结构力学--超静定问题典型习题解析

CA 部分的应变能为 Vε AC = ∫
aM 0
( x) ｄx ， 2 EI
2
左半部分结构的总应变能为 Vε = 2Vε AC = 2 由卡氏第二定理，得
∫
M 2 (x ) dx 0 2 EI
a
∆1 =
∂Vε 2 = ∂X EI
∫
a 0
M (x )
2 ⎛ F X ⎞ a3 ∂M (x ) dx= ⎜ + ⎟⋅ EI ⎝ 4 2 ⎠ 3 ∂X
()
3 结构如图示，设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同。拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知，求拉杆 BC 的轴力。
C
a q A 2a B FN FN B FN C a FN a D a D
解题分析：将杆 CB 移除，则 AB、CD 均为静 定结构。杆 CB 的未知轴力 FN 作用在 AB，CD 梁上。为一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程
在基本系统 C 点处沿 F 力方向加单位集中力，则
0≤ϕ ≤ π 2
： M (ϕ ) = −
1 1 R(1 − cos ϕ ) + R sin ϕ 2 π
由单位载荷法，得
1 ∆C = EI 2 ∫s M (ϕ )M (ϕ )ｄs = EI
∫ 02
π
1 1 ⎤ FR ⎢− (1 − cos ϕ ) + sin ϕ ⎥ Rｄϕ π ⎣ 2 ⎦
代入变形协调方程，得
X=
6 EIk∆ − kFa 3 2ka 3 + 6 EI 6 EIk∆ a + 3EIFa 2 2a 3 k + 6 2 EI
。
刚架的弯矩图如图 c 所示，其中 M max =
3、计算弹簧回复到其原长时的 F 的大小 令 X = 0 ，即
6 EIk∆ − kFa 3 6 EI∆ = 0 ，得 F = 3 3 2ka + 6 EI a
1 ∆B =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱEI =−
∫
2 ｄs = M (ϕ )M (ϕ ) s EI
∫
π
2 0
⎤ ⎡ F ⎢− 2 R (1 − cos ϕ ) + FBx R ⋅ sin ϕ ⎥ ⋅1 ⋅ R sin ϕ ⋅ Rｄϕ ⎦ ⎣
FR 3 FBx πR 3 + 2 EI 2 EI
5
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C B A D (a) (b) F F X M max F /2 (c) x X F /2
a F
题6图 解题分析：如果没有弹簧，该结构为静定的。加弹簧后，弹簧受的力未知，为一度静不定问 题。由于弹簧短了 ∆ ，所以在加 F 力之前，弹簧已受拉力；在加 F 力过程中，C、D 两点间 产生相向位移，弹簧所受拉力不断减小。当弹簧所受力为零时，弹簧即回复到原长。这时的 F 即为所求。
FA = ql − FBy = (20 × 10 3 N/m ) × 4m − 8.75 × 10 3 N＝71.25 × 10 3 N = 71.25 kN ↑ MA = 1 2 1 2 ql − FBy l = × 20 × 10 3 N/m × (4m ) − 8.75 × 10 3 N × 4m 2 2 = 125 × 10 3 N ⋅ m = 125kN ⋅ m（逆时针）
3、计算 B 截面弯矩 B 截面弯矩 M B = FT a =
3F l 2 a 2 K 16(3EI + a 2 kl )
5
试求图示双铰圆拱的支座反力及中点 C 沿 F 力方向的位移，EI 为已知。
C A F
R
F
R
F
R
B
FBx F/2
FBx F/2 (c)
1
(a)
(b)
(d)
题5图 解题分析：去掉 B 点水平位移约束，结构变为静定结构，所以为一度外力静不定问题。 解： 1、变形协调方程 去掉 B 点水平位移约束，用未知力 FBx 代替，得相当系统如图 b 所示。变形协调方程为 B 点水平位移为零，即 ∆B = 0 。 2、确定约束反力 由对称性知， A 、 B 两点垂直方向约束反力大小为
∆
F A B l/2 l/2
又梁的变形很小， EI 已知， 试求在力 F 作用下 B 截面上的弯矩。 解题分析： 在力 F 作用下， 梁 B 截面发生转动， 使弹簧伸长 ∆ 。设弹簧拉力为 FT，弹簧对 B 截 面的转动有约束。是一度静不定问题。 解：1、写出变形协调方程
F C C
a
∆
B1
FT
a
FT
0≤ϕ ≤ π 2
F ，方向向上，如图 c 所示。 2
时， M (ϕ ) = −
F R (1 − cos ϕ ) + FBx R sin ϕ 2
在相当系统中，去掉所有外力，即为基本系统。在基本系统 B 点加水平单位力，则
0≤ϕ ≤ π 2
, M (ϕ ) = 1 ⋅ R sin ϕ
由单位载荷法，B 点水平位移（下式利用了对称性，只对 1／4 圆积分，然后乘以 2）为
2⎡
2
=
FR 3 EI
⎛ 3π 2 − 8 π − 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8π ⎝ ⎠
6 结构如图 a 所示， AC = AD = BC = BD = a ，已知各杆弯曲刚度 EI 相同。A、B 点为刚 性连接，C、D 点为铰连接。将 C、D 点用一弹簧相连，弹簧常数为 2k。但由于弹簧短了 ∆ ， 强行相连后，在 A、B 点加力 F。试问：当 F 为多大时，弹簧回复到其原长？
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超静定问题分析
典型习题解析
1 试判断下列结构中为几度静不定，给出基本结构并列出相应的变形协调条件。
A
B
C
(a) 题1图
(b)
(a) 解Ⅰ：梁有四个约束反力，有三个有效的平衡方程，但尚有一个条件，即在中间铰 B 处的内力弯矩为零，故为静定梁。 解Ⅱ：去掉任何一个约束，该梁成为几何可变机构，所以是 1-1＝0 度静不定，即 静定结构。 (b) 解：图示框架有三个约束反力，又有三个平衡方程式，故支反力是静定的。但框架 某一截面，有三个内力分量，即轴力、剪力和弯矩，是不能用静力方程直接确定的。 所以是内力三度静不定问题。将框架从任一截面截开，即构成基本结构。变形协调 条件为截开处左右边的轴向相对位移、横向相对位移和相对转角为零。 (c) 解：图示框架有四个约束反力，只有三个有效的平衡方程，为一度外力静不定。每 个封闭圈三个未知内力，两个封闭圈共有六个未知内力，为六度内力静不定。故为 七度静不定问题。基本系统为 c-2。变形协调条件共七个，分别为：在 B 点，水平 位移 ∆B = 0 ，在 C、D 截面，左右相对转角为零、左右轴向相对位移为零以及左右 横向相对位移为零。
θC = θ D = 0 。
F F F
M
FN FS
C
M F /2
M F /2
D
F (d-1)
F (d-2) 题 1 图(d)
(d-3)
2
试求图示梁的支反力。
解题分析：将 B 点铰拆开，则左右两边均为静定结构。而 B 点处有二个未知内力，所以为 二度静不定问题。但是在小变形条件下，B 点轴向力较小可忽略不计。所以实际未知力只有 B 点处垂直作用力一个。
FT ∆ F ， θ B1 = = T 。代入变形协调方程 θ B1 = θ B 2 ， k a ka
而弹簧的伸长及 B 截面转角分别为 ∆ =
4
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得
2 3F l 2 a K FT F l F al = − T 或 FT = ka 16 EI 3EI 16(3EI + a 2 kl )
(2 X ) X + ∆1 = ∆ + ∆1 = ∆ 或 ( 2k ) k
2、计算弹簧受力 X 以 C 为原点，沿 CA 建立 x 坐标系，则 CA 部分的弯矩为
∂M (x ) ⎛F ⎞ = x cos 45 ° M (x ) = ⎜ sin 45 ° + X cos 45 ° ⎟ x ， ∂ X 2 ⎝ ⎠
20kN/ m
解：1、写出变形协调方程 设 B 点处垂直作用力为 FBy ，其方向如图示。 设左半边结构 B 点挠度为 wB1 ，右边结构 B 点 挠度为 wB 2 ，则本问题变形协调条件为
A 4m q MA
B
2m FBy wB1
40 kN D 2m
C
l
B wB2 FBy l/2
FP D l/2 C
()
FC = FP + FBy = 40 × 10 3 N + 8.75 × 10 3 N＝48.75 × 10 3 N = 48.75kN ↑
M C = FP ⋅ ⎞ l ⎛F ⎞ ⎛ 40 × 10 3 N + FBy l = ⎜ P + FBy ⎟l = ⎜ + 8.75 × 10 3 N ⎟ ⎟ × 4m ⎜ 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ = 115 × 10 3 N ⋅ m = 115kN ⋅ m（顺时针）
C
D
A
B
A
B
(c-1) 题 1 图(c)
1
(c-2)
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(d) 解：图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三 度静不定。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于
F ，剪力等于零，只剩 2
下弯矩 M 未知，故只需补充一个变形协调条件。由于对称，变形协调条件可取为
F π
C 1
由变形协调条件 ∆B = 0 得 FBx =
C F
F/π F/2
F/π 1/π F/2
(e) 1/2
1/π 1/2
题5图 3、计算 C 点沿 F 力方向的位移 ∆C 在相当系统上，有
0≤ϕ ≤ π 2
： M (ϕ ) = −
F F R (1 − cos ϕ ) + R sin ϕ ； 2 π
A
q 2a
力 q、FN 作用下，B、C 点发生向下的挠度， 同时杆 CB 产生拉伸变形。三者的关系为
题3图
wB = wC + ∆BC ，此即本问题的变形协调方程。
3
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2、计算 CB 杆的轴力 FN 由叠加原理，得 B 点挠度为 wB =
F (2a ) q(2a ) − N 8 EI 3EI 3 F a C 点挠度为 wC = N 3EI F a 杆 CB 的伸长量为 ∆BC = N EA
w B 1 = wB 2 。
2、计算 FBy 根据叠加原理，有
3 q l 4 FBy l w B1 = − 8EI 3EI
题2图
2
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wB 2
⎛l⎞ FP ⎜ ⎟ 3 FBy l 3 l FBy l 2 = + wD + θ D ⋅ = + ⎝ ⎠ 3EI 2 3EI 3EI ⎛l⎞ FP ⎜ ⎟ 3 5F l 3 2 ⎛l⎞ F l + ⎝ ⎠ × ⎜ ⎟ = By + P 2 EI 48EI ⎝ 2 ⎠ 3EI
B
B2
题4图
设 AB 段转角为 θ B1 ，梁 CB 的 B 截面转角为 θ B 2 。由于 AB 与 B 点刚性连接，所以有
θ B1 = θ B 2 。
2、计算 FT B 截面弯矩为 M B = FT a 。梁在 F 及 MB 的作用下，B 截面的转角为
θ B2 =
F l 2 M Bl F l 2 FT al − = − 16 EI 3EI 16 EI 3EI
7
2
3
由变形协调条件 wB1 = wB 2 得
FBy =
3 ⎛ ql 5FP ⎞ 3 ⎡ (20 × 10 3 N/m ) × 4m 5 × 40 × 10 3 N ⎤ 3 − ⎜ − ⎟= × ⎥ = 8.75 × 10 N 2⎝ 8 48 ⎠ 2 ⎢ 8 48 ⎣ ⎦
3、计算支反力 分别考虑左、右边结构的平衡，得
4
3
代入变形协调方程 wB = wC + ∆BC ，得
3 F a3 F a q(2a )4 FN (2a ) − = N + N 8EI 3EI 3EI EA
解得 FN =
2 qa 2 qa 3 A = 2 1 3a A + I 3+ 2 Aa
4
图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为 k。AB 段可视为刚性，并与梁刚性连接。
6
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解：1、变形协调方程 由于左右对称，只取左半部分研究。将弹簧去掉，用弹簧所受的力的一半代替其作用，得 相当系统如图 b 所示。设 X、F 作用下，C、D 间相对位移为 ∆1 ，则弹簧的伸长变形与 ∆1 之 和应该等于 ∆ 。所以变形协调方程为