实验数据的处理方法

y a bx(线性关系)
y aebx c(指数关系)
最小二乘法的理论基础、最佳经验公式 y = a+bx 中a、b的求解 :
通过实验，等精度地测得一组互相独立的实验数据（xi，yi，i =1， 2…n），设此两物理量 x、y 满足线性关系，且假定实验误差主要出现 在yi上，设拟合直线公式为 y =f(x)=a+bx，当所测各yi值与拟合直线上各 估计值 f (xi)= a+bxi之间偏差的平方和最小，即 s [ yi f ( xi )]2 [ yi (a bxi )]2 min 时，所得拟合公式即为最佳经验公式。 据此有 s s 2 ( yi a bxi ) 0 2 ( yi a bxi ) xi 0
弹簧伸长位置(cm)
x0 x1 x2 x3 x4 其相应的弹簧长度变化量为：

x5
x6来自百度文库
x7
x1 x1 x0 x2 x2 x1 ...... x7 x7 x6
x
( x1 x0 ) ( x2 x1 ) ... ( x7 x6 ) 7

x7 x0 7
表1 V，使作图和读图都 很困难。实际在选择坐标 分度值时，应既满足有效 数字的要求又便于作图和 读图，一般以1 mm 代
表的量值是10的整数 次幂或是其2倍或5倍 。
0
1.00
2.00
3.00
U (V)
电学元件伏安特性曲线图
改正为：
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。 根据表１数据U 轴可选1mm对应于0.10V，I 轴可选1mm对应于 0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约 为130mm×130mm。
2. 标明坐标轴：
用粗实线画坐标轴， 用箭头标轴方向，标坐标 轴的名称或符号、单位, 再按顺序标出坐标轴整分 格上的量值。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00
因变量
3.标实验点：
实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标 出（同一坐标系下不同曲 线用不同的符号）。
12.00 10.00 8.00 6.00
4.00
自变量
4. 连成图线：
2.00
用直尺、曲线板等把 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 U (V) 点连成直线、光滑曲线。 一般不强求直线或曲线通 过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图 线正穿过实验点时可以在点处断开。
Ⅲ. 实验数据的处理方法
实验中被记录下来的一些原始数据还需要经过适 当的处理和计算才能反映出事物的内在规律或得出测 量值，这种处理的计算过程称为数据处理。根据不同 的需要，可采用不同的数据处理方法。
• • • •
一、列表法 二、逐差法 三、图解法 四、最小二乘法
一.列表法
1、一般在记录实验中的原始数据时使用，能较清楚 地反映物理量之间的一一对应关系。 2、数据在列表时，应按以下原则： （1）表格应简明、齐全、清楚有条理、分类明显，便 于反映各物理量之间的关系。 （2）各栏目均应标明名称和单位。单位应按国标规定 标明。名称若为自定义符号，应加以说明。 （3）表中的数据应正确反映测量结果的有效数字。 （4）表中列入测量原始数据及处理过程中的一些重要 中间结果。
5.标出图线特征：
在图上空白位置标明 实验条件或从图上得出的 某些参数。如利用所绘直 线可给出被测电阻R大小 ：从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出 R
图名
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00
电阻伏安特性曲线图
B(7.00,18.58)
值。
6.标出图名：
例：
次序 1 2 3 4 5 6 7 8 平均
物理量的名称(符号)和单位
D(CM) 2.1367 2.1370 2.1369 2.1380 2.1369 2.1374 2.1373 2.1369 2.1371 残差（ CM ） 0 ． 0004 0 ． 0001 0 ． 0002 0 ． 0009 0 ． 0002 0 ． 0003 0 ． 0002 0 ． 0002 H(CM) 1.668 1.674 1.668 1.670 1.666 1.668 1.674 1.672 1.670 残差（ CM ） 0 ． 002 0 ． 004 0 ． 002 0 ． 000 0 ． 004 0 ． 002 0 ． 004 0 ． 002
在图线下方或空白位 置写出图线的名称及某些 必要的说明。
8.00 6.00
由图上A、B两点可得被测电阻R为： U U A 7.00 1.00 R B 0.379( k) I B I A 18.58 2.76
4.00
2.00
A(1.00,2.76)
作者：xx
U (V)
0
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
1.2000
P(×105Pa)
改 正 为：
1.1500
1.1000
1.0500
t(℃)
1.0000 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00
定容气体压强～温度曲线
四.最小二乘法——数据的直线拟合
作图法：直观、简便。但主观随意性大（粗略） 逐差法：粗略的近似计算方法（要满足一定条件） 回归分析法：最准确的计算方法 定义: 由数理统计的方法处理数据，通过计算确定 其函数关系的方法。 步骤： 1.推断函数形式（回归方程） 如
从上式看到，只有首末两次的测量值才对 单次测量的平均值起作用，而一切中间量都失 去意义。这就是说，多次测量和单次测量没有 差别,失去了多次测量减小误差的优越性。
为保持多次测量的优越性，把数据分为两组。

x0 x1 x2 x3
x4 x5 x6 x7
x1 x 2 x3 x 4
x 4 x0 x5 x1 x6 x 2 x7 x3
Li (L i 5 cm )
L5- L0 L6- L1 L7- L2 L8- L3 L9- L4 4.948 4.973 4.985 4.998 4.998
三.作图法
作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用 来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要 先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。
x
x1 x2 x3 x4 4 4
这种处理数据的方法称为逐差法。逐差法的优点在于可以 充分利用实验中测量采集的数据，达到对数据取平均（即保持 多次测量的优越性，减少偶然误差）的效果，而且还可以最大 限度地保证不损失有效数字、减少相对误差。是实验中常用的 处理数据的方法。
逐差法使用的条件 • 函数具有 y =kx+b 的线性关系或x的多项式形式 （y = a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn）。
3. 可以根据实际情况自己编程求 a、b、r 。
n
1.7000 1.6900 1.6800 1.6700 1.6600 1.6500 400.0
500.0
600.0
700.0
玻璃材料色散曲线图
λ(nm)
图2
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
横轴坐标分度选取 不当。横轴以3 cm 代
至此一张图才算完成
作图者姓名
●不当图例展示：
图1
n
1.7000 1.6900
曲线太粗，不 均匀，不光滑。
应该用直尺、曲 线板等工具把实 验点连成光滑、 均匀的细实线。
1.6800
1.6700 1.6600 1.6500 400.0
500.0
600.0
700.0
玻璃材料色散曲线图
λ(nm)
改正为：
有效数字正确
•记录原始数据也应养成好习惯,横平竖直.
四、逐差法 二.逐差法 由误差理论可知：算术平均值最接近于真值， 因此实验中应进行多次测量。但是，在下例中多次 测量并不能达到好的效果。
例：测量弹簧的倔强系数
砝码质量(Kg) 0.00 0 1.00 0 2.00 0 3.00 0 4.00 0 5.00 0 6.00 0 7.00 0
o
1.00
2.00
3.00
4.00
U (V)
电学元件伏安特性曲线
1.6000
P(×105Pa)
图3
1.2000
0.8000
图纸使用不当。 实际作图时， 坐标原点的读 数可以不从零 开始。
0.4000
t(℃)
o
20.00 40.00
60.00
80.00 100.00
120.00 140.00
定容气体压强～温度曲线
r 表示两变量之间的函数关系与线性的符合程度，r[-1，1]。 |r|1，x、y 间线性关系好， |r|0 ，x、y 间无线性关系，拟合 无意义。
物理实验中一般要求 r 绝对值达到0.999以上(3个9以上) 。
●
a、b、r 的具体求解方法：
1. 用有二维统计功能的计算器可直接求得 a、b、r； 2. 用计算机Excel 程序中的 intercept、slope、 correl 函数也可直接求得 a、b、r；
2. 自变量x为等间距变化,即x的每个改变量x都相等,x即为间距, 两物理量之间又呈线性关系时 。
注意:
在逐差法计算中，为了直观和便于处理，也常用列表格方法来 表示，以免搞错。
如：测定弹簧的倔强系数K
砝码质量 m(g) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 增重时米尺读数 Li(cm) 0.000 0.980 1.965 2.955 3.940 4.940 5.950 6.945 7.950 8.940 减重时米尺读数 Li(cm) 0.000 0.990 1.970 2.960 3.950 4.955 5.965 6.960 7.960 8.945 L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 平均值 (cm) 0.000 0.985 1.968 2.958 3.945 4.948 5.958 6.953 7.955 8.943
●
作图步骤：实验数据列表如下.
表1：伏安法测电阻实验数据
0.74 2.00 1.52 4.01 2.33 6.22 3.08 8.20 3.66 9.75 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01
U (V ) I (mA)
1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小
解得
a
b
xi yi xi yi xi a 2 2 ( x i ) n x i
2
xi yi n xi yi b 2 2 ( x i ) n x i
y a bx
相关系数r ：
最小二乘法处理数据除给出 a、b 外，还应给出相关系数 r ， r 定义为 ( xi x )( yi y ) xi yi r 其中 y x 2 2 n n ( xi x ) ( yi y )