20qiu《线性代数》离线作业
2020春线性代数离线作业-
厦门大学网络教育2019-2020学年第二学期《线性代数》课程期离线作业学习中心： 年级： 专业： 学号： 姓名： 成绩：一．选择题（共10小题，每题3分）1. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 则|A 3-5A 2+7A |的值为（ D ）。
A ． 3； B. 6； C. 9； D. 18。
2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B =（ A ）A ． 033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； B.033123110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C. 033123-110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; D. 033123-110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 已知A 是四阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，若A *的特征值是1，-1,2,4，那么不可逆矩阵是（C ）。
A ．A-E ； B ．2A-E ； C ．A+2E ； D ．A-4E ；4. 若A ，A *和B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O 则必有r(B)=（ A ）。
A ．1；B ．2；C ．n-1；D ．不确定； 5. 设A 为3阶矩阵， |(2A )-1-5A *|=-16，则||A =（ B ）。
A ． 1； B. 1/2； C. 0; D.-16. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 则A T B 的值为（ ）。
A ． 0-58056290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； B.0-58056290⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C. 058056290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; D. 0-58056-290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭7. 设三阶矩阵)(321ααα=A ，)2(21βαα=B ，其中βααα,,,321均为三维列向量，且2=A ，1=B ，则B A +=（ ）。
A ．5； B. 0; C.1; D. 15.8. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解，则（ ）。
西交《线性代数》在线作业(资料答案)
西交《线性代数》在线作业-0001试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 35 道试题,共 70 分)1.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )A.A^-1CB^-1B.CA^-1B^-1C.B^-1A^-1CD.CB^-1A^-1答案:A2.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A3.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的( )。
A.充分必要条件；B.必要而非充分条件；C.充分而非必要条件；D.既非充分也非必要条件答案:C4.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B5.设A为三阶方阵,且|A|=2,A*是其伴随矩阵,则|2A*|=是( ).A.31B.32C.33D.34答案:B6.设A,B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要条件是( ).A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA答案:D7.设A3*2,B2*3,C3*3,则下列( )运算有意义A.ACB.BCC.A+BD.AB-BC答案:B8.设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为-1,2,则|B|=A.-1B.-2C.1D.2答案:B9.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B10.设A为三阶方阵,|A|=2,则 |2A-1| = ( )A.1B.2C.3D.4答案:D11.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1,则此行列式︱A︱的值为( ).A.3B.15C.-10D.8答案:C12.设a1,a2,a3,a4,a5是四维向量,则( )A.a1，a2，a3，a4，a5一定线性无关B.a1，a2，a3，a4，a5一定线性相关C.a5一定可以由a1，a2，a3，a4线性表示D.a1一定可以由a2，a3，a4，a5线性表出答案:B13.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若c1u1-c2u2是其导出组Ax=o的解, 则有( ).A.c1+c2=1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:B14.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是( ).A.∣A∣>0B.存在n阶矩阵P，使得A=PTPC.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数答案:D15.用一初等矩阵左乘一矩阵B,等于对B施行相应的( )变换A.行变换B.列变换C.既不是行变换也不是列变换答案:A16.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )A.A与B相似B.A≠B，但|A-B|=0C.A=BD.A与B不一定相似，但|A|=|B|答案:A17.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D的值为( )A.-3B.-7C.3D.7答案:A18.设A为n阶方阵,r(A)<n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是( )A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解答案:C19.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解,若c1u1+c2u2也是方程组Ax = b的解,则( ).A.c1+c2 =1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:A20.设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A+E的特征值为( ).A.3，5B.1，2C.1，1，2D.3，3，5答案:D21.设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.若AB=AC，则B=CB.(A-C)^2 = A^2-2AC+C^2C.ABC= BCAD.|ABC| = |A| |B| |C|答案:D22.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>3答案:A23.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A24.设 A、B、C为同阶方阵,若由AB = AC必能推出 B = C,则A应满足( ).A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0答案:D25.设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.(A+B)(A-B) = A^2-B^2B.(AB)^-1 = B^-1A^-1C.若AB= O, 则A=O或B=OD.|AB| = |A| |B|答案:D26.设A,B均为n阶方阵,则( )A.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)^-1=B^-1A^-1答案:A27.设A为m*n矩阵,则有( )。
线性代数离线练习题答案 2
线性代数练习题答案1、行列式计算（10分）：求行列式nn aaa D +++=11111111111121，其中n D 表示n 阶行列式)1(≥n ，021≠n a a a ,除对角线外其余元素都是1.解：把行列式的第一行乘以（-1）加到其余各行上去，再把第一列中除11a 外其他元素均变成为零，化n D 为下三角行列式，具体如下：)11( 0 00 0 0000011100 0 000111 1121321131211∑=+=+=---+=ni in nnn a a a aaa ab a a a a a a a a D 其中.121∑=+=ni ia ab [评分细则：得到第一个行列式3分，第二个3分，最后结果4分]2、设A 为4阶矩阵，41=A ，求*143 A A --。
（10分）解：,341),2(44111*1分）（分---===⇒=A A A A A A 故 .642243 141*1===----A A A A （5分）3、已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k A 1 1 11 1 11 1 11 1 1且3)(=A r ，求k 的值.（10分）解：)8()1)(3(0 0 01 1 001 0 10 1 11 1 111 1 001 0 10111 0 1 1 11 111 1 11 112分⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k -k k -k k k k -k k -k k -k k k k k k k A 又3)(=A r ，知.3-=k（2分）4、设矩阵X 满足X B AX 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=32 10 1 1 3 2 4 A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5 30 21 2B 求矩阵X .（15分）解：由X B AX2+=，得B E A X 1)2(--=，（2分）下面用初等变换求所要求的结果：[])(10 19 22 1 0 014- 17- 0 1 014- 15- 0 0 1419 211 41 0 028 34 0 2- 028- 30- 0 0 2 419 211 41 0 021- 1 23- 2- 021 3 23 0 2 211 4 25 3 021- 1 23- 2- 01 2 3 2 25 3 1 2 1-0 2 0 1- 1 1 2 3 2 2 ,2分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=- B E A知B E A X 1)2(--== 91 22 141714- 15- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- （3分）.5、A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则*A 的其中一个特征值。
最新《线性代数》习题集(含答案)
【1】填空题(1)(2)(3)(4)(5)答案:【2】(1)A-3 ；(2) 《线性代数》习题集（含答案）二阶行列式二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式l.ab(a-b) 选择题若行列式B-2 ; C2;若行列式abcos sina bi2aA -1 , .2 ;B 2.1D3osincosa bi3. a=0，.2 ；34. x则x=则x=()。
()o第一章3z 3xyz ；5.4abc。
C 1,、、223 (3)三阶行列式503 20152A -70 ;B -63 ;C 70;D 82。
/ 、n 1A0; Bn !; C (-1 ) • n !; D 1?n!。
答案：1.D ; 2.C ; 3.A ; 4.B ; 5.D 。
【3】证明【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1） 134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1） （ 134782695）=10,此排列为偶排列。
（2） （ 217986354）=18,此排列为偶排列。
（3） （ 987654321）=36，此排列为偶排列。
【5】计算下列的逆序数：（1）135L （2n-1）246L （2n ）；（2）246L （2n ）135L （2n-1 ）。
1 1 答案：（1） — n （n-1 ）；（2） — n （n+1） 22【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：a0 0 （4）行列式 0 a b 0 b ab 0 0 2b0 a =()。
A a 4 b 2C bD a 4b 4。
0 1 0 L0 0 2 L （5） n 阶行列式M M M0 0 0 Ln 0 0 L0 0 M n 1 0=()。
1 298 =()。
3a 15a 23a 32a 44a 51a 66；( 2)a 21a 53a 16a 42 a 65a 34；( 3)(1)正号；(2)负号。
根据定义计算下列各行列式:0 0 L 0 1 0 0 0 L 2 0 0 MMM M M n 1 0 L 0 0 0 0 0 L0 0 n3|1923332 a44a 14a 22a 33a 41n(n 1)(n 1)(n 2)(1)^ ?n! ； (4) ( 1)2n!。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。
西安交通大学14春学期《线性代数》离线作业
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8.设相似于，则
.
.
9.矩阵的线性无关的特征向量的个数为
.
10.设和是3阶实对称矩阵的两个不同特征值，和依次是属于和的特征向
量，则
.
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 若同阶矩阵与相似，则对任何常数与相似.
(2) 若方阵与对角矩阵相似，则也与对角矩阵相似.
23.求矩阵的秩.
五、证明题
24.设、为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.
25.设阶矩阵满足.证明矩阵可逆，并求.
26.证明：矩阵与行等价的充分必要条件，是存在阶可逆矩阵，使.
第三章 向量
本章要点
1.维向量及其线性运算； 2.线性组合与线性表示； 3.线性相关与线性无关； 4.向量组的极大无关组与秩； 5.实向量的内积、长度、夹角、正交，正交矩阵与施密特正交化方法.
第四章 线性方程组
本章要点
线性方程组解的情况的判定、解的性质、解的结构及求解方法.
本章目标
1.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件、解的性质、基础解系与 通解等概念；
2.理解非齐次线性方程组解的判定定理、解的性质、解的结构与通解 等概念；
3.掌握用初等变换法求解线性方程组的方法.
本章重点
1.齐次线性方程组基础解系的概念与计算； 2.非齐次线性方程组解的判定以及在有无穷多解时通解的计算.
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9.设阶可逆方阵的伴随矩阵为，已知则
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10.若矩阵的秩为2，则
.
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 矩阵乘法满足交换律，但不满足结合律；
(2) 方阵的伴随矩阵的元素为，其中是的代数余子式；
(3) 同阶可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵； (4) 同阶对称矩阵的乘积必是对称矩阵； (5) 设、均为可逆矩阵，则有.
2020年08月04184线性代数真题及答案
2020年8月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m，|α1,β2,α2|=n，则行列式|α1,α2,β1+β2|=（）A.m−nB.n−mC.m+nD.mn【答案】A【解析】|α1,α2,β1+β2|=|α1α2β1|+|α1α2β2|=m+(−1)×n=m−n.2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的(−2)倍加到第3列得到单位矩阵E，则A−1=（）。
A.(120 001 010)B.(1−20 001 010)C.(10−2 001 010)D.(102 001 010)【答案】C【解析】A(100001010)=BB(10−2010001)=EA(100001010)(10−2010001)=EA−1=(100001010)(10−2010001)=(10−2001010)3.设向量组a1,a2,a3线性无关，而向量组a2,a3,a4线性相关，则（）A.a1必可由a2,a3,a4线性表出B.a2必可由a1,a3,a4线性表出C.a3必可由a1,a2,a4线性表出D.a4必可由a1,a2,a3线性表出【答案】D【解析】因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以向量组a1,a2,a3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以向量组a2,a3,a4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D 是正确的。
参见教材P116。
4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1,−1,2，则|A−1|（）A.-2B.−12C.12D.2【答案】B【解析】因为|A|=1∗−1∗2=−2，所以|A−1|=1|A|=−12.参见教材P160。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2
大学线性代数作业答案
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(D)说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确．4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵(D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误．三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此．四、1、已知，，，求．结果为2、已知，，求．结果为3、已知，，求，，．结果为4、计算，结果为05、计算五、设证明：当且仅当．证：必要性，已知，即，则，得．充分性，已知，则，因此．2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，．说明：，，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 ．说明：3、设为矩阵，则是可逆的充分必要条件．4、已知，且可逆，则=．说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则．说明：二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A）（B）（C）（D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程．证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵．证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题＝．说明：由于，，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对．说明：（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，，，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中，将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此．四、已知，，求矩阵．解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得（1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此．五、已知，其中，求矩阵．解：由得：，即因此，六、设，为三阶可逆矩阵,求．解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中，所有的阶子式都为0 ．2、设是矩阵，，，则 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩．3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为．4、设, 秩，则 -3 ．说明：将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，，但时显然，因此．5、设, 秩，则 1 ．说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；2）求秩（要讨论）．解：则当时，；当时，．四、讨论矩阵的秩．解：当且、、时，；其它情况，．第三章向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求，及.结果：2、已知,,满足，求.结果：3、设，其中，，，求．结果：4、写出向量的线性组合，其中：（1）（2）结果：1） 2）5、已知向量组，问：向量是否可以由向量线性表示？若可以，写出其表达式；解：设即可得方程组：，用克拉默法则可得：，，则向量可以由向量线性表示，．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3），因此向量组线性无关．4）线性相关．5）线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关．2、填空题设向量组线性相关，则 2说明：，则设向量组线性无关，则必满足关系式说明：若维单位向量组可由向量组线性表示，则说明：书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C）向量组中必有两个向量的分量对应不成比例向量组中不含零向量向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示存在全为零的数，使得2）设其中是任意实数，则（C）向量组总线性相关向量组总线性相关向量组总线性无关向量组总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) 线性无关证明：设即，由线性无关得，即，因此线性无关．(2) 线性相关证法1：设即，由线性无关得，当时方程组成立，因此线性相关．证法2：由，得线性相关．5、已知，，问：向量能否由向量组唯一线性表示？解：设，即方程组系数行列式，，，因此可由向量组唯一线性表示，．3.3 向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性无关说明：由知线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关．（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是（ B ）可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示（2）设维向量组的秩，则（ B ）向量组线性无关向量组线性相关存在一个向量可以由其余向量线性表示任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C）3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）解：由，得向量组的秩为3．（2）（要讨论）解：当，时秩为3；当时秩为2；当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．（1）解：为极大线性无关组，且．（2）,,解：为极大线性无关组，，5、已知向量组的秩为，1）求2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．解：（1），（2）为极大线性无关组，．6、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组线性无关．证明：由维单位向量可由维向量组线性表出，且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，由的秩为，因此的秩为，因此线性无关．7、设，，，，证明：线性无关．证明：设，即则由得：，系数行列式因此线性无关．8、设，若各向量组的秩分别为：，，证明：向量组的秩为4．证明：反证法，假设向量组的秩小于4，由知，线性无关，根据书69页定理5知：可由线性表示，设为，即（1）再由，得线性相关，再由刚才定理知：可由线性表示，设为，代入（1）得：因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾．因此向量组的秩为4．3.4 向量空间1、设问是不是向量空间，为什么？解：是向量空间，不是向量空间．（大家自己证明）2、向量在基，，下的坐标是．说明：设方程，解之即可．3、略4、试证：由生成的向量空间就是，并求的一组标准正交基．证：由，则线性无关，，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，所生成的向量空间为．由施密特正交化法：，单位化得：，，，为空间的一个标准正交基．第四章线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且，则应满足＝4 ；线性方程组有解，且，则应满足＝32）设是方阵，线性方程组有非零解的充要条件是．说明：由，得3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为 2 ．说明：解空间的维数+结果为．4）设为四元非齐次线性方程组，，是的三个非零解向量，，则的通解为．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由，，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的通解为5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则．说明：由是非齐次线性方程组的解，可知为非零向量，因此有非零解，则其系数行列式必为0，推出．2、选择题1）若齐次线性方程组仅有零解，则（C）2）线性方程组有唯一解的条件是（B）只有零解、、都不对3）若方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则（B）一定无解必有非零解仅有零解的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系1）解：方程组化为：，设，解得，，基础解系为：2）解：方程组化为令，解得：，令，解得：，基础解系为：，4、求方程组的特解．解：方程组化为，令，得，因此方程组的一个特解为：．5、求下列线性方程组的通解1）解：方程组化为：，设，得，，通解为：2）解：方程组化为：选为自由未知量并令，(注意此处特解的取法)解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为，选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为方程组通解为：（3）四元线性方程组解：由知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该方程组的一个特解为在其导出组中选为自由未知量并令得，令得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数．6、综合题（1）已知三元非齐次线性方程组有特解，，，，求方程组的通解.解：因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，均是的解，显然它们线性无关，可以构成的一个基础解系．由解的结构知的通解为，其中为任意常数即．（2）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得，所以当时原方程组有非零解．当时，原方程组变为，选为自由未知量并令并令得，，得于是方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（3）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得或时原方程组有非零解．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（4）讨论当取何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，或者时，原方程组有无穷多解．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（5）已知线性方程组问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，或时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，且时，原方程组有无穷多解．当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（6）若是方程组的基础解系，证明：也是该方程组的基础解系．证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的．设整理得由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系．（7）设方程组证明：此方程组对任意实数都有解，并且求它的一切解．证明：由于，故对任意实数原方程组都有解．对，选为自由未知量，在对应的中令得，导出组的一个基础解系为在中令得，原方程组的一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（8）设是（）的两个不同的解，的一个非零解，证明：若，则向量组线性相关．证明：因为，所以的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数满足，整理得，从而向量组线性相关．第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值与特征向量1、填空题1) 矩阵的非零特征值是 3 ．2) 阶单位阵的全部特征值为 1 ，全部特征向量为全体n维非零实向量3) 已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为的特征值为，的特征值为，的特征值为．4) 已知为二阶方阵，且，则的特征值为 0，1 ．2、选择题1) 设是阶矩阵，若，则的特征值（ C ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数2) 若是阶矩阵是可逆阵，则的特征值（ B ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数(3) 设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于（B ）4) 若为阶方阵，则以下结论中成立的是（ D ）的特征向量即为方程组的全部解向量；的特征向量的任一线性组合仍为的特征向量；与有相同的特征向量；若可逆，则的对应于特征值的特征向量也是的对应于特征值的特征向量5) 与阶矩阵有相同特征值矩阵为 D3、求下列矩阵的全部特征值及特征向量1）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．2）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．3）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为不全为零的常数4）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．4、设为三阶方阵，且，其中是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量．解：由于，故的特征植为又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组，故的特征向量为，其中为不全为零的常数．5.2 相似矩阵、矩阵的对角化1、填空题1) 若四阶方阵与相似，矩阵的特征值为，为四阶单位矩阵，则 24说明：由与相似，则的特征值也为，的特征值为，为全部特征值的乘积，因此为24.2) 若矩阵相似于矩阵，则 1说明：，由于与均可逆，则2、选择题1) 阶方阵具有个互不同的特征值是相似于对角矩阵的（B）充分必要条件充分而非必要条件必要而非充分条件即非充分也非必要条件2) 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个（C）相同的特征值互不相同的特征值线性无关的特征向量两两正交的特征向量3) 设三阶矩阵的特征值分别是，其对应的特征向量分别是,设，则（A）4) 若，都是阶矩阵，且可逆，相似于，则下列说法错误的是 C相似于相似于相似于三者中有一个不正确3、设三阶方阵的特征值为1）2) 设，求的特征值及其相似对角阵，并说明理由由于，故即，所以的特征值为0，-4，-1．3)4、判断下列矩阵是否相似1）与解：特征方程为特征值为故可对角化，2）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵．3）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似与所给的对角矩阵．5、判断下列矩阵能否对角化？若能，则求可逆矩阵，使为对角矩阵．1）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．2）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化．对此齐次方程组取一个基础解系对，系数矩阵，秩为2，说明有一个线性无关的特征向量，取一个基础解系．取，有3）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．6、设阶方阵的特征值为，，它们对应的特征向量依次为，求.解：由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化．从而5.3 实对称矩阵的对角化1、填空题1）任一方阵的属于不同特征值的特征向量必线性无关（填向量之间的关系）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交（填向量之间的关系）2）为三阶实对称矩阵，是矩阵的重特征值，则齐次线性方程组的基础解系包含 3 个解向量．2、设，求正交矩阵，使得解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系正交化：，，单位化：，，取，有3、设，求.解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故解方程组得4、设1) 求、2) 求正交矩阵，使得解：1)由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2即，解得2)此时，，其一个基础解系，其一个基础解系，其一个基础解系单位化：，，，有5、设，求（为正整数）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，有，故从而6、设为阶非零矩阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.证明：1）幂零矩阵的特征值全为零.2）不能相似于对角矩阵.证明：证明：1）设为幂零矩阵，有特征值，即，，又，带入上式得，即，又，只有从而2）反证法：假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设错误不能相似于对角矩阵．第六章二次型6.2 化二次型为标准型一、填空题1、二次型的矩阵是2、二次型的矩阵是，该二次型的秩是 33、二次型的秩为 2 ．说明：对应矩阵为，该矩阵行列式为0，秩为2．4、矩阵为二次型的二次型矩阵．若该二次型的秩是,则 1说明：令，求得二、选择题二次型的矩阵是(D)(A) (B)(C) (D)说明：本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是对称矩阵，排除，因此选D．三、设二次型（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换.解：（1）（2）特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系由于相互正交，只需对它们单位化：单位化：，，取，作正交变换，即则将化为标准形四、用配方法将下列二次型化为标准型，写出所做的实可逆线性变换并指出原二次型的秩：（1）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（2）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（3）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（4）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（5）解：令令，它的逆变换，带入得，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．五、设二次型经过正交变换化为标准形，求常数.解：，该二次型的矩阵为，它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特征值．从而有即，解得六、已知是二次型的矩阵的特征向量,求这个二次型的标准形.解：该二次型的矩阵为，由题设是矩阵的特征向量，故存在特征值满足，即，可得此时，特征方程解得特征值为二次型的标准形为6.4 正定二次型一、填空题(1)设，则不是正定矩阵;式子不是二次型；式子不是二次型（填“是”或者“不是”）．（2）设是正定的，则．(3)若二次型是正定的，则t的取值范围是．二、（1）二次型的正惯性指数与负惯性指数与符号差分别为 A ．(A) 2,0,2 (B) 2,0,0(C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A ．（A）既不正定也不负定（B）负定的（C）正定的（D）无法确定(3) 如果A是正定矩阵，则 C ．（A是A的伴随矩阵）(A) A′和A－1也正定，但A不一定（B）A－1和A也正定，但A′不一定（C）A′、A－1、A也都是正定矩阵(D) 无法确定（4）二次型是正定二次型的充要条件是 C（A）存在维非零向量，使（B）,（C）的正惯性指标为（D）的负惯性指标为（5）对正定二次型矩阵下列结论不正确的为（ D ）（A）合同于一个同阶单位阵（B）所有特征值都大于0（C）顺序主子式都大于0（D）不能对角化（6）以下命题正确的是（题目错，无正确答案）（A）若阶方阵的顺序主子式都大于零，则是正定矩阵（B）若阶方阵的特征值都大于零，则是正定矩阵（C）若阶实对称矩阵不是负定的，则是正定的（D）若阶实对称矩阵的主对角线元素不全为零，则一定不是正定的三、判断下列二次型的正定性：（1）解：该二次型的矩阵为，因为，二次型非正定．（2）解：该二次型的矩阵为，因为，，，，二次型正定．四、求值,使下列二次型为正定二次型（1）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．（2）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．线性代数试题（一）一、填空题（每题4分，5小题共20分）1、已知为阶方阵，为的伴随矩阵，若，则=．提示：，因此，得2、设、是三阶方阵，是三阶单位阵，且，则 -4 ．提示：由得，则3、向量在基，，下的坐标为（1，2，3）．4、若向量组，，的秩为2，则 3 ．5、阶方阵，若满足，则的特征值为 0或1 ．二、选择题（每小题3分，共15分）1、设和都是阶方阵，且，是阶单位阵，则（ B ）．。
西南大学《线性代数》网上作业及参考答案
===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。
西安交大网院《线性代数》作业集答案（魏战线）
线性代数作业集参考答案 第一章1.C .2.B .3.C .4. D .5. D .6.)(2b a -.7. 5.8. 1=λ或0=μ.9. 48. 10. 0. 11. (1)和(3)不正确，其余正确. 12. (1) );2()1(2+---a a λλ (2) ;)1)(3(3-+x x (3) 31; (4) 40; (5) ;142- (6) ).)((22221111c b d a c b d a --13. 3,2,4321-===x x x . 14. 1=k 或2=k . 16. 注意1D 与2D 的第4行对应元素有相同的余子式.第二章1. D.2. C.3. D.4. C.5. D.6. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3100013025. 7. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10042032121. 8. 24. 9. 1-n a . 10. 2-. 11. (1)和(4)不正确，其余正确. 12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3351371088. 13. O A A A A A A A =-=-=--)2(2,2212n n n . 14. 6. 15. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1161042211. 16. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-201032126)2(1I A A B . 17. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-011321330)2(1A I AB . 18. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020003. 19. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=-10111001141)2(211A IB .20.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+=-200040002)(41I A B . 21. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++68468327322731242124213111111313.22. 2716-. 23. 3. 25. )(51I A +-. 26. 利用：方阵P 可逆P ⇔可以写成若干个初等矩阵的乘积.第三章1. D.2. C.3. D.4. B.5. B.6. 3≠t .7. 8-=t .8. 3.9. 1. 10. 3. 11. (1)和(5)不正确，其余正确. 12. 2. 13. 32123021αααβ++-= 14. 当1≠a 时， 3211113212αααβ-++---+---=a b a b a a a b ；当1=a 且1-≠b 时，β不能由321,,ααα线性表示；当1=a 且1-=b 时，321)21()1(αααβc c c +-++-= (c 为任意常数). 15. (1)4321212432,2ααααβ--++--+=≠p pp p p ； (2) ,2=p 秩为3，321,,ααα是一个极大无关组. 16. 1-=a 时线性相关，1-≠a 时线性无关. 17. 秩为3，421,,ααα为一个极大无关组，且有2152132,3αααααα+=+=. 19.利用定义，及0A α0b A β=≠=j ,)3,2,1(=j . 20. 利用整体组与部分组线性相关性的关系.第四章1. A.2. D.3. B.4. B.5. C.6. 2.7.8. 8.415. 9. 1. 10. 0. 11. (5)不正确，其余正确. 12. (1) T T )1002(,)0,7,1,19(21，，，==ξξ,通解2211ξξx c c +=；(2) ,)0,1,6,8(1T -=ξT )1,0,5,7(2-=ξ,通解2211ξξx c c +=. 13. (1) 当8-=a 时，基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2,4(21--=-=ξξ，通解2211ξξx c c +=; 当8-≠a 时，基础解系为T )1,0,2,1(1--=ξ，通解ξx c =. (2) 当且仅当0=a 或6-=a 时有非零解，当0=a 时基础解系为T T )1,0,1(,)0,1,1(21-=-=ξξ，通解;2211ξξx c c +=当6-=a 时基础解系为T )3,2,1(=ξ，2通解ξx c =. 14. .)1,0,1,0()0,1,1,1(,121T T c c a -+-==x15. (1) TT T c c )1,0,7,5()0,1,2,1()0,0,5,2(21-+-+-=x ； (2) TTTc c )1,27,0,4()0,7,1,9()0,14,0,17(21-+-+-=x . 16.(1) 当1-≠a 且3≠a 时有唯一解：;11,11,12321+=+-=++=a x a x a a x 当1-=a 时无解；当3=a 时通解为T T c )1,3,7()0,1,3(-+-=x ；(2) 当4-≠a 时有唯一解：,151+=b x,441042++++-=a b a ab x ;433+-=a bx 当4-=a 且0≠b 时无解；当4-=a 且0=b 时，通解T T c )1,2,0()0,1,1(-+-=x . 17. T T c )2,1,0,1()4,3,2,1(--+. 19. 利用定义及齐次线性方程组向量形式与矩阵形式的转化.第五章1. B.2. A.3. B.4. C.5. C.6.43. 7. 6. 8. 2,1=-=b a . 9. 1. 10. 3-. 11. (3)和(4)不正确，其余正确. 12. (1).)5,4(,2;)1,1(,721T T --==λλ(2).)0,1,1(,3;)1,2,0(,)0,1,1(,2321T T T =-==λλλ (3) ,2;)1,1,1(,121==λλT ;)3,3,2(T.)4,3,1(,33T =λ 13. (2) ;322,111231011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- (3) ;121,227211113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- (4).332,010100021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 14..62225020731⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---- 15..110110001,1,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===P y x16. .3- 17..34 18. ;1,2==λk 或.41,1==λk 19. (1) ;105,122151⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- (2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--421,61213162031612131;(3) ;511,31620316121316121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- (4) .422,11011000221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 20..11112)(,51,1111211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-A AP P P ϕ22. 首先由正交矩阵定义得1-=A A T，两端取行列式并利用0)det(>A ，得1)det(=A ，再利用**1)det(1A A A A A ===-T(*A 为A 的伴随矩阵)，比较两端对应元素.第六章1. A.2. C.3. C.4. A.5. D.6. 2.7. 22213y y +. 8. 2>a . 9. 3. 10. 32212322214252x x x x x x x -+++. 11. (3)和(4)不正确，其余正确.12. .11011000221,,52232221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==++P Py x y y y 13. ,3,2==b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121P . 14. .21212222131⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P 15. 6||<t . 16. 证明二次型x A A x )(T T 为正定的.模拟试题（一）参考答案与提示一、(1)、(2)、(4)、(7)、(8)不对，其余正确. 二、.111022135⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---- 三、.10- 四、.53147⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- 五、,)1,1,1(T -=ξ通解,ξk x =其中k 为任意常数. 六、1≠λ且2-≠λ时有唯一解，2-≠λ时无解，1=λ时通解为T T T k k x )1,0,1()0,1,1()0,0,1(21-+-+=，其中21,k k 为任意常数. 七、,121==λλ.)1,1,1(,2;)1,0,0()0,1,2(3321T T T k k k --=+-λ 八、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-433451,5202221P y y ，所求正交变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y x x P . 九、设x 满足0Bx =，两端左乘A ，得0x =，即齐次线性方程组0Bx =只有零解.模拟试题（二）参考答案与提示一、(1) (A). (2) (C). (3) (C). (4) (C). (5) (D). 二、(1) 6-. (2) .2-n (3) 2. (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡18104941. (5) 2. 三、(1) 30. (2) 1. (3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----132122121. (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--51023. (5) T )0,1,2,3(1-=ξ, .,)1,30,4(22112ξξx ξc c T +=-= (6) 321,,ααα为一个极大无关组，秩为3，.23214αααα+-= (7) );0()1,0,0(,1111≠=k k T λ );0()0,1,1(,2222≠-=k k T λ).0()0,2,1(,3333≠-=k k T λA 可对角化.四、.)1,0,1,0()0,1,0,1()0,0,1,0(,321T T T c c a -+-+==x五、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===11011000221,1,0P b a . 六、只要证明321,,βββ是0Ax =的3个线性无关解即可.。
线性代数课后作业答案(胡觉亮版)
第一章1．用消元法解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5432,9753,432321321321x x x x x x x x x解 由原方程组得同解方程组12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨+=⎩得方程组的解为13232,2 3.x x x x =-⎧⎨=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--324423211123．解 1102232111232551232041050124442300000000r r ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000045251021201 3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x解 2100313357214110109011320019r B ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-−−→-⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭， 得方程组的解为920,97,32321=-==x x x ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-.2222,2562,134432143214321x x x x x x x x x x x x解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得方程组无解．第二章1.（2）22x y x y ．解 原式()xy y x =-．（2）010000200010n n-L L LL L L L L L． 2.解 原式1100020(1)001n n n +=-=-!)1(1n n +-3.（2）1111 2222 3333 4444 ------．解原式11110444192 00660008==．（5）121111100100100naaaLLLM M M L ML，其中0,1,2,,ia i n≠=L．解原式1112121100010010010iini ir rai nnaaaa=-≤≤-==∑∑∏==-niniiiaa11)11(4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214 0121 1013 0131-．解原式02012010010121321213217 1013131311310131--==-=-==---．（3）12310001 0000 00000000 1000nnaaaaa-LLLM M M M MLL．解 原式122131100010000000(1)0000n nn n a a a a a a a +--=-+2311(1)1210000(1)(1)0n n n n a a a a a a ++--=--+23112n n a a a a a a -=-+2311(1)n n a a a a a -=-．7．设2142112531335111D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．解 14243444A +A +A +A 0=；111213141112131411111125+31335111M M M M A A A A --++=-+-=-1002346502134652422422842142626206206120---==-=-=-=--． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解 经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．9．试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．解 方程组有非零解，则0D =．又2133475(3)12D λλ-=-=-+-， 所以3-=λ．第三章2．设矩阵112123111,122211031A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（1）计算2A B +； （2）若X 满足32A X B +=，求X ．解 （1）3472100411A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）11023577695X B A -⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．3．设有3阶方阵111222333a c d A a c d a c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222333b c d B b c d b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1A =，2=B ，求2A B +． 解 1111222233332332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++1111112222223333339(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4（5）1020020100100031003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解 原式3E =．（6）()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解 原式222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．5．已知矩阵103021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021301B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．求： （1）AB 与BA ； （2）))((B A B A -+与22B A -.解 （1）1003343301AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1030433010BA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）906()()600609A B A B -⎛⎫ ⎪+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，22006300600A B ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭．8．已知矩阵()123α=，11123β⎛⎫= ⎪⎝⎭，令βαTA =，求n A ，其中n 为正整数． 解 111()()()3()nTT n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 111123232133312n -⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-------11112113233323323233n n n n n n n n n ．9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵． 证 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．10.（2）100210331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 10A =≠，又*100210331A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--133012001． 14．设n 阶方阵A 满足23A A O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证 由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=， 所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（3）*112A A --． （3）*1111115222A A A A A A -----=-=-，有 原式13551()22A A-=-=-=16125． 20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）130120005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．解 将矩阵进行如下分块：1213012005A O A O A ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭， 则11112AO A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又()1111122313155,51211555A A ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-51000515105352．21．设矩阵1100010000120021A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算4A ．解 将矩阵进行如下分块：1211000100(,)00120021A diag A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则44412(,)A diag A A =．又4412144140,014041A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以414000100004140004041A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 22．设矩阵2501300002100122A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算2012A ．解 将矩阵进行如下分块：1225001300(,)002100122A diag A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则121(8)8A A A =⋅=⨯-=-，所以2012201220128AA==．24.（2）122212221⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()122100999122100212212010010999221001221001999r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪⎪⎪=-−−→-⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭，所以A 可逆，且1122999212999221999A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）12313032410272101078X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以645212333X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 26.（2）213244251721182--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 29．设A 是43⨯矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭，求()R AB ．解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）123123123(1)1,(1),(1) 1.x x x x x x x x x λλλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=--⎩解 方程组的系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．当0=λ时，()111111111110000111110000r B A β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．当3-=λ时，()211111221213033511220000r B A β--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．第四章2．求解下列向量方程：（1）βα=+X 3，其中TT(1,0,1),(1,1,1)αβ==-．解 11()(0,1,2)33T X βα=-=-． 4.（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=42112α ，32310α⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 解 ()123112112013013,,121001240000r ααα--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 因为()123,,3R ααα=，所以该向量组线性无关．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,0121,3021,03214321αααα．解 12341110111022200301(,,,)3011001003010000r αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为1234(,,,)34R αααα=<，所以该向量组线性相关． 7．若向量组321,,βββ由向量组321,,ααα线性表示为112321233123,,.βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩ 试将向量组321,,ααα由向量组321,,βββ表示．解 由112321233123,,βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩解得11222331311,2211,2211.22αββαββαββ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131,020,011321ααα．解 123101100(,,)123010001001r ααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3),,(321=αααR ，本身为一个极大无关组；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202,7431,6514,31214321αααα．解 12341121014129921305401(,,,)99154200036720000r αααα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎪⎪--⎪⎪-=−−→ ⎪⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以2),,,(4321=ααααR ，21,αα为一个极大无关组，且21395911ααα+-=，2149492ααα--=． （3）123410321301,,,,217542146αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51120α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 解 123451321103011301101101(,,,,)217520001142146000000r ααααα-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3),,,,(54321=αααααR ，421,,ααα为一个极大无关组，且2133ααα+=，4215αααα+--=．14．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ．证 必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．19. （2）123412341240,20,30.x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩解 由11002111131121011231010000r A ⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，得132341,23.2x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令3420,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T ξ=-，T)1,0,1,0(2-=ξ，通解为2211ξξc c X +=，其中21,c c 为任意常数．20.（2）12345123452345123451,3235, 2262,54337.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩解 方程组的增广矩阵()111111321135012262543317B A β-⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪⎪--⎝⎭10115301226200000000r ----⎛⎫ ⎪ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭， 因为()()25R A R B ==<，所以方程组有无穷多解，且1345234553,226 2.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 令314253,,x c x c x c ===，得通解为123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c =-+-+-+-其中123,,c c c 为任意常数．第五章1. (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022． 解 A 的特征多项式220212(2)(1)(4)02A E λλλλλλλ---=---=-+----， 所以A 的特征值为21-=λ，12=λ，43=λ．当21-=λ时，解特征方程组(2)0A E X +=．由11042022320110220002r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪+=−------−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得13231,2.x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩令32x =，得属于特征值21-=λ的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T ξ=，全部特征向量为111,0k k ξ≠．当12=λ时，解特征方程组()0A E X -=．由1011201202012021000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎝⎭-⎪⎝⎭， 得1323,1.2x x x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩令32x =，得属于特征值12=λ的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T ξ=--，全部特征向量为222,0k k ξ≠．当43=λ时，解特征方程组(4)0A E X -=．由2201022320120240400r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------⎭--⎝，得13232,2.x x x x =⎧⎨=-⎩令31x =，得属于特征值43=λ的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．（6）----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪100111302．解 A 的特征多项式21001()(111232)A E λλλλλλ-------=+--=，所以A 的特征值为2,132,1=-=λλ．当12,1-=λ时，解特征方程组()0A E X +=．由101000000101303000r A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭--⎪，得13.x x =令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值12,1-=λ的线性无关的特征向量为12(0,1,0),(1,0,1)T T ξξ==，全部特征向量为112212,,k k k k ξξ+不全为0．当23=λ时，解特征方程组(2)0A E X -=．由10030011310133000002r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----， 得1230,1.3x x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩令33x =，得属于特征值23=λ的线性无关的特征向量为3(0,1,3)T ξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．5．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,1，求A A A 7523+-及A 的伴随矩阵*A 的特征值．解 令325()7x x x x ϕ-+=，则A A A 7523+-的特征值为(1)3,(2)2,(3)3ϕϕϕ===．又1236A =⨯⨯=，则*A 特征值为6666,3,2123===． 9．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20002000λB ，且A 与B 相似，求常数λ． 解 显然B 的特征值为,2,2λ．A 与B 相似，则A 的特征值为,2,2λ．由14522λ++=++，解得6=λ．10．已知矩阵A x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000101与矩阵B y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000001相似，求常数x 与y ．解 A 与B 相似，则202(1)1x y x y ++=++-⇒=-． （1） 又2A =-，由A B =，得22(1)1y y -=⋅⋅-⇒=，代入（1）式，得0x =． 所以1,0==y x ．11．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=12012001a A ．问a 为何值时，矩阵A 可相似对角化．解 显然A 的特征值为1,231,1λλ==-．对1,21λ=，A 可相似对角化()321R A E ⇔-=-=．由2002001000000200r a A E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ -⎭⎝-⎭-⎪⎝，得0=a ．13.（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1324121019106127．解 A 的特征多项式132(1)7126112610191001910122413143(1)21c c A E λλλλλλλλλλ-----===----------+--，则A 的特征值为1,231,1λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由6126102010122412121000000r A E -⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎝-⎭⎭-⎪，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且1232x x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(1,0,1)T Tp p ==-．当31λ=-时，解方程组()0A E X +=．由812610181012241411025016000r A E ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎭---⎪ ⎪⎝，得13231,25.6x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令36x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(3,5,6)T p =． 令123213105016(,,)P p p p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=，则1P AP -=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010001．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----163053064．解 A 的特征多项式24603503(1)(2)61A E λλλλλλ--------==--+，则A 的特征值为1,231,2λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由360360312000000600r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且122x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(0,0,1)T Tp p =-=．当32λ=-时，解方程组(2)0A E X +=．由6603310301201000631r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得1323,.x x x x =-⎧⎨=⎩令31x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(1,1,1)Tp =-．令12320110101,1(,)P p p p --⎛⎫ =⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P AP -=Λ15．设3阶方阵A 有特征值9,1,0321=-==λλλ，对应特征向量依次为T T T )2,1,1(,)0,1,1(,)1,1,1(321=-=--=ξξξ，求A ．解 A 有3个不同的特征值，则A 能相似对角化．令123111()111102,,P ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则1019P AP -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭，有1A P P -=Λ．又122213306112P ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A21．试求一个正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ． 解 A 的特征多项式(2)(1)(4)A E λλλλ-=-+--，则A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==．属于特征值12λ=-的线性无关的特征向量为1(1,2,2)Tα=；单位化，得1122(,,)333T β=．属于特征值21λ=的线性无关的特征向量为2(2,1,2)Tα=-；单位化，得2212(,,)333T β=-．属于特征值34λ=的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tα=-；单位化，得3221(,,)333T β=-．令正交矩阵1231221(,,)2123221Q βββ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-4000100021AQ Q AQ Q T ．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ．解 A 的特征多项式2(1)(10)A E λλλ-=--，则A 的特征值为1,231,10λλ==．属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(2,0,1)T Tαα=-=；正交化，得121(2,1,0),(2,4,5)5TT ββ=-=；单位化，得12(,T Tγγ==． 属于特征值310λ=的线性无关的特征向量为3(1,2,2)Tα=--；单位化，得3122(,,)333T γ=--．令正交矩阵123132(,,)3203Q γγγ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10000100011AQ Q AQ Q T22．设3阶实对称矩阵A 的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为T)1,1,1(1=ξ，求与特征值3对应的特征向量．解 设123(,,)TX x x x =为属于特征值3的特向量，有1[,]0X ξ=，即0321=++x x x ，其基础解系为T)0,1,1(2-=ξ T )1,0,1(3-=ξ．所以属于特征值3的特征向量为3322ξξk k +，2k 、3k 不全为0．第五章（B ）二、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，求220042A B -． 解 24100010,001A A E -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭．又P A P B 200412004-=14501()P A P -=E EP P ==-1,所以20042230022030001BA E A ⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭． 3. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A ．（1）求A 的特征值；（2）利用(1)中结果求1-+A E 的特征值，其中E 为三阶单位矩阵． 解 （1）A 的特征多项式2(1)(5)A E λλλ-=--+，得A 的特征值为1,231,5λλ==-．（2）令1()1g x x=+，得1-+A E 的特征值为 1,234(1)2,(5)5g g μμ===-=． 第六章1．写出下列二次型的矩阵．（1）222123123121323(,,)22454f x x x x x x x x x x x x =++++-．解 51222225222A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．2．已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2，求a ．解 二次型的矩阵51315315302133003r A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．由()2R A =，得30a -=，所以3a =．。
线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
25
13 7
令 x3 x4 0,
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x1 x3
2x2 3
10 x4
1 5
x4
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
1
5
令
x2
x4
0
1
得
2
0 3
10 1
2
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方程组
2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解：(
A,
b)
4 2
四川大学《线性代数》20春在线作业1.doc
1.设A可逆，则下列说法错误的是（）。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C2.如图：A.-6B.6C.2D.-2【参考答案】: B3.下列矩阵中不与对角矩阵相似的是（）。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C4.如图：A.2B.3C.4D.5【参考答案】: D5.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D6.对任意n阶方阵A、B总有（）。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B7.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D8.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D9.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D10.设k为常数，A为n阶矩阵，则|k A|=（）。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C11.如图：A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D12.如图：A.-6B.-2C.2D.6 【参考答案】: B13.如图：A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D14.设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B15.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B16.如图：A.-4B.-1C.1D.4【参考答案】: D17.如图：A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C18.如图：A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B19.如图：A.2B.1C.0D.-1 【参考答案】: B20.如图：A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B21.如图：A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B22.如图：A.8MB.2MC.-2MD.-8M【参考答案】: A23.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B24.设n阶方阵A不可逆，则必有（）。
A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A25.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B26.如图：A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B27.对任意同阶方阵A,B，下列说法正确的是（）。
西南交《线性代数》离线作业
线性代数第1次作业一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中， B 不是初等矩阵。
(A)(B)(C)(D)2. 则 D 。
(A)(B)(C)(D)3. A、B为n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) A 。
(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= C 。
(A) 4(B) －4(C) －64(D) 645. 线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 +⋯+ a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2, ⋯⋯⋯⋯ a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m }的系数矩阵为 A,增广矩阵为A ¯ ,则它有无穷多个解的充要条件为( A ) 。
(A) R(A)=R( A ¯ )<n(B) R(A)=R( A ¯ )<m(C) R(A)<R( A ¯ )<m(D) R(A)=R( A ¯ )=m6. 一个 n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, α s (s>1) 线性相关的充要条件是( C )(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是( D )(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 A x=0 的基础解系的是( C )(A) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 +2 α 2 + α 3(B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 −α 1(C) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1(D) α 1 −α 2 ,0, α 2 −α 3三、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。
北理线性代数在线作业
北理线性代数在线作业-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII题目类型分值正确答案你的答案批改若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.()判断题10.0错误未判断×.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0错误未判断×单选题10.02×单选题10.03×2单选题10.04×单选题10.01×按定义，5阶行列式有项，其中带负号的有项.填空题10.0120&60×填空题10.0 5&奇×填空题10.0×3填空题10.0&×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.2 ×4单选题10.3 ×单选题10.3 ×单选题10.2 ×单选题10.1 ×56填空题10.0&×填空题10.0正×填空题10.0×填空题10.0&×7 填空题10.0 &×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0 正确未判断×行阶梯形矩阵中非零行的个数就是它的秩判断题10.0 正确未判断×判断题10.0 正确未判断×单选题10.0 1 ×单选题10.0 4 ×单选题10.0 4 ×单选题10.0 2 ×填空题10.0 ×8填空题10.0 E×填空题10.0相等×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0 错误未判断×对于一个给定的向量组，不是线性相关就是线性无关；判断题10.0 正确未判断×.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断10.0 错误未判×9题断单10.0 1 ×选题单选10.0 1 ×题单10.0 1 ×选题单10.0 2 ×选题填10.0 ×空题10填空题10.0 唯一×填空题10.0 ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案判断题10.0 正确11下面二次型中正定的是单选题10.0 2单选题10.0 3单选题10.0 2单选题10.0 112填空题10.0填空题10.0填空题10.0 本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确判断题10.0 正13判断题10.0 正判断题10.0 错单选题10.0下面二次型中正定的是单选题10.0单选题10.0单选题10.014填10.0空题填10.0空题填空10.0题15在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0 错误错误√.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0 错误错误√单选题10.0 2 2 √单选题10.0 3 3 √16单选题10.0 4 4 √单选题10.0 1 1 √按定义，5阶行列式有120项，其中带负号的有______项. 填空题10.060*&*６０60 ×填空题10.05*&*奇5&奇×填空题10.0 0 零×17填空10.0 正×题本次作业总分值:100.0 得分:60.0 正确的题数：6 题目总数：10 正确率:60.000004%18在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0错误错误√对于一个给定的向量组，不是线性相关就是线性无关；判断题10.0正确正确√.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0错误错误√单选题10.0 1 1 √19单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 2 ×填空题10.0 1 ×填空题10.0唯一×填空题10.0 n*s ×本次作业总分值:100.0 得分:60.0 正确的题数：6 题目总数：10 正确率:60.000004%20在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0 正确未判断×特征多项式相同的矩阵相似. 判断题10.0 错误未判断×判断题10.0 错误未判断×单选题10.0 3 ×单选题10.0 2 ×21单选题10.0 1 ×单选题10.0 1 ×填空题10.0将A的第1列的1/a倍加到第2列×填空题10.0线性无关×填空题10.0 C'AC ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%2223在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 ×下列各项中，（）为某4阶行列式中带正号的项单选题10.0 4 ×单选题10.0 4 ×24单10.0 3 ×选题单选10.0 4 ×题填空10.0 10 ×题填空10.0 -18 ×题25填空题10.0-113×填空题10.0 -1 ×填空题10.0 192 ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%26在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0正确未判断×行阶梯形矩阵中非零行的个数就是它的秩判断题10.0正确未判断×判断题10.0正确未判断×单选题10.0 1 ×单选题10.0 4 ×单选题10.0 4 ×27单选题10.0 2 ×填空题10.0 1 ×填空题10.0 E ×填空题10.0相等×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%28在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0错误未判断×判断题10.0错误未判断×判断题10.0错误未判断×单选题10.0 1 ×单选题10.0 1 ×单选题10.0 1 ×29单选题10.0 2 ×本次作业总分值:100.0 得分:90.0 正确的题数：9 题目总数：10 正确率:90.0%[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reserved. 填空题10.0 3 ×填空题10.0 -2 ×30填空题10.0 2 ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 ×下列各项中，（）为某4阶行列式中带正号的项单选题10.0 4 ×31单10.0 4 ×选题单选10.0 3 ×题单选10.0 4 ×题填空10.0 10 ×题32填空题10.0 -18 ×填空题10.0-113×填空题10.0 -1 ×填空题10.0 192 ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%33[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reserved.在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0 错误错误√对于一个给定的向量组，不是线性相关就是线性无关；判断题10.0 正确正确√.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0 错误错误√单选题10.0 1 1 √34单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 2 2 √填空题10.0 1 ×填空题10.0 唯一唯一√填空题10.0 n*s n*s √35案单10.0 2 ×选题单10.0 3 ×选题单10.0 3 ×选题单10.0 2 ×选题36单选题10.0 1 ×i=4,j=____ 填空题10.0 j=7 ×填空题10.0 正×4阶行列式中含有因子a13a31的项是___填空题10.0-a13a22a31a44+a13a24a31a42×i=4,j=____填空题10.0 2 ×X3的系数是157。
（精选）线性代数课后作业及参考答案
（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
天津大学2020秋季学期《线性代数》在线作业一附答案
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)
1.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
2.题面见图片{图}
A.A
B.B{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
需要代做加微boge30619
答案:C
10.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
11.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
12.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
13.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
14.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
15.题面见图片{图}
4.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:D
5.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
6.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
7.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
8.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
9.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
A.A
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C. AB也是可逆矩阵 D. 上面的选项中的结论都不一定对
5.三阶行列式 的值为(C)分值：10
A. 1 B. －1
C. －2 D. 2
6.设A，B为同阶对称矩阵，则(B)不一定是对称称
C. 对称
D. 对称
7.两个矩阵的特征多项式相同是这两个矩阵相似的(B)分值：10
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件。
8.三阶行列式 的值为(D)分值：10
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
9.设A，B都是n阶方阵， 是n阶单位矩阵，则(D)分值：10
A.
B.
C.
D.
10.设A为n阶可逆方阵，则(A)分值：10
在线作业试卷列表
单选
1.二次型 ＋ ＋2 －2 是正定的，则(B)分值：10
A. ?>
B. <
C. >1
D. <1
2.设A为n阶方阵，且 ＝3，则 ＝(B)分值：10
A.
B.
C.
D.
3.当 ＝(B)式，方程 ： ，有非零解分值：10
A. 2 B. -2
C. 0 D. 3
4.若A，B都是n阶可逆矩阵，则(C)分值：10
A. ＝A
B.
C.
D.