七年级数学竞赛题：整体思想
整体思想来助力(初中数学)
整体思想来助力解与线段的垂直平分线有关的求线段长、求角度或判定线段（角）的数量关系等问题时，一般是运用线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，有时需要整体来求，涉及到整体思想的运用.例在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM，AN．（1）如图2，当AB=AC，△BAC=120°时，试判断△AMN的形状，并证明你的结论；（2）当△AMN是等腰三角形时，请直接写出所有可能的△B与△C的数量关系.分析：（1）猜想△AMN为等边三角形，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的推论，即可判断出猜想正确；（2）分AM=AN，AM=MN，AN=MN三种情况讨论判断．解：（1）△AMN是等边三角形.证明：因为AB=AC，△BAC=120°，所以△B=△C=12×（180°-120）=30°.因为ME是AB的垂直平分线，所以AM=BM.所以△BAM=△B=30°.所以△AMN=△B+△BAM=60°.同理，△ANM=60°.所以△MAN=180°-△AMN-△ANM=60°=△AMN=△ANM.所以△AMN是等边三角形．（2）△B=△C或△B+2△C=90°或△C+2△B=90°．解析：△当AM=AN时，如图3，过点A作AH△BC于点H，所以MH=NH.因为EM是AB的垂直平分线，所以MA=MB.同理，NA=NC.所以BM=CN.所以BH=CH.所以AB=AC.所以△B=△C．△当AM=MN时，△MAN=△MNA．因为ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，所以MA=MB，NA=NC.所以△B=△BAM，△C=△C AN．所以△MAN=△MNA=△C+△CAN=2△C，△AMN=△B+△BAM=2△B．因为△MAN+△AMN+△MNA=180°，所以2△C+2△B+2△C=180°.所以2△C+△B=90°．△当AN=MN时，同△可得△C+2△B=90°．综上，当△AMN是等腰三角形时，△B=△C或△B+2△C=90°或△C+2△B=90°．图3。
七年级数学整体思想运用练习题
七年级数学整体思想运用练习题一．选择题（共20小题）1．已知代数式3x2﹣4x+6的值为12，则x2−43x+6的值为（）A．18B．12C．8D．62．已知代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2−43x+6的值为（）A．18B．12C．9D．73．若代数式3x2﹣4x+9的值为12，则代数式x2−43x+8的值为（）A．18B．12C．9D．74．已知代数式x2﹣2x+1的值为9，则2x2﹣4x+3的值为（）A．18B．12C．19D．175．已知代数式6x2﹣12x+6的值为9，则代数式2x2﹣4x+6的值为（）A．18B．12C．9D．76．已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1B．4C．7D．不能确定7．若2m﹣n﹣4＝0，则﹣2m+n﹣9值是（）A．﹣13B．﹣5C．5D．138．当x＝2时，代数式ax3+bx﹣7的值等于﹣19，那么当x＝﹣2时，这个代数式的值为（）A．5B．19C．﹣31D．﹣199．已知2a﹣3b＝2，则8﹣6a+9b的值是（）A．0B．2C．4D．910．如果代数式4y2﹣2y+5的值为7，那么代数式﹣12y2+6y+1的值为（）A．5B．﹣3C．﹣5D．411．已知a﹣b＝3，c+d＝﹣5，则代数式（a﹣c）﹣（b+d）的值是（）A．8B．﹣8C．﹣2D．212．若多项式2x2+3y+3的值为8，则多项式6x2+9y+8的值为（）A．1B．11C．15D．2313．若3a﹣2b﹣5＝0，则代数式6a﹣4b﹣6的值是（）A．﹣16B．16C．﹣4D．414．已知代数式x +2y +1的值是﹣3，则代数式2x +4y +1的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．7D ．﹣715．已知：当x ＝1时，代数式12ax 3﹣3bx +4的值是7，那么，当x ＝﹣1时，这个代数式的值是（ ） A ．7B ．3C ．1D ．﹣716．当x ＝﹣1时，代数式2ax 3﹣3bx +8的值为18，那么，代数式9b ﹣6a +2＝（ ） A ．28B ．﹣28C ．32D ．﹣3217．已知m −n =−23，则7﹣3m +3n 的值为（ ） A ．9B ．5C ．723D ．61318．已知a +12b ＝3，则1+2a +b 的值是（ ） A ．7B ．72C ．5D ．5219．当x ＝1时，代数式px 3+qx +1的值是﹣2020，则当x ＝﹣1时，代数式px 3+qx +1的值是（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202220．已知x ﹣y =12，则﹣（2﹣x +y ）的结果是（ ） A ．−32B ．112C ．72D ．−72七年级数学整体思想运用练习题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知代数式3x 2﹣4x +6的值为12，则x 2−43x +6的值为（ ） A ．18B ．12C ．8D ．6解：∵3x 2﹣4x +6＝12， ∴3x 2﹣4x ＝6，则x 2−43x +6=13（3x 2﹣4x ）+6 =13×6+6 ＝8，故选：C．2．已知代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2−43x+6的值为（）A．18B．12C．9D．7解：由题意得：3x2﹣4x+6＝9，即x2−43x＝1，则原式＝1+6＝7，故选：D．3．若代数式3x2﹣4x+9的值为12，则代数式x2−43x+8的值为（）A．18B．12C．9D．7解：∵3x2﹣4x+9＝12，∴x2−43x+3＝4，即x2−43x＝1，则x2−43x+8＝1+8＝9．故选：C．4．已知代数式x2﹣2x+1的值为9，则2x2﹣4x+3的值为（）A．18B．12C．19D．17解：∵x2﹣2x+1＝9，即x2﹣2x＝8，∴2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝16+3＝19．故选：C．5．已知代数式6x2﹣12x+6的值为9，则代数式2x2﹣4x+6的值为（）A．18B．12C．9D．7解：由题意可知：6x2﹣12x+6＝9，∴x2﹣2x=1 2，∴原式＝2（x2﹣2x）+6＝2×12+6＝1+6＝7，故选：D．6．已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1B．4C．7D．不能确定解：∵x+2y＝3，∴2x+4y+1＝2（x+2y）+1，＝2×3+1，＝6+1，＝7．故选：C．7．若2m﹣n﹣4＝0，则﹣2m+n﹣9值是（）A．﹣13B．﹣5C．5D．13解：∵2m﹣n﹣4＝0，∴2m﹣n＝4，∴﹣2m+n＝﹣4，∴﹣2m+n﹣9＝﹣4﹣9＝﹣13，故选：A．8．当x＝2时，代数式ax3+bx﹣7的值等于﹣19，那么当x＝﹣2时，这个代数式的值为（）A．5B．19C．﹣31D．﹣19解：∵x＝2时，代数式ax3+bx﹣7的值等于﹣19，把x＝2代入得：8a+2b﹣7＝﹣19∴8a+2b＝﹣12根据题意把x＝﹣2代入ax3+bx﹣7得：﹣8a﹣2b﹣7＝﹣（8a+2b）﹣7＝﹣（﹣12）﹣7＝5故选：A．9．已知2a﹣3b＝2，则8﹣6a+9b的值是（）A．0B．2C．4D．9解：∵2a﹣3b＝2，∴原式＝8﹣3（2a﹣3b）＝8﹣6＝2．故选：B．10．如果代数式4y 2﹣2y +5的值为7，那么代数式﹣12y 2+6y +1的值为（ ） A ．5B ．﹣3C ．﹣5D ．4解：∵4y 2﹣2y +5＝7，即4y 2﹣2y ＝2， ∴原式＝﹣3（4y 2﹣2y ）+1＝﹣6+1＝﹣5， 故选：C ．11．已知a ﹣b ＝3，c +d ＝﹣5，则代数式（a ﹣c ）﹣（b +d ）的值是（ ） A ．8B ．﹣8C ．﹣2D ．2解：∵a ﹣b ＝3，c +d ＝﹣5，∴原式＝a ﹣c ﹣b ﹣d ＝（a ﹣b ）﹣（c +d ）＝3+5＝8， 故选：A ．12．若多项式2x 2+3y +3的值为8，则多项式6x 2+9y +8的值为（ ） A ．1B ．11C ．15D ．23解：∵2x 2+3y +3＝8， ∴2x 2+3y ＝5，则原式＝3（2x 2+3y ）+8＝15+8＝23， 故选：D ．13．若3a ﹣2b ﹣5＝0，则代数式6a ﹣4b ﹣6的值是（ ） A ．﹣16B ．16C ．﹣4D ．4解：∵3a ﹣2b ﹣5＝0， ∴3a ﹣2b ＝5，∴6a ﹣4b ﹣6＝2（3a ﹣2b ）﹣6＝2×5﹣6＝4， 故选：D ．14．已知代数式x +2y +1的值是﹣3，则代数式2x +4y +1的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．7D ．﹣7解：由题意得到x +2y +1＝﹣3，即x +2y ＝﹣4， 则原式＝2（x +2y ）+1＝﹣8+1＝﹣7． 故选：D ．15．已知：当x ＝1时，代数式12ax 3﹣3bx +4的值是7，那么，当x ＝﹣1时，这个代数式的值是（ ）A ．7B ．3C ．1D ．﹣7解：把x ＝1代入得：12a ﹣3b ＝3，则x ＝﹣1时，代数式=−12a +3b +4＝﹣3+4＝1， 故选：C ．16．当x ＝﹣1时，代数式2ax 3﹣3bx +8的值为18，那么，代数式9b ﹣6a +2＝（ ） A ．28B ．﹣28C ．32D ．﹣32解：∵当x ＝﹣1时，代数式2ax 3﹣3bx +8的值为18， ∴﹣2a +3b +8＝18， ∴﹣2a +3b ＝10， 则9b ﹣6a +2， ＝3（﹣2a +3b ）+2， ＝3×10+2， ＝32， 故选：C ．17．已知m −n =−23，则7﹣3m +3n 的值为（ ） A ．9B ．5C ．723D ．613解：7﹣3m +3n ＝7﹣3（m ﹣n ）＝7﹣3×（−23）＝9． 故选：A ．18．已知a +12b ＝3，则1+2a +b 的值是（ ） A ．7B ．72C ．5D ．52解：∵a +12b ＝3， ∴2a +b ＝6， ∴1+2a +b ＝1+6 ＝7； 故选：A ．19．当x ＝1时，代数式px 3+qx +1的值是﹣2020，则当x ＝﹣1时，代数式px 3+qx +1的值是（）A．2019B．2020C．2021D．2022解：∵x＝1时，代数式px3+qx+1的值是﹣2020，∴把x＝1代入px3+qx+1得，p+q+1＝﹣2020，∴p+q＝﹣2021，∴﹣p﹣q＝2021，把x＝﹣1代入px3+qx+1得，﹣p﹣q+1＝2021+1＝2022，故选：D．20．已知x﹣y=12，则﹣（2﹣x+y）的结果是（）A．−32B．112C．72D．−72解：∵x﹣y=1 2，∴y﹣x=−1 2，∴﹣（2﹣x+y）＝﹣（2−1 2）＝﹣1.5，故选：A．。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
随着教育的普及，学生数学水平的提高，数学竞赛逐渐增多。
许多学生都有参加数学竞赛的渴望，但如何解决数学竞赛中的题目，变得非常重要。
在这里，我将分享一些我在数学竞赛解题思想和策略。
首先，要想解决数学竞赛中的题目，首先要了解题目的内容。
这一点非常重要，因为如果不清楚题目，就无法找到正确的解题思路。
在读题时要特别注意，看清题目中的关键点，以及把握好题目的类型，这样才能把握住思路。
其次，要想解决数学竞赛中的题目，也要有较强的基本功。
比如，数学竞赛中常用的数学知识，必须扎实掌握。
这一点非常重要，因为基本功薄弱的话，很容易就被题目难倒了。
再次，解决数学竞赛的题目，也要有运用技巧的能力。
这里要提醒大家，不同的题目应该有不同的技巧，要根据题目的不同特点进行技巧的选择。
最后，解决数学竞赛中的题目，也要有综合能力，即知识要和技巧有机结合起来，才能得出最后的答案。
在这里，要提醒大家，解题的过程中要谨慎，尽量避免漏洞，以免影响最后的结果。
总之，要想解决数学竞赛中的题目，除了要充分准备外，一定要有明确的解题思路，以及运用技巧的能力，还要有综合能力，最终才能得出正确的答案。
数学竞赛是一种非常有趣的活动，即使不能够获得奖项，通过参加竞赛也可以提高自己的知识和能力。
最后，我在这里祝愿大家取得
更好的成绩，获得更高的荣誉！。
七年级数学(上)思维特训(8)：整体法求整式的值(含答案)
思维特训(八)整体法求整式的值方法点津·1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．典题精练·类型一已知一个代数式的值进行整体求值1．若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．2．理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子5a＋3b的值为－4，那么式子2(a＋b)＋4(2a ＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把等式5a＋3b ＝－4的两边同乘2，得10a＋6b＝－8.仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2＋a＝0，那么a2＋a＋2018＝________；(2)已知14x－21x2＝－14，求9x2－6x－5的值；(3)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值；(4)请你仿照以上各题的解法，解决下列问题(写出必要的解题过程)：若a－b＝4，求如图8－S－1所示两个长方形的面积差，即S1－S2的值．图8－S－1类型二 已知两个代数式的值进行整体求值3．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m ＋n ＝－2，mn ＝－4，则2(mn －3m )－3(2n －mn )的值为________．4．若a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，则(a ＋b ＋c －d )＋(a ＋b ＋d －c )＋(a ＋c ＋d －b )－(a －b －c －d )＝________．5．阅读下面例题的解题过程，再解答下面的问题．例题：已知m －n ＝100，x ＋y ＝－1，求(n ＋x )－(m －y )的值．解：(n ＋x )－(m －y )＝n ＋x －m ＋y ＝n －m ＋x ＋y ＝－(m －n )＋(x ＋y )＝－100－1＝－101. 问题：(1)已知a ＋b ＝－7，ab ＝10，求(3ab ＋6a ＋4b )－(2a －2ab )的值；(2)已知a 2＋2ab ＝－2，ab －b 2＝－4，求2a 2＋72ab ＋12b 2的值．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数(整体)．根据提示解答下列问题．已知A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，当x ＝2时，求B ＋C 的值．详解详析1．1[解析] 原式＝－3mn＋3m＋10，把mn＝m＋3代入，得原式＝－3m－9＋3m＋10＝1.2．解：(1)a2＋a＋2018＝0＋2018＝2018.(2)由14x－21x2＝－14，得21x2－14x＝14，即3x2－2x＝2，则原式＝3(3x2－2x)－5＝6－5＝1.(3)3(a－b)－5a＋5b＋5＝3(a－b)－5(a－b)＋5＝－2(a－b)＋5.当a－b＝－3时，原式＝11.(4)两个长方形的面积差是S1－S2＝4(5a－2b)－3(6a－2b)＝20a－8b－(18a－6b)＝2a－2b＝2(a－b)．当a－b＝4时，S1－S2＝2×4＝8.3．－8[解析] 因为m＋n＝－2，mn＝－4，所以原式＝2mn－6m－6n＋3mn＝5mn－6(m＋n)＝－20＋12＝－8.4．－2[解析] 因为a＋c＝2017，b＋d＝－2018，所以原式＝a＋b＋c－d＋a＋b＋d－c＋a＋c＋d－b－a＋b＋c＋d＝2a＋2b＋2c＋2d＝2(a＋b＋c＋d)＝－2.5．解：(1)(3ab＋6a＋4b)－(2a－2ab)＝3ab＋6a＋4b－2a＋2ab＝5ab＋4a＋4b＝5ab＋4(a＋b)．当a＋b＝－7，ab＝10时，原式＝5×10＋4×(－7)＝22.(2)把a2＋2ab＝－2左右两边同乘2，得2a2＋4ab＝－4，把ab －b 2＝－4左右两边同乘12， 得12ab －12b 2＝－2. 所以2a 2＋72ab ＋12b 2＝2a 2＋4ab －(12ab －12b 2)＝－4－(－2)＝－2. 6．解：因为A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5， 所以B ＋C＝(A ＋B )－(A －C )＝3x 2－5x ＋1－(－2x ＋3x 2－5)＝3x 2－5x ＋1＋2x －3x 2＋5＝－3x ＋6，把x ＝2代入上式，得B ＋C ＝－6＋6＝0.。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
随着科学技术的进步，初中数学竞赛已成为学校教育课程结构的重要组成部分，也是学生们展示数学能力的有效途径。
数学竞赛的解题思路和策略对学生的数学学习及比赛有着十分重要的作用。
首先，在比赛中，学生应该学会正确思考问题。
问题解答时，学生应该从整体上把握问题，正确理解题意，明确问题的解决思路，并正确处理细节性的问题。
其次，要熟悉基本的数学知识。
比如，数学竞赛中出现的数学分析、代数、几何、三角函数等，都有基础的数学知识。
只要掌握了基础的数学知识，就可以更好地处理问题。
再者，要学会把握空间思维。
数学竞赛中，有很多问题是需要空间思维来解决的，比如描述问题中几何图形的特征，在此情况下，我们需要分析几何问题中空间状态的变化，把握图形的变化，推出该图形的特征。
此外，还要学会总结问题解答的方法。
假如有一些特殊的问题，再比赛中可能很容易看到，但要高效、正确地解答出来，可能会需要一定的总结处理能力。
要学会总结问题中可能出现的情况，以及解决这些情况的有效策略，这对提高解题能力也是十分有用的。
最后，要学会灵活运用数学工具。
不同的数学竞赛中，都会给出相应的数学工具，比如计算器、不等式、几何半径等，学生要熟练掌握这些数学工具，实现灵活运用。
总之，数学竞赛解题思想与策略是初中数学教学与比赛中至关重要的，学生们要学会正确思考问题，熟悉基本数学知识，把握空间思
维，学会总结问题解答的方法以及灵活运用数学工具，以期在比赛中取得更好的成绩。
七年级数学培优专题：整体思想
目 录
• 整体思想概述 • 整体思想的基本概念 • 整体思想在解题中的应用 • 整体思想的培养与提高 • 整体思想在数学竞赛中的应用 • 总结与展望
01
整体思想概述
整体思想的定义
01
整体思想是指从整体的角度出发 ，将多个部分或要素视为一个整 体，对其进行全面、系统的分析 和处理。
促进知识整合
整体思想有助于学生将所 学知识进行整合，形成完 整的知识体系，加深对数 学本质的理解。
整体思想在数学中的应用
代数问题
在代数问题中，整体思想常用于因式 分解、方程组的求解等，通过将问题 看作一个整体，简化计算过程。
几何问题
函数问题
在函数问题中，整体思想常用于分析 函数的性质和图像，通过从整体角度 把握函数的规律，更好地理解函数的 本质。
03
整体思想在解题中的应 用
代数题中的应用
代数方程组的求解
通过将方程组视为一个整 体，利用消元法或代入法 求解，避免了逐一解每个 方程的繁琐过程。
代数式的化简
将复杂的代数式视为一个 整体，运用合并同类项、 提取公因式等技巧进行化 简，简化了解题过程。
代数式的变形
通过观察代数式的整体结 构，运用整体代换、整体 约简等方法，快速找到解 题思路。
06
总结与展望
总结整体思想的内容与意义
整体思想概述
整体思想是一种重要的数学思维方式 ，它强调从整体的角度看待问题，通 过全面分析、综合运用知识点，寻找 解题的突破口。
整体思想的意义
整体思想有助于培养学生的逻辑思维 、创新思维和问题解决能力，对于提 高学生的数学素养和应对复杂问题的 能力具有重要意义。
对未来学习的展望
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
数学竞赛的比赛解题是棘手的，要求参赛者迅速有效地解决一系列数学问题，以期取得好成绩。
自20世纪90年代以来，数学竞赛的参赛者数量在增长，由此也导致了解题思路和策略方面的需求日益增加。
在此，本文将就如何准备和完成数学竞赛解题，探讨这样一个重要话题：如何解决数学竞赛中出现的各种解题思想和策略问题？
首先，在准备数学竞赛解题时，最重要的是认真研究基本的数学知识，如几何、解析几何、代数，以及相关的基本知识。
此外，要经常练习，熟悉数学竞赛中常见的解题方法。
能够发现某些问题的特点和结构，将有利于解决这样的问题。
其次，要学会在数学竞赛解题中，运用好有效的思路和策略，如罗列法、搜索法、算法模拟等解题思路，理清解题思路，审视问题，搜索解题思路。
此外，还可以从更多的角度解决问题，包括正确性、可读性、时间和空间复杂度等。
此外，参加数学竞赛解题时，要注意节省时间，给出正确和完整的解答。
这就要求解题者要仔细分析题目，抓住关键点，尽快解决问题，把握解题的步骤，顺利地完成解题。
最后，参加数学竞赛的解题者要做好学习心理调节，保持积极乐观的心态，认真负责，有效地把握解题时间，做到有备无患，勇于接受挑战，认真总结解题经验，从而在解题中取得长足的进步，取得成功。
总之，数学竞赛解题有一系列重要的解题思想和策略。
参赛者要
熟练掌握这些解题思想和策略，多加练习，培养灵活的解题思想，改进逐步解题的方法，建立良好的解题习惯，才能在数学竞赛中取得良好的成绩。
初中奥数精讲——第29讲用整体思想解题-答案精讲
初中奥数精讲——第29讲用整体思想解题-答案精讲一、知识点解析1. 解数学问题时，一般情况下，为了弄清整体，常把它分成若干个简单问题和不同的情形，分类讨论，各个击破。
与分解、分类处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握方向，找出解题思路。
2. 运用整体思想常用手段与技巧（1）整体观察；（2）整体代入；（3）整体换元；（4）整体求和；（5）整体求积等等。
这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，用整体思想解题是很有意思的一类奥数题，很有技巧性。
这部分题型多样，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在用整体思想解题的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题例1 （全国初中数学联赛试题）设a、b、c是不全相等的任意数，若，则x、y、z中（）。
A. 都不小于零B. 都不大于零C. 至少有一个小于零D. 至少有一个大于零由于a、b、c的任意性，若孤立地考虑x、y、z，则很难把握x、y、z的正负性，考虑整体x+y+z的值。
解答：例22004名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军，问应进行多少场比赛？为什么？若考虑每场比赛的可能情形逐步分解过程较繁，从整体上看淘汰制，每场比赛总要淘汰一名选手，则简洁明快。
解答：因为每场比赛总要淘汰一名选手，现在2004名选手要决出冠军，需淘汰2003名选手，所以需要2003场比赛。
例3 （天津市竞赛题）利用初一的知识还不能求出a，即使求出来再带入计算也很繁，寻求待求式分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体带入求值。
解答：例4已知4×4的数表（如下），如果把它的任一行（横行）或一列（竖列）中的所有数同时变号，称为一次变换。
试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数？若着眼于局部看每一行或每一列数的正负变化很难把握规律，若从整体出发看所有16个数的乘积与变换后每行或每列四个数的乘积之间的关系就出现规律，即变化过程中存在的不变性质是解决问题的关键。
七年级数学上册整体求值思想专项练习
七年级数学上册整体求值思想专项练习一、整式回顾1、利用同类项求未知数的值【例1】⑴若27m x y +-与33n x y -是同类项，则m=_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.2、整式加减的化简求值【例2】⑴化简：()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦.⑵化简求值：()22118444144x x x x ⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭，其中12x =-．⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.3、化简并说明结果与字母取值无关【例3】⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．变式1.已知多项式A 和B ，()()251323A m x n xy x y =+++-+，26521B x xy x =+--，当A 与B 的差不含二次项时，求()()31m nmm n n +⎡⎤-⋅-+--⎣⎦的值．变式：、已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b-+-二、整体思想1、整体思想之整式加减运算【例4】⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---=．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-=．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+2、整体思想之代入求值【例5】⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为.⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为.⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32ca b=-，求代数式22523c a b a b c ----的值.3、整体思想之构造整体【例6】⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．4、整体思想之赋值【例7】⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，代数式423ax cx ++的值.课后作业：利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】已知5+43a x y 与315b x y +-是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】有这样一道题：“计算()()()32232332323223xx y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（）A ．()2a b -B ．()2a b -- C ．()22a b --D ．0整体思想之代入求值【练习4】⑴如果36a b -=，那么代数式53a b-+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为 ．⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____．⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝．整体思想之构造整体【练习5】如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为．整体思想之赋值【练习6】⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略近年来，数学竞赛的参赛人数不断增加，其中的初中阶段是比较重要的一环；初中数学竞赛的比赛内容主要包括：数学趣题、竞赛题、消除题等，这就要求参赛者具有很强的思维能力和解题策略。
只有获得良好的解题思想和策略，才能在初中数学竞赛中取得成功，为此，本文针对初中数学竞赛解题思想，总结出一些基本的解题思路和策略，以帮助参赛者提高解题能力，取得更好的得分。
一、解题技巧：1、先观察：阅读题目时，首先要把握题目的结构，找出题目中暗示的信息，把握题目的关键点，有助于找出解题的思路。
2、分析判断：充分分析题干中的四个要素：题目要求、给出条件、答案类型、解题方法。
根据题干的要求，判断出题目要求的条件，从而更好地解题。
3、把握重点：在迅速浏览题目时，要把握题目的关键要素，用心去理解题干中的矛盾要求，考虑以引导结论的有效策略。
4、换位思考：分析题干时，经常可以采取换位思考的方法，从问题的另一个角度解题，改变思考的角度，可以增加解题的效率。
5、归纳总结：在处理题目时，首先要把握各种方法的有效性和特点，根据不同的情况，把握最佳解题策略，不断进行归纳、总结。
二、解题策略：1、辩证思维：当面对题目时，应该用辩证思维，从题目本身就可以看出，一个问题有两种解决方案，一是正面的，一是反面的，把这二者都考虑进来，就可以把握题目的实质，找出解题策略。
2、灵活应用：任何解题策略都不是万能的，必须根据实际情况做出选择，依据不同的解题方法，使用恰当的策略，准确地解决问题，从而得出正确的结果。
3、综合分析：不同的题型涉及到不同的知识，要根据题目的特点，综合分析，结合已学的知识，用合理的思路，设计出有效的解题步骤，寻求有效的解题方法。
4、举一反三：在解题过程中，要学会举一反三，从一个例子中推断出很多结论，通过推断来解决问题，以节省解题的时间，从而取得更好的成绩。
三、结论从上述讨论可以看出，初中数学竞赛的解题思想和策略非常重要，只有掌握了一定的解题技巧和恰当的解题策略，才能在初中数学竞赛中取得更好的成绩。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略解题思想与策略是一种灵活的方法，它不是唯一答案，但对于大多数题目来说还是很有效果的。
要在竞赛中取得好成绩，你需要掌握适当的方法和解题思想。
如何让学生形成科学的解题思想？这是本文论述的内容。
什么是解题思想与策略呢?我认为：解题思想就是指导解决问题时所采用的基本观点或原则;而解题策略就是具体实施某个解题步骤时应遵循的途径和程序。
因此，解题思想包括以下几层意思:(1)从整体上把握知识结构，抓住主线进行分析;(2)重视已经获得的信息，寻找突破口; (3)审清题意，选择最佳切入点; (4)注意隐含条件及限制性条件; (5)关键处设疑，提出假设; (6)根据条件作出正确判断，并由特殊到一般地推广; (7)挖掘潜在条件，利用图表资料，画树状图等工具辅助解题; (8)建立错误档案，吸取教训，防止再犯同类错误;(9)通过比较异同，探索规律，揭示本质。
1、综合运用各种定理，公式，熟练记忆常见的典型模型，做到举一反三，触类旁通。
例如求函数y=f(x)+g(x)，可先化简，然后根据“换元”的思想转化为函数关系式求解。
又如计算函数y=kx+b，首先将k， b代入，使之变为单项式，然后将其展开即可。
2、充分发挥创造力，培养独立思考能力，自觉检验，归纳总结，演绎推理，逆向迁移等思维品质，才会达到事半功倍的效果。
3、善于联想，勤于类比，深刻领悟命题者的良苦用心。
4、平时加强积累，丰富感性材料，逐渐完善头脑里的数学模型，尽量减少失误率。
5、看书复习，巩固旧知识，预习新课，掌握新知识。
6、遇难不慌，仔细读题，明白题意，排除干扰，迅速准确地写出答案。
7、坚持锻炼身体，保证睡眠充足，劳逸结合，精神饱满。
8、调节情绪，稳定心态，克服焦虑紧张的情绪。
，都离不开科学的解题思路。
希望老师们给予高度重视!怎样帮助初中生形成科学的解题思想呢?1、激发兴趣，端正动机，增强信心，促进智力发展。
2、鼓励质疑，引导探究，启迪智慧，拓宽思路。
初中数学思想方法篇——整体思想
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之整体思想一、注解：郑板桥有这样一句大家耳熟能详的话：“难得糊涂”，如果事事较真，钻牛角尖，往往对解决问题没有帮助。
这句话提醒我们，在有些时候不能方方面面都照顾，该忽略的问题你就应该忽略。
而在我们的数学学习过程中，也经常运用这种思想解决问题。
整体思想就是要求大家在学习的过程中，有时候只能从大的，宏观的方面考虑问题，避免钻牛角尖，将一些问题“打包”处理，以达到事半功倍的效果。
整体思想就是考虑数学问题的时候不仅仅局限于它的局部特征，而且着眼于问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系的量作为整体进行处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时有着广泛的运用。
二、实例运用：1. 在数与式中的运用【例1】计算：11111111111111 1123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例2】当x=1时，代数式px2+qx+1的值是2001，则当x= -1时，代数式px2+qx+1的值是：A -1999B -2000C -2001D 1999【例3】若13xx+=则221xx+=。
2. 在方程（组）中的运用【例1】已知二元一次方程组为2728x yx y+=⎧⎨+=⎩则x-y= ，x+y= .【例2】已知方程组45ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则a+b= .【例3】有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。
现购甲乙丙各1件，需要多少元？3. 在几何计算中的运用【例1】如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要米。
【例4】有星型图，如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和。
三、随堂练习1、若分式x yx y+-中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）A 不变B 是原来的3倍C 是原来的三分之一D 是原来的六分之一2、如图所示的直角坐标系中，已知半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分的面积是。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛激励学生发掘数学背后的规律，在逻辑思维和解题技巧的优化培养中，成就自我，并做好准备进入更高阶层次的学习。
解题思想和策略是初中数学竞赛的重要组成部分，有助于学生有效地掌握数学知识以及有效解决数学竞赛题目的能力。
一、善于运用图形理解问题
解题思想和策略的第一步，是根据题目要求，利用图形精确表达问题，让学生更容易理解大问题的细节，例如：如果出现求抛物线焦点，则可以使用抛物线的图形（即夹线和准线），让学生更清楚地知道抛物线的要求。
二、善于运用定理
定理是求解数学问题的有力武器，可以帮助学生更快地答题，例如：当出现求抛物线的焦点时，可以使用椭圆的定理根据特殊点的性质，将定点在特定位置，求解其它点，从而求出抛物线的焦点。
三、运用数学分类方法
要解决数学竞赛题，必须具备不良分类数学思想，利用不同的分类方法，将数学问题分为几类，比如：一元二次方程组可分为两类：非一致方程组和一致方程组。
只有将复杂的数学问题分解为若干子问题，才能有效求解数学竞赛题。
四、利用解题策略
在解题的过程中，应尽可能多的使用解题策略，如：假设法、数学归纳法、反证法、分类讨论等，这些策略是用来帮助学生思考，快
速独立解决问题的有效技能。
五、多练习
最后，学生要多练习，尤其需要在竞赛中熟练掌握解题思想和策略，练习的题目要结合实际，采用以上解题思想和策略，熟练掌握数学解题技巧，以备考试使用。
综上所述，为了学生更好的应对数学竞赛，需要坚持练习，同时多使用解题思想和策略，利用图形理解问题，运用定理，运用数学分类方法，运用解题策略。
本文旨在提供初中数学竞赛解题思想和策略，为学生带来更多参考。
七年级上培优专题——整体思想求值(附答案)
七年级上培优专题——整体思想求值（附答案）题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1整式加减的化简求值例2；练习1化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2整体思想之整体化简例4；练习3整体思想之代入求值例5：练习4整体思想之构造整体例6；练习5整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质：⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项.整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法：⑴由内向外逐层进行；⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】 李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】 设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；⑷ a c e ++的值．训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】 已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】 有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算 的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】 把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（ ）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为 ． ⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝ ．整体思想之构造整体【练习5】 如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为 ．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
七上思维训练整体思想
思维训练之整式 ——整体思想在整式中的应用题组一1、5248)3(,532-+--=+-y x y x y x 则已知= .2、已知x ＝2，y ＝﹣4时，代数式ax 3+by +5＝7，求当x ＝﹣4，y ＝﹣时，则代数式 3ax ﹣24by 3+1的值为 ．题组二3、已知y ＝ax 7+bx 5+cx 3+dx +e ，其中a ，b ，c ，d ，e 为常数，当x ＝2时，y ＝23，当x ＝﹣2时，y ＝﹣35，那么e 的值为 ．变1、已知y ＝ax 7-bx 5+cx 3-dx +e ，其中a ，b ，c ，d ，e 为常数，当x ＝2时，y ＝23，当x ＝﹣2时，y ＝﹣35，那么e 的值为 ．变2、已知y ＝4ax 7-3bx 5+2cx 3-dx +e ，其中a ，b ，c ，d ，e 为常数，当x ＝2时，y ＝23，当x ＝﹣2时，y ＝﹣35，那么e 的值为 ．变3、已知y ＝ax 6-bx 4+cx 2-e ，其中a ，b ，c ，e 为常数，当x ＝2时，y ＝23，当x ＝﹣2时， y ＝ ．变4、已知y ＝ax 7-bx 5+cx 3-dx +1，其中a ，b ，c ，d 为常数，当x ＝2时，y ＝23，当x ＝﹣2时，y=4、当2-=x 时，多项式184223=+++nx x mx ，则当2=x 时，=+++4223nx x mx5、当2=x 时，整式13+-bx ax 的值为17-，当1-=x 时，则53123--bx ax = 题组三db c a e d c b a e d c b a e dx cx bx ax x +++-+-++++++++=+)4)3()2()1(.,1262344（求下列式子的值）、已知（题组四7、已知a 2+2ab ＝﹣2，ab ﹣b 2＝﹣4，求2a 2+ab +b 2的值．8、已知a ﹣b ＝2004，b ﹣c ＝﹣2005，c ﹣d ＝2007，则＝ ．9、=++-=++=++z y x z y x z y x 则已知,2032,3623 .题组五10、已知0132=--x x ，求代数式18113223+--x x x 的值的值求、已知的值求、已知2006576x ,1312151387,32112322342+-+=-+-++=+x x x x x x x x x x13、已知x 2+x ＝-1，则x 2007+x 2006+x 2005+x 2004+x 2003+…+x 4+x 3+x 2+x +1= .。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
数学竞赛是一种挑战，不仅可以检测学生所学知识的深度和广度，还能提高学生的分析能力和解题能力。
然而，要在数学竞赛中取得好成绩，学生不仅要掌握较多的知识和技能，还要掌握正确的解题思想和策略。
因此，通过分析竞赛数学题目，学习解题思想和策略，正确应用解题方法，对于学生参加数学竞赛来说，至关重要。
首先，学习数学竞赛解题思想，学生应该培养自己仔细观察题目，审题、分析题目的特点，发挥自己灵活思考的能力，思考如何选择出最佳的解题方法；同时，还要关注题目中的细节，看看能不能发现潜在的技巧及有用的信息，从而缩短解题的步骤。
其次，学习数学竞赛解题策略，学生应该学会把握解题的步骤，多使用较简单的解题方法，先采用暴力法，迅速求出答案；当解题困难时，可以根据问题的性质，转换解题方法，采取正确的思路；此外，还应该充分利用假设与推理，消除题目中的杂乱性，从而破解难题。
再者，在解题过程中，学生要掌握解题方法，仔细分析解题步骤，以及充分理解求解的过程和思路；同时，全面掌握数学表达式的写法，防止因表达不清即失分的情况发生；此外，还要善于结果验证法，确保结果的正确性。
最后，数学竞赛是一场智力比拼，学生要注重训练，多做练习，加强自己的解题能力；同时，要控制好紧张情绪，审清思路，做到不停顿，不易疲劳；此外，在实际参加竞赛中，要努力发挥自己的优势，克服自己的劣势，综合才能，既要做到答案正确，又要答案快，以提
高竞赛成绩。
综上所述，学习数学竞赛解题思想与策略，不仅能最大限度地提高学生的分析思维能力，还能帮助学生提高解题效率，在数学竞赛中获得更好的成绩。
初一整体思想解题练习及答案
整体思想一．填空题（共2小题）1．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n=﹣2，mn=﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为．2．代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单的讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值．例如：已知a+2b=2，求1﹣a﹣2b的值，我们可以把a+2b看成一个整体，则﹣（a+2b）=﹣a﹣2b=﹣2，所以1﹣a﹣2b=1﹣2=﹣1．请你仿照上面的例子解决下面的问题：若a2﹣2a﹣2=0，则5+a﹣a2=．二．解答题（共4小题）3．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知xy=2x+2y，求代数式（3x﹣5xy+3y）÷（﹣x+3xy﹣y）的值．提示：把xy和x+y当做一个整体．4．阅读下列文字，并解决问题．已知x2y=3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24．请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．5．如果已知x+y=5，那么x+y+6=11，反之，如果已知x+y+6=11，那么x+y=5．在以上运算中，体现了一种整体思想，这里的“x+y“可以看作一个“整体“．试着进行下面的计算：（1）已知x2﹣2x﹣5=0，那么2x2﹣4x﹣5=；（2）已知3x+4y﹣6x﹣1﹣y=0，那么x﹣y=；（3）已知a+b=A，ab=A+2011，1﹣2（a+ab）+（ab﹣2b）=3A，你能确定a+b 与ab的值吗？如果能，请求出它们的值．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）．（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9 y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知，求代数式的值．提示：把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2（x+y），代入．整体思想参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n=﹣2，mn=﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为﹣8．【分析】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵m+n=﹣2，mn=﹣4，∴原式=2mn﹣6m﹣6n+3mn=5mn﹣6（m+n）=﹣20+12=﹣8．故答案为：﹣8．2．代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单的讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值．例如：已知a+2b=2，求1﹣a﹣2b的值，我们可以把a+2b看成一个整体，则﹣（a+2b）=﹣a﹣2b=﹣2，所以1﹣a﹣2b=1﹣2=﹣1．请你仿照上面的例子解决下面的问题：若a2﹣2a﹣2=0，则5+a﹣a2= 4．【分析】先求得a2﹣2a=2，然后依据等式的性质得到a﹣a2=﹣1，最后代入计算即可．【解答】解：∵a2﹣2a﹣2=0，∴a2﹣2a=2．等式两边同时乘以﹣得：a﹣a2=﹣1．∴原式=5+（﹣1）=4．故答案为：4．二．解答题（共4小题）3．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知xy=2x+2y，求代数式（3x﹣5xy+3y）÷（﹣x+3xy﹣y）的值．提示：把xy和x+y当做一个整体．【分析】（1）由B+C=（A+B）﹣（A﹣C），去括号合并得到B+C的最简结果，将x=2代入计算即可求出值；（2）根据已知等式求出2x2+3y的值，原式前两项提取3变形后，将2x2+3y的值代入计算即可求出值；（3）由题意得到xy=2（x+y），原式变形后将xy=2（x+y）代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，∴B+C=（A+B）﹣（A﹣C）=3x2﹣5x+1+2x﹣3x2+5=﹣3x+6，当x=2时，原式=6﹣6=0；（2）根据题意得：2x2+3y+7=8，即2x2+3y=1，则原式=3（2x2+3y）+8=3+8=11；（3）根据题意得：xy=2（x+y），则原式=[3（x+y）﹣5xy]÷[﹣（x+y）+3xy]=﹣7（x+y）÷5（x+y）=﹣．4．阅读下列文字，并解决问题．已知x2y=3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24．请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案．【解答】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b），=﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab，=﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab，=﹣4×33+6×32﹣8×3，=﹣108+54﹣24，=﹣78．5．如果已知x+y=5，那么x+y+6=11，反之，如果已知x+y+6=11，那么x+y=5．在以上运算中，体现了一种整体思想，这里的“x+y“可以看作一个“整体“．试着进行下面的计算：（1）已知x2﹣2x﹣5=0，那么2x2﹣4x﹣5=5；（2）已知3x+4y﹣6x﹣1﹣y=0，那么x﹣y=﹣；（3）已知a+b=A，ab=A+2011，1﹣2（a+ab）+（ab﹣2b）=3A，你能确定a+b 与ab的值吗？如果能，请求出它们的值．【分析】（1）求出x2﹣2x，然后代入所求代数式进行计算即可得解；（2）合并同类项，然后求解即可；（3）把a+b和ab换成A，然后解方程求出A的值，再代入求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣5=0，∴x2﹣2x=5，∴2x2﹣4x﹣5=2（x2﹣2x）﹣5=2×5﹣5=5；（2）∵3x+4y﹣6x﹣1﹣y=﹣3x+3y﹣1=﹣3（x﹣y）﹣1，∴﹣3（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣；故答案为：（1）5；（2）﹣；（3）1﹣2（a+ab）+（ab﹣2b）=1﹣2a﹣2ab+ab﹣2b=1﹣2（a+b）﹣ab，∵a+b=A，ab=A+2011，∴1﹣2A﹣A﹣2011=3A，解得A=﹣335，所以，a+b=﹣335，ab=﹣335+2011=1676．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题．（1）已知A+B=3x2﹣5x+1，A﹣C=﹣2x+3x2﹣5，求当x=2时B+C的值．提示：B+C=（A+B）﹣（A﹣C）．（2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值．提示：把6x2+9 y+8变形为含有2x2+3y+7的形式．（3）已知，求代数式的值．提示：把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2（x+y），代入．【分析】（1）按提示把A+B和A﹣C整体代入，可得B+C的表达式，然后再代值计算即可．（2）按提示把后个代数式转化为第一个代数式的变形式，然后把第一个代数式的结果代入，可简化运算．（3）把代数式先进行合并同类项，然后按提示把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2（x+y），代入求值即可．【解答】解：（1）∵B+C=（A+B）﹣（A﹣C），∴B+C=3x2﹣5x+1﹣（﹣2x+3x2﹣5）=﹣3x+6；当x=2时，上式=﹣6+6=0；（2）∵6x2+9 y+8=3（2x2+3y）+8，已知2x2+3y+7=8，得2x2+3y=1∴上式=3×1+8=11；（3）原代数式=，由已知得xy=2（x+y），所以原式==﹣．。
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七年级数学竞赛题：整体思想
解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较简单的问题，然后再分而治之，各个击破，与分解、分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体人手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题的方向的策略，在整体思想的指导下，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径有： 1．整体观察； 2．整体设元； 3．整体代入； 4．整体求和； 5．整体求积等．
例1某市抽样调查了1000户家庭的年收人，其中年收入最高的只有一户，是88000元；由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收人比实际平均年收入值高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是 ．
(北京市竞赛题)
解题思路有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分步求出每个未知量，不妨从整体消元人手．
例2设a 、b 、c 是不全相等的任意数，若x=a 2一bc ，y=b 2－ac ， z=c 2
--ab ，则x 、y 、z 中( )．
(全国初中数学联赛试题)
(A)都不小于零 (B)都不大于零
(C)至少有一个小于零 (D)至少有一个大于零
解题思路由于a 、b 、c 的任意性，若孤立地考虑x 、y 、z ，则很难把握x 、y 、z 的正负性，考虑整体求出x+y ＋z 的值：
例3 如果a 满足等式2a 2
+3a 一1=0，试求1
31
593322345-+-+++a a a a a a 的值.
(天津市竞赛题)
解题思路就目前不能求出口的值，寻求待求式分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代人求值．
例4已知1x ，2x ，3x ，…，n x 都是+1或一1，并且
1
143
3221x x x x x x x x x x n n n +++++- =0， 求证：n 是4的倍数．
解题思路可以分两步，先证n 是偶数2是，再证明走是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发．
例5如图，将1，2，3，4，5．6，7，8，9，10这十个数分别填人图 中的十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一I
个整数M ，求M 的最小值并完成你的填图． (第十三届北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路设满足已知条件填的数依次为
1021,,,a a a ，依题意可得到含M 的多个不等
式，孤立地不能求出M 值，从整体考虑作为解题的突破口．
1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC，其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码译成式子是 .
2．一个六位数2abcde 的3倍等于abcde9，则这个六位数是 3．角α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
15
1
·(α+β＋γ)的值时，全班得23．5°，24．5°，25．5°这样三个不同结果，其 中确有正确的答案，则正确的答案是 ．
4．已知a 2
=3a--l ，则1
82522
2
345+-+-a a a a a 的值为 ． 5．已知1a ，2a ，…，1991a 都是正数，设M=(1a +2a -…+1990a )· (2a +3a +…1991a )，N=(1a +2a -…+1991a )·(2a +3a +…1990a )，那 么M 与N 的大小关系是M N ．
(北京市“迎春杯”竞赛题)
6．若方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++000122
2b ax x a x bx bx ax 有解，，则a+b= ．
(武汉市选拔赛试题)
7．若正数x ，y ，z 满足不等式⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧+++y z x y x z y x z y x z 41125
352
3
2611
则x ，y ，z 的大小关系是( )．
(A)x<y<z (B)y<z<x
(C)z<x<y (D)不能确定
8．若(3x+1)5
=ax 5
+bx 4
+cx 3+dx 2
+ex+f,则a 一b+c —d+e 一f 的值是( )．
(A)－32 (B)32 (C)1024 (D)一1024
9．在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是( )． (A)28 (B)27 (C)一2 (D)2 10．设a ，b ，c 满足等式x=a 2-2b+3π，y=b 2—2c+6π，z=c 2一2a+2
π
，则x ，y ，z 中，至少有一个值( )． (A)大于0 (B)等于0 (C)不大于0 (D)小于0
(2002年全国初中数学联赛题)
11．求证：(x+y 一2xy)(x+ y 一2)+(1一xy)2=(z+y 一xy 一1) 2
12．有甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件，丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件，丙1件，共用84元，问买甲2件，乙3件，丙4件共需多少元?
13．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．
(江苏省竞赛题)
14．代数式ruz —rwy —suz+swx+tuy 一tvx 中，r 、s 、t 、u 、v 、x 、 y 、z 可以分别取+1或一1．
(1)证明代数式的值都是偶数；
(2)求这个代数式所能取到的最大值．
(“华罗庚金杯”赛试题)
15．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和 (1)大于9？ (2)大于10？
若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．
(第十五届江苏省竞赛题)。