第十三章---函数项级数习题课

第十三章 函数项级数习题课 一 概念叙述1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε⇔∃>∀∃>∃∈使得0000()()n f x f x ε-≥．3．{}n f 在数集D 上一致收敛⇔柯西准则0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<．⇔柯西准则0,,,,0N n N x D p ε∀>∃∀>∀∈∀>，有()()n p n f x f x ε+-<．4．{}n f 在数集D 上不一致收敛⇔柯西准则00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0000()()n m f x f x ε-≥．⇔柯西准则00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>使得0000()()n p n f x f x ε+-≥．5．1()nn u x ∞=∑在D 上一致收敛于函数()S x ⇔部分和函数列{}()nS x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ．二 疑难解析与注意事项1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？答：函数列理论中重要问题是(){}n f x 的性质（连续性，可积性，可导性）在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛性可以转化为相应部分和函数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性．2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？答：1）定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ；2）柯西准则：0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断；3）确界（最大值方法）：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ；4）估计方法（放大法）：|()()|0n n f x f x a -≤→；5）1()nn fx ∞=∑在D 上一致收敛()n f x ⇒在D 上一致收敛于0．6）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性．设函数列{()}n f x 和函数()f x 都定义于闭区间[,]a b 上，{()}n f x 在[,]a b 上点态收敛于()f x ，如果（1）{()}n f x 在[,]a b 连续； （2）()f x 在[,]a b 连续；（3）{()}n f x 关于n 单调，即对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 是单调数列，则{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．注 除柯西准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点态收敛性计算出极限函数．注 定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断．注 Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n N >时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n N >时，对所有任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立．3．判断函数列{}n f 在D 上不一致收敛有哪些方法？答：1）定义：0000,,,N n N x D ε∃>∀∃>∃∈，使得0000()()n f x f x ε-≥；2）柯西准则：00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0000()()n m f x f x ε-≥；3）limsup ()()0;n n x Df x f x →∞∈-≠4）{}n f 在D 上连续，但极限函数()f x 在D 上不连续则{}n f 在D 上不一致收敛． 4．判断1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛于函数()S x 有哪些方法？答：1）定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ；2）柯西准则：0>∀ε，N ∃，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有ε<-+)()(x S x S n p n ，即ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n ；3）0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n ；4）放大法：()()()0n n n R x S x S x a =-<→； 5）M 判别法； 6）阿贝耳判别法； 7）狄利克雷判别法． 5．判断1()n n u x ∞=∑在D 上不一致收敛于函数()S x 有哪些方法？答：1）定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上不一致收敛于函数()S x ；2）柯西准则：00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>，使得0102000()()()n n n p u x u x u x ε++++++≥；3）limsup ()limsup ()()0n n n n x Dx DR x S x S x →∞→∞∈∈=-≠；4）()n u x 在D 上连续，但()S x 在D 上不连续； 5）1()nn u x ∞=∑在(),D a b =的端点处发散，则1()nn u x ∞=∑在D 上不一致收敛．即：设)(x un∑在(),a b 内收敛，每个()n u x 在x b =做左连续，若()n u b ∑发散，则)(x un∑在(),a b 内非一致收敛；应用：1x n ∑在()1,+∞内不一致收敛，n nx ∑当1x >时不一致收敛．6）()n u x 在D 上不一致收敛于0，则1()n n u x ∞=∑在D 上不一致收敛．三 典型例题1． 讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性． （1） ()22,011n x f x x n x =≤≤+； （2）()22,011nnxf x x n x =≤≤+； （3）()1,01nn n f x x xx +=-≤≤； （4）()(1)n n f x nx x =-，01x ≤≤．解：（1）当0x =，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当(]0,1x ∈，22()lim ()lim01n n n xf x f x n x →∞→∞===+，因此极限函数为()0f x =．因而()2222211|()|01122n x nx f x f x n x n x n n-==⋅≤→++，n →∞． 所以()n f x 在01x ≤≤上一致收敛．（2）当0x =，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当(]0,1x ∈，22()lim ()lim01n n n nxf x f x n x →∞→∞===+，因此极限函数为()0f x =．因而()22|()|1n nxf x f x n x -=+，由基本不等式知221nx n x +在1nx =，即1x n=取到最大值，因此有 [][]220,10,11lim sup ()()lim sup012n n n x x nx f x f x n x →∞→∞∈∈-==≠+，所以()n f x 在01x ≤≤上不一致收敛．（3）当0x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当1x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当01x <<时，()1()lim ()lim 0n n n n n f x f x x x+→∞→∞==-=，因此极限函数为()0f x =．因而，()1|()|nn n f x f x x x+-=-，令()1nn x x xϕ+=-，则()1()1n n x nx n x ϕ-'=-+，令()0x ϕ'=，得1n x n =+，故()n f x 在1nx n =+处取得最大值，故有 ()11|()|||()[1]0111n n n n n n f x f x x x n n n +-=-≤-<→+++，n →∞．所以()n f x 在01x ≤≤上一致收敛．（4）当0x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当1x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当01x <<时，()lim ()lim (1)0nn n n f x f x nx x →∞→∞==-=．则有|()()|(1)n n f x f x nx x -=-，令()(1)nx nx x ϕ=-，则1()(1)[1(1)]n x n x n x ϕ-'=--+，令()0x ϕ'=，得11x n =+，则()x ϕ在11x n =+处达到最大值，因而 [][]0,10,111lim sup ()()lim sup (1)lim(1)011n n n n n n x x n f x f x nx x n n e→∞→∞→∞∈∈-=-=-=≠++，故{()}n f x 在[0,1]不一致收敛．2．讨论 () 1nn nx f x x=+在下列区间上： 1）[]0,a ()01a <<，2）[]0,1， 3） ()1,+∞，4）(),a +∞()1a >是否一致收敛．解：1）当[]0,x a ∈时，()lim ()lim01nn n n n x f x f x x →∞→∞===+，n →∞．因而 ()()01nn n n nx f x f x x a x -=≤≤→+， 因此 () 1nn nx f x x=+在[]0,a 上一致收敛． 2）当[)0,1x ∈，()lim ()lim01nn nn n x f x f x x →∞→∞===+， 当1x =，1 () 2n f x =，1()lim ()2n n f x f x →∞==．因此，极限函数为()0011,1x f x x ≤<⎧=⎨=⎩，，由 () 1nn nx f x x =+在[]0,1连续，但极限函数()f x 不连续，因此 () 1nn nx f x x =+在[]0,1上不一致收敛． 3） 当()1,x ∈+∞，1()lim ()lim lim1111nn nn n n n x f x f x x x →∞→∞→∞====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因而1()()111n n n nx f x f x x x-=-=++，于是()()1,1,11lim sup ()()lim sup012n n n n x x f x f x x →∞→∞∈+∞∈+∞-==≠+，因此 () 1nn nx f x x=+在()1,+∞上不一致收敛． 4）当(),x a ∈+∞，1()lim ()lim lim1111nn nn n n n x f x f x x x →∞→∞→∞====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因而11()()10111n n n n nx f x f x x x a -=-=≤→+++，n →∞．因此 () 1nn nx f x x =+在(),a +∞上一致收敛． 3． 讨论下列级数的一致收敛性． （1）()()12211n nx x --+∑，(),x ∈-∞+∞；（2）()121n x n--+∑(),x ∈-∞+∞，（3）()2121n x x -+∑，(),x ∈-∞+∞．解（1） 法1：看成交错级数，利用交错级数的余项估计式当0x ≠时，()222121()1(1)1n n x x R x n x n x +≤≤=+++，（利用不等式()11x x x α+≥+α≥α） 当0x =时，221()0(1)n n x R x x +≤=+ 因此1limsup ()lim01n n n x DR x n →∞→∞∈≤=+，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上一致收敛.法2：看成等比级数利用等比级数的余项（等比级数的和是首项/（1-公比））()()()122221111n nnx x x x --⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭+∑∑为等比级数， ()1222222222111111()01222111n nn n x x x x x R x n x x x x +⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭===≤→ ⎪+++⎝⎭++ 因此limsup ()0n n x DR x →∞∈=，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上一致收敛.（2）因为211limsup ()limsuplim 011n n n n x Dx DR x n x n →∞→∞→∞∈∈≤==+++，因此()121n x n--+∑在(),-∞+∞上一致收敛.（3） 21222111()1111nn n x x R x x x -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭-+ 因此limsup ()10n n x DR x →∞∈=→/，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上不一致收敛.注：交错级数的莱布尼兹判别法:若01>≥+n n a a ，1,2,n =，0lim =∞→n n a ，则交错级数()∑∞--1n 11＝n n a 收敛，且和1a S ≤，余项()1111+∞+=-≤-=∑n n k k k n a a r .4． 讨论下列级数的一致收敛性． （1）10(),01nn n xxx ∞+=-≤≤∑； （2）20(1) , [0,1]n n x x x ∞=-∈∑；（3）1(1)(),01nnn n xxx ∞+=--≤≤∑； （4）20, (0,)nx n x e x ∞-=∈+∞∑．解：（1）由于110()()1n kk n n k S x xx x -+==-=-∑，因此1,01()lim ()0,1n n x S x S x x →∞≤<⎧==⎨=⎩， 而()S x 在]1,0[上不连续． 于是10()nn n xx ∞+=-∑在]1,0[上不一致收敛．（2）法1：因为120()(1)=(1) (1) n kn n k S x xx x x -==---∑，故()lim ()1 n n S x S x x →+∞==-，[0,1]x ∈．因而|()()|(1) nn S x S x x x -=-．令()(1)n g x x x =-，则11()(1)n n g x nxx n -+'=-，令()0g x '=，则1nx n =+，于是()(1)n g x x x =-在1nx n =+处取最大值，因而 [][]0,10,11lim sup ()()=lim sup (1)=lim()=0 11n nn n n n x x n S x S x x x n n →∞→∞→∞∈∈--++．故20(1) nn xx ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛．法2：记2()(1)n n u x x x =-，则121()(1)2(1)(1)[(2)]n n n n u x nx x x x x x n n x --'=---=--+故()n u x 在2n nx n =+处达到最大值，因而 220()()()()222n n n n n u x u n n n ≤≤=+++2224()2n n≤≤+由M -判别法可得，20(1) nn xx ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛．（3） 法1：由于121()||02n n n R x x xn ++≤-<→+，n →∞． 因此1(1)()n n n n x x ∞+=--∑ 在[0,1]上一致收敛．法2：令1()nn n u x x x+=-由于1|(1)|1n kk -=-≤∑有界，而()21()[(1)]0n n n u x u x x x +-=--<，故()n u x 对任意固定的x 单调下降，且()110()1nn n u x x xn n +=-<→→∞+，即()n u x 在01x ≤≤上一致收敛到零，故由狄利克雷判别法知()n u x 在01x ≤≤上一致收敛．（4）法1：记2()nx n u x x e -=，则()[2]nxn u x xe nx -'=-，故()n u x 在2n x n=处达到最大值，因而22222240()()()n n u x u e e n n n--≤≤==，故20nxn x e∞-=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛．法2：利用用Taylor 展开得，221(), 02nxn n x e nx R x x =++++>，因而，222222222201()22nxnx n x x x x en x n x ennx R x -≤==≤=++++，0x > 故20nxn x e∞-=∑在(0,)x ∈+∞一致收敛．5．在[]0,1上定义函数列2214, 0211()44, 210, 1n n x x n f x n x n x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩，计算其极限函数并讨论其一致收敛性．解 显然，(0)0n f =，且对任意固定的(0,1]x ∈，则当1n x>时，总有()0n f x =，因此lim ()0n n f x →+∞=，故极限函数为()0f x =．因而|()()|()n n f x f x f x -=，由()n f x 在10,2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦增，在11,2n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦减，因此 [][]0,10,11lim sup |()()|lim sup ()lim ()lim 22n n n n n n n x x f x f x f x f n n →∞→∞→∞→∞∈∈-====+∞因此，{()}n f x 在[0,1]上不一致收敛．6．设()f x 定义于(,)a b ，令[()]()n nf x f x n=(1,2,)n =⋅⋅⋅， 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x ．证：因为()()()1nf x nf x nf x -<≤⎡⎤⎣⎦，因此()()()1nf x f x f x n n⎡⎤⎣⎦-<≤，因此()[()]lim ()limn n n nf x f x f x n→∞→∞==，故 ()(),1lim sup ()lim0n n n x a b f x f x n→∞→∞∈-==， 故{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x ．7．设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果()nx ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收敛，那么()nx ϕ∑在[,]a b 上一致收敛．证明：不妨设()n x ϕ单调递增，因此有()()()n n n x a b ϕϕϕ≤+，而()(),nna b ϕϕ∑∑绝对收敛，即()(),nna b ϕϕ∑∑收敛，于是()()()nna b ϕϕ+∑收敛，由M -判别法知()nx ϕ∑在[,]a b 一致收敛．8.设级数1nn a∞=∑收敛，证明011lim n n x x n n a a n +∞∞→== = ∑∑． 分析：本题实质上是证明极限和∑求和可以交换，即证00111lim lim n n n x x x x n n n a a a n n ++∞∞∞→→=== = =∑∑∑， 而极限和∑求和可以交换的条件是1nx n a n ∞=∑一致收敛． 证 因为1nn a∞=∑收敛，且与x 无关，则1nn a∞=∑在()0,δ上一致收敛，对每个()0,x δ∈，1x n 单调，11x n ≤，()0,,x n δ∀∈∀，即1xn 在()0,δ上一致有界，因此由阿贝尔定理知1n x n a n ∞=∑一致收敛．因此00111lim lim n n n x x x x n n n a a a n n ++∞∞∞→→=== = =∑∑∑．9. 证明1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续．分析：1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内不一致收敛，因为1nxn ne∞-=∑在0x =处为1n n ∞=∑发散．因此不好直接用一致连续的性质，要证1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续，只要证1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内每一点连续，()00,x ∀∈+∞，即证1nxn ne∞-=∑在0x 连续，限定[)()0,0,,0x a a ∈+∞⊂+∞>，若能证1nxn ne∞-=∑在[),a +∞连续，就能保证1nxn ne∞-=∑在0x 连续．证 ()00,x ∀∈+∞，限定[)()0,0,,0x a a ∈+∞⊂+∞>，因为nx na ne ne --≤，而11nana n n n nee ∞∞-===∑∑收敛，因为11a n e =<，由M -判别法，1nx n ne ∞-=∑在[),a +∞一致收敛，又nxne-在[),a +∞连续，因此1nxn ne∞-=∑在[),a +∞连续，因此1nxn ne∞-=∑在0x 连续，由0x 任意性，1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续．注 类似可证明11x n n ∞=∑在(1,)+∞内连续． 10．求证31sin ()n nxf x n ∞==∑在(,)-∞+∞内连续，并有连续导函数． 证：由33sin 1nx n n ≤，且311n n∞=∑收敛，由M -判别法知31sin n nxn ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，由3sin nxn 在(,)-∞+∞内连续，因此31sin ()n nx f x n ∞==∑在(,)-∞+∞内连续． 因为32sin cos nx nxn n '⎛⎫= ⎪⎝⎭，而22cos 1nx n n ≤，且211n n∞=∑收敛，由M -判别法知21cos n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，又2cos nxn 在(,)-∞+∞内连续，因此31sin n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞内有连续导函数．。