渗透率的新计算方法

多孔弹性固体的力学问题（饱和多孔体的研究方法） 摘要测量饱和体对机械和热压力作用的反应可以确定该物体的渗透性和粘滞弹性特性。

比如，饱和梁构件弯曲时毛细管中会产生压力变化，此时毛细管中的液体会流动，以平衡该压力，与此同时，用来维持梁的固定挠度的力会减小。

对力量松弛的运动的分析除了与该物体的弹性模量有关，还与它的渗透性有关。

我们同样可以测量固体构件的粘滞弹性松弛。

这种方法可以在几分钟或几个小时之内测量出渗透性很低的物体的渗透率，但是这种方法只适用于结构上由同种材料构成并能制成细长梁构件的材料（比如水泥砂浆）。

对于混凝土，通过分析受热膨胀运动来确定渗透率更符合实际。

当一个饱和提被加热以后，体内的液体会比固体膨胀更多，而且液体的膨胀会像喷泉一样拉伸固体结构；结果，其热膨胀系数就会很高。

当热量保持不变的时候，固体构件会将液体挤出毛细孔，同时构件会收缩。

对热膨胀运动的分析可以确定该物体的渗透性。

最新的实验表明，水泥砂浆的毛细孔中充满水时其热膨胀系数相当高。

1概论了解饱和材料的渗透性对于分析有些现象很必要，比如分析水结冰时产生的液压力，干燥时产生的压力以及迅速加热引起的热压力。

非常不幸的是，通过直接流动的方法测量水泥材料的渗透性需要几天甚至几周的时间，做这样的实验需要产生高压的设备，这类设备易受渗漏的影响；通过压力松弛方法可以很快得到结果，但那些方法要比即将要介绍的技术慢很多。

在这篇论文中，我们将测试两种新的实验方法，实验中，毛细孔压力对温度或者加载的压力的变化的敏感性将被用来测量渗透性。

弯曲梁方法使用一个圆形或长方形截面的饱和构件，该构件浸没在水中，两端固定，并产生一个固定的挠度。

当梁被弯曲时，梁截面的上部受压，下部受拉；受压的毛细水有流向梁的下部和流出梁体到水槽中趋势，同时，梁下部毛细水的抽吸作用从梁的上部和水槽中吸收水分。

当毛细管压力平衡时，用来给梁维持固定挠度的力会随时间减小，而分析这种松弛运动可以确定空隙率。

这种方法已经被用在胶凝体、多孔玻璃和水泥砂浆上。

这种方法可以在几分钟或几个小时内测量出很小的渗透率，比如s /m 1014-的渗透率可以在一个小时内被测量出。

弯曲几何构件的一个优点是，由于流动很彻底，细长构件的松弛时间很短；因为所施加的力相对较小（本实验中小于1kg ），所以实验可以用较便宜的驱动装置，加载单元也可以很划算的买到。

弯曲梁方法的缺点是对于混凝提而言，做一个细长梁构件并不实际。

对于由多种原材料构成的材料，通过TPA 测量渗透率更合适，TPA 包括测量饱和材料在热循环过程中的膨胀运动。

随着物体被加热，液体比固体膨胀更多，所以液体有流出固体的趋势。

但是，如果渗透率很小，即使是一个不太大的加热速率都会迫使液体在毛细孔中膨胀，所以固体受拉，液体受压。

结果，加热过程中膨胀会非常严重，当热量保持不变，同时毛细孔的水流干，固体收缩到一个由热膨胀系数确定的尺寸时就会产生松弛。

这种方法已经被用来测量胶凝体和水泥砂浆的渗透性，这种方法也可以在几小时内测量出s /m 1014-的渗透率。

这种方法的确定是，它需要对多孔物体的弹性特性经行独立测试。

在下一部分，我们将概述弹性和粘滞弹性固体弯曲梁的分析，并列出典型的实验结果。

在接下来的部分，我们测试冷热循环中的膨胀运动。

最近的使用TPA 的研究表明，在水泥砂浆中的毛细液体的热膨胀相当大，这和之前在硅凝胶中观察到的现象一致。

当毛细水的异常运动被考虑在内，弯曲梁方法和TPA 用来给出可以比较的结果。

2.对问题的阐述饱和多孔固体的弹性本构方程由Biot[22]提出，并由Biot 和Willis 详细讨论[23]。

主应变与主外压力相关：)3(~~~~~~~~~~~3)]([E 1T )2(~~~~~~~~~~~3)]([E 1T )1(~~~~~~~~~~~3)]([E 1T 213p s s 3312p s s 2321p s s 1pp p p p p K pb v K pb v K pb v ++-+∆+=++-+∆+=++-+∆+=σσσαεεσσσαεεσσσαεε 其中，p E 和p v 是干燥多孔物体的杨氏弹性模量和泊松比，)]21(3/[E K p p p v -=是干燥网结构的体积模量，s K 是固相本身的体积模量，s p K /K -1b =是Biot 系数[24]；数值下标标明了方向与主方向平行的特性。

温度应变是T s ∆α，其中S α 是固相的线弹性膨胀系数；应变，S ε，考虑了各种由化学反应，例如胶凝体的脱水收缩反应[25]，引起的自发应变。

总压力包括作用在固相和液相上的所有外力的总和； p 是孔隙液体的压力。

假设在多孔物体中液体的转移服从Darcy 法则[26]，该法则表明液体的通量，J ，液体的压力的变化量成比例关系：)4(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~D-J L p ∇=η其中，D （单位为平方米）是渗透率，L η是液体的粘度。

连续性方程是[27]：)5(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)(11)(V 1p J pV t L p L ρρ∇--=∂∂ 其中，p V 是充满液体的孔空间的体积，ρ是固体的体积分数,L ρ是孔隙液体的密度。

如[28]所示，由于我们所处理的应力和应变都较小，所以将L ρ从括号中移出是合理的。

这样，方程就变成[28]：(6)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p D V V -)-(12Ls .s L .L ∇=+ηερρρρ。

其中，是体积应变，是固相的体积；；上标并不表示对时间的偏导数。

液体的体积模量定义为： ）（7~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p1K 1L L L ∂∂=ρρ 所以，在热量不变的条件下，）（。

8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~K p L.L L =ρρ 如果温度，T ，不是一个常数，液体的密度会依下式变化[30]：）（。

9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~T 3-K p L L .L L αρρ= 其中，L α为液体的线膨胀系数。

固体的体积模量定义为）（10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p V V 1-K 1SS S S ∂∂= 其中，是作用在固相上的压力。

（如[29]所示，在作者之前的论文中并没有准确定义S K ）。

外压力与作用在网结构上的压应力k ~σ相关，作用在液体上的压力为 ）（，）（11~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,2,31k p 1k ~k =--=ρσσ所以液体作用在网结构上的压力 3/3~2~~1~）（σσσσ++=与外液压3/321）（σσσσ++=相关：)12(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)1(~p ρσσ-+=作用在固相上的压力是：）（13~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~/~p p s σ-=所以方程（10）可以写成：）（（。

14~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~K p )1K V V ss ~ρρσρσ-+==s s 如果温度，T ，不是一个常数，那么固体的密度依下式变化：）（（。

51~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~T 3K p )1V V s s s s αρρσ+-+= 脱水收缩产生的应变应该产生自酥松的网结构内部的相对移动，所以它不会影响固相的体积，而只会影响孔结构的体积。

总结方程（1）-（3），有，）（16~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~bp -T)3-3-(K S S P ∆=αεεσ所以[29]式变为）（）（））（（。

51~~~~~~~~~T 3K p K K T 33K K V V s s P s s p s s s s ραραεερ--+---=- 3 弯曲梁法在等热量问题中，各项同性的弹性固体的连续性方程简化为：(18)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p D b M p 2L ∇=+∙∙ηε 0T 0s ==∙，ε其中M 是Biot 模量，用下式定义： (19)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~K 1-b K -1M 1SL ρρ++= 问题现在变成找到计算简单三点弯曲条件下的体积应变的表达式，如果梁的长轴方向是沿着主方向3的，那么021==σσ，体积应变为：）（）（（）（20~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)p K K 1G v 21v 21SP p p3p --+-=εε 其中，]v /[2(1E G p P P ）+=是干燥固体的剪切模量，弯曲产生的轴向应变为： )21(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2433L xz ∆-=ε 其中，是梁中心的挠度，x 是距中心轴的距离，z （≤L/2）是距端部支承的距离，L 是支承之间的跨度。

如果挠度是瞬间产生的（在梁中心），那么将方程[18]右端置零即得到初始应变： (22)从方程（20）和（22）我们可以得到作用在梁上的压力的初始条件： (23)其中， (24)因为[29]中所解释的错误，后式与[28]给出的表达式有所不同。

但b μ的数值与之前使用的值的差值只有10%。

方程(24)使用起来很不方便，因为很难获得s K 的值；但是，s K 中的项数量级相同，符号相反，而且比L K 中的项要小的多，所以任何合理的s K 的近似值都可以用，或者忽略该项。

弯曲梁实验是在试样浸没在水槽中进行的，所以试样表明的空隙压力是与环境相关的。

有了这些初始条件和边界条件，解出关于的压力的方程（18）就很容易了。

然后我们可以利用方程（3）和(21)解出作用在梁上的压力，和在挠度不变的条件下的作用在梁上的作用力，W 。

对于圆形或方形截面的梁以及各向同性或者横向同性的长方形板，方程已解决。

对于一个边长为2a 的方形截面梁，）（25~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)(AS -A 1)R(W(0))W(θθθO -==简化的时间是：）（26~~~~~~~~~~~~~~~~tR τθ=流体松弛时间是：）（）27~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)(21(2R p L p b DG a v ημτ-= 决定松弛量的常数是[29]：）（28~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)32v -1(A 22MbK Mb b p += 流体松弛方程是：）29(~~~~~~~~~~~~~~~~)ex p(6)ex p(2)(122212∑∑∞=∞=O --=n m m n n n b b a a S θθθ其中2/)12(π-=n a n 和πm b m =，函数）θ(O S 在θ趋近于0时，取初始值1，直至θ趋向于无穷大。