七年级数学竞赛题：整体思想

七年级数学竞赛题：整体思想

解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较简单的问题，然后再分而治之，各个击破，与分解、分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体人手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题的方向的策略，在整体思想的指导下，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径有： 1．整体观察； 2．整体设元； 3．整体代入； 4．整体求和； 5．整体求积等．

例1某市抽样调查了1000户家庭的年收人，其中年收入最高的只有一户，是88000元；由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收人比实际平均年收入值高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是 ．

(北京市竞赛题)

解题思路有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分步求出每个未知量，不妨从整体消元人手．

例2设a 、b 、c 是不全相等的任意数，若x=a 2一bc ，y=b 2－ac ， z=c 2

--ab ，则x 、y 、z 中( )．

(全国初中数学联赛试题)

(A)都不小于零 (B)都不大于零

(C)至少有一个小于零 (D)至少有一个大于零

解题思路由于a 、b 、c 的任意性，若孤立地考虑x 、y 、z ，则很难把握x 、y 、z 的正负性，考虑整体求出x+y ＋z 的值：

例3 如果a 满足等式2a 2

+3a 一1=0，试求1

31

593322345-+-+++a a a a a a 的值.

(天津市竞赛题)

解题思路就目前不能求出口的值，寻求待求式分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代人求值．

例4已知1x ，2x ，3x ，…，n x 都是+1或一1，并且

1

143

3221x x x x x x x x x x n n n +++++- =0， 求证：n 是4的倍数．

解题思路可以分两步，先证n 是偶数2是，再证明走是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发．

例5如图，将1，2，3，4，5．6，7，8，9，10这十个数分别填人图 中的十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一I

个整数M ，求M 的最小值并完成你的填图． (第十三届北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路设满足已知条件填的数依次为

1021,,,a a a ，依题意可得到含M 的多个不等

式，孤立地不能求出M 值，从整体考虑作为解题的突破口．

1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC，其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码译成式子是 .

2．一个六位数2abcde 的3倍等于abcde9，则这个六位数是 3．角α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算

15

1

·(α+β＋γ)的值时，全班得23．5°，24．5°，25．5°这样三个不同结果，其 中确有正确的答案，则正确的答案是 ．

4．已知a 2

=3a--l ，则1

82522

2

345+-+-a a a a a 的值为 ． 5．已知1a ，2a ，…，1991a 都是正数，设M=(1a +2a -…+1990a )· (2a +3a +…1991a )，N=(1a +2a -…+1991a )·(2a +3a +…1990a )，那 么M 与N 的大小关系是M N ．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

6．若方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++=++000122

2b ax x a x bx bx ax 有解，，则a+b= ．

(武汉市选拔赛试题)

7．若正数x ，y ，z 满足不等式⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧+++y z x y x z y x z y x z 41125

352

3

2611

则x ，y ，z 的大小关系是( )．

(A)x

(C)z

8．若(3x+1)5

=ax 5

+bx 4

+cx 3+dx 2

+ex+f,则a 一b+c —d+e 一f 的值是( )．

(A)－32 (B)32 (C)1024 (D)一1024

9．在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是( )． (A)28 (B)27 (C)一2 (D)2 10．设a ，b ，c 满足等式x=a 2-2b+3π，y=b 2—2c+6π，z=c 2一2a+2

π

，则x ，y ，z 中，至少有一个值( )． (A)大于0 (B)等于0 (C)不大于0 (D)小于0

(2002年全国初中数学联赛题)

11．求证：(x+y 一2xy)(x+ y 一2)+(1一xy)2=(z+y 一xy 一1) 2

12．有甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件，丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件，丙1件，共用84元，问买甲2件，乙3件，丙4件共需多少元?

13．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．

(江苏省竞赛题)

14．代数式ruz —rwy —suz+swx+tuy 一tvx 中，r 、s 、t 、u 、v 、x 、 y 、z 可以分别取+1或一1．

(1)证明代数式的值都是偶数；

(2)求这个代数式所能取到的最大值．

(“华罗庚金杯”赛试题)

15．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和 (1)大于9？ (2)大于10？

若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．

(第十五届江苏省竞赛题)