题组层级快练 (80)
2021高考物理大一轮复习题组层级快练：第五单元 机械能 作业21 功和功率Word版含答案
题组层级快练(二十一) 功和功率一、选择题1.如图所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( ) A ．A 所受的合力对A 不做功 B ．B 对A 的弹力做正功 C ．B 对A 的摩擦力做正功 D ．A 对B 做正功 答案 C解析 A 、B 一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为gsin θ.由于A 速度增大，由动能定理可知，A 所受的合力对A 做功，B 对A 的摩擦力做正功，B 对A 的弹力做负功，选项A 、B 项错误，C 项正确；A 对B 不做功，D 项错误．2．某汽车以恒定功率P 、初速度v 0冲上倾角一定的斜坡时，汽车受到的阻力恒定不变，则汽车上坡过程的vt 图像不可能是下图中的( )答案 A解析 根据P ＝Fv ，若a ＞0，则物体加速运动，加速度会减小，当加速度减为零时，速度达到最大，故C 项正确，A 项错误；若a ＝0，则物体速度不变，做匀速运动，故B 项正确；若a ＜0，即加速度沿斜面向下，物体减速，故加速度会减小，故D 项正确；本题选不可能的，故选A 项．3．质量为5×103kg 的汽车在水平路面上由静止开始以加速度a ＝2 m/s 2开始做匀加速直线运动，所受阻力是1.0×103N ，则汽车匀加速起动过程中( ) A ．第1 s 内汽车所受牵引力做功为1.0×104J B ．第1 s 内汽车所受合力的平均功率20 kW C ．第1 s 末汽车所受合力的瞬时功率为22 kW D ．第1 s 末汽车所受牵引力的瞬时功率为22 kW 答案 D解析 据牛顿第二定律F －f ＝ma 得牵引力F ＝f ＋ma ＝1.1×104N ．第1 s 内汽车位移x ＝12at 2＝1 m ，第1 s 末汽车速度v ＝at ＝2 m/s ，汽车合力F 合＝ma ＝1×104N ，则第1 s 内汽车牵引力做功：W F ＝Fx ＝1.1×104J ，故A 项错；第1 s 内合力做功：W ＝F 合x ＝1×104J ，平均功率P ＝W t＝1×104W ，故B 项错；1 s 末合力的瞬时功率P 合＝F合v ＝2×104W ，故C项错；1 s 末牵引力瞬时功率P ＝Fv ＝2.2×104W ＝22 kW ，故D 项正确．4．汽车从静止匀加速启动，最后做匀速运动，其速度随时间及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像如图所示，其中正确的是( )答案 ACD解析 汽车启动时，由P ＝Fv 和F －F f ＝ma 可知，匀加速启动过程，牵引力F 、加速度a 恒定不变，速度和功率均匀增大，当功率增大到额定功率后保持不变，牵引力逐渐减小到与阻力相等，加速度逐渐减小到零，速度逐渐增大到最大速度，故A 、C 、D 项正确． 5.在9.3阅兵中，20架直升机在空中组成数字“70”字样，而领头的直升机悬挂的国旗让人心潮澎湃．如图所示，为了使国旗能悬在直升机下不致漂起来，在国旗下端还悬挂了重物，假设国旗与悬挂物的质量为m ，直升机质量为M ，并以速度v 匀速直线飞行，飞行过程中，悬挂国旗的细线与竖直方向夹角为α，那么以下说法不正确的是( ) A ．国旗与悬挂物受到3个力的作用 B ．细线的张力做功的功率为mgvcos αC ．国旗与悬挂物所受合力做的功为零D ．国旗与悬挂物克服阻力做功的功率为mgvtan α 答案 B解析 国旗与悬挂物受3个力，重力、细线的拉力、空气阻力，如图：有F ＝mgcos α，则F 的功率为P F ＝Fvsin α＝mgvtan α，克服阻力做功的功率P f ＝fv ＝mgvtan α，由于国旗与悬挂物匀速，故合力做功为零，A 、C 、D 三项正确，B 项错误，故选B 项．6．如图所示，卡车通过定滑轮以恒定的功率P 0拉绳，牵引河中的小船沿水面运动，已知小船的质量为m ，沿水面运动时所受的阻力为f 且保持不变，当绳AO 段与水面的夹角为θ时，小船的速度为v ，不计绳子与滑轮的摩擦，则此时小船的加速度等于( )A.P 0mv －fm B.P 0mv cos 2θ－f m C.f m D.P 0mv答案 A解析 设绳子的拉力为F ，功率P 0＝Fvcos θ，对小船，由牛顿第二定律得加速度a ＝Fcos θ－f m ＝P 0mv －fm，选项A 正确． 7．质量为m 的汽车发动机额定输出功率为P ，当它在平直的公路上以加速度a 由静止开始匀加速启动时，其保持匀加速运动的最长时间为t ，汽车运动中所受的阻力大小恒定，则( )A ．若汽车在该平直的路面上从静止开始以加速度2a 匀加速启动，其保持匀加速运动的最长时间为t 2B ．若汽车以加速度a 由静止开始匀加速启动，经过时间t 2发动机输出功率为12PC ．汽车保持功率P 在该路面上运动可以达到的最大速度为PatP －ma 2tD ．汽车运动中所受的阻力大小为P at答案 BC解析 当以加速度a 加速运动时有：F －f ＝ma ，F ＝f ＋ma ，匀加速达到的最大速度为：v ＝P f ＋ma ，故所需时间为：t ＝v a ＝P a （f ＋ma ），当加速度为2a 时，匀加速达到最大速度为：v ′＝P f ＋2ma ，所需时间为：t ′＝P 2a （f ＋2ma ），故A 项错误；t 2时刻速度为v ′＝a·t 2，故功率为：P ′＝(f ＋ma)·at2，汽车的额定功率为：P ＝(f ＋ma)at ，故B 项正确；根据P ＝(f ＋ma)at ，得f ＝P at －ma ，当牵引力等于阻力时速度最大为：v ＝P f ＝PatP －ma 2t ，故C 项正确，D 项错误．8.如图所示，木板可绕固定水平轴O 转动．木板从水平位置OA 缓慢转到OB 位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J ．用F N 表示物块受到的支持力，用F f 表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是( )A ．F N 和F f 对物块都不做功B ．F N 对物块做功为2 J ，F f 对物块不做功C ．F N 对物块不做功，F f 对物块做功为2 JD ．F N 和F f 对物块所做功的代数和为0 答案 B解析 由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功．由受力分析知，支持力F N 做正功，但摩擦力F f 方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功．由动能定理W －mgh ＝0，故支持力F N 做功为mgh ，B 项正确．9．(2014·课标全国Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度为v ，若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v ，对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( ) A ．W F2＞4 W F1，W f2＞2 W f1 B ．W F2＞4 W F1，W f2＝2 W f1 C ．W F2＜4 W F1，W f2＝2 W f1 D ．W F2＜4 W F1，W f2＜2W f1答案 C解析 由题意可知，两次物体均做匀加速运动，则在同样的时间内，它们的位移之比为x 1：x 2＝v 2t ∶2v2t ＝1∶2；两次物体所受的摩擦力不变，根据功的公式，则有滑动摩擦力做功之比W f1：W f2＝fx 1∶fx 2＝1∶2；再由动能定理，则有W F1－W f1＝12mv 2－0，W F2－W f2＝4×12mv 2－0；由上两式可解得：W F2＝4W F1－2W f1，C 项正确，A 、B 、D 项错误．10．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )A ．物体加速度大小为2 m/s 2B ．F 的大小为21 NC ．4 s 末F 的功率大小为42 WD ．4 s 内F 做功的平均功率为42 W 答案 C解析 由图乙可知，物体的加速度a ＝0.5 m/s 2，由2F －mg ＝ma 可得：F ＝10.5 N ，A 、B 两项均错误；4 s 末力F 的作用点的速度大小为v F ＝2×2 m/s ＝4 m/s ，故4 s 末拉力F 做功的功率为P ＝F·v F ＝42 W ，C 项正确；4 s 内物体上升的高度h ＝4 m ，力F 的作用点的位移l ＝2h ＝8 m ，拉力F 所做的功W ＝F·l＝84 J ，4 s 内拉力F 做功的平均功率P ＝Wt ＝21 W ，D 项错误．11.质量为2×103kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F 和车速倒数1v 的关系图像如图所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s ，设阻力恒定，则( ) A ．汽车所受阻力为6×103NB ．汽车在车速为5 m/s 时，加速度为3 m/s 2C ．汽车在车速为15 m/s 时，加速度为1 m/s 2D ．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104W 答案 CD解析 当牵引力等于阻力时，速度最大，由图线可知阻力大小F f ＝2 000 N ，故A 项错误．倾斜图线的斜率表示功率，可知P ＝F f v ＝2 000×30 W ＝60 000 W ，车速为5 m/s 时，汽车的加速度a ＝6 000－2 0002 000 m/s 2＝2 m/s 2，故B 项错误；当车速为15 m/s 时，牵引力F ＝P v ＝60 00015 N ＝4 000 N ，则加速度a ＝F －F f m ＝4 000－2 0002 000 m/s 2＝1 m/s 2，故C 项正确；汽车的最大功率等于额定功率，等于60 000 W ，故D 项正确．12.(2017·山西监测)(多选)在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧连接的物块A 和B ，它们的质量分别为m 和2m ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态．现用一沿斜面方向的恒力拉物块A 使之沿斜面向上运动，当B 刚离开C 时，A 的速度为v ，加速度方向沿斜面向上、大小为a ，则( ) A ．从静止到B 刚离开C 的过程中，A 发生的位移为3mgsin θkB ．从静止到B 刚离开C 的过程中，重力对A 做的功为－3m 2g 2sin θkC ．B 刚离开C 时，恒力对A 做功的功率为(mgsin θ＋ma)vD ．当A 的速度达到最大时，B 的加速度大小为a2答案 AD解析 开始系统静止时，设弹簧压缩量为x ，由平衡条件有：kx ＝mgsin θ，解得：x ＝mgsin θk .当B 刚离开挡板时，设弹簧伸长量为x ′，对B 受力分析，kx ′＝2mgsin θ，解得：x ′＝2mgsin θk ，所以从静止到B 刚离开C 过程中，A 的位移为x ＋x ′＝3mgsin θk，A 项正确；重力对A 做功W G ＝－mgh ＝－3m 2g 2sin 2θk ，B 项错；B 刚离开C 时，对A 、B 及弹簧组成的整体，由牛顿第二定律有：F －3mgsin θ＝ma ⇒F ＝3mgsin θ＋ma ，所以拉力做功功率P ＝Fv ＝(3mgsin θ＋ma)v ，C 项错；当A 的速度达到最大时，A 所受合外力为零，对A 根据平衡条件有：F 弹＋mgsin θ＝F ，解得：F 弹＝2mgsin θ＋ma ，对B ，根据牛顿第二定律有：F 弹－2mgsin θ＝2ma ′，解两式得：a ′＝a2，D 项正确．二、非选择题13．(2017·广东肇庆二模)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v —t 图像，图像如下图所示(除2 s —10 s 时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)．已知在小车运动的过程中，2 s —14 s 时间段内小车的功率保持不变，在14 s 末通过遥控使发动机停止工作而让小车自由滑行，小车的质量为1.0 kg ，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变．求：(1)14 s －18 s 时间段小车的加速度大小； (2)小车匀速行驶阶段的功率； (3)小车在2 s －10 s 内位移的大小．解析 (1)在14 s －18 s 时间段，由图像可得加速度大小为： a ＝v 14－v 18Δt①将数据代入①式，解得a ＝1.5(m/s 2)(2)在14 s －18 s ，小车在阻力f 作用下做匀减速运动： f ＝ma② 代入数据，解②式，得f ＝1.5(N) ③在10 s －14 s ，小车做匀速直线运动： 牵引力 F ＝f ＝1.5 N小车匀速行驶阶段的功率：P ＝Fv ④ 将数据代入④式，解得P ＝9(W) (3)2 s －10 s ，根据动能定理，可得 Pt －fs 2＝12mv 2－12mv 22⑤ 其中：v ＝6 m/s ，v 2＝3 m/s由⑤解得小车在2 s －10 s 内位移s 2＝39(m)14．在一次抗洪抢险活动中，解放军某部利用直升机抢救一重要落水物体，静止在空中的直升机上的电动机通过悬绳将物体从离飞机90 m 处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为80 kg ，吊绳的拉力不能超过1 200 N ，电动机的最大输出功率为12 kW.为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是：先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，达到最大功率后电动机就以最大功率工作，当物体到达机舱时恰好达到最大速度．(g 取10 m/s 2)求： (1)落水物体刚到达机舱时的速度； (2)这一过程所用的时间．解析 (1)第一阶段绳以最大拉力拉着物体匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，物体变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时，速度达到最大．由P m ＝Fv m ，得v m ＝P m mg ＝12×10380×10 m/s ＝15 m/s此即物体刚到机舱时的速度．(2)匀加速上升的加速度为a 1＝F m －mg m ＝1 200－80×1080 m/s 2＝5 m/s 2匀加速阶段的末速度v 1＝P m F m ＝12 0001 200 m/s ＝10 m/s匀加速上升时间t 1＝v 1a 1＝105 s ＝2 s匀加速上升的高度h 1＝v 12t 1＝102×2 m ＝10 m以最大功率上升过程由动能定理得 P m t 2－mg(h －h 1)＝12mv m 2－12mv 12解得t 2＝5.75 s所以吊起落水物体所用总时间为 t ＝t 1＋t 2＝(2＋5.75) s ＝7.75 s。
专题一正确使用词语(包括熟语)
题组层级快练（一）专题一正确使用词语（包括熟语）1．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）一株株瘦削的枝条上，绽放着一簇簇耀眼的黄花，梭梭、沙枣、红柳等沙生植物郁郁葱葱，勾画出一条绿色隔离带，阻挡着风沙侵蚀的步伐，孕育着绿色的希望。
谁能想到，38 年前，这里是一片漫天黄沙的。
八步沙，是腾格里沙漠南缘、古浪县北部的一个风沙口。
上世纪六七十年代，这里的沙丘以每年7.5 米的速度向南移动，严重侵害着周边10 多个村庄和2 万多亩良田，给当地3 万多群众的生产生活以及过境公路铁路造成巨大。
面对步步紧逼的沙丘，一些人上新疆、去宁夏、走内蒙，开始逃离家乡。
当风沙袭来时，有人逃离家园，更有人留下来守护家园！为了不断恶化的自然环境。
1981年，作为三北防护林前沿阵地，古浪县着手治理荒漠，对八步沙试行“政府补贴、个人承包，谁治理、谁拥有”政策。
改革开放初期，承包沙漠对于当地人来说是一件“破天荒”的大事，谁能有勇气向茫茫沙漠发起挑战？关键时刻，石满、郭朝明、贺发林、张润元、罗元奎、程海站了出来。
这几位普普通通的西北治沙老人，被当地人亲切地称为“六老汉”。
当黄沙肆虐的时候，六老汉抱着护庄稼、保饭碗的质朴愿望，扛起共产党员应有的担当，不畏恶劣环境，无惧艰苦劳作。
他们的朴素情怀、坚定信念、勇往直前，点亮了治沙A ．不毛之地危害遏制谱写B ．不毛之地危险遏止撰写C ．荒山野岭危害遏止谱写D．荒山野岭危险遏制撰写答案A解析“不毛之地”指不长庄稼的地方，泛指贫瘠、荒凉的土地或地带。
“荒山野岭”指荒凉没有人烟的山岭。
这里说的是八步沙贫瘠、荒凉，而不是说其没有人烟，故选“不毛之地”。
“危害”指使受破坏；损害。
“危险”指有遭到损害或失败的可能；遭到损害或失败的可能性。
这里说的是移动的沙丘给当地3 万多群众的生产生活以及过境公路铁路造成巨大的损害，而不是遭到损害的可能性，故选“危害”。
“遏制”指制止，控制。
“遏止”指阻止。
这里说的是控制不断恶化的自然环境，而不是阻止不断恶化的环境，故选“遏制”。
2025高考数学一轮复习题组层级快练60含答案
题组层级快练(六十)一、单项选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离是( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D.2．过点F (0，3)且与直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12y D ．x 2＝12y 答案 D解析 由题意，得动圆的圆心到直线y ＝－3的距离与到点F (0，3)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F (0，3)为焦点、直线y ＝－3为准线的抛物线，其方程为x 2＝12y .3．已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D解析 由题可知，1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y 答案 D 解析 由e 2＝1＋b 2a 2＝4得b a＝3，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 抛物线C 2的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，则有p 22＝2，解得p ＝8，故抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 A解析 由抛物线y 2＝4x ，知p 2＝1，则焦点F (1，0)．设点P ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，则由|PF |＝5，得⎝⎛⎭⎫y 024－12＋y 02＝5，解得y 0＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y 0|＝12×2×4＝4.故选A.6．已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆C ：(x －6)2＋(y －2)2＝4上，则|PQ |＋|PF |的最小值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，连接PC ，则|PF |＝|P A |，当CP 垂直于抛物线的准线时，|CP |＋|P A |最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为x ＝－4，C (6，2)，半径为2，所以|PQ |＋|PF |的最小值为|AQ |＝|CA |－2＝10－2＝8.7. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图为一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水面宽8 m ．若水面下降1 m ，则水面宽度为( )A ．2 6 mB ．4 6 mC ．4 2 mD ．12 m答案 B解析 根据题意，以拱顶为原点，拱顶所在水平直线为x 轴，拱顶所在竖直直线为y 轴建系，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，又由当水面离拱顶2 m 时，水面宽8 m ，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p (－2)，解得p ＝4，故抛物线的方程为x 2＝－8y ，若水面下降1 m ，即y ＝－3，则有x 2＝24，解得x ＝±26，此时水面宽度为26－(－26)＝46(m)．故选B.8．已知抛物线C ：y ＝18x 2，点P 为抛物线C 上一动点，A (0，2)，B (4，5)，O 为坐标原点，当|P A |＋|PB |取得最小值时，四边形OABP 的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．10 D ．6答案 C解析 由题意，抛物线C ：x 2＝8y ，可得点A (0，2)为其焦点，准线方程为y ＝－2，易知点B 在抛物线内，设点P 到准线的距离为d ，作BM 垂直于准线，垂足为M ，则|P A |＋|PB |＝|PB |＋d ≥|BM |＝7，即当P ，B ，M 三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，此时点P 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝18x 2，可得点P 坐标为(4，2)，OA ∥BP ，四边形OABP 的面积为（2＋3）×42＝10.故选C.9．(2024·西安四校联考)已知点F 是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线E 上的两点，满足|F A |＋|FB |＝10，F A →＋FB →＋FO →＝0，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 本题考查抛物线的定义及性质．方法一：由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F A |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝10①，由F A →＋FB →＋FO →＝0，知F A →＋FB →＋FO →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－3p 2，y 1＋y 2＝0，所以x 1＋x 2＝3p 2②，联立①②，解得p ＝4.故选D. 方法二：不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，连接AB ，OA ，OB .由于F A →＋FB →＋FO →＝0，则F 为△ABO 的重心，根据抛物线的对称性可知A ，B 两点关于x 轴对称，则2x 03＝p 2，即x 0＝3p 4.所以|F A |＝|FB |＝5，所以x 0＋p 2＝3p 4＋p2＝5，解得p ＝4.故选D. 二、多项选择题10．已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则( ) A ．|AB |＝8 B ．OA ⊥OBC ．△AOB 的面积为2 2D ．线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2 答案 AC解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线C ：y 2＝4x ，则p ＝2，焦点为(1，0)，则直线y ＝x －1过焦点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，易得Δ>0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确；y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－4，由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3≠0，所以OA 与OB 不垂直，故B 错误；原点到直线y ＝x －1的距离为d ＝|1|2＝12，所以△AOB 的面积为S ＝12×d ×|AB |＝12×12×8＝22，故C 正确；因为线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为x 1＋x 22＝62＝3，故D 错误．11．(2024·南京市模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是( ) A ．若O 为线段PQ 中点，则|PF |＝2 B ．若|PF |＝4，则|OP |＝2 5 C ．存在直线l ，使得PF ⊥QF D ．△PFQ 面积的最小值为2答案 AD解析 若O 为PQ 中点，则x P ＝1，所以|PF |＝x P ＋1＝2，A 正确；若|PF |＝4，则x P ＝4－1＝3，所以|OP |＝x P 2＋y P 2＝x P 2＋4x P ＝21，B 错误；设P (a 2，2a )(a ≠0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－1，－2a ，所以FP →＝(a 2－1，2a )，QF →＝⎝⎛⎭⎫2，2a ，所以FP →·QF →＝2a 2－2＋4＝2a 2＋2>0，所以FP 与FQ 不垂直，即C 错误；易知S △PFQ ＝12×1×⎪⎪⎪⎪2a ＋2a ＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当a ＝±1时取等号，即D 正确． 三、填空题与解答题12．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________． 答案 43解析 设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43.13．已知抛物线y 2＝ax 上的点M (1，m )到其焦点的距离为2.则该抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝4x解析 ∵抛物线y 2＝ax 的准线方程为x ＝－a4，且抛物线y 2＝ax 上的点M (1，m )到其焦点的距离为2，∴a >0，且1＋a4＝2，∴a ＝4.即抛物线的标准方程为y 2＝4x .14．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________；作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________. 答案 5 4 5解析 抛物线C ：y 2＝4x ，则焦点F (1，0)，准线l 方程为x ＝－1，过点M 作ME ⊥l ，垂足为E ，设M (x 0，y 0)，则|MF |＝|ME |＝6，所以x 0＋1＝6，则x 0＝5，所以M 的点横坐标为5，又点M 在抛物线上，故y 02＝4×5＝20，所以|y 0|＝25，即|MN |＝25，所以S △FMN ＝12×|FN |×|MN |＝12×(5－1)×25＝4 5.15．抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程． 答案 y 2＝4x解析 设抛物线y 2＝2px (p >0)的内接直角三角形为Rt △AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，则另一直角边OB 所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p . 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )． ∵|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，∴p 24＋p 2＋64p 2＋16p 2＝325.∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x .16．【多选题】已知抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为F ，圆C ：x 2＋(y －1)2＝16与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则以下结论正确的是( ) A ．点P 的纵坐标的取值范围是(3，5) B ．圆C 的圆心到抛物线准线的距离为1 C ．|PN |＋|NF |等于点P 到抛物线准线的距离 D ．△PFN 周长的取值范围是(8，10)答案 ACD 解析对于A ，圆C ：x 2＋(y －1)2＝16的圆心为(0，1)，半径r ＝4，与y 的正半轴交点为(0，5)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋（y －1）2＝16，解得y ＝3(负值舍去)，所以点P 的纵坐标的取值范围是(3，5)，故正确；对于B ，因为圆C 的圆心为抛物线的焦点，所以圆C 的圆心到抛物线准线的距离为p ＝2，故错误；对于C ，由抛物线的定义得|PN |＋|NF |等于点P 到抛物线准线的距离，故正确；对于D ，△PFN 的周长为|PF |＋|PN |＋|NF |＝r ＋y P ＋1＝y P ＋5∈(8，10)，故正确．故选ACD.。
2025高考数学一轮复习题组层级快练1含答案7777
题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列说法正确的是( )A ．M ＝{(2，3)}与N ＝{(3，2)}表示同一集合B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}与N ＝{y |x ＋y ＝1}表示同一集合C ．M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}有2个子集D ．设U ＝R ，A ＝{x |lg x <1}，则∁U A ＝{x |lg x ≥1}＝{x |x ≥10}答案 C2．若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．BB ．AC ．∅D ．Z答案 D 解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z .3．(2023·全国甲卷，理)设集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U 为整数集，∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ＝3k ，k ∈Z }B ．{x |x ＝3k －1，k ∈Z }C ．{x |x ＝3k －2，k ∈Z }D ．∅答案 A解析 因为整数集Z ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U ＝Z ，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }．故选A.4．已知集合A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B 有________个真子集．( )A ．3B ．16C ．15D ．4 答案 A解析 A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B ＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集个数为22－1＝3.故选A.5．(2023·山东济宁检测)设全集U ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则下列四个图中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}的是( )答案 C解析因为A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，所以A∩B＝{－1}，A∪B＝{－2，－1，0，1，2}．则A中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1，2}；B中的阴影部分所表示的集合为{2}；C中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}；D中的阴影部分所表示的集合为{－1}．故选C.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．7．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A．∅B．SC．T D．Z答案 C解析当n＝2k，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋1，k∈Z}；当n＝2k＋1，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋3，k∈Z}．所以T S，S∩T＝T.故选C.8．(2024·河北辛集中学模拟)已知集合A＝{1，3，a2－2a}，B＝{3，2a－3}，C＝{x|x<0}，若B⊆A且A∩C＝∅，则a＝()A．1 B．2C．3 D．2或3答案 B解析方法一：由题得2a－3＝1或2a－3＝a2－2a.若2a－3＝1，则a＝2，故A＝{0，1，3}，B＝{1，3}，此时满足B⊆A，A∩C＝∅.若2a－3＝a2－2a，则a＝1或a＝3，当a＝1时，A＝{－1，1，3}，B＝{－1，3}，此时A∩C ＝{－1}，不符合题意；当a＝3时，a2－2a＝3，不符合题意．故a＝2，选B.方法二：因为A∩C＝∅，故集合A中的元素均为非负数，从而a2－2a≥0，得a≤0或a≥2，故排除A；由集合中元素的互异性得2a－3≠3，即a≠3，排除C、D.故选B.9．若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝()A．M B．NC．P D．∅答案 C解析∵M∩N＝M，∴M⊆N，∵N∪P＝P，∴N⊆P，∵M，N，P非空且互不相等，∴M N P，∴M∪P ＝P.故选C.10．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析方法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C31C31＝9，故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.二、多项选择题11．已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．M ＝∁R N答案 CD 解析 由题意得M ＝{y |y ≤0}，N ＝{y |y >0}，∴∁R N ＝{y |y ≤0}，∴M ＝∁R N ，M ∩N ＝∅.12．(2024·重庆八中适应性考试)已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B ＝B ，则下列关系一定正确的是( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∩B ＝BC ．A ∪B ＝UD ．(∁U B )∪A ＝A答案 CD解析 令U ＝{1，2，3，4}，A ＝{2，3，4}，B ＝{1，2}，满足(∁U A )∪B ＝B ，但A ∩B ≠∅，A ∩B ≠B ，故A 、B 均不正确；由(∁U A )∪B ＝B ，知∁U A ⊆B ，∴U ＝[A ∪(∁U A )]⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝U ，由∁U A ⊆B ，知∁U B ⊆A ，∴(∁U B )∪A ＝A ，故C 、D 均正确．13．1872年，德国数学家戴德金用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)．所谓“戴德金分割”，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，M 中每一个元素均小于N 中的每一个元素，则称(M ，N )为“戴德金分割”．试判断下列选项中，可能成立的是( )A ．M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x >0}是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素答案 BD解析 对于A ，因为M ∪N ＝{x ∈Q |x ≠0}≠Q ，故A 错误；对于B ，设M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x ≥0}，满足“戴德金分割”，故B 正确；对于C ，不能同时满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，故C 错误；对于D ，设M ＝{x ∈Q |x <2}，N ＝{x ∈Q |x ≥2}，满足“戴德金分割”，此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确．三、填空题与解答题14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________． 答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A⊆B，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A∪B＝{1，0，－1}，∁B A＝{－1}．15．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，c>0.若A∪B＝B，则c的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析A＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.16．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求a的值；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁U B)＝A，求a的取值范围．答案(1)－1或－3(2)(－∞，－3](3){a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}解析A＝{1，2}．(1)由A∩B＝{2}，得2∈B，则4＋4a＋4＋a2－5＝0，得a＝－1或－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{2，－2}，符合题意；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意．综上，a＝－1或－3.(2)由A∪B＝A，得B⊆A.①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0，得a<－3；②若B＝{1}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且Δ＝0，此时无解；③若B＝{2}，则4＋4a＋4＋a2－5＝0且Δ＝0，得a＝－3；④若B＝{1，2}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且4＋4a＋4＋a2－5＝0，此时无解．综上，a的取值范围为(－∞，－3]．(3)由A∩(∁U B)＝A，得A∩B＝∅，所以1＋2a＋2＋a2－5≠0且4＋4a＋4＋a2－5≠0，解得a≠－1±3且a≠－1且a≠－3.故a的取值范围为{a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}．17．(2024·成都七中月考)已知非空集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅，且A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则集合A，B的所有可能情况种数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析易知A的元素个数不能为2，否则A，B中必然有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意．所以A的元素个数为1或3，所以可能情况有A＝{3}，B＝{1，2，4}或A＝{1，2，4}，B＝{3}，共2种．故选B. 18．【多选题】设集合X是实数集R的子集，如果x0∈R满足对任意的a>0，都存在x∈X，使得0<|x－x0|<a，则称x0为集合X的聚点．则下列集合中是以0为聚点的集合有()A ．{x |x ∈R ，x ≠0}B ．{x |x ∈Z ，x ≠0} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝1n ，n ∈N *D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *答案 AC解析 对于A ，对任意的a >0，都存在x ＝a 2使得0<|x －0|＝a 2<a ，故0是集合{x |x ∈R ，x ≠0}的聚点． 对于B ，对于某个实数a >0，比如取a ＝12，此时对任意的x ∈{x |x ∈Z ，x ≠0}，都有|x －0|≥1，也就是说0<|x －0|<12不可能成立，从而0不是集合{x |x ∈Z ，x ≠0}的聚点． 对于C ，对任意的a >0，都存在n >1a ，即1n <a ，0<|x －0|＝1n <a ，故0是集合{x |x ＝1n，n ∈N *}的聚点． 对于D ，n n ＋1＝1－1n ＋1，故n n ＋1随着n 的增大而增大，故n n ＋1的最小值为11＋1＝12，即x ≥12，故对任意的0<a <12，不存在x ，使得0<|x －0|<a ，故0不是集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *的聚点．故选AC.。
专题七 语言表达简明、得体、准确、鲜明、生动
题组层级快练（七）专题七语言表达简明、得体、准确、鲜明、生动1．阅读下面一段文字，完成后面的题目。
大家好！①非常荣幸能够代表毕业生发言。
此时此刻，②我心情非常激动。
高中三年，③我们早已习惯于在学校的生活，早已离不开四季飘香的校园。
④我们将告别大家朝夕相处的同学、学识渊博的老师。
⑤在此，⑥请允许我代表高三的全体同仁，⑦向我们的恩师致以崇高的敬意！今后，⑧我们这些高足，⑨定当以自己的实际行动报答母校……(1)文中画线的句子中有两处表达不简明，应删除个别词语。
表达不简明的句子序号分别是________和________。
(2)文中画线的句子中有两处表达不得体，应替换个别词语。
表达不得体的句子序号分别是________和________。
答案(1)③④(2)⑥⑧解析③“在”多余；④“大家”多余；⑥“同仁”不得体；⑧“高足”不得体。
2．下面是一封校庆邀请函的部分内容，其中有五处不得体，请找出并作修改。
学校诚邀您来看一下校庆典礼，与贵校师生共襄盛典。
您的拨冗惠顾就是对我们的最大支持。
如能参加，务必于5月10日前发回执告知，以便学校做好接待准备。
如不能亲临，可将贺信呈送到校庆办公室。
①将____________改为____________②将____________改为____________③将____________改为____________④将____________改为____________⑤将____________改为____________答案①“来看一下”改为“出席”或“参加”；②“贵校”改为“我校”“全校”或“本校”；③“惠顾”改为“光临”或“莅临”；④“务必”改为“希望”或“请”；⑤“呈送”改为“惠寄”“寄送”或“发送”。
解析这是一封代表学校发出的书面邀请函，所以在遣词造句时不仅需要正确使用书面语体，而且还要恰当地使用敬谦辞。
①“来看一下”属于口语词汇，不符合邀请函的语体风格，可将其改为“出席”或“参加”。
高考调研题组层级快练历史2023电子版
高考调研题组层级快练历史2023电子版一、选择题（本大题共25小题，满分50分，每小题2分。
每小题所列的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、据考证，周武王灭商后，封舜的后代妫满于陈，妫满死后被谥为陈胡公．其后代便以“陈”为姓氏。
陈姓源流反映了西周时期一项重要的政治制度。
这项制度是A.郡县制B.行省制C.宗法制D.九品中正制2、某历史学习兴趣小组在探讨中国古代小农经济的基本特点时，形成了如下一些观点，你认为错误的是A.以一家一户为单位B.农业和家庭手工业相结合C.经济上自给自足D.生产的产品大部分投放市场3、商鞅变法规定：制止弃农经商，未经允许从商者罚作奴隶。
此规定体现的经济政策是A.海禁政策B.闭关锁国C.重农抑商D.土地国有4、明太祖朱元璋曾在8天内，平均每天批阅奏章两百多件，处理国事四百多件，为减轻负担，他设置了A.御史大夫B.中书省C.殿阁大学士D.军机处5、明确规定中国割让香港岛给英国的不平等条约是A《南京条约》 B.《北京条约》 C.《天津条约》 D.《辛丑条约》6、慈禧太后一直被认为是晚清封建顽固派的最高代表，可她支持洋务运动，这是因为洋务派“中学为体、西学为用”的主张有利于A.废除封建制度B.维护清朝统治C.推行君主立宪D.促进民主共和7、有同学收集了一些研究性学习素材，其中涉及“张謇”“短暂的春天”“国民经济建设运动”“军管理”“《中美友好通商航海条约》”等内容。
他探究的主题应该是A.近代中国民族资本主义的曲折发展B.近代中国经济结构的变动C.近代中国思想解放潮流D.近代中国反侵略、求民主的潮流8、1905年，中国人自己摄制的电影首映成功。
这部影片不论对中国电影史，还是中国京剧史来讲，都是弥足珍贵的资料，它是A.《定军山》B.《歌女红牡丹》C.《渔光曲》D.《风云儿女》9、陈独秀在《敬告青年》一文中写道：国人而欲脱蒙昧时代……当以科学与人权并重。
以此文的发表为开端的运动是A.太平天国运动B.义和团运动C.新文化运动D.维新变法运动10、为集中全力纠正博古等人的“左倾”军事路线错误，会议委托张闻天起草《中央关于反对敌人五次“围剿”的总结的决议》这次会议应该是A.八七会议B.中共三大C.中共七大D.遵义会议11、1958年8月13日,《人民日报》社论写道：“这又一次生动地证明：“人有多大胆，地有多大产”，解放了的人民可以创造出史无前例的奇迹来······”。
【高考调研】高考数学一轮复习 题组层级快练90(含解析)
题组层级快练(九十)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y后，曲线C 变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝1 答案 A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆答案 C4．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)答案 C5．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2 答案 D解析 极坐标为(2，π2)的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2，故选D.6．(2015·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( ) A ．ρ＝1 B ．θ＝π2C ．ρsin θ＝1D ．ρ(sin θ＋cos θ)＝1解析 ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A 正确；θ＝π2化为直角坐标方程为x ＝0(y ≥0)，表示射线，故B 不正确；ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1，表示直线，故C 不正确；ρ(sin θ＋cos θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，表示直线，故D 不正确．7．(2015·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A.8．在极坐标系中，极坐标为(2，π6)的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点(2，π6)到极点和极轴的距离分别为2,2sin π6＝1.9．在以O 为极点的坐标系中，直线l 的极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l 与极轴相交于点M ，以OM 为直径的圆的极坐标方程是( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．2ρ＝cos θD ．ρ＝2＋cos θ答案 A解析 直线l ：ρcos θ－2＝0的直角坐标方程是x ＝2，直线l 与x 轴相交于点M (2,0)，以OM 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，化为极坐标方程是ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ.10．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0. 选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.11．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案 (1,0)，(2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)． 当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．12．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案 1解析 ρsin(θ－π6)＝ρ(sin θcos π6－sin π6cos θ)＝1，因为在极坐标系中，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线可化为x －3y ＋2＝0. 同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d ＝|3－3＋2|3＋1＝1.13．在极坐标系中，点M (4，π3)到曲线ρcos(θ－π3)＝2上的点的距离的最小值为________．答案 2解析 点M (4，π3)的直角坐标为M (2,23)，曲线ρcos(θ－π3)＝2，即ρ(12cos θ＋32sin θ)＝2，化为普通方程为x ＋3y －4＝0. 点M (2,23)到此直线的距离d ＝|2＋23×3－4|1＋32＝2即为所求．14．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切，则a ＝________. 答案 1或－9解析 圆ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0，即4x ＋3y ＋a ＝0，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切， ∴圆心到直线的距离等于半径． 即|4＋0＋a |42＋32＝1，解得a ＝1或－9. 15．(2015·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则实数a 的值为________．答案 －5或－1解析 将直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 化为普通方程，得y －x ＝a ，即x －y ＋a ＝0，将曲线ρ＝2cos θ－4sin θ的方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝2x －4y ，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r ＝ 5.设圆心到直线AB 的距离为d ，由勾股定理可得d ＝r 2－|AB |22＝5－2322＝2，而d ＝|1－－＋a |12＋－2＝|a ＋3|2＝2，所以|a ＋3|＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 16．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin(θ－π3)＝6.(1)化C 1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2：3x －y ＋12＝0 (2)16 解析 (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100.∴x 2＋y 2＝100. 所以C 1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．由C 2：ρsin(θ－π3)＝6，得ρ(12sin θ－32cos θ)＝6.∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝|12|32＋－2＝6<10，所以直线C 2被圆截得的弦长等于2102－62＝16.17．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 答案 (1)x ＋3y －2＝0，M (2,0)，N (233，π2)(2)θ＝π6，ρ∈R解析 (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)，则P 点的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．18．(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1)C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数) (2)ρ＝34sin θ－2cos θ思路 (1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋(y2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12.于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)．化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.(2015·广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ<2π)，曲线C 在点(2，π4)处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________．答案 x ＋y －22＝0解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.。
高考调研高一数学必修一题组层级快练答案
高考调研高一数学必修一题组层级快练答案1、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ2、36、下列生活实例中, 数学原理解释错误的一项是( ) [单选题] *A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠, 数学原理: 在同一平面内, 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线(正确答案)B. 两个村庄之间修一条最短的公路, 其中的数学原理是：两点之间线段最短C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子, 其中的数学原理是: 两点确定一条直线D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路, 数学原理: 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短．3、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] *A．-10℃(正确答案)B．-13℃C．+10℃D．+13℃4、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。
记录一被测人员在一周内的体温测量结果分别为+1，-3，-5，+1，-6，+2，-4，那么，该被测者这一周中测量体温的平均值是（??）[单选题] *A．1℃B．31℃C．8℃(正确答案)D．69℃5、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限6、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）7、以A（3，2），B（6，5），C（1，10）为顶点的三角形是（）[单选题] *A、锐角三角形B、锐角三角形C、直角三角形(正确答案)D、无法判断8、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。
[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程9、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。
高考调研数学目录
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第九章 解析几何
第1课时 直线方程 题组层级快练（五十九）（word） 第2课时 两直线的位置关系 题组层级快练（六十）（word） 第3课时 圆的方程 题组层级快练（六十一）（word） 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 题组层级快练（六十二）（word） 第5课时 椭圆(一) 题组层级快练（六十三）（word） 第6课时 椭圆(二) 题组层级快练（六十四）（word） 第7课时 双曲线(一) 题组层级快练（六十五）（word）
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第5课时 三角函数的图像 题组层级快练（二十四）（word） 第6课时 三角函数的性质 题组层级快练（二十五）（word） 专题研究 三角函数的值域与最值 专题层级快练（二十六）（word） 第7课时 正、余弦定理 题组层级快练（二十七）（word） 专题研究 正、余弦定理应用举例 专题层级快练（二十八）（word）
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第五章 平面向量与复数
第1课时 向量的概念及线性运算 题组层级快练（二十九）（word） 第2课时 平面向量基本定理及坐标运算 题组层级快练（三十）（word） 第3课时 平面向量的数量积 题组层级快练（三十一）（word） 专题研究 平面向量的综合应用 专题层级快练（三十二）（word） 第4课时 复数 题组层级快练（三十三）（word）
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第八章 立体几何
第1课时 空间几何体的结构、三视图、直观图 题组层级快练（四十八）（word） 第2课时 空间几何体的表面积、体积 题组层级快练（四十九）（word） 专题研究 球与几何体的切接问题 专题层级快练（五十）（word） 第3课时 空间点、线、面间位置关系 题组层级快练（五十一）（word） 第4课时 直线、平面平行的判定及性质 题组层级快练（五十二）（word） 第5课时 直线、平面垂直的判定及性质 题组层级快练（五十三）（word）
【高考调研】高考数学一轮复习 题组层级快练66(含解析)
题组层级快练(六十六)1．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是( ) A.18 B.14 C.116D ．1答案 A解析 由x 2＝14y ，知p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18.2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x或x 2＝43y ，选A.3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A (72，4)，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.4．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 的坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2.故实轴长为4.5．(2015·甘肃天水期末)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x答案 D解析 易知圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心坐标为(1，－3)，当抛物线的焦点在x 轴上时，设抛物线方程为y 2＝mx ，将(1，－3)代入得m ＝9，所以抛物线方程为y 2＝9x ；当抛物线的焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝ny ，将(1，－3)代入得n ＝－13，所以抛物线方程为y ＝－3x 2.综上知，所求抛物线方程为y ＝－3x 2或y 2＝9x .6．(2015·山东烟台期末)已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为( )A ．4 2B ．6 2C ．4D ．6答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，由于直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，所以由抛物线的定义得m ＋n ＋2＝|AB |，其最小值即为通径长2p ＝4.故选C.7．(2015·吉林长春调研测试)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.8．(2015·湖北武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4答案 C解析 设点P (x 0，y 0)，则点P 到准线x ＝－2的距离为x 0＋ 2.由抛物线定义，得x 0＋2＝42，x 0＝32，则|y 0|＝2 6.故△POF 的面积为12×2×26＝2 3.9．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6答案 C解析 求抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝b ax ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab ，所以2pa 2b 2＝p 2，c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.10．(2013·新课标全国Ⅱ理)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 方法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F 的坐标为(p 2，0)，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)(x －p2)＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 202－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 20＝2px 0，得16＝2p (5－p2)，解之得p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F (p2，0)，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝(p 2，－2)，AM→＝(y 202p，y 0－2)．由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M (8p，4)．由抛物线定义可知：|MF |＝8p ＋p2＝5.又p >0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.11．(2015·河南许昌一模)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝2，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝－8x解析 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，因为准线方程为x ＝2，∴p ＝4.故抛物线方程为y 2＝－8x . 12．(2015·黑龙江大庆一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y 2＝4x 的准线相切，则m ＝________.答案 34解析 圆x 2＋y 2＋mx －14＝0圆心为(－m 2，0)，半径r ＝m 2＋12，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1.由|－m 2＋1|＝m 2＋12，得m ＝34.13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝±6， 所以水面宽为2 6 米．14．(2015·衡水调研)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2p ，则双曲线的离心率为________．答案102解析 设点M 在第一象限，∵|MF |＝2p ，∴M 的坐标为(32p ，3p )．又∵准线经过双曲线的左顶点，∴a ＝p2.∴双曲线方程为x 2p 24－y 2b 2＝1.将点M 代入可得b 2＝38p 2.∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋38p 2p 24＝52.∴e ＝102. 15．(2015·北京顺义一模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A .如果△APF 是边长为4的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为________，点P 的横坐标x P ＝________.答案 (1,0)，3解析 如图所示．设P (y 202p ，y 0)，则|PA |＝y 202p ＋p 2＝4.①又在Rt △AMF 中，∠AFM ＝∠FAP ＝60°， 故tan ∠AFM ＝|AM ||MF |＝|y 0|p ＝ 3.②联立①②式，得p ＝2，|y 0|＝2 3.故焦点坐标为(1,0)，点P 的横坐标为x ＝y 202p＝3.16．抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．答案 y 2＝4x解析 设抛物线y 2＝2px (p >0)的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．∵|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 24＋p 2＋(64p 2＋16p 2)＝325. ∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x .17．(2015·河北唐山模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423.(1)求抛物线E 的方程；(2)过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O (O 为原点)三点共线，求点N 的坐标．答案 (1)y 2＝4x (2)(32，6)或(32，－6)解析 (1)由已知得M (－p2，0)，C (2,0)． 设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223.于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝13.所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR ＝|AC ||CR ||AC |＝3.即2＋p2＝3，p ＝2.故抛物线E的方程为y 2＝4x .(2)设N (s ，t )．P ，Q 是以NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y －t2)2＝s －2＋t24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0.① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，②②－①，得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0.③P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝32.故点N 坐标为(32，6)或(32，－6)．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，求抛物线方程．答案 x 2＝2y 或x 2＝4y 解析 x 2＝2py 变形为y ＝12px 2，∴y ′＝x p.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴y ′|x ＝x 1＝x 1p.∴切线AM 方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)．即y ＝x 1p x －x 212p .同理BM 方程为y ＝x 2p x －x 222p.又(2，－2p )在两条直线上， ∴－2p ＝2x 1p －x 212p ，－2p ＝2x 2p －x 222p.∴x 1，x 2是方程x 22p －2xp－2p ＝0的两根．即x 2－4x －4p 2＝0.∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2. ∴y 1＋y 2＝12p (x 21＋x 22)＝12p [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝12p(16＋8p 2)． 又∵线段AB 中点纵坐标为6， ∴y 1＋y 2＝12，即12p (16＋8p 2)＝12.解得p ＝1或p ＝2.∴抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y .。
2025高考数学一轮复习题组层级快练26含答案
题组层级快练(二十六)一、单项选择题 1．tan 255°＝( ) A ．－2－3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3 D ．2＋ 3答案 D解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.2．(2021·全国乙卷，文)cos 2π12－cos 25π12＝( )A.12 B.33 C.22D.32 答案 D解析 cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－cos 2(π2－π12)＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.故选D.3．(2024·河北保定一中期末)已知sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－15B. 15 C ．－75D. 75答案 D解析 ∵sin 2α＝2425，0<α<π2，∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，∴sin α＋cos α＝75.∴2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝cos α＋sin α＝75.4．(2020·课标全国Ⅲ)已知sin θ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22答案 B解析 由题意得，sin θ＋12sin θ＋32cos θ＝1，则32sin θ＋32cos θ＝1.∴32sin θ＋12cos θ＝33，即sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝33.故选B.5．若α＋β＝π6，且2＋cos αsin α＝sin 2β1＋cos 2β，则cos β＝( )A ．－34B.34C ．－14D.14答案 A解析 因为2＋cos αsin α＝sin 2β1＋cos 2β＝2sin βcos β2cos 2β＝sin βcos β，所以(2＋cos α)cos β＝sin αsin β，整理得2cos β＋cos(α＋β)＝0.又α＋β＝π6，所以2cos β＋cos π6＝0，即cos β＝－34.故选A.6．(2019·课标全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.∵cos α≠0，∴cos α＝2sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝55.故选B.7．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且3cos 2α＋10sin α＝－1，则cos α的值为( )A ．－13B.13 C.223 D.23答案 C解析 由3cos 2α＋10sin α＝－1，可得3(1－2sin 2α)＋10sin α＝－1，解得sin α＝－13或sin α＝2(舍去)．因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－13，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.故选C.8．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b答案 D解析 a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°cos 239°＋sin 239°＝cos 78°＝sin 12°，∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a >c >b .故选D.9．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4答案 A解析 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，即tan(A ＋B )＝－ 3.∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3， 又0<C <π，∴C ＝π3.10．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则( )A ．tan(α＋β)＝－1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α－β)＝1答案 C解析 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C. 二、多项选择题11．(2024·海南海口模拟)已知α∈(π，2π)，sin α＝tan α2＝tan β2，则( )A ．tan α＝ 3B ．cos α＝12C ．tan β＝4 3D ．cos β＝17答案 BD解析 因为sin α＝tan αcos α＝tan α2，且α∈(π，2π)，所以cos α＝12，所以sin α＝－32，tan α＝－3，故A 错误，B 正确．tanβ2＝－32，所以tan β＝2tanβ21－tan 2β2＝－43， cos β＝cos 2β2－sin 2β2sin 2β2＋cos 2β2＝1－tan 2β21＋tan 2β2＝17，故C 错误，D 正确．故选BD.12. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？其意思为：今有水池1丈见方(即CD ＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC ，现有下述四个结论，其中正确的是( )A ．水深为12尺B ．芦苇长为15尺C ．tanθ2＝23D ．tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－177答案 ACD解析 设BC ＝x ，则AC ＝x ＋1，∵AB ＝5，∴52＋x 2＝(x ＋1)2，∴x ＝12，即水深为12尺，A 正确；芦苇长为13尺，B 错误；由tan θ＝125＝2tanθ21－tan 2θ2，解得tanθ2＝23(负值已舍去)，C 正确；∵tan θ＝125，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝－177，D 正确．故选ACD.三、填空题13．计算：(1)sin 250°1＋sin 10°＝________；(2)1－tan 17°1＋tan 17°＋cos 146°1＋sin 34°＝________； (3)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝________；(4)sin 40°(tan 10°－3)＝________． 答案 (1)12 (2)0 (3)12(4)－1解析 (1)原式＝1－cos 100°2（1＋sin 10°）＝1＋sin 10°2（1＋sin 10°）＝12.(2)原式＝cos 17°－sin 17°cos 17°＋sin 17°＋－cos 34°1＋sin 34°＝cos 17°－sin 17°cos 17°＋sin 17°－cos 217°－sin 217°（cos 17°＋sin 17°）2 ＝cos 17°－sin 17°cos 17°＋sin 17°－cos 17°－sin 17°cos 17°＋sin 17°＝0.(3)sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(4)原式＝sin 40°·⎝⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－3＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝sin 40°·2（cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°）cos 10°＝sin 40°·2sin （10°－60°）cos 10°＝sin 40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1.14．(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________．答案31010 45解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010.因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45. 15．已知tan θ＝2，则sin 3θsin θ＝________．答案 13解析 ∵tan θ＝2，∴sin 2θ＝23，sin 3θ＝sin(θ＋2θ)＝3sin θ－4sin 3θ，sin 3θsin θ＝3－4sin 2θ＝3－4×23＝13.16．若▲表示一个整数，该整数使得等式▲cos 40°＋3sin 40°＝4成立，则这个整数▲为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案 B 解析 因为▲cos 40°＋3sin 40°＝4，所以▲sin 40°＋3cos 40°＝2sin 80°，则▲sin 40°＋3cos 40°＝2cos10°，因此▲sin 40°＋3cos 40°＝2cos(40°－30°)＝2cos 40°cos 30°＋2sin 40° sin 30°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°＝sin 40°＋3cos 40°，所以▲＝1，故选B.17．(2024·衡水中学调研卷)已知sin(θ＋20°)＝15，则sin(2θ－50°)的值为( )A ．－2325B.2325C.4625D.25答案 A解析 sin(2θ－50°)＝sin [(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin 2(θ＋20°)－1＝－2325.18．已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( )A.π3 B.π6 C.π4 D.π8 答案 B解析 由x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得tan x ＞0，tan y ＞0，x －y ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，得sin x cos y ＋cosx sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝2tan y 1＋3tan 2y＝21tan y ＋3tan y ≤33，当且仅当tan y ＝33时等号成立，由于f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则x －y 的最大值为π6.。
快速划分段落层次能力训练题(附答案)
快速划分段落层次能力训练[1]1、我看见过波澜壮阔的大海，欣赏过水平如镜的西湖，却从没看见过漓江这样的水。
漓江的水真静啊，静得让你感觉不到它在流动；漓江的水真清啊，清得可以看见江底的沙石；漓江的水真绿啊，绿得仿佛那是一块无瑕的翡翠。
船桨激起的微波扩散出一道道水纹，才让你感觉到船在前进，岸在后移。
本段的结构模式是：（）A、总叙——分叙——结叙型B、总叙——分叙型C、分叙——结叙型D、分叙——分叙型2、我攀登过峰峦雄伟的泰山，游览过红叶似火的香山，却从没看见过桂林这一带的山。
桂林的山真奇啊，一座座拔地而起，各不相连，像老人，像巨象，像骆驼，奇峰罗列，形态万千；桂林的山真秀啊，像翠绿的屏障，像新生的竹笋，色彩明丽，倒映水中；桂林的山真险啊，危峰兀立，怪石嶙峋，好像一不小心就会栽倒下来。
本段的结构模式是：（）A、总叙——分叙——结叙型B、总叙——分叙型C、分叙——结叙型D、分叙——分叙型3、第二个节目是交换礼品。
每间牢房，每个人都准备了礼物，送给认识的或者不认识的战友，作为联欢的纪念品。
最多的礼物是“贺年片”，那是用小块的草纸做的，上面用红药水画上鲜红的五角星或者镰刀锤子，写上几句互相鼓励的话。
楼七室经过昼夜赶工，刻出了一百多颗红的、黄的、晶亮的五角星，分送给各个牢房的同志。
女室送给各室的是一幅幅绣了字的锦旗，那些彩色的线，是从他们的袜子上拆下来的……本段的结构模式是：（）A、总叙——分叙——结叙型B、总叙——分叙型C、分叙——结叙型D、分叙——分叙型4、一个寒冷的冬天，南加州沃尔逊小镇上来了一群逃难的人，他们面呈菜色，疲惫不堪。
善良而朴实的沃尔逊人，家家烧火做饭，款待他们，这些逃难的人，显然很久没有吃到这么好的食物了，他们连一句感谢的话也顾不上说，就狼吞虎咽地吃起来。
本段的结构模式是：（）A、总叙——分叙——结叙型B、总叙——分叙型C、分叙——结叙型D、分叙——分叙型5、年轻人留了下来，很快成了杰克逊大叔庄园里的一把好手。
2019版高考数学(理)一轮总复习作业：80二项式定理
题组层级快练(八十)1．(2017·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8、9、10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1、2、3、4、5、6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )A ．10 B ．20C ．30 D ．40答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2018·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名、1名、1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( )A ．1 260种 B ．2 025种C ．2 520种 D ．5 040种答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．(2017·课标全国Ⅱ，理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种 B ．18种C ．24种 D ．36种答案 D解析 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6种，再C42C21C11A22分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．5．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( )A ．12种 B ．16种C ．18种 D ．36种答案 C解析 可先分组再排列，所以有C 42A 33＝18(种)放法．126．(2017·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( )A ．40种 B ．48种C ．60种 D ．68种答案 B解析 4，2分法：A 22(C 64－1)＝14×2＝28，3，3分法：C 63C 33＝20，∴共有48种．7．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为( )A ．C 62C 52C 82 B ．C 62＋C 52＋C 82C ．A 62A 52A 82 D ．C 192答案 B解析 依题意，高一比赛有C 62场，高二比赛有C 52场，高三比赛有C 82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C 62＋C 52＋C 82，选B.8．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )A ．18 B ．24C ．30 D ．36答案 C解析 排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A 33＝6种，所以共有C 42A 33－A 33＝30种分法．故选C.9．(2018·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A ．80种 B ．90种C ．120种D ．150种答案 D解析 有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C 53A 33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C 51××A 33＝90(种)．∴共有150种．故选D.C42210．(2017·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( )A ．C 419 B ．C 389C ．C 409 D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台象排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( )A ．24 B ．36C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2017·湖南衡阳八中期末)有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种(用数字作答)．答案 50解析 因为每项活动最多安排4人，所以可以有三种安排方法，即(4，2)，(3，3)，(2，4)．当安排4，2时，需要选出4个人参加第一个项目，共有C 64＝15种；当安排3，3时，共有C 63＝20种；当安排2，4时，共有C 62＝15种，所以共有15＋20＋15＝50种．13．(2017·山东聊城重点高中联考)三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有________种．答案 60解析 若每个村去一个人，则有A 43＝24种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有C 31A 42＝36种分配方法，所以共有60种不同的分配方法．14．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________．答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配C42C22A22一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.15．(2017·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案 84解析 方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 73种．故共有C 71＋A 72＋C 73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C 96＝84(种)抽调方法．16．(2017·安徽皖北协作区联考)3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能选聘上)，则不同的选聘方法种数为________．(用具体数字作答)答案 60解析 当4名大学毕业生全选时有·A 33，当选3名大学毕业生时有A 43，即不同的C41C31A22选聘方法种数为·A 33＋A 43＝60.C41C31A2217．(2017·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．1．(2017·安徽毛坦厂中学月考)今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )A ．180种 B ．120种C ．90种 D ．60种答案 C解析 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少一名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1个，另两组都是2人，有＝15(种)方法．再将3组分到3C51·C42A22个班，共有15·A 33＝90(种)不同的分配方案．故选C.2．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有( )A ．60种 B ．42种C ．36种 D ．24种答案 A解析 若3个项目分别安排在3个不同的场馆，则安排方案共有A 43＝24(种)；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C 32·A 42＝36(种)．综上，在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24＋36＝60(种)．故选A.3．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A ．144 B ．72C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有种；C42C21C11A22第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有×A 33＝36(种)．C42C21C11A224．(2018·衡水中学调研卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种 B ．20种C ．36种 D ．52种答案 A解析 将4个小球分2组，①＝3种；②C 41C 33＝4种．①中的这3种分组方法任意C42C22A22放均满足条件，∴3×A 22＝6种放法．②中的4种分组方法各只对应1种放法．故总种数为6＋4＝10种．5．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法总数为( )A ．10 B ．20C ．30 D ．40答案 B解析 因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法总数为＝5×4＝20.A55A336．(2018·诸暨一模)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在a ，b ，c 三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有( )A ．96种 B ．124种C ．130种 D ．150种答案 D解析 可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照1，1，3分；另一种是按照1，2，2分．当按照1，1，3分时，共有C 53A 33＝60种方法；当按照1，2，2分时，共有＝90种方法．根据分类加法计数原理可得安排方法共有60＋90＝150种．C52C32A33A22。
人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案
人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案(附参考答案)1．y＝ln(－x)的导函数为()A．y′＝－B．y′＝1xC．y′＝ln(x) D．y′＝－ln(－x)答案B2．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(1，－1)答案C解析y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.3．已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是()A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2C．y＝x－1 D．y＝x＋1答案C解析∵y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1.∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝x－1.4．(2015·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋lnx)，f′(x0)＝2 015，则x0＝()A．e2B．1C．ln2 D．e答案B解析 由题意可知f ′(x)＝2 014＋lnx ＋x ·＝2 015＋lnx.由f ′(x0)＝2 015，得lnx0＝0，解得x0＝1.5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x)＝4ax3＋2bx ，∵f ′(x)为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.6．若函数f(x)＝x2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是()答案 A解析 由题意知 即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，b2＞4c.又f ′(x)＝2x ＋b ，∴f ′(x)的图像为A.7．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足()A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C8．若P 为曲线y ＝lnx 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ|min ＝()A ．0 B.22C.D ．2答案 C解析 如图所示，直线l 与y ＝lnx 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x ＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝＝.故选C.9．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()A．－ B.12C．－ D.22答案B解析∵y′＝·[cosx(sin x＋cosx)－sinx·(cos x－sinx)]＝，∴y′|x＝＝，∴k＝y′|x＝＝.10．(2015·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－≤x≤)图像上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.B.3π4C.D.π6答案B解析由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值为，故选B.11．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．答案[2，＋∞)12．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，所以f()的值为________．答案1解析因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，所以f′()＝－1.故f()＝f′()cos＋sin＝1.13．(2013·江西文)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案2解析由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.14．(2015·广东肇庆一模)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________．答案2x＋y＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝＝，故切线的斜率为k＝f′(0)＝＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝(－2)(x－0)⇒2x＋y＋1＝0，故填2x ＋y＋1＝0.15．(2015·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案log2e解析∵y′＝，∴k＝.∴切线方程为y＝(x－1)．∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.16．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2,6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.17．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案(1)y＝13x－32(2)切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x－18或y＝4x－14解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)∵切线与直线y ＝－x ＋3垂直，∴切线的斜率为k ＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x ＋1＝4.∴x0＝±1.∴或⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝－1，y0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.18．设函数f(x)＝ax －，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案 (1)f(x)＝x －(2)定值为6解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝x －3.当x ＝2时，y ＝.又f ′(x)＝a ＋，于是解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f(x)＝x －.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y －y0＝(1＋)(x －x0)，即y －(x0－)＝(1＋)(x －x0)．令x ＝0得y ＝－，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－)． 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．若曲线y＝lnx(x>0)的一条切线是直线y＝x＋b，则实数b的值为()A．2 B．ln2＋1C．ln2－1 D．ln2答案C解析∵y＝lnx的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2.∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.2．下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝()A.B．－13C.D．－或53答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴，(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图像．∵由图像知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0，∴a2－1＝0，a<0，∴a＝－1.∴y＝f(x)＝x3－x2＋1.∴f(－1)＝－，选B.3．y＝x2sincos的导数为________．答案y′＝xsinx＋x2cosx.。
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C．2D．3
答案C
解析由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.
3．在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()
A．5B．8
C．10D．14
答案B
解析由等差数列的性质，得a1＋a7＝a3＋a5.
因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.
11．已知在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，Sn是数列{an}的前n项和，则()
A．S5>S6B．S5<S6
C．S6＝0D．S5＝S6
答案D
解析∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0，且a3＋a9＝2a6＝0.∴a6＝0，a5>0，a7<0.∴S5＝S6.故选D.
12．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为 的等差数列，
A．13B．12
C．11D．10
答案A
解析因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180.
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60.
所Байду номын сангаасSn＝ ＝ ＝390，即n＝13.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．
答案(1)S6＝－3，a1＝7(2)d≤－2 或d≥2
解析(1)由题意知S6＝－ ＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以 解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因为S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0.即2a12＋9da1＋10d2＋1＝0.
A．－ B．－
C．－ D．－
答案C
解析{an}的公差d＝ ＝－ ，∴新等差数列的公差d′＝(－ )× ＝－ ，故选C.
9．(2017·绍兴一中交流卷)等差数列{an}的公差d<0，且a12＝a212，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()
A．9B．10
C．10和11D．11和12
答案C
则|m－n|等于()
A．1B.
C. D.
答案C
解析由题设可知前4项和等于四个根之和4× ＋ ·d＝2＋2，d＝ ，∴方程的四个根分别为 ， ， ， ，∴|m－n|＝| · － · |＝ .故选C.
13．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()
5．(2016·课标全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()
A．100B．99
C．98D．97
答案C
解析设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.
答案6
解析设等差数列{an}的公差为d，由已知得 解得 所以S6＝6a1＋ ×6×5d＝36＋15×(－2)＝6.
16．已知在数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若 是等差数列，则a11等于________．
答案0
解析记bn＝ ，则b3＝ ，b5＝ ，数列{bn}的公差为 ×( － )＝ ，b1＝ ，∴bn＝ ，即 ＝ .∴an＝ ，故a11＝0.
()
A．0B．37
C．100D．－37
答案C
解析∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．
∵a1＋b1＝25＋75＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的公差为0.∴a37＋b37＝100.
8．(2017·四校联考)在等差数列{an}中，a2＝5，a7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()
4．(2017·山东师大附中)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()
A．138B．135
C．95D．23
答案C
解析由等差数列性质得2a3＝4，2a4＝10.
即a3＝2，a4＝5，公差d＝3，a1＝2－6＝－4∴S10＝－4×10＋ ×3＝95，故选C.
题组层级快练
1．由下列各表达式给出的数列{an}：
①Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2；②Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2－1；
③an＋12＝an·an＋2；④2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
其中表示等差数列的是()
A．①④B．②④
C．①②④D．①③④
答案A
2．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于()
解析由d<0，得a1≠a21，又a12＝a212，∴a1＋a21＝0，∴a11＝0，故选C.
10．(2017·杭州学军中学)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝ ，则 ＝()
A. B.
C. D.
答案A
解析令S3＝1，则S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.
S12＝S9＋4＝10，∴ ＝ ，故选A.
14．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝ ，S2＝a3，则a2＝________；
Sn＝________．
答案1
解析设公差为d，则由S2＝a3，得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝ ，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋ d＝ .
15．(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．
17．已知An＝{x|2n<x<2n＋1且x＝7m＋1，m，n∈N}，则A6中各元素的和为________．
答案891
解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，
各数成一首项为71，公差为7的等差数列．
∴71＋78＋…＋127＝71×9＋ ×7＝891.
18．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于()
A．－6B．－4
C．－2D．2
答案A
解析S8＝ ＝4(a3＋a6)．因为S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，
所以d＝a7－a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故选A.
7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于