苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点

第十二章二次根式

一、二次根式的概念

一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：

（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，

即“2

”，我们一般省略根指数2，写作“”。如

2

5 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。要注意当b是分数

时不能写成带分数，例如8

3

2 可写成

8 2

3

，但不能写成2

2

3

2 。

二、二次根式的性质：

★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：

三、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起

来的式子叫代数式。例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，s

t

（t≠0，x3都是代数式

注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如2x+3＞3x-5是关系式。

列代数式的常用方法：

（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）公式法：根据公式列出代数式。

（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

四、二次根式的乘除

1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单

项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被

除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

五、二次根式的乘法法则

a ．

b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。

（2）推广① a ． b ． c =abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a b ．c d =ac bd ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。

练习：（1）28 ．7 ；（2）1

4

．256 ；（3）4xy ．

1

y

(4)627 ．（-2 3 ）

六、二次根式乘法法则的逆用

ab = a ． b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积

利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。

注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如（-4）×（-9）≠-4 ．-9 。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。

推广：abcd = a ． b ． c ． d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）

三、二次根式的除法法则

a b =

a

b

（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然a

b

＞0，

a

b

有意义，但 a ， b 在实数范围内无意义；若b=0，则a

b

无意义。

（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如41

4

必须先化成

17

4

，以免出

现41

4

= 4 ×

1

4

这样的错误。

（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。

推广：（m a ）÷（n b ）=（m÷n）×（ a ÷ b ），其中a≥0，b＞0，n≠0。

七、二次根式除法法则的逆用

a b =

a

b

（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方

根。

注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是

限制公式右边的，对公式的左边，只要a

b

≥0即可。例如计算

-3

-4

，不能写为

-3

-4

=

-3

-4

，

而应写为-3

-4

=

3

4

=

3

4

=

3

2

。

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的

二次根式时，先将其化为a

b

（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分

母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。

八、最简二次根式的概念

★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：

（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。

拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都

乘上分母的有理化因式

．．．．．

（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；