第7讲学生一元二次方程(1)

初中奥数培训讲义

第7 讲一元二次方程

徐老师

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( 知识点和常用方法补充

1. 一元二次方程

方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 称为一元二次方程．其基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．

2. 一元二次方程的求根公式

2 x 1,2 = , b - 4ac ≥ 0 2a

对于方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) ， ∆ = b 2 - 4ac 称为该方程的根的判别式。当 ∆ > 0 时，方程有两个不相等的实数根，即 x 1,2 = ；当∆ > 0时，方 2a

程有两个相等的实数根，即 x = x = -b ；当∆ > 0时，方程无实数根。

1 2 2a 3. 一元二次方程的根与系数关系

若一元二次方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 的两个实根为 x 、x ，则 x + x = - b ，

x 1 ⋅ x 2 = c 。 a

1 2 1 2 a 上述结论即为一元二次方程根与系数的关系，又称韦达（Vieta ）定理。 事实上，若ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 有两根 x 、 x ，则 1 2

ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x )= ax 2 - a (x + x )x + ax x ，比较等式两边的系数，

⎧x + x = - b ⎪ 1 2 a

b c 得⎨ ⎪x x = c 。反过来，若两数 x 1 、x 2 满足 x 1 + x 2 = - a 、x 1 ⋅ x 2 = a ，则 x 1 、x 2 ⎩

⎪ 1 2 a

必为方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 的两根。

典型例题

例 1. 解关于 x 的方程： x 2 - (p 2 + q 2 )x + pq ( p + q )( p - q ) = 0

-b

-b ±)

例2. 已知首项系数不相等的两个方程：(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a，b 为正整数)有一个公共根.求a，b 的值.

例 3. 已知方程(2000 x)2 - 2001⨯1999 x -1 = 0 的较大根为α ，方程x2 +1998x -1999 = 0 的较小根为β，求α-β的值．

例4. 解方程：x2 - 3 | x | -4 = 0 ．

例5. 已知a，b 为正整数，关于x 的方程x2 - 2ax +b = 0 的两个实数根为x ，x ，

1 2关于 y 的方程 y

2 + 2ay +b = 0 的两个实数根为 y ，y ，且满足 x y -x y = 2008 。

1 2 1 1 2 2

求b 的最小值．

例6 求方程x +y =x2 -xy +y 2 + 1的实数解。

例7 解关于x 的方程：(m -1)x2 + (2m -1)x +m - 3 = 0 ．

例8. 解关于x 的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．

例9. 求k 的值，使得两个一元二次方程x2 +kx -1 = 0 ，x2 +x + (k - 2) = 0 有相同的根，并求两个方程的根．

例10. 若k 为正整数，且关于x 的方程(k 2 -1)x2 - 6(3k -1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根，求k 的值．

例11. 关于x 的一元二次方程x2 - 5x =m2 -1 有实根α和β，且|α| + | β|≤ 6 ，确定m 的取值范围．

例 12. 设实数a ， b 满足19a2 + 99a +1 = 0 ,

b2 + 99b +19 = 0 ，且ab ≠ 1 . 求

ab + 4a +1

的值.

b

例13. 设a，b，c 为△ABC 的三边，且二次三项式x2 + 2ax +b2 与x2 + 2cx -b2 有一次公因式，证明：△ABC 一定是直角三角形．

例14. 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．

例15. 若实数x，y 满足x3 +y3 +1 (x +y )=15 ，则x +y 的最大值为．

4 2

例16. 设a，b，c，d为四个不同的实数，若a，b为方程x2 - 10cx - 11d = 0 的根，c，d为方程x2 - 10ax - 11b = 0 的根，求a +b +c +d 的值．

例17. 已知三个不同的实数a, b, c 满足 a -b +c = 3 ，方程x 2 +ax + 1 = 0 和x 2 +bx +c = 0 有一个相同的实根，方程x2 +x +a = 0 和x 2 +cx +b = 0 也有一个相同的实根．求a, b, c 的值．

例18. 已知方程x2 - 6x - 4n2 - 32n = 0 的根都是整数，求整数n 的值.

例19. 已知a,b 为正整数，关于x 的方程x2 - 2ax +b = 0 的两个实数根为

x 1，x

2

，关于y 的方程y + 2ay +b = 0 的两个实数根为y ，y ，且满足

2

x 1 ⋅y

1

-x

2

⋅y

2

= 2008.求b的最小值.

1 2

⎩ ⎧x 2 + y 2 - xy - 3x + 3 = 0 例 20. 解方程组⎨x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - 2xz - 9 = 0 .

例 21. 已知α, β是方程 x 2 - 2x - 2 = 0 的两根，且α> β，利用根与系数的关系求 2 + 3β2 的值. α

例 22. 已知实数 a ，b ，c 满足a + b + c = 0 ， abc = 2，求| a | + | b | + | c | 的最小值.