牛顿迭代法

牛顿迭代法目录产生背景牛顿迭代公式C语言代码C++代码matlab代码产生背景牛顿迭代公式C语言代码C++代码matlab代码展开编辑本段产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

另外该方法广泛用于计算机编程中。

编辑本段牛顿迭代公式设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。

重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。

把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

牛顿迭代法示意图军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。

但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。

也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B 再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。

像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。

它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 。

假设d是a,b的一个公约数，则有 d%a==0, d%b==0，而r = a - kb，因此d%r==0 ，因此d是(b, a mod b)的公约数同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 d%b==0 , d%r==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。

其算法用C语言描述为：int Gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数{if (a<=0 || b<=0) //预防错误return 0;int temp;while (b > 0) //b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值{temp = a % b; //迭代关系式a = b; //a是那个胆小鬼，始终跟在b的后面b = temp; //b向前冲锋占领新的位置}return a;}从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b; 根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp;直到迭代过程结束（余数为0）。

在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。

还有一个很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。

斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=0; fib(2)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>2时)。

在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。

int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)数列{if (n < 1)//预防错误return 0;if (n == 1 || n == 2)//特殊值，无需迭代return 1;int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代变量int i;for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数{fn = f1 + f2; //迭代关系式f1 = f2; //f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面f2 = fn;}return fn;}编辑本段C语言代码double func(double x) //函数{return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;}double func1(double x) //导函数{return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;}int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数{double x1,x0;int k;x0=*x;for(k=0;k<maxcyc;k++){if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0{printf("迭代过程中导数为0!\n");return 0;}x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1))<precision) //达到结束条件{*x=x1; //返回结果return 1;}else //未达到结束条件x0=x1; //准备下一次迭代}printf("迭代次数超过预期!\n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度return 0;}int main(){double x,precision;int maxcyc;printf("输入初始迭代值x0:");scanf("%lf",&x);printf("输入最大迭代次数:");scanf("%d",&maxcyc);printf("迭代要求的精度:");scanf("%lf",&precision);if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1printf("该值附近的根为:%lf\n",x);else //若函数返回值为0printf("迭代失败!\n");getch();return 0;}编辑本段C++代码#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int main(){double diedai(int a,int b,int c,int d,double x);int a,b,c,d;double x=10000.0;cout<<"请依次输入方程四个系数：";cin>>a>>b>>c>>d;x=diedai(a,b,c,d,x);cout<<x;return 0;}double diedai(int a,int b,int c,int d,double x){x=x-(a*pow(x,3.0)+b*pow(x,2.0)+c*pow(x,1.0)+d)/(3*a*pow(x,2.0)+2 *b*pow(x,1.0)+c);if(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)<=0.000001)return x;elsereturn diedai(a,b,c,d,x);}编辑本段matlab代码1.定义函数function y=f(x)y=f(x)；%函数f(x)的表达式function y=z(x)y=z(x)；%函数z(x)的表达式2.主程序x=X；%迭代初值i=0；%迭代次数计算while i<= I；%迭代次数y=x-y(x)/z(x)；%牛顿迭代格式if abs(y-x)>ε；%收敛判断x=y；else breakendi=i+1；endfprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'x='，x，'i='，i) %输出结果。