随机变量及其数字特征测验

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第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精练)(含答案解析)

第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）A 夯实基础B 能力提升C 综合素养A 夯实基础一、单选题（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）1．下表是离散型随机变量X 的概率分布，则常数a 的值是（）X 3456P2a 16a +1216A ．16B ．112C ．19D ．12（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））2．已知随机变量X 的分布列为()24kP X k ==，2,4,5,6,7k =，则()15P X <≤等于（）A ．1124B ．712C ．23D ．1324（2022·江苏淮安·高二期末）3．已知随机变量X 满足()224E X -=，()224D X -=，下列说法正确的是（）A ．()()1,1E X D X =-=-B ．()()1,1E X D X ==C ．()()1,4E X D X =-=D ．()()1,1E X D X =-=（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）4．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为()01p p <<，实验次数为随机变量X ，若X 的数学期望() 1.39E X >，则p 的取值范围是（）A ．()0,0.6B ．()0,0.7C ．()0.6,1D ．()0.7,1（2022·安徽滁州·高二期末）5．已知随机变量X 的分布列为：X12Pab则随机变量X 的方差()D X 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c （[,,0,1)a b c ∈），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（）A ．13B ．112C ．12D ．16（2022·山东东营·高二期末）7．设01m <<，随机变量的分布列为：ξ0m1P3a 13213a -则当m 在()0,1上增大时（）A ．()D ξ单调递增，最大值为12B ．()D ξ先增后减，最大值为13C ．()D ξ单调递减，最小值为29D ．()D ξ先减后增，最小值为16（2022·全国·高二课时练习）8．设0a >，若随机变量ζ的分布列如下表：ζ－102Pa2a3a则下列方差中最大的是（）A ．()D ζB ．()D ζC ．()21D ζ-D ．()21D ζ-二、多选题（2022·全国·高二课时练习）9．设离散型随机变量X 的概率分布列为X1-0123P110151101525则下列各式正确的是（）A ．()1.50P X ==B ．()11P X >-=C ．()2245P X <<=D ．()3010P X <=（2022·全国·高二课时练习）10．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X 为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（）A ．X 的可能取值为0，1，2，3B ．()103P X ==C ．()35E X =D ．()3275D X =三、填空题（2022·安徽·歙县教研室高二期末）11．随机变量ξ的分布列如下表，则()5()D X E X +=___________.X012p0.40.2a（2022·广东佛山·二模）12．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合46⨯公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：X0123456>6P0.150.10.250.20.150.10.050则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.四、解答题（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）13．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在A处投一球，以后都在B处投，已知甲同学在A处投篮的命中率为14，在B处投篮的命中率为45，求他初赛结束后所得总分X的分布列．（2022·福建省福州第二中学高二期末）14．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.B能力提升（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）15．某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），方案A代金券金额50100概率1323方案B代金券金额0100概率1212抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A抽奖一次；②消费金额不低于1000元的游客按方案B抽奖两次.记X为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X的分布列和数学期望()E X.（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））16．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）C 综合素养（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p 和32p -，其中304p <<.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考答案：1．C【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a .【详解】由11112626a a ++++=，解得19a =.故选：C.2．A【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：()()()()24511152452424P X P X P X P X ++<≤==+=+===．故选:A 3．D【分析】根据方差和期望的性质即可求解.【详解】根据方差和期望的性质可得：()()()222241E X E X E X -=-+=⇒=-,()()()22441D X D X D X -==⇒=,故选：D 4．B【分析】先得到X 的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X 的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】由题意得，X 的所有可能取值为1,2,3，()()()()()()221,3111,1P p X p P P X p p p X p p ====---==-=-，所以()()()221213133E X p p p p p p =⨯+⨯-+⨯-=-+，令()233 1.39E X p p =-+>，解得0.7p <或 2.3p >，又因为01p <<，所以00.7p <<，即p 的取值范围是()0,0.7.故选：B 5．A【分析】由随机变量X 的分布列，求出()D X 的值，并根据二次函数的性质求出最大值．【详解】解：由题意可得1a b +=，()21E X a b b =+=+，则()()()22211]21]D X b a b b b b ⎡⎡=-+⨯+-+⨯=-+⎣⎣，当12b =，()D X 有最大值为14．故选：A ．6．B【分析】根据期望公式可得31a b +=，利用基本不等式求乘积的最大值即可.【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为3101a b c ⨯+⨯+⨯=，故31a b +=，又[,,0,1)a b c ∈，故3a b +≥，解得112ab ≤，当且仅当3a b =，即11,62a b ==时等号成立.故选：B.7．D【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.【详解】由题知1211333a a -++=，解得1a =，所以11()0333m m E ξ+=++=所以()222111111()()(1)333333m m m D m ξ+++=⨯+-⨯+-⨯222213(1)[()]9924m m m =-+=-+由二次函数性质可知，()D ξ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当12m =时，()D ξ有最小值16.故选：D 8．C【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.【详解】由题意，得231a a a ++=，则16a =，所以1115()1026326E ζ=-⨯+⨯+⨯=，()11171026326E ζ=⨯+⨯+⨯=，所以22215151553()10266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2221717172910266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5353214()4369D D ζζ-==⨯=，()()292149D D ζζ-==，即()21D ζ-最大，故选：C.9．AC【分析】由分布列中的概率逐一判断即可.【详解】由概率分布列可得()1.50P X ==，故A 正确；()19111010P X >-=-=，故B 错误；()()22435P X P X <<===，故C 正确；()()110P X P X <0==-1=，故D 错误．故选：AC 10．BD【分析】由题知X 的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.【详解】解：根据题意，X 的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以，()0246210C C 10C 3P X ===，()1146210C C 2481C 4515P X ====，()2046210C C 622C 4515P X ====所以，X 的概率分布列为：X12P13815215所以，()8412415155E X +===，()222414842320125351551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，BD 选项正确，AC 选项错误.故选：BD ．11．20【分析】由概率和为1求出a ，先求出()E X 和()D X ，进而求出()51D X +.【详解】由0.40.21,0.4a a ++==得，所以()10.220.41E X =⨯+⨯=，()210.240.4 1.8E X =⨯+⨯=，()22()()(())0.8,5125()250.820D XE X E X D X D X =-=+==⨯=故答案为：2012．390【分析】先求出()E X ，再用2.6150⨯，即可求出答案.【详解】()0.10.50.60.60.50.3 2.6E X =+++++=，则2.6150390⨯=故答案为：390.13．分布列见解析.【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.【详解】设甲同学在A 处投中的事件为A ，投不中的事件为A ，在B 处投中为事件B ，投不中为事件B ，由已知得()14P A =，()45P B =，则()34P A =，()15P B =，X 的可能取值为：0，2，3，4.所以()31130455100P X ==⨯⨯=，()3413146245545525P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()134P X ==，()34412445525P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X234P310062514122514．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，()0.2E Y =【分析】（1）依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】（1）解：依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，所以(1)(10.6)0.50.2P X =-=-⨯=，(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X ==⨯+-⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3P X ==⨯-=，所以X 的分布列为X1-01P0.20.50.3（2）解：依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2(2)(1)(1)0.20.04P Y P X P X =-==-⨯=-==，(1)(1)(0)220.20.50.2P Y P X P X =-==-⨯=⨯=⨯⨯=，2(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X ===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X ===⨯=⨯=⨯⨯=，2(2)(1)(1)0.30.09P Y P X P X ===⨯===，所以Y 的分布列为Y2-1-012P0.040.20.370.30.09所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．15．(1)0.00075a =(2)1200人(3)分布列答案见解析，()90E X =【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图计算出消费金额低于1000元的频率，再乘以2000可得结果；（3）分析可知随机变量X 的可能取值为0、50、100、200，计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得()E X 的值.【详解】（1）解：由题意可得()2000.0002520.00050.00120.001251a ⨯⨯++⨯++=，解得0.00075a =.（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于1000元的频率为()2000.000250.00050.0010.001250.3⨯+++=，于是估计该度假区2000名游客中消费金额低于1000元的人数为20000.61200⨯=人.（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于1000元的概率为35，不低于1000元的概率为25，获赠的代金券金额X 的可能取值为0、50、100、200，则()221105210P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()31150535P X ==⨯=，()21232213100C =53525P X ⎛⎫==⨯+⋅ ⎪⎝⎭，()22112005210P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X50100200P1101535110所以，()113105010020090105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)方案一：分布列见解析，数学期望为1.300；方案二：分布列见解析，数学期望为1.192；(2)选择方案一，理由见解析【分析】（1）方案一中每组的化验次数为1、11，则概率为100.997、1010.997-；方案二中每组的化验次数为1、9，则概率为80.997、810.997-.根据定义列分布列，求期望即可.（2）先求对应方案的组数，用“总化验次数=组数⨯期望”评估即可（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11，∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=，∴ξ的分布列为：ξ111P0.9700.030()10.970110.030 1.300E ξ=⨯+⨯=．设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9，8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：η19P0.9760.024∴()10.97690.024 1.192E η=⨯+⨯=．（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次．∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．17．(1)甲；(2)23p =，ξ的分布列见解析，()233144E ξ=.【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，列方程求解；先确定进入决赛的人数ξ的取值，依次求出每个ξ值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯=，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P p p p p ⎛⎫=⨯-=-+ ⎪⎝⎭，3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，1324p ∴<<，23139941616P p P ⎛⎫∴=--+<= ⎪⎝⎭，12P P >，∴甲进入决赛的可能性最大；（2）由（1）知，1916P =，212P =，2332P p p =-+，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，()()()1231231232911172P P P P P P P P P P ∴=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，2229139139132911116221622162272p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯--++⨯-⨯-++-⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又1324p << ，∴23p =；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为2323253239P ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，设进入决赛的人数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，()91570111162972P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()91591591511111111116291629162932P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()29272P ξ==，()91553162932P ξ==⨯⨯=，∴ξ的分布列如下：ξ123P77211322972532()711295233012372327232144E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.。

第3章随机变量的数字特征(答案)

第3章随机变量的数字特征一.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k −===则随机变量3Z X 2=−的数学期望E (Z)= (4)()()()()~(2),2,32323224X P E X E Z E X E X ==−=−=×−=解: 2.设随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞−∞=⇒+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞−∞==⇒+∫=, 11,2A B ∴==3.(95-1-3)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2x 的数学期望 ()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4), 100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E XD XE X =×==−=×−==+=+=4. (99-4-3)设~(),X P λ已知,则[(1)(2)]1E X X −−=λ= (1) 解:()()()()()22~(),,,X P E X D X E XD XE X 2λλλλ===+=λ+−0,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ−−=−+=+=−+=⇒= 5. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1, 1()1, 010,x x f x x x +−≤≤⎧⎪=−<≤⎨⎪⎩,则方差为 DX (1/6)解:()()011123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫=()()0111222234341100101111(1)(1)3434E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫16=()()()221/601/6D X E X E X =−=−=6.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独立,,则~(3,1),~(2,1)X N Y N −27, Z ~Z X Y =−+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =−+=−−×+==+=+=∴7.设两个相互独立的随机变量和Ｙ均服从,若随机变量X (1,1/5)N X aY −满足条件， 2()[(D X aY E X aY −=−)]则a = . (1) 解:()0,()()0110E X aY E X aE Y a a ⇒−=⇒−=⇒−⋅=⇒=18.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =−则Y 与Z 的相关系数为 (0.9)解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =−==−==,,0.9YZ ρ===9.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ===，=2，试求E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=−= ()()()222D Y E Y E Y =−=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====⇒===26222222)2()()22E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（二.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协方差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ; (B ) ; (C ) X 与Y 独立; (D ) X 与Y 不独立 ()()(D XY D X D Y =))()D X Y DX DY +=+2.若随机变量X 与Y 的协方差，则下列结论必正确的是( ). 解C (,)0Cov x y =(A ) X 与Y 独立; (B ); (C )()()(D XY D X D Y =()D X Y DX DY +=+; (D ). ()D X Y DX DY −=−3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则的值( ). 解B ,n p (A ); (B ) ; (C ) 4,0.6n p ==6,0.4n p ==8,0.3n p ==; (D ) . 24,0.1n p ==解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====−==⇒==4.(97-1-3)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差为4和2,则随机变量32X Y −的方差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析:()329()4()944244D X Y D X D Y −=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独立同分布,记,则U 和V 必然( ) 解D ,U X Y V X Y =−=+(A )独立; (B)不独立; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独立同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=−+=+−−=−=⇒=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=∼∼，则（）. 解D (A). (B). (C)(21)P Y X =−−=111(21)P Y X =−=(21)P Y X =−+=. (D).(21)P Y X =+=10分析:,1,XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+⇒=⋅+⇒=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x <−−≤<=≤<≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求EX ，（0.3，0.61）DX X -1 0 1解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律1/3 0.2 0.3 0.5（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =−×+×=，，()22210.210.50.7EX =−×+×=2220.70.30.61DX EX E X =−=−=2. 若已知是分布函数，求()0, 10, 011, 1x F x x x x −≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩EX ，（1/2，1/12）DX (思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，，()1, 01'()0, x F x f x ≤<⎧==⎨⎩其他1120 011122EX x dx x =⋅==∫， 112230 011133EX x dx x =⋅==∫，222111321DX EX E X ⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠23.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独立，令32132X X X X +−=,求EX , (12, 46) DX 解:12306()()2()3()2033122E X E X E X E X +=−+=−×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X −=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对进行20次独立观测，Y 表示20次观测值中事件X {}5X >发生的次数，求()2Y E （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意，(,)Y B n p ∼120,4n p ==13154205,544EY np DY npq ==×===×=()，222153528E Y DY E Y =+=+=5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =−=−=,()10.1510.350.2EY =−×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy −=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴=6、已知随机变量服从区域),(Y X ()}{,01,D x y x x y x =<<−<<上的均匀分布，求(),,,EX DX Cov X Y .解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ⎧=∈⎪=⎨⎪⎩其他（注意，函数区间利用二重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞−∞−∞+∞+∞−∞−∞+∞−−∞===−==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞∞+∞+∞−∞−∞==−∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独立性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞−∞==∫∫=2, 01()0, Xx x f x <<⎧∴=⎨⎩其他 02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞−∞===−∫∫,1, 02()20, Y yy f y ⎧−<<⎪∴=⎨⎪⎩其他2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅,X Y ∴，不独立.3) 121122002()(,)23xxE X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1显然相关.(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠∴Y X ,8. (07-1,3,4-11)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,0,0,x y x y f x y −−<<<⎧=⎨⎩其他<}1) 求, 2)判断X,Y 的独立性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独立.相关) {2P X Y >解1) ()1/21/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >=−−=−−∫∫∫120515()822424x x dx =−=−=∫7112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫，3/2, 01()0, X x x f x −≤⎧≤2),∴=⎨⎩其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫3/2, 01()Y y y f y −≤⎧≤∴=⎨显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅, X Y ∴，不独立3)112300331()()()()243X E X xf x dx x x dx x x +∞−∞==−=−∫∫512=,112300331()()()()2435Y E Y yf y dy y y dy y y +∞−∞==−=−=∫∫121111122232000001121()(,)(2)()()2332E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞−∞−∞==−−=−−=−∫∫∫∫∫∫16= (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设且22~(1,3),~(0,4)X N Y N ,1,2XY ρ=−设32X YZ =+， 1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,(1/3,3, 0)解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=−32X Y Z =+11()()()32E Z E X E Y ⇒=+=13 1(,)3462XY Cov X Y ρ==−××=−,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+−=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=⋅+−=cov ,0XZ X Z ρ∴==。

第四章随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20，则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。

第四章随机变量的数字特征单元测试题

随机变量的数字特征章节测试题一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2B ．8C ．18D ．202．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454，则n 、p的值分别是( )A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，34.3．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74%4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）Ａ．甲学科总体的方差最小Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同5．设随机变量X 和Y 独立同分布，若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ，则随机变量U 与V 必然（）Ａ．不独立Ｂ．独立Ｃ．相关系数不为零Ｄ．相关系数为零6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73C.113D ．37．已知X 为随机变量，且E (X ), D (X )均存在，则下列式子不成立的是( ).[()]().[()]2().[()]0.[()]()=+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X8．设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，若1()2,()3==E X D X ，则均匀分布中的常数,a b 的值分别为( ).1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b9．设X 服从参数为1的指数分布，且2-=+X Y X e ，则()()=E Y3411....4343A B C D 10．设,X Y 为两个任意的随机变量，若()()()=E XY E X E Y ，则( ).()()().()()()..+=+=A D X Y D X D Y B D XY D X D Y C X Y D X Y 和相关和相互独立11.设随机变量12,,,(1)>n X X X n 独立同分布，且方差为20σ>，令11==∑ni i Y X n ，则( )22112211.Cov(,).Cov(,)21.().()σσσσ==+++=-=A X Y B X Y nn n C D X Y D D X Y nn12.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()+=+D X Y D X D Y 是X 和Y ( )A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件D.独立的充分必要条件13．设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量ξ=+X Y 与η=-X Y 不相关的充分必要条件是( )2222222222.()().()[()]()[()].()().()[()]()[()]=-=-=+=+A E X E Y B E X E X E Y E Y C E X E Y D E X E X E Y E Y14. 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则( ) ..(,)..+A X Y B X Y C X Y D X Y 与一定独立服从二维正态分布与未必独立服从一维正态分布15. 设随机变量(,1,2,,;2)=≥ij X i j n n 独立同分布，并且()2=ij E X ，则行列式111212122212=n n n n nnX X X X X X Y X X X 的数学期望()=E Y ( ).2.0.1.2-A B C D二、填空题(本大题共10个小题，每小题２分，共20分．)1．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. 2．一离散型随机变量X 的概率分布列为且E (X )＝1.5，则a －b ＝3．设随机变量X 与Y 相互独立，X 的密度函数为22,0()0-⎧>=⎨⎩x X e x f x 其他，Y 分布律为33{},0,1,2,!-===k e P Y k k k ，且32=--Z X Y ，则 D (Z ) =________．4.设2(),()(0)μσσ==>E X D X ，则由切比雪夫不等式{3}μσ-≥≤P X ________． 5．若~(0,1),~(3,4)X N Y N ，且X 与Y 相互独立，则2X + Y ~ ________．6．设随机变量123,,X X X 相互独立，其中2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P ，若记12324=-+Y X X X ，则()=E Y ________．7．设X 服从参数为2的指数分布，则2()=E X ________． 8．设随机变量X 的密度函数为sin (0)()0().≤≤π⎧=⎨⎩a xx f x ，其他，则()=D X ________．9．投掷一枚均匀的硬币100次，设随机变量X 表示出现正面的次数，试用切比雪夫不等式估计概率(0.40.6)100<<≥XP ________． 10．设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,1;3,3;0.5)N ，令随机变量=-Z X Y ，则协方差Cov(,)=X Z ________．三、解答题(本大题共10个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．2．已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()04,41, 4.≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩x x F x x x求()E X 和()D X ．3．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X ，求随机变量X 的均值．4．设随机变量X 的概率密度为cos ,0()20,π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩x x f x 其他，令随机变量2=Y X ，试求()D Y .5. 设随机变量,,X Y Z 互不相关，且222()5,()10,()6===D X D Y D Z ，令随机变量,=+=+U X Y V Y Z ，试求随机变量U 和V 的相关系数.6．设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)01,}=<<<D x y x y x上服从均匀分布，试求（1）关于X 和Y 的边缘概率密度；（2）(1);+≤P X Y（3）21=+Z X 随机变量的方差.7．设随机变量X 和Y 的联合分布律为110.070.180.1510.080.320.20-Y X 试求X 和Y 的相关系数ρ8. 使仪器停止工作的元件故障数X 是一个随机变量，其分布函数为()1,0,1,2,-=->=ax F x e a x试求()()E X D X 和．9．设随机变量X 和Y 相互独立，X 和Y 的概率密度分别为12,0,0(),()0,00,0--⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩ax bx ae x be y f x f y x y 其中,a b 为正实数，又设随机变量1,0,≤⎧=⎨>⎩X YZ X Y ，试求Z 的分布律和数学期望2()E Z ．10．设随机变量X 和Y 相互独立，并且都服从正态分布2(0,)σN ，又设随机变量=(,)ξαβηαβαβ=+-X Y X Y ，为不相等的常数，试求（１）数学期望()()ξηE E 和，方差()()ξηD 和D ，ξη和的相关系数ξηρ；（２）当αβ和满足什么条件时，随机变量ξη和不相关．。

随机变量与数字特征练习题及答案

1 第8章随机变量与数字特征一、填空题⒈ 设随机变量X 的概率分布为则a = . ⒉ 设X 服从区间[1，5]上的均匀分布，当5121<<<x x 时，}{21x X x P ≤≤= .⒊ 设),(~p n B X ，且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则n = .4．设)10,5(~2N X ，若5.0)5(=<-a X P ，则a = .5. 设随机变量X 的期望方差分别为E X ()和D X ()，令Y aX b =+，则有E Y ()= ，D Y ()= .二、单项选择题⒈ 设X 是连续型随机变量，其密度函数为 ⎩⎨⎧∉∈=],1(0],1(ln )(b x b x x x f 则常数b =（）.A . eB . e + 1C . e - 1D . e 2⒉ 设)10,50(~2N X ，则随机变量（）~)1,0(N . A .10050-X B . 1050-X C . 50100-X D . 5010-X ⒊ 设),2(~2σN X ，已知4.0)42(=≤≤x P ，则=≤)0(x P （）. A . 0.4 B . 0.3 C . 0.2 D . 0.14. 已知X N ~(,)222，若aX b N +~(,)01，则有（）A . a b ==-22,B . a b =-=-21,C . a b ==-121, D . a b ==122, 5. 已知1)(-=X E ，3)(=X D ，则=-)]2(3[2X E （）. A . 30 B . 9 C . 6 D . 366. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（）A .xf x x ()-∞+∞⎰d B . x f x x 2()-∞+∞⎰d C . xf x x 2()-∞+∞⎰d D . (())()x E X f x x --∞+∞⎰2d 三、解答题1．设随机变量X 的密度函数为f x x x ()()=-≤≤⎧⎨⎩311202其它，求：⑴ P X (..)1525<<； ⑵ E X ().2．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布.3．设)5.0,3(~2N X ，求)6.32(≤≤X P .已知9772.0)2(,8849.0)2.1(=Φ=Φ.4．在一次数学考试中，其分数服从均值为65，标准为10的正态分布，求分数在60~75的概率. (6915.0)5.0(=Φ，8413.0)1(=Φ)。

《经济数学》第三篇概率论第8章随机变量与数字特征作业详解

《经济数学》第三篇概率论第8章随机变量与数字特征作业详解练习8．11．定点投篮1次，投中的概率是0.4，试用随机变量描述这一试验解，引入随机变量X，8发投篮命中的，令X＝1；当不中时X＝0，即P(X＝1)＝0.4，P(X＝0)＝1－0.4＝0.6。

2．一次试验中，若某事件A必然产生、试用随机变量描述该现象，并指出此随机变量可能取多少个值？A出现，令X＝1，有P(X＝1)＝1，A不出现，令X＝0，有P(X＝0)＝0，X 可能取1，0两个值。

练习8．21．判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布（1）（2）解：P k的概率之和为1，即∑P k＝1。

现在第（1）情况，虽P k≥0，但。

所以不可以作为随机变量概率分布。

第（2）情况不仅P k≥0，且，所以能作为离散型随机变量的概率分布。

2．设随机变量Y的概率分布为，k＝1，2，3，求P(Y＝1)，P(Y>2)，P(≤3)，P(1.5≤y≤5)，P(y>)解：P(Y＝1)＝，P(Y>2)＝P(Y＝3)＝P(1.5≤Y≤5)＝P(Y＝2)+P(Y＝3)＝；P(Y>)＝P(Y＝2)+P(Y＝3)＝3．气象记录表明，某地在11月份的30天中平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3个下雪天的概率11月份下雪天的概率是，不下雪天的概率是，每次只有两种可能，要么下雪，要么不下雪，所以服从二项分布，X~B(30,0.1)X表示11月份下雪天数，解：P(X≤3)＝P(X＝0)+P(X＝1)+P(X＝2)+P(X＝3)其中不下雪的概率P(X＝0)＝＝0.04239有一天下雪的概率P(X＝1)＝＝0.1413有二天下雪的概率P(X＝2)＝＝0.22766有三天下雪的概率P(X＝3)＝＝0.2361∴P(X≤3)＝0.04239+0.1413+0.22766+0.2361≈0.6474．某车间有12台车床，每台车床由于装卸加工的零件等原因时常停车，设各台车床停车或开车是相互独立的每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是0.3，求（1）任一时刻车间内停车台数X的分布；（2）车间内有3台车床停车的概率；（3）任一时刻车间内车床全部工作的概率。

随机变量的数字特征历年真题数学

随机变量的数字特征历年真题数学一：1（87，2分）已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π则EX = ，DX = 。

2（89，6分）设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。

3（90，2分）已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。

4（90，6分）设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0<X <1, |y |<x 内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量Z =2X +1的方差DZ 。

5（91，3分）设随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且=<=<<}0{,3.0}42{X P X P 则。

6（92，3分）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=+-)(2xe X E。

7（93，6分）设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21)(|| （1）求EX 和DX ；（2）求X 与|X |的协方差，并问X 与|X |是否不相关？（3）问X 与|X |是否相互独立？为什么？ 8（94，6分）已知随机变量的相关系数与且，Y X N Y N X ),4,0(~)3,1(~2223,21Y X Z XY +=-=设ρ。

（1）求EZ 和DZ ；（2）求X 与Z 的相关系数;XZ ρ（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？9（95，3分）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则)(2X E =。

10（96，3分）设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。

11（96，6分）设和ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为).,min(),,max(3,2,1,31)(ηξηξξ=====Y X i i P 又设（1）写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2）求EX 。

随机变量的数字特征

第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则（ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为（ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为（ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为（ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则（ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是（ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩，，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。

【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析

CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C）一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B），即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝一 ÷
【 i平注】本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1

第三章随机变量的数字特征作业布置

第三章随机变量的数字特征一、选择题√1． X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（）.A. 18B.9C.30D. 32 √2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它，则()E XY =( ). A. 0 B.1/2 C.2 D. 13. (X,Y )是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独立√4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D ( ).A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+ √5. 若X,Y 独立,则( ).A. DY DX Y X D 9)3(-=-B. DY DX XY D ⋅=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是( ).A. X,Y 独立B. ()D XY DX DY =⋅C. DY DX Y X D +=+)(D. DY DX Y X D -=-)(7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y( ).A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是( ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C. 1xy ρ=D. 1xy ρ=-9.下式中恒成立的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=-)(C. (,)Cov X aX b aDX +=D. 1)1(+=+DX X D10.下式中错误的是( ).A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=-√11.下式中错误的是( ).A. 22)(EX DX EX +=B. DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ).A. 4.0,6==p nB. 1.0,6==p nC. 3.0,8==p nD. 1.0,24==p n13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ).A. 222)(C EX c X E -=-B. 22)()(μ-=-X E c X EC. DX c X E <-2)(D. 22)(σ≥-c X E14.()~(,),()D X X B n pE X =则( ). A. n B. p -1 C. p D.p -11 √15.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n ===()D X 则=( ). A. )1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n √16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x ,则)12(+X E =( ). A. 1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（）. A. 22()21(,)2x y f x y e π+-=B. 22()2(,)x y f x y +-=C. 2()2(,)x y f x y +-=D. 2241(,)2x y f x y e π+-=√18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ). A. 21 B. 31 C.61 D. 121 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ).A. 2B. n 43C. 0D. n 32 20. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ).A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N21. 设2~(,),~(,)X b n p Y N μσ，则( ).A.2()(1)D X Y np p σ+=-+B.()E X Y np μ+=+C.22222()E X Y n p μ+=+D.2()(1)D XY np p σ=-√22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[n M M -- B. M n B. ])1(1[n M M - D. n Mn ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ).A. 1B.-2C.21D.4124. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ).A. 14B.46C.20D. 925. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ).A. 1B.0C.13 D. 4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ).A. 不独立B. 独立C.相关系数不为0D. 相关系数为028. 设随机变量1210,,X X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则下列不等式正确的是（）. A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P C. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P 29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π=( ).A. 1B.0C.2D. -1 √30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E -的值为( ).A. 0B.a 21C. a 31D.a 41 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)(=-DX EX X DB. ~(0,1)NC. 22)(EX EX =D. 22)(EX DX EX +=√32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ).A. 1B.2nC.2)1(+n n D. nn 1-√33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则. A.32 B. 31 C. 98 D. 134.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A. e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A. e 376 B. e316 C. 9 D. 6 √36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数，则DY=（）.A ． 169 B. 916 C. 43 D. 34 37. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ).A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),(C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)(=X D ，则{}==1X p . √2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且2()0.1,()0.9E X E X ==，则X 的概率函数是 . 3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x = EX = ；DX = .若σμ-=X Y ，则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数(24)0.3p X <<=为 .5.若随机变量X 服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .√6．已知随机变量X 的分布律为：则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= .7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.√8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 .√10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）=。

考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1．B．0．C．D．1正确答案：A解析：依题意，Y=n—X，故ρXY=－1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=－1．知识模块：随机变量的数字特征3．对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是A．EXY=EXEY．B．Cov(X，Y)=0．C．DXY=DXDY．D．D(X+Y)=DX+DY．正确答案：C解析：由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Coy(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和Y同服从参数为p(0＜p＜1)的0-1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=p(1一p)；乘积XY服从参数为p2的0-1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=p2，p{ XY=0}=1一p2．因此DXY=P2(1一P2)≠P2(1一p)2=DXDY．知识模块：随机变量的数字特征4．假设随机变量x在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX 的相关系数等于A．一1．B．0．C．0．5．D．1正确答案：A解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：arcsinX=－arccosX，即U=－V+，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=－1．应选(A)．知识模块：随机变量的数字特征5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为A．一1．B．0．C．．D．1正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi=σ2，D，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一σ2．) 知识模块：随机变量的数字特征填空题6．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为Pi(0＜Pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为___________．正确答案：解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1=未击中的次数．以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1一Pi)kPi，i=1，2，且E(Xi+1)=，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)－1=－1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为EX=EX1+EX2=一2．知识模块：随机变量的数字特征7．将长度为￡的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为___________．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且知识模块：随机变量的数字特征8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为___________．正确答案：0．9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X一1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X一1)=4DX．Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块：随机变量的数字特征9．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=___________．正确答案：6解析：DX=EX2一(EX)2=2，DY=2，Cov(X，y)=ρXY=1，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+Y)]2=D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6．知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

概率论与数理统计+第四章+随机变量的数字特征+练习题

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第四章随机变量的数字特征一、填空题1．已知随机变量X 的分布函数为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--=．　若　，若，若，＜若 1 , 1 10 , 0.7501 , 25.01 , 0 x x x x x F 则⎪⎭⎫ ⎝⎛+21X X D = ． 2．设随机变量X 分布函数为()x F ，则随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01,,0 ,0,0,1 X X X Y 若若若的数学期望=EY ．3．设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量)1(1X Y +=的数学期望EY = ．4．假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ= ．5．设随机变量X 和Y 独立同正态分布()21,0N ，则||Y X D -= ．6．100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于．7．有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶．则变质饮料的瓶数X 的概率分布是．8．假设随机变量X 和Y 的方差都等于1，X 和Y 的相关系数为0．25，则随机变量Y X U +=和Y X V 2-=的协方差为．9．三名队员投篮的命中率分别为0.45、0.5和0.4，且相互独立，现在让每人各投一次，则三人总进球次数的期望是．10．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= ．11．设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布；随机变量 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.01,00,01X X X Y 若若若则方差=DY ．12．随机变量X ，Y 的联合概率分布为则2X 和2Y 的协方差),(22Y X Cov = ．13．设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则Cov(),1Y X = ．二、选择题1．对于任意随机变量X 和Y ，如果)()(Y X D Y X D -=+，则（）．(A) X 和Y 独立； (B) X 和Y 不独立；(C) )()()(Y D X D XY D =； (D) )()()(Y E X E XY E =．2．设X 在区间[－1,1]上均匀分布，则X U arcsin 和X V arccos =的相关系数等于（）．(A) 1-； (B) 0； (C) 0.5； (D) 1．3．假设试验E 以概率p 成功，以概率p q -=1失败，分别以X 和Y 表示在n 次独立地重复试验中成功和失败的次数，则X 和Y 的相关系数ρ等于（）．(A)1-； (B) 0； (C) 1/2； (D) 1．4．设随机变量X 的方差存在，且记μ=EX ，则对任意常数C ，必有（）．（A ）222)(C EX C X E -=-；（B ）22)()(μ-=-X E C X E ；（C ）22)()(μ-<-X E C X E ；（D ）22)()(μ-≥-X E C X E5．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他010)(x bx a x f ，又X 的期望53=EX ，则X 的标准差为（）．（A ）15011 ；（B ）150121；（C ）1511 ；（D ）3013． 6．设随机变量X 和Y 的方差存在且为正，则DY DX Y X D +=+)(是X 和Y （）．（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；（B ）独立的必要条件，但不是充分条件；（C ）不相关的充要条件；（D ）独立的充要条件．7．设二维随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，则随机变量Y X Y X -=+=ηξ与不相关的充要条件为（）．（A ）EY EX =；（B ）2222)()(EY EY EX EX-=-；（C ）22EY EX =；（D ）2222)()(EY EY EX EX +=+．8．将一枚硬币重复掷n 次，以X ，Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X ，Y 的相关系数等于（）．（A ）1-；（B ）0；（C ）1/2；（D ）1．三、解答题1．自动生产线加工的零件的内径X (mm)服从正态分布)1,(μN ，内径小于10或大于12mm的为不合格品，其余为合格品．每件产品的成本为10元,内径小于10mm 的可再加工成合格品，尚需费用5元．全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元．问零件的平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？2．假设某季节性商品，适时地售出1kg 可以获利s 元，季后销售每千克净亏损t 元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X （kg ）是一随机变量，并且在区间),(b a 内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？3．独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p ．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a ．4．假设n 个信封内分别装有发给n 个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X 表示收到自己通知的人数，求X 的数学期望和方差．5．求}1|,min{|X E ，假设随机变量X 服从柯西分布，其概率密度为()()∞<<∞-+=x x x f 11)(2π． 6．假设一种电器设备的使用寿命X （单位：小时）是一随机变量，服从参数为λ=0．01的指数分布．使用这种电器每小时的费用为C 1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C 2=10元．此设备由一名工人操作，每小时报酬为C 3=4元，并且按约定操作时间为h 小时支付报酬．问约定操作时间h 为多少时，能使期望利润最大？7．一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和0．5(千小时)，试求线路无故障工作时间X 的数学期望．8．设随机变量X ，Y 相互独立，并且都服从正态分布),(2σμN ，求随机变量},min{Y X Z =的数学期望．9．假设随机向量),(Y X 在以点)1,1(),0,1(),1,0(为顶点的三角形区域上服从均匀分布．试求随机变量Y X Z +=的方差．10．假设随机变量X ，Y 的数学期望都等于１，方差都等于2, 其相关系数为0．25，求随机变量Y X U 2+=和Y X V 2-=的相关系数ρ．11．假设随机变量1021,,,X X X 独立同分布，且方差存在．求随机变量 651X X X U +++= 和 1065X X X V +++=的相关系数ρ．12．对于任意二随机事件A 和B ，设随机变量⎩⎨⎧-=，不出现若出现若 ,1, ,1A A X ⎩⎨⎧-=；不出现若出现若 , 1 , ,1B B Y 试证明“随机变量X ，Y 不相关” 当且仅当“事件A 和B 独立”．13．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望为多少．14．某产品的次品率为0．1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备．假设各产品是否为次品是相互独立的，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E 和)(X D ．15．有3只球, 4只盒子, 盒子的编号为1,2,3,4．将球逐个独立地, 随机地放入4只盒子中去,以X 表示其中至少有一只球的最小号码(例如X =3表示第1号,第2号盒子是空的,第3号盒子至少有一个球), 试求)(X E 和)(X D ．16．某射手每次射击的命中率为)10(<<p p , 他有6发子弹, 准备对一目标进行射击, 一旦打中或子弹打完, 他就立即转移, 求他在转移前平均射击的次数．17．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 试求)2|(|DX EX X P ≥-18．设随机变量X 的分布律为 ,3,2,1,32)(===n n X P n ，试求X Y )1(1-+=的数学期望与方差． 19．设随机变量X ，Y 相互独立，且X 服从[0,2]上的均匀分布，)1,1(~N Y ，求)(XY D20．设随机变量X 的分布列为若随机变量32,X Z X Y ==，（1）试求),(Z Y Cov ，并问Y ，Z 是否相关；（2）求二维随机变量（Y ，Z ）的联合分布列；（3）试问Y ，Z 是否独立？为什么？21．已知二维随机变量（Y X ,）的概率密度为 ⎩⎨⎧<<++=其它01,0)1(),(y x xy y C y x f （1）试确定常数C ；（2）试问Y X ,是否相互独立？为什么？（3）试问Y X ,是否不相关？为什么？如果相关的话，其相关系数是多少．22．已知二维随机变量（Y X ,）的概率密度为⎩⎨⎧<≤<=其它01012),(2x y y y x f 试求：（1）2)(Y X E -（2）Y X ,的协方差．23．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本，且2,σμ==DX EX 存在，X 为样本均值，试证明X X i -与X X j -的相关系数为n j i j i n ,,2,1,,,11 =≠--=ρ 24．设随机变量X 服从参数为0>λ（λ待定）的指数分布，)(x F 为其分布函数，若已知21)31(=F ，试确定最小值2)(min C X E C -是多少？ 25．随机的向半圆)0(202>-<<a x ax y 抛掷一个点, 点落在任何一个区域的概率与该区域的面积成正比, 设原点与该点的连线与x 轴正向的夹角为θ, 试求θ的数学期望与方差．26．假设一电路由3个同种电子元件，其工作状况相互独立，无故障工作时都服从参数为0>λ的指数分布，当3个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作时间T 的概率分布、数学期望与方差．27．编号为n ,,2,1 的n 张卡片中随机地抽取1张，如果抽出的卡片的号码为k ，则第2张卡片从编号为k ,,2,1 的k 张卡片中抽取．记X 为抽出的第2张卡片的号码，试证：43+=n EX ． 28．设随机变量Z Y X ,,相互独立，且X 服从[0,6]上的均匀分布，Y 服从正态分布2(0,2)N , Z 服从参数为31的指数分布，试求2)(Z XY E -和)32(Z Y X D -+． 29．设Y X ,是相互独立，分别服从参数为0>λ和0>μ的指数分布，令⎩⎨⎧>≤=YX Y X Z 2,02,1．求Z 的分布函数和方差． 30．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他002cos 21)(πx x x f ，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望． 31．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．32．设n X X X ,,,21 i ．i ．d ),(~2σμN ,求)||(1∑=-n k k X XE ，其中∑==n k k n X X 1133．供电公司每月可以供应某工厂的电力服从[10，30]（单位：万度）上均匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从[10，20]上的均匀分布．如果工厂能从供电公司得到足够的电力，则每一万度电可创造30万元的利润，若工厂从供电公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其它途径自行解决，此时，每一万度电只能产生10万元的利润．问该工厂每月的平均利润为多大？34．对于任意二事件A B 与，0101<<<<P A P B (),(),))(1)(())(1)(()()()(B P B P A P A P B P A P AB P ---=ρ称为事件A B 与的相关系数．(1)证明事件A B 与独立的充分必要条件是其相关系数等于0；(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明1||≤ρ．35．设随机变量X 的具有连续的密度函数为)(x f ，令||)(a X E a h -=，试证明：当a 满足21)(=≤a X P 时（此时称a 为X 的中位数），)(a h 达到最小．。

概率论与数理统计第四章测试题

第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。

(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。

第二章随机变量的数字特征习题集

X 2 都服从参数为1泊松分布P 1 ，则 E ( X 1 + X 2 ) =
B．2 D．4
14．若随机变量X的数学期望方差均在，则 A． EX ≥ 0
2 C． ( EX ) ≤ DX
B． DX ≥ 0 D． ( EX ) 2 ≥ DX
15．若随机变量 X ~ N (2, 2 2 ) ，则 D( A．1 C．1/2
1. 设X表示10次独立重复射
2. 若随机变量X ~ B n, p ，已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 3. 若随机变量X 服从参数为p的 0—1 分布，且DX = 2/9， DX = . 4. 若随机变量X在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 5. 若随机变量X的数学期望方差分为EX = 2，DX = 4，则 EX 2 =
DX
ε2
19．如果X Y满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 A．X Y独立 C．DX-DY = 0 B． ρ XY = 0 D．DX DY=0
20．若随机变量X Y的相关数 ρ XY =0，则列选项错误的是 A．X Y必独立 B．X Y必相关 C．E (XY ) = E(X) EY
D．D (X+Y ) = DX+DY 二填空题：命中的次数，每次射命中目标的概率为0.4，则 EX 2 = . ，P = .
2 1 , EX < ，则EX = 9 2
,b = . . .
.
6. 若随机变量X 服从参数为 λ 泊松分布
X ~ P (λ ) ，且EX = 1，则DX =
7. 若随机变量X 服从参数为 λ 指数分布 X ~ e(λ ) ，且EX = 1，则DX =

第4章随机变量的数字特征

1. 袋中有 20 个同样的球，其中 12 个标上数字 1，8 个标上数字 2，现在从袋中任取一球并记住球上的数字后再放回，这样一共进行了 4 次，记 X 为数字 1 出现的次数，则 E(X) = （）． (A) 1.6 (B) 0.4 (C) 2.4 (D) 9.6
⎧ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 2. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ⎨ ，且 E ( X ) = 7 / 12 ，则（其它 ⎩ 0,
9. 二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ，则（ (A) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (C) X 与 Y 独立
）．
(B) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) (D) X 与 Y 不独立
）．
10. 设 X ~ N(3,2),Y ~ U(2,8) ，且 X 与 Y 相 5 (C) 11 (D) 1
）．
(A) -1 (B) 4 (C) 2 (D) 7 ． 4. 如果随机变量 X 存在二阶原点矩，则下列表达式正确的是（） (A) E ( X 2 ) < [ E ( X )] 2 (C) E ( X 2 ) ≥ E ( X ) (B) E ( X 2 ) ≥ [ E ( X )] 2 (D) E ( X 2 ) < E ( X )
Y=
1 n ∑ X i ，则（ n i =1
(A) Cov( X 1 , Y ) =
）．
σ2
n
(B) Cov( X 1 , Y ) = σ 2
(C) D( X 1 + Y ) =
n+2 2 σ n
(D) D( X 1 − Y ) =

考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(一)

考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(一)(总分：88.01，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：28，分数：28.00)1.设随机变量X的二阶矩存在，则(A) EX2＜EX． (B) EX2≥EX．(C) EX2＜(EX)2． (D) EX2≥(EX)2．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由DX=EX2-(EX)2≥0，即知正确选项为(D)．选项(A)、(B)对某些随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立．例如X服从参数为λ的泊松分布，则EX=DX=λ，EX2=DX+(EX)2=λ+λ2＞λ=EX，选项(B)成立；如果X在(0，1)上服从均匀分布，则，，选项(A)成立．2.设X是随机变量，EX=μ，DX=σ2(σ＞0)，则对任意常数C，有(A) E(X-C)2=EX2-C2． (B) E(X-C)2=E(X-μ)2．(C) E(X-C)2＜E(X-μ)2． (D) E(X-C)2≥E(X-μ)2．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析]E(X-C)2≥E(X-μ)2，故选(D)．当然我们也可以通过计算来证明：E(X-X)2=E[(X-μ)+(μ-C)]2=E[(X-μ)2+2(μ-C)(X-μ)+(μ-C)2]=E(X-μ)2+2(μ-C)(EX-μ)+(μ-C)2=E(X-μ)2+(μ-C)2≥E(X-μ)2．3.设随机变量X的期望、方差都存在，则对任意常数C，有(A) E(X-C)2＜DX+E2(X-C)． (B) E(X-C2)2＞DX+E2(X-C)．(C) E(X-C)2=DX+E2(X-C)． (D) E(X-C)2=DX-E2(X-C)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于DX=D(X-X)=E(X-C)2-E2(X-C)，所以E(X-C)2=DX+E2(X-C)，故选(C)．4.设X为离散型随机变量，且p i=PX=a i(i=1，2，…)，则X的期望EX存在的充分条件是(A) ． (B)(C) (D)（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由级数收敛的必要条件知，选项(A)或(B)不能选，否则(C)或(D)也成立．又收敛不能保证收敛(即EX存在)，因此选项(C)不能选．所以应该选(D)．下面我们证明：如果收敛，则收敛．事实上，由于，故已知，所以收敛，EX存在．5.假设X是连续型随机变量，其分布函数为F(x)，如果X的期望EX存在，则当x→+∞时，1-F(x)的(A) 低阶无穷小． (B) 高阶无穷小．(C) 同阶但不等价无穷小． (D) 等价无穷小．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由题设，我们只能通过计算来确定正确选项．设X的密度函数为f(x)，则EX存在，所以即1-F(x)的高阶无穷小(当x→+∞)，故应选(B)．6.假设X服从二项分布B(n，p)，已知EX=2.4，DX=1.44，则n，p值分别为(A) 4；0.6． (B) 6；0.4． (C) 8；0.3． (D) 12；0.2．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于X～B(n，p)，所以p=0.4．故应选(B)．求得n，p，从而确定正确选项．7.已知随机变量X的分布中含有若干个未知参数，如果仅对唯一的参数值才有EX=DX，则X必服从(A) 参数为(μ，σ2)的正态分布． (B) 参数为λ的指数分布．(C) 参数为λ的泊松分布． (D) 参数为a，b的[a，b]区间上的均匀分布．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 直接由EX=DX来确定正确选项．如果X～N(μ，σ2)，则EX=DXμ=σ2．参数(μ，σ2)不唯一．X～E(λ)，则．参数λ唯一．X～P(λ)，则EX=DXλ=λ．参数λ不唯一．X～U[a，b]．参数a、b不唯一．因此正确选项是(B)．8.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反而向上的次数，则X和Y的相关系数等于(A) -1．(B) 0．(D) 1．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由题设知X+Y=n，Y=-X+n，故选择(A)．事实上，X与Y的相关系数，cov(X，Y)=cov(X，-X+n)=-cov(X，X)=-DX，DY=D(-X+n)=DX，．所以选(A)．9.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A) ＜1，0＜P(B) ＜1，记X与Y的相关系数为ρ，则(A) ρ=0． (B) ρ=1． (C) ρ＜0． (D) ρ＞0．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 选项(B)不能选，否则(D)必成立．因此我们的问题转化为确定X、Y相关系数ρ的符号，而它仅取决于cov(X，Y)=EXY-EXEY，由题设知AB=，因此所以 cov(X，Y)=-P(A)P(B)＜0，ρ＜0，故应选(C)．10.设随机变量X与Y不相关且DX=DY≠0，则随机变量X与X+Y的相关系数ρ等于(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由题设cov(X，Y)=0，DX=DY，所以故应选(C)．11.已知随机变量X与Y的相关系数为ρ，随机变量ξ=aX+b，η=cY+d(abcd≠0)，则ξ与η的相关系数为(A) 0． (B) -p．(C) 当ac＞0时为ρ． (D) 当bd＞0时为ρ．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知，所以ξ与η的相关系数为故应选(C)．12.设随机变量X与Y的方差相等且不为零，则ξ=X+Y与η=X-Y相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 已知DX=DY≠0，所以cov(ξ，η)=cov(X+Y，X-Y)=cov(X，Y)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)=DX-DY=0，即X与Y相关系数为0，故应选(B)．13.假设随机变量X，Y，Z两两不相关，方差相等且不为零，则X+Y与Y+Z的相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知cov(X，Y)=cov(X，Z)=cov(Y，Z)=0，DX=DY=DZ≠0，所以X+Y与Y+Z的相关系数为故应选(C)．14.已知二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)且满足条件f(x，y)=f(-x，y) 或 f(x，y)=-f(x，-y)，则X与Y相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意f(x，y)对每个变元都是偶函数，因此x(x，y)或yf(x，y)为奇函数，所以EXY=EXEY=0X与Y XY=0，故应选(B)．15.设X，Y为随机变量，现有6个等式①E(X+Y)=EX+EY；②D(X+Y)=DX+DY；③D(X-Y)=DX+DY；④EXY=EX·EY；⑤D(XY)=DX·DY；⑥)cov(X，Y)=0．则上面与“X和Y不相关”等价的等式共有(A) 0个． (B) 2个． (C) 4个． (D) 6个．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] ①对任意随机变量都成立，②、③、④、⑥是X与Y不相关的充要条件，因此选(X)．而⑤式DXY=E(XY)2-(EXY)2=DXDY并不能断言X与Y的相关性．16.假设随机变量X与Y的二阶矩都存在，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充分必要条件是(A) EX=EY． (B) EX2=EY2．(C) EX2-E2X=EY2-E2Y． (D) EX2+E2X=EY2+E2Y．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] ξ与η不相关cov(ξ，η)=0cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0DX=DYEX2-E2X=EY2-E2Y，选择(C)．17.已知(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，X与Y相关系数为ρ，则X+bY与X-bY，相互独立的充分必要条件是参数b(A) 可以取任意实数． (B) 等于p．(C) 等于σ1/σ2． (D) 等于μ1/μ2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：18.已知(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，ξ=aX+bY，η=aX-bY(ab≠0)，则ξ与η独立的充要条件是(A) a、b为任意实数． (B) a=b-1．(C) a2=62． (D) a=b+1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于对任意常数c，d(c、d不全为0)，有cξ+dη=c(aX+bY)+d(aX-bY)=a(c+d)X+b(c-d)Y服从一维正态分布，所以(ξ，η)服从二维正态分布．因此ξ与η独立ξ与η不相关cov(ξ，η)=0cov(aX+bY，aX-bY)=a2cov(X，X)+abcov(Y，X)-abcov(X，Y)-b2cov(Y，Y)=a2DX-b2DY=σ2(a2-b2)=0a2=b2．故应选(C)．19.设X与Y都是服从正态分布的随机变量，则X与Y不相关是X与Y独立的(A) 充分必要条件． (B) 充分非必要条件．(C) 必要非充分条件． (D) 非必要非充分条件．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] X与Y都服从正态分布并不意味着(X，Y)服从二维正态分布，因此X与Y不相关仅仅是独立的必要条件而不充分，所以选(C)．20.假设(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，X与Y不相关，则下列四对随机变量中相互独立的是(A) X与X+Y． (B) X与X-Y．(C) X+Y与X-Y． (D) 2X+Y与X-Y．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由题设知各选项中的二个随机变量其联合分布都是二维正态分布，因此它们相互独立等价于不相关．又cov(X，Y)=0，DX=DY=σ2，所以 cov(X，X±Y)=DX=σ2≠0，cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0，cov(2X+Y，X-Y)=2DX-DY=σ≠0．故应选(C)．21.已知随机变量X在[-1，1]上服从均匀分布，Y=X3，则X与Y(A) 不相关且相互独立． (B) 不相关且相互不独立．(C) 相关且相互独立． (D) 相关且相互不独立．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于Y=X3，因此Y与X不独立，但又有某种线性相依的关系，即Y与X相关，所以选择(D)．事实上，已知EXY≠EX·EY，因此X与Y相关．下面证明Y=X3与X不独立．X与Y=X3相互独立，y∈R有P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即P{X≤x，X3≤y}=P{X≤x}P{X3≤y}．取，则，故而所以故X与Y=X3不独立．22.假设随机变量X与Y相互独立且有非零的方差，则(A) 3X+1与4Y-2相关． (B) X+Y与X-Y不相关．(C) X+Y与2Y+1相互独立． (D) e X与2Y+1相互独立．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于X与Y相互独立，由独立性质知e X与2Y+1相互独立，所以选(D)．下面我们对各选项逐一加以验证．由于X与Y相互独立，所以cov(X，Y)=0．(A)：cov(3X+1，4Y-2)=12cov(X，Y)=0，3X+1与4Y-2不相关，选项(A)不成立．(B)：cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)选项(B)不成立．(C)：cov(X+Y，2Y+1)=2cov(X，Y)+2cov(Y，Y)=2DY≠0，X+Y与2Y+1相关，因而不独立，选项(C)不成立．(D)：x，y∈R，如果x＞0，则=P{e X≤x}P{2Y+1≤y}．如果x≤0，则P{e X≤x}=0．P{e X≤x，2Y+1≤y}=0=P{e X≤x}P{2Y+1≤y}，所以e X与2Y+1相互独立，选项(D)成立．23.设X，Y为随机变量，其期望与方差都存在，则下列与PX=Y=1不等价的是，有P|X-Y|≥ε=0．(B) EX=EY，DX=DY．(C) EX=EY，D(Y-X)=0．(D) EX=EY，EX2=EY2，X与Y的相关系数为1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 从四个选项中我们可以看到选项(B)是EX=EY，DX=DY，而这并不意味着X与Y以概率1相等即P{x=Y}=1，所以选(B)．下面我们证明其他三个选项都与P{X=Y}=1等价．(A)：P{X=Y}=1P{X≠Y}=0．，有{|X-Y|≥ε}{X≠Y}P{|X-Y|≥ε}=0．反之，如果，P{|X-Y|≥ε}=0，则由．选项(A)成立．(C)：EX=EY，D(Y-X)=0E(Y-X)=0，D(Y-X)=0P{Y-X=E(Y-X)}=1即P{Y-X=0}=P{Y=X}=1．选项(C)成立．(D)：EX=EY，EX2=EY2，X与Y相关系数ρXY=1，EX=EY，EX2=EY2，P{y=aX+b}=1，其中，b=EY-aEX=0．从而{Y=X}=1．反之若ρXY=1，且，EX2=EY2，ρXY=1，所以(D)成立．24.设随机变量X1和X2不相关，且DX1=DX2=σ2≠0，令X=X1+aX2，Y=X1+bX2(ab≠0)，如果X与Y不相关，则(A) a与b可以是任意实数． (B) a=b．(C) ab=-1． (D) ab=1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知cov(X1，X2)=0且DX1=DX2=σ2≠0，所以X与Y不相关cov(X，Y)=0cov(X1+aX2，Xl+bX2)=DX1+abDX2=σ2(1+ab)=0ab=-1，选(C)．25.设X是连续型随机变量且方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有(A)(B)(C)（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 各个选项左式全为P{|X-C|≥ε}，因此希望通过计算选出正确选项．设X的密度函数为f(x)，则故应选(C)．26.设随机变量X的方差DX存在，并且有则一定有(A) DX=2．(B) DX≠2．(C) (D)（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由题设P{|X-EX|≥3}≤，可得故应选(D)．27.设事件A在每次试验中发生的概率都是p，将此试验独立重复进行n次．X表示n次试验中A发生的次数，Y表示n次试验中A发生的次数，则下面结论不成立的是(A) D(X+Y)=0．(B) D(X-Y)=0．(C) PX=k=PY=n-k(k=0，1，…，n)．(D) X～B(n，p)，Y～B(n，1-p)．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意X～B(n，p)，Y～B(n，1-p)，X+Y=n，所以选项(A)、(C)、(D)都成立，不成立的是(B)．事实上，Y=-X+n，又DX=np(1-p)，DY=n(1-p)p，所以 D(X-Y)=DX+DY-2cov(X，Y)=2np(1-p)+2np(1-p)=4np(1-p)．28.已知试验E1为：每次试验事件A发生的概率都是p(0＜p＜1)，将此试验独立重复进行n次，以X1表示在这n次试验中A发生的次数；试验E2为：第i次试验事件A发生的概率为p i(0＜p i＜1，i=1，2，…)，将此试验独立进行n次，以X2表示在这n次试验中A，则(A) EX1＜EX2． (B) EX1=EX2．(C) EX1＞EX2． (D) 以上结论都不对．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意X1～B(n，p)，．对试验E2而言，如果记故应选(B)．二、填空题(总题数：17，分数：20.00)29.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为3的泊松分布，则D(X1-2X2+3X3)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：46）解析：[解析]D(X1-2X2+3X3)=DX1+4DX2+9DX3=3+4×4+9×3=46．30.设随机变量X和Y独立同服从正态分 N(0，1/2)，则D|X-Y|=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 易见，E(X-Y)=0，D(X-Y)=1，故U=X-Y～N(0，1)．因此E|U|2=EU2=DU+(EU)2=1．31.设X服从参数为2的指数分布，则E(X+e-X)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由指数分布的数学期望知EX=1/2，又于是32.设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-0.02）解析：[解析] 由题设可知，EX2=0.60，EY2=0.50，EX2EY2=0.30，又EX2Y2=P{X=1，Y=-1}+P{X=1，Y=1}=0.28，于是 cov(X2，Y2)=EX2Y2-EX2EY2=-0.02．33.以X表示接连10次独立重复射击命中目标的次数，已知每次射击命中目标的概率为0.4，则EX2= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：18.4）解析：[解析] 由题设知，10次独立重复射击命中目标的次数X服从参数为(10，0.4)的二项分布．因此，EX=4，DX=2.4．于是EX2=DX+(EX)2=18.4．34.设对某一种商品的需求量X(件)是一随机变量，其概率分布为则期望需求量为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由数学期望的定义，可知期望需求量为35.假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：10.20）解析：[解析] 由题设条件“无系统误差”知，测量误差X服从正态分布N(0，σ2)，所以由可知36.100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：5）解析：[解析] 设每次试验成功的概率为p，则100次独立重复试验成功的次数X服从参数为(100，p)的二项分布，故DX=100p(1-p)．易见，当p=0.5时，p(1-p)取最大值．这时DX=100pq=100×0.25=25，因此，标准差的最大值等于5。

第二章随机变量的分布和数字特征习题课

第二章随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量 21,X X 的分布函数为)(1x F 与)(2x F 则a ,b 取值为（）时，可使F(x)=a )(1x F -b )(2x F 为某随机变量的分布函数。

A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b 应满足a-b=1,只有选项A 正确。

[答案选：A] 2. 设 X ～ϕ(x ),且ϕ (-x )= ϕ(x ),其分布函数为F (x ),则对任意实数a , F (-a )=( )。

A.1-⎰ax 0)(ϕd x B . 21-⎰ax 0)(ϕ d x C .F(a) D .2F(a)-1 分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；②⎰ax 0)(ϕ d x ＝F(a)－F(0)；③F(0)＝0.5；④F(a)＋F(-a)=1 [答案选：B] 3.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的增大，P (|X -μ|<σ)（）。

A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案选：C]4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X ～N(μ,16)，Y ～N(μ,25),记P{X ≤μ＋4}=1p ,P{Y ≤μ+5}=2p ,则（）正确。

A.对任意实数μ，均有1p =2pB. 对任意实数μ，均有1p <2pC.只对个别的μ值才有 1p =2pD. 对任意实数μ，均有1p >2p [答案选： A]5. 设X 是随机变量且)0,()(,)(2>==σμσμX D X E ，则对任意常数c ，（）成立。

222)(.c EX c X E A -=-22)()(.μ-=-X E c X E B 22)()(.μ-<-X E c X E C22)()(.μ-≥-X E c X E D分析：[答案选：D ]由2)(,)(σμ==X D X E ，得2222)()(μσ+=+=EX X D EX)2()(222c cX X E c X E +-=-∴2222222)(22c c c c cEX EX -+=+-+=+-=μσμμσ)2()(222μμμ+-=-X X E X E222222222σμμμσμμ=+-+=+-=EX EX显然22)()(μ-≥-X E c X E二：题空题1. 设在每次伯努里试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次伯努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为（），至多发生一次的概率为（）。

第四章随机变量的数字特征(有答案)

第四章随机变量的数字特征1. (2016)设随机变量X 的概率密度函数2,01(),0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他则2()E X =0.5 .2. (2016)设随机变量X 与Y 满足()1,()2,()4,()9,0.5XY E X E Y D X D Y ρ=====, 则()E XY = 5 .3. (2016)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1) 求,X Y 的边缘分布律; (2) 求,X Y 的相关系数XY ρ; (3) 判断,X Y 是否相关、是否独立？解答: （1）X 与Y分分（2）2()()3E X E Y ==, 4()()9D X D Y ==, 2()9E XY =, 因此故 1.2XY ρ===- …...................................4分（3）X 与Y 相关, 不独立. ...............................................................................2分4.(2016)设A 与B 是两个随机事件, 随机变量1,,0,A X A ⎧=⎨⎩出现不出现 1,,0,B Y B ⎧=⎨⎩出现不出现证明: 随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.证明: X故 ()()E X P A =, 同理, ()()E Y P B =.XY故 ()()E XY P AB =. ...........................................................................................3分XY ρ==因此 X 与Y 不相关0XY ρ⇔=()()()E XY E X E Y ⇔=()()()P AB P A P B ⇔= 即 X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. ..................................2分 5. (2015)设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则期望2[(1)]E X +=11 . 6. (2015)设随机变量X 服从正态分布2(1,3)N , Y 服从正态分布2(0,4)N , X 与Y的相关系数12XY ρ=-, 设32X YZ =+, 求:(1) Z 数学期望()E Z 及方差()D Z ;(2) X 与Z 的协方差cov(,)X Z 及相关系数XZ ρ. 解答：（1）111()()()323E Z E X E Y =+=;()()32X YD Z D =+1111()()29432XY D X D Y ρ=++⋅⋅2211111342()34394322=⋅+⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅=. …...................................…6分（2）cov(,)cov(,)32X YX Z X =+ 11cov(,)cov(,)32X X X Y =+11()32XY D X ρ=+21113(0322=⋅+-=. 故 0XZ ρ=. ............................................................................................……...4分 7. (2014)对球的半径做近似测量, 设测量值均匀分布在区间(2,3)上, 则球的体积的数学期望为653π . 8. (2014)设随机变量X 与Y 的方差均为4, 相关系数12XY ρ=, 2Z X Y =+, 则协方差cov(,)X Z = 8 .9. (2014)设X ,Y 为随机变量, 下列选项中, 不是()()()E XY E X E Y =的充要条件的是 D . (A) cov(,)0X Y = (B) ()D X Y DX DY -=+ (C) X 与Y 不相关(D) X 与Y 独立10. (2014)设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩，其他. （1）求常数A ;（2）设随机变量2Y X =, 求Y 的概率密度函数()Y f y ;（3）设随机变量11,,210,.2X Z X ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩, 求()E Z .解答：（1）+-()d 1f x x ∞∞=⎰，即+d 1Ax x ∞-∞=⎰，得2A =. ……………………3分（2）法1：2y x =的反函数为x =(01,()0,X XYf f yf y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.0,01,0,y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.1,01,0,y<<⎧=⎨⎩其它.…………………4分法2：2(){}{}YF y P Y y P X y=≤=≤当0y≤时：()0YF y=，当01y<<时：(){dYF y P X x x y=≤≤==⎰，当1y≥时：()1YF y=.因此1,01,()()0,Y Yyf y F y<<⎧'==⎨⎩其它.……………………………………4分（3）11213{1}{}2d24P Z P X x x==≥==⎰，故3()4E Z=. ………………………3分11.(2014)设某厂生产的某种设备的寿命（单位: 年）X服从指数分布, 其概率密度函数为141e, 0,()40,0.xxf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定: 若出售的设备在一年内损坏, 则可予以调换. 工厂售出一台设备后, 若在一年内未损坏, 厂方可获利100元, 若在一年内损坏, 厂方则亏损200元.试求厂方售出一台设备的平均利润.解答：设Y为厂方售出一台设备的利润，有114411{1}e d1e4xP X x--<==-⎰，……………………3分则Y平均利润111444()100e200(1e)300e200E Y---=--=-. (3)分。

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随机变量及其数字特征测验
（一）单项选择题(每小题2分，共14分)
⒈设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（）．
A. 6, 0.8
B. 8, 0.6
C. 12, 0.4
D. 14, 0.2
⒉设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（）．
A.
xf x x ()d -∞+∞⎰ B. xf x x a b
()d ⎰ C. f x x a b ()d ⎰ D. f x x ()d -∞+∞⎰
⒊在下列函数中可以作为分布密度函数的是（）． A. f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它 B. f x x x ()sin ,,
=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它 C. f x x x ()sin ,,
=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它 ⒋设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则P a X b ()<<=（）．
A. F a F b ()()-
B.
F x x a b ()d ⎰ C. f a f b ()()- D. f x x a
b ()d ⎰ ⒌设X 为随机变量，则D X ()23-=（）．
A. 23D X ()+
B. 2D X ()
C. 23D X ()-
D. 4D X ()
⒍设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（）时，有E Y D Y (),()==01．
A. Y X =+σμ
B. Y X =-σμ
C. Y X =-μ
σ D. Y X =-μ
σ2
7. 设X 是随机变量，2)(σ=X D ，设Y aX b =+，则=)(Y D （）．
(A) a b σ2+(B) a 22
σ
(C) a σ2(D) b a +22σ
（二）填空题(每小题2分，共14分)
⒈已知连续型随机变量X 的分布函数F x ()，且密度函数f x ()连续，则f x ()=． ⒉设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=．
⒊若X B ~(,.)2003，则E X ()=．
⒋若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3．
⒌若二维随机变量(,)X Y 的相关系数ρX Y ,=0，则称X Y ,．
⒍E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的．
7. 设连续型随机变量X 的密度函数是)(x f ，则=<<)(b X a P ．
（三）解答题(每小题8分，共72分)
⒈某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布．
⒉设随机变量X 的概率分布为
012345601015
020*********.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253．
⒊设随机变量X 具有概率密度
f x x x (),,
=≤≤⎧⎨⎩2010其它试求P X P X (),()≤<<1214
2． ⒋已知随机变量X 的概率分布为 P X k k ()(,,,,,)==
=1102461820 求E X D X (),()．
⒌设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩201
0其它，求E X D X (),()．
⒍已知100个产品中有5个次品，现从中任取1个，有放回地取3次，求在所取的3个产品中恰有2个次品的概率．
⒎某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，求⑴投中篮框不少于3次的概率；⑵至少投中篮框1次的概率．
⒏设X N ~(,.)20022，计算⑴P X (..)0218
<<；⑵P X ()>0． 9. 设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量，已知E X D X (),()112=
=μσ，设
X n X i i n ==∑11，求E X D X (),()．。