水产的养殖与捕捞的数学模型

题目：水产的养殖与捕捞的数学模型

摘要

对于养殖场中虾的养殖和捕捞问题，建立了各量的基本模型。对三种不同情况，应用微分法和规划论，分别建立了相应的微分规划模型、积分规划模型和变分法模型。再应用微分法、变分方法及Maple数学软件进行求解，对不同的情况得出了相应的数值结果。

关键词：虾量;养殖费；养殖策略；捕捞策略；最大利润

㈠问题的提出

本问题来源于广东省超关市某水产养殖场的实际问题。

人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比。而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。

现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：①这种虾的自然死亡率为λ，λ=0.05（1/月）；②环境容许的最大虾量为N，N=4

10（斤）；③虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量成正比，比例系数为E。这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的频率分别为0.2、0.5、0.3.而捕捞成本为β，β=0.1(元/斤)；④小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元。试解决以下问题:

1、若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费与该月虾量成正比，比例系数为a, a=0．2(元／斤·月)。试制定捕捞策略(确定E)使虾的月利润最大；

2、若某人承包此养殖场5年，且月养殖费与该月虾量成正比，比例系数为a，又取E=

0．08(1／月)。试制定养殖策略(确定a)，使5年的总利润最大。当初始虾量为10∧3斤，确定获利最大的开始捕捞的月份；

3、若某人承包此养殖场5年，每月按强度E=0．1(1／月)捕捞，试制定养殖策略(确定养殖费)，使5年的总利润最大。

㈡模型的假设

(1)虾群是一个独立的生态群体，且不与其它生物发生竞争；或者虽有竞争，但其影响

限于虾的自然死亡率之内-l2；

(2)虾的捕捞采用固定努力量捕捞，每月的捕捞强度系数E是常量；

(3)虾的销售不成问题，即打捞的虾都能卖出，且价格不变。销售成本费用忽略不计；

(4)用(t)表示养殖场中第t月的虾量(单位：斤)，用Y(t)表示第t月的月养殖费(单

位：)。在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量(t)的增加速度与月养殖费成正比，其比

例系数是的线性减函数：当达到时，此函数为0；当为0时，

此函数为常数。

㈢问题的分析及基本模型

该问题是一个动态变化有约束条件的最优化问题。

在养殖费与月虾量有关的情况下，对第一问，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养

殖费与该月虾量成正比，在满足此条件下用动态平衡原理得出一个关于微分方程的约束条

件，制定出捕捞策略，使虾的月利润最大；对第二问，由于采用了固定努力量的捕捞方式，承 包此养殖场5年，且月养殖费与该月虾量成正比，这样就可建立微分约束的积分规划模型。

给定了一个初始条件后，可用Maple 数学软件求解；对第三问，同样采用固定努力量捕捞，要 制定养殖策略(确定养殖费)，使5年的总利润最大。我们用变分法，把 目标函数与约束条件结合起来，转化为求泛函极值的问题，进而归结为求微分方程组问题，用Maple 数学软件可计算出结果。

基于假设条件及以上分析，我们可以建立以下基本模型：

(1)自然死亡规律：

);)(()(t x dt

t dx λ-= (2)捕捞规律：);)(()(t x E dt t dx = (3)由假设4可设养殖场虾量 (t)的增加速度与月养殖费Y(t)成正比的比例系数函数为：P(x(t))=A —Bx(t)，又由题设条件得：P(x(t))= a(1-N

t x )() (4)在捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量随时间变化的数学

模型为：);()()())(1()(t x E t y N

t x a dt t dx +--=λ (5)设虾的价格是一随机变量ζ ，由题设知：ζ的取值为5、7、

10。其出现的概率分别为：

P(ζ=5)=0．2，P(ζ=7)=0．5，P(ζ=10)=0．3，则ζ的数学期望(平均值) 为：

E ζ =5×0．2+7×0．5十10×0．3=7．5．即虾平均每斤的批发价格为7．5元。记为P 。

㈣ 模型的建立及求解

4．1关于每月虾量相等的最大利润捕捞策略每月的虾量相等

⇔ 0)(=dt t dx ⇔0)()()())(1(=+--t x E t y N

t x a λ 又由题设条件：y(t)=ax(t)。得0)(=dt t dx ⇔0)()1(=+--x E x N

x a λα 舍去）。(0,21=--=x x a E a N

αλα ,1a

E a N x αλα--=为每月虾量相等的养殖场虾量。 每月虾量相等的最大利润捕捞模型为：

λααλαβ-<--=--=a E a

E a N t x t s t ax t Ex p E R ,)(..)

()()()(max 将a E a N t x αλα--=)(代入R(E)中得R(E)=（pE-βE-a ）a

E a N αλα--易得最大值点为：)(2)(21

0βλα-+

-=p a a E 。由已知数据：p=7.5, β=0.1,a=0.2,410,1,05.0===N αλ得到捕捞强度为0885.00≈E （1/月）；

每月养殖场最大虾量为斤）(30750≈--=a

E a N

x αλα；最大月利润R(82.1398)0≈E (元）。 4.2承包五年捕捞强度E=0.08（1/月）的养殖策略及开始捕捞时间

承包五年捕捞强度E=0.08（1/月）的养殖策略的数学模型为： )()()())(1(..)()()(max 60

0t x E t x N t x a dt dx t s dt t x a E pE a R +--=--=⎰λαβ

上述约束条件中微分方程的解为：

t e a EN N aN a E a N t x E a x x x )(000)()

()(------+--=λααλααλα 将上述x(t)带入目标函数R （a ）中，并利用积分公式： )]([1216060213160021333C C l C C l C C C C n n C e

C e t C e dt

+-+=+---⎰ 对R （a ）的解析式关于a 求导，并令

0)(=da

a dR ，再确定R （a ）的最值。 由p=7.5, β=0.1,410,1,05.0===N αλ，E=0.08,应用Maple 数学软件求解得到如下结果：比例系数a ≈0.3006239887（元/月/斤）；养殖场虾量水平x(t)≈5313.91（斤）；5年的最大利润R ≈82398.93829(元)。

当x(0)=1000时将N=10000,α=1,a=0.2774，λ=0.05,x(t)=5313.19代入关系式：

t

e a N aN a a N t x a )(333)10(10)(10)(λααλααλα----+-= 解得t ≈11.3677（月）≈341（天）即当初始虾量为1000斤