交矩阵的性质
（1）若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 （2）若A和B都是正交阵 则AB也是正交阵； （3）若A为正交阵 则-A也是正交阵。
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y Px 称为正
交变换．
四、 共轭矩阵
定义 矩阵A的每一个元素都取它的共轭复 数得到的矩阵称为A的共轭矩 Nhomakorabea，记为 A
§5.4 正交矩阵
一、实向量内积与长度
定义 设有n 维向量
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
二、 正交向量组 １ 正交的概念
当[ x, y] 0时, 称向量x与 y正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交. ２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
例 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
[b1,a2 ] [b1 , b1 ]
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 单位正交向量组 （单位正交组，标准正交组，规范正交组）
正交向量组的每个向量都是单位向量，称其为 单位正交向量组。
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
正交矩阵的性质
（1）若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 （2）若A和B都是正交阵 则AB也是正交阵； （3）若A为正交阵 则-A也是正交阵。
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y Px 称为正
交变换．
四、 共轭矩阵
定义 矩阵A的每一个元素都取它的共轭复 数得到的矩阵称为A的共轭矩 Nhomakorabea，记为 A
§5.4 正交矩阵
一、实向量内积与长度
定义 设有n 维向量
线性代数第5章
（1）λ0 是 A 的一个特征值 ⇔ λ0 是 A 的特征方程 λ I − A =0 的一个根，
（2）ξ 是 A 的属于特征值 λ0 的特征向量 ⇔ ξ 是 齐次线性方程组 (λ0I − A)X = 0 的一个非零解.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
如何求矩阵 A 属于特征值 λi 的全部特征向量？ (λi E − A)X = 0
先求出齐次线性方程组 (λi E − A)X = 0 的一个基础 解系，不妨设为η1,η2 ,,ηn−ri，其= 中 ri r(λi E − A). 所以 A的属于特征值 λi 的全部特征向量可表示为
X = k1η1 + k2η2 + + η k ， n−ri n−ri
其中 k1, k2 ,, kn−ri 为任意一组不全为零的常数. 特征子空间Vλ（i 包含零向量）---解空间
所以 A 的特征值为 λ1 = −7，λ2 = λ3 = 2 (二重根).
(2) 对于每个不同的特征值，求特征向量.
对于 λ1 =−7，解齐次线性方程组 (−7E − A)X =0
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
−8 2 −2 −2 −4 −5
(−7E − A=)
A
λi
2
−
λi
−
1 即为
( A* )2
−
A
−
E
的特征值，
即 − 2，2，4.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
例 若n阶矩阵A满足A2 = 4A,证明：矩阵A的 特征值只能是0或者4.
第二节 相似矩阵
线性代数
第五章 相似矩阵和矩阵的对角化
（2）ξ 是 A 的属于特征值 λ0 的特征向量 ⇔ ξ 是 齐次线性方程组 (λ0I − A)X = 0 的一个非零解.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
如何求矩阵 A 属于特征值 λi 的全部特征向量？ (λi E − A)X = 0
先求出齐次线性方程组 (λi E − A)X = 0 的一个基础 解系，不妨设为η1,η2 ,,ηn−ri，其= 中 ri r(λi E − A). 所以 A的属于特征值 λi 的全部特征向量可表示为
X = k1η1 + k2η2 + + η k ， n−ri n−ri
其中 k1, k2 ,, kn−ri 为任意一组不全为零的常数. 特征子空间Vλ（i 包含零向量）---解空间
所以 A 的特征值为 λ1 = −7，λ2 = λ3 = 2 (二重根).
(2) 对于每个不同的特征值，求特征向量.
对于 λ1 =−7，解齐次线性方程组 (−7E − A)X =0
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
−8 2 −2 −2 −4 −5
(−7E − A=)
A
λi
2
−
λi
−
1 即为
( A* )2
−
A
−
E
的特征值，
即 − 2，2，4.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
例 若n阶矩阵A满足A2 = 4A,证明：矩阵A的 特征值只能是0或者4.
第二节 相似矩阵
线性代数
第五章 相似矩阵和矩阵的对角化
《线性代数》第四节子矩阵
AB = I 可被等价地写成
Abi = ei ，i=1 , 2 , … , n 这样，求 A 的逆矩阵 B (即 A-1) 的问题被归结成
解 n 个具有相同系数矩阵 A 的线性代数方程组， 第 i 个方程组的自由项向量 ei 为 n 阶单位阵的 第 i 个列向量，这是除第 i 个元为 1 其余皆为 0
这是自 A的左上角起直到其自身的一类方子矩阵.
例如对于矩阵
1 3 7 A 3 4 2
7 2 0
则它的所有的 3 个前主子矩阵为
A[1] 1
,
A[2]
1 3
3 4
,
A[3] A
一般地说，凡对角线元全为 A 对角线元的子
矩阵，称为 A 的主子矩阵， 如
1 7
7 0
,
4 2
2 0
就是 A 的另外两个 2 阶主子矩阵.
a22
a1n
a2n
a1
a
2
am1
am2
amn
a
m
其中带上标的小写黑体字母表示行向量， 如
a i 是 A 的第 i 行， a i [ai1 ai 2 ain ] .
利用矩阵按列与按行分块、分块运算法及 1 阶矩阵作其元（即数字）对峙，可对重要的矩阵
乘法及正交矩阵概念分别作些解释.
（1）行数等于列数（即矩阵为方阵）； （2）每列元的平方和为 1； （3）相异列对应元的乘积之和都是 0 . 通过对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方
程组
Ax = b
( 2-12′)
写成
x1
a1
a2
an
x2
b
.
xn
a2n xn b2
xx 22 a m n从 xn而得xaba到11ma2n（1nxxn2n-x122a）b2b12的向x量na形n 式b：
Abi = ei ，i=1 , 2 , … , n 这样，求 A 的逆矩阵 B (即 A-1) 的问题被归结成
解 n 个具有相同系数矩阵 A 的线性代数方程组， 第 i 个方程组的自由项向量 ei 为 n 阶单位阵的 第 i 个列向量，这是除第 i 个元为 1 其余皆为 0
这是自 A的左上角起直到其自身的一类方子矩阵.
例如对于矩阵
1 3 7 A 3 4 2
7 2 0
则它的所有的 3 个前主子矩阵为
A[1] 1
,
A[2]
1 3
3 4
,
A[3] A
一般地说，凡对角线元全为 A 对角线元的子
矩阵，称为 A 的主子矩阵， 如
1 7
7 0
,
4 2
2 0
就是 A 的另外两个 2 阶主子矩阵.
a22
a1n
a2n
a1
a
2
am1
am2
amn
a
m
其中带上标的小写黑体字母表示行向量， 如
a i 是 A 的第 i 行， a i [ai1 ai 2 ain ] .
利用矩阵按列与按行分块、分块运算法及 1 阶矩阵作其元（即数字）对峙，可对重要的矩阵
乘法及正交矩阵概念分别作些解释.
（1）行数等于列数（即矩阵为方阵）； （2）每列元的平方和为 1； （3）相异列对应元的乘积之和都是 0 . 通过对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方
程组
Ax = b
( 2-12′)
写成
x1
a1
a2
an
x2
b
.
xn
a2n xn b2
xx 22 a m n从 xn而得xaba到11ma2n（1nxxn2n-x122a）b2b12的向x量na形n 式b：
线性代数第5章课件资料
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
(2) [x, y] = (-2) 3 1(-6) 0 8 3 4 = 0
若x, y, z为n维实向量, 为实数,内积的性质为：
(i) [ x, y] = [ y, x],
(ii) [ x, y] = [ x, y],
(iii) [ x y, z] = [x, z] [ y, z]. (iiii) [ x, x] 0,当且仅当x = 0时, [ x, x] = 0.
(1)式也可写成 (A- E) x = 0 (2)
a11 - a12
a1n
行列式 f ( ) = A - E = a21 a22 -
a2n
an1
an2
称为方阵 A 的特征多项式.
ann -
方程 f ( ) = A - E = 0是以为未知数的一元
n次方程,称为n 阶矩阵A的特征方程。
显然, A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复 数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算), 因此,n 阶方阵有 n 个特征值.
1
1
正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2 , a3两两正交。
解记
A=
α1' a2'
=
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
(2) [x, y] = (-2) 3 1(-6) 0 8 3 4 = 0
若x, y, z为n维实向量, 为实数,内积的性质为：
(i) [ x, y] = [ y, x],
(ii) [ x, y] = [ x, y],
(iii) [ x y, z] = [x, z] [ y, z]. (iiii) [ x, x] 0,当且仅当x = 0时, [ x, x] = 0.
(1)式也可写成 (A- E) x = 0 (2)
a11 - a12
a1n
行列式 f ( ) = A - E = a21 a22 -
a2n
an1
an2
称为方阵 A 的特征多项式.
ann -
方程 f ( ) = A - E = 0是以为未知数的一元
n次方程,称为n 阶矩阵A的特征方程。
显然, A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复 数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算), 因此,n 阶方阵有 n 个特征值.
1
1
正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2 , a3两两正交。
解记
A=
α1' a2'
=
线性代数 第五章 第4节
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返回
4a 1 T 从而有P AP P AP
0 . 0 0
上页
返回Leabharlann 1 0 0 1 1 . 2 1 2
2 1 T 从而有P AP P AP 4 . 4
上页 下页 返回
1 P 综上所述，求正交矩阵P ，使 AP 成为对角矩阵
的具体步骤如下：
(1).求A 的特征值； (2).求A 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量； (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单 特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征 向量； (4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化，得到 n 个两两 正交的单位特征向量； (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的 正交矩阵，且有 P 1 AP .
0 0 1 得基础解系 1 1 , 单位化后可得 p1 . 2 1 1 2
上页 下页 返回
当 2 3 4时, 解方程组( A 4 E ) x 0,由 0 0 1 1 0 0 A 4 E 0 1 1 ~ 0 0 0 , 0 1 1 0 0 0 1 0 得基础解系 2 0 , 3 1 , 此时 2与 3正好正交, 0 1
1 单位化后可得 p2 0 , p3 0 0 1 . 2 1 2
上页 下页
返回
0 1 于是得正交阵 P ( p1 , p2 , p3 ) 2 1 2
P AP P AP .
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矩阵 P , 使 P-1AP = , 其中 是以 A 的 n 个特征
值为对角元素的对角矩阵. 证明略.
推论 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特
征方程的 r 重根, 则矩阵 A - E 的秩 R(A - E) = n - r ,
从而对应的特征值 恰有 r 个线性无关的特征向
量.
证 明 由 定 理 7 设知A对为称n矩阶阵对 A称与矩对阵 , 则 必 有 正 交
础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量.
定理 6 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特
征值, p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则
p1 , p2 正交.
证 明 由 已 知 有
1p1 = A p1 , 2p2 = A p2 , 1 2 . 因 A 对称,故
1p1T = (1p1)T = (A p1)T = p1TA T = p1TA , 于是
数分别为 n1 , n2 , ···, ns , n1 + n2 + ···+ ns = n.
Step2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0
的基础解系, 设为 p i1,p i2, ,p in i
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 p i1,p i2, ,p in i，以这些向量为列构
用 表示 的共轭复数, 用 x 表示 x 的共轭复向量,
则
A x A x ( Ax ) ( x ) x .
于是有
T
x Ax
T
x ( Ax )
xTx
T
xx
,
显然, 当特征值 为实数时, 齐次线性方程组
(A - E)x = 0 是实系数方程组, 由 | A - E | = 0 知必有实的基
而 对 角 阵 - E 的 对 角 元 恰 有 k 个 等 于 0 ， 于
是 R ( - E ) = n – k . 而 R (A - E ) = R ( - E ),
所 以 R (A - E ) = n – k .
证毕
三、对称矩阵对角化的步骤
Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
那么，一个 n 阶矩阵到底应具备什么条件 时才能对角化? 这是一个较复杂的问题. 我们对 此不进行一般性的讨论，而仅讨论当 A 为实对称 矩阵的情形.
二、特征值与特征向量的性质
定理 5 对称矩阵的特征值为实数.
定理 5 对称矩阵的特征值为实数. 证明 设复数 为对称矩阵 A 的特征值, 复
向 量 x 为 对 应 的 特 征 向 量 ， 即 Ax = x ， x 0 .
角 矩 阵 矩= 阵d iaPg (,使1 , P··-·1,APn ) =相似, 其 ， 中 从 而 是A -以 AE 的 n 个 特 征 与 - E值=为d i对a g角( 元1 -素 的, ··对·, 角 n矩- 阵) .相 似 . 当 是 A 的 k 重 特 征 值 时 ， 1 , ···, n 这 n 个 特 征 值中有 k 个等于 ，有 n – k 个不等于 ，从
n 2
n s
则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = . 要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线
上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
造矩阵
P ( p 1 , 1 , 1 p , 2 p 1 n 1 ,2 , p 2 , 1 p , 2 p 2 n 2 , , p s 1 ,s 2 , p ,s s ) p n
Λ di λ a 1, g , λ 1,( λ 2, , λ2, , λ s, , λs),
n 1
1p1T = (1p1)T = (A p1)T = p1TA T = p1TA , 于是
1 p1Tp2 = p1TA p2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,
即
(1 - 2 )p1Tp2 = 0 .
但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正 交 .
证毕
定理 7 设 A 为 n 阶对称矩阵, 则必有正交
角 矩 阵 矩= 阵d iaPg (,使1 , P··-·1,APn ) =相似, 其 ， 中 从 而 是A -以 AE 的 n 个 特 征 与 - E值=为d i对a g角( 元1 -素 的, ··对·, 角 n矩- 阵) .相 似 . 当 是 A 的 k 重 特 征 值 时 ， 1 , ···, n 这 n 个 特 征 值中有 k 个等于 ，有 n – k 个不等于 ，从
1 p1Tp2 = p1TA p2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,
即
(1 - 2 )p1Tp2 = 0 .
但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正 交 .
证毕
证 明 由 已 知 有
1p1 = A p1 , 2p2 = A p2 , 1 2 . 因 A 对称,故
第 四 节 对称矩阵的相似矩阵
主要内容
问题的提出 特征值与特征向量的性质 对称矩阵对角化的步骤 举例
一、问题的提出
上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条 件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个 线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道, 有的 n 阶方阵能找到 n 个线性无关的特征向量, 而有的就不能找到 n 个线性无关的特征向量.
用 表示 的共轭复数,
用 x 表示 x 的共轭复向量,
则
A x A x ( Ax ) ( x ) x .
于是有
T
x Ax
T
x ( Ax )
xTx
xTx
,
定理 5 对称矩阵的特征值为实数. 证明 设复数 为对称矩阵 A 的特征值, 复
向 量 x 为 对 应 的 特 征 向 量 ， 即 Ax = x ， x 0 .
而 对 角 阵 - E 的 对 角 元 恰 有 k 个 等 于 0 ， 于
是 R ( - E ) = n – k . 而 R (A - E ) = R ( - E ),
所 以 R (A - E ) = n – k .
证毕
证 明 由 定 理 7 设知A对为称n矩阶阵对 A称与矩对阵 , 则 必 有 正 交