电磁波期末考试题集及答案详解

电磁场与电磁波练习
1、
一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求圆环轴线上离环中心o 点为z 处的
电场强度E。

解：(1)如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为2
04R dq
E d
由对称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即 积分得到
2、
半径为a 的圆面上均匀带电，电荷面密度为 ，试求：(1)轴线上离圆心为z 处的场
强，(2)在保持 不变的情况下，当0 a 和 a 时结果如何？(3)在保持总电荷
2a q 不变的情况下，当0 a 和 a 时结果如何?
解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r 的圆环，它所带的电荷量为 dr dq 2 由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P 点处的场强为 则整个均匀带电圆面在轴线上P 点出产生的场强为
（2）若 不变，当0 a 时，则0)11(20
z E ； 当 a ，则0
02)01(2
z E (3)若保持 2
a q 不变，当0 a 时，此带电圆面可视为一点电荷。

则2
04z q E z。

当
a
时，0 ，则0 z E。

3、
有一同轴圆柱导体，其内导体半径为a ，外导体内表面的半径为b ，其间填充介
电常数为 的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷 。

试证明储存在每米长同
轴导体间的静电能量为a
b W ln 42。

证：在内外导体间介质中的电场为 沿同轴线单位长度的储能为
4、
在介电常数为 的无限大约均匀介质中，有一半径为a 的带电q 的导体球，求储存
在介质中的静电能量。

解：导体在空间各点产生的电场为 故静电能量为
5、
真空中一半径为R 的圆球空间内，分布有体密度为 的电荷， 为常量。

试求静
电能量。

解：应用高斯通量定理，得出电场强度 故
6、一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小。

解：电荷面密度为的“无限大”平面，在其周围任意点的场强为： 以图中O 点为圆心，取半径为r r+dr 的环形面积，其电量为： 它在距离平面为a 的一点处产生的场强为：
则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为：
由题意：
2200
2
/32
2
122R a a r a
rdr
a E R
7、已知两半径分别为a 和)(a b b 的同轴圆柱构成的电容器，其电位差为V 。

试证：将半径分别为a 和b ，介电常数为 的介质管拉进电容器时，拉力为 证：内外导体间的电场为 插入介质管后的能量变化为
式中z 为介质管拉进电容器内的长度。

故拉力为
8、今有一球形薄膜导体，半径为R ，其上带电荷q 。

求薄膜单位面积上所受膨胀力。

2E
rdr
2dq
解：孤立导体球电容
采用球坐标，原点置于球心，选g为R，则
F的方向与R增大的方向相同，为膨胀力。

单位面积上的力为
R
该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。

9、一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、外导体间的电压为U。

求同轴线的传输功率和能流密度矢量。

解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。

通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为
这一结果与电路理论中熟知的结果一致。

10、设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为σ的电媒质，求同轴线单位长度的漏电电导。

11、已知时变电磁场中矢量位，其中A m、k是常数，求电
场强度、磁场强度和坡印廷矢量。

12、已知无源(ρ=0,J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量
式中k、E0为常数。

求：
（1）磁场强度复矢量；
（2）坡印廷矢量的瞬时值；
（3）平均坡印廷矢量。

13、已知无界理想媒质(ε=9ε0,μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f =108
Hz ，电场强度
试求：(1)均匀平面电磁波的相速度v p 、波长λ、相移常数k 和波阻抗η； (2)电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；
(3)与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。

1
m V e
e e e z E j jkz y jkz x /33)(3
14、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为
试求：
(1)工作频率f;
(2)磁场强度矢量的复数表达式；
(3)坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值；
(4)此电磁波是何种极化，旋向如何。

15、若内充空气的
矩形波导尺寸为 2 a ，工作频率为3GHz 。

如果要求工作频率至少高于主模TE 10波的截止频率的20%，且至少低于TE 01波的截止频率的20%。

试求：①波导尺寸a 及
b ；②根据所设计的波导，计算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。

16、某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为25mm 10mm ，当频率MHz f 410 的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中填充介电常数
4 r 的理想介质后，能够传输的模式有无改变？
17、判断下列平面电磁波的极化形式：
解：(3)E=jE0(jex+ey)e-jkz ，Ex 和Ey 振幅相等，且Ex 相位超前Ey 相位π/2，电磁波沿+z 方向传播，故为右旋圆极化波。

(1)E=jE0(ex-2ey)ejkz ，Ex 和Ey 相位差为π，故为在二、四象限的线极化波。

(4)Ezm ≠Exm ，Ez 相位超前Ex 相位π/2，电磁波沿+y 方向传播，故为右旋椭圆极化波。

（2）
r
ke j z xy r e e k j z y x n y x e je e E e je e e E E
10053
5
4
100)(554535
在垂直于en 的平面内将E 分解为exy 和ez 两个方向的分量，则这两个分量互相垂直，振幅相等，且exy 相位超前ez 相位π/2，exy ×ez=en ，故为右旋圆极化波。

18、证明导体表面的电荷密度 与导体外的电位函数有如下关系
n
，其中n 是电位对表面外法线方向的导数。

19、一不带的电孤立导体球（半径为a ）位于均匀电场0E 中。

求电位函数和电场强度。

20、一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度是
)
2
20(4
)
20(4
1010
•
z t j y z t j x e
e
e e E （v/m ）
求（1）电磁波的传播方向。

（2）电磁波的频率。

（3）电磁波的极化方式。

（4）磁场强度•
H 。

（5）沿传播方向单位面积流过的平均功率。

21、从maxwell 方程出发证明电荷守恒定律。

22、在均匀电场0E 中放置一根半径为a ,介电常数为 的无限长均匀介质圆柱体，它的轴线与电场垂直。

柱外是自由空间，介电常数为0 。

试求圆柱体内外的电位函数和电场强度。

23、在任何均匀线性各向同性的理想介质中，一个椭圆极化波的电场是
jkz j y j x e e E e E •
)(2121 e e E ，
证明（1）空间任一点的平均电能密度等于平均磁能密度。

（2）能速等于相速。