欧氏空间习题

第八章 欧氏空间练习题

一、填空题

1．设V 是一个欧氏空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．

2．在欧氏空间3

R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝____ _____， α＝_________．

3．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη 下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．

4．已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2

A ＝_________． 5.

σ为欧氏空间V 的线性变换，则σ为正交变换当且仅当 ；σ为对称变换当且仅当 ． 二、判断题

1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2R 构成欧氏空间。( )

2．在n 维实线性空间n

R 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成欧氏空间。 ( )

3．12,,,n εεε 是n 维欧氏空间V 的一组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++ 。( )

4．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。( )

5．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。( )

6．若,στ都是欧氏空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。( )

7．正交向量组必线性无关．

8．实数与对称变换之积必是对称变换．

三、证明题

1．设A ，B 为同级正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=．

2．奇数维欧式空间中的旋转变换必有特征值1

3.第二类正交变换一定有特征值-1

四.计算题

1、对于齐次线性方程组

12341234123

412340205033250

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ （1） 求该齐次线性方程组解空间W 的一个标准正交基。

（2） 求W 在4R 中的正交补空间W ⊥的一个标准正交基。

2、对于齐次线性方程组

1234512352300

x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+-+=⎩ （3） 求该齐次线性方程组解空间W 的一个标准正交基。 求W 在5R 中的正交补空间W ⊥

的一个标准正交基。